Thế năng của dao động tử biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HUYỀN THẾ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HUYỀN THẾ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn thực luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp vượt qua khó khăn qua trình hoàn thành luận văn trình học tập nghiên cứu Đối với tôi, cô gương sáng tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô phòng sau đại học, tạo điều kiện giúp hoàn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Thu Huyền LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn đề tài: “Thế dao động tử biến dạng”, thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành nỗ lực thân với hướng dẫn bảo tận tình hiệu PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Thu Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN 1.1 Dao động hạt có spin nguyên 1.1.1 Dao động hạt có spin nguyên 1.1.2 Thế dao động hạt có spin nguyên 1.2 Dao động tử Boson biến dạng – q 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng – q 1.2.2 Thế dao động tử Boson biến dạng – q Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN 15 2.1 Dao động biến dạng hạt có spin bán nguyên 15 2.1.1 Dao động hạt có spin bán nguyên 15 2.1.2 Thế dao động hạt có spin bán nguyên 16 2.2 dao động tử Fermion biến dạng – q 18 2.2.1 dao động tử Fermion biến dạng – q 18 2.2.2 Thế dao động tử Fermion biến dạng – q 19 Chương DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG – (q, R) 25 3.1 Dao động tử biến dạng – (q, R) 25 3.2 Thế dao động tử biến dạng – (q, R) 26 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý xem ngành khoa học định luật vật lý chi phối tất ngành khoa học tự nhiên khác Trong lịch sử vật lý, quy luật vật lý nhiều lần biến dạng để tạo nên lý thuyết đáp ứng nhu cầu thực tiễn Bất kì hạt trường lực, Thế hạt tương tác mà có Để nghiên cứu chuyển động trạng thái hệ phải biết hệ đó, ví dụ: Hạt vi mô chuyển động hố sâu vô hạn, để biết trạng thái hạt ta phải biết hạt từ ta tìm toán tử Hamilton hạt giải phương trình cho hàm riêng trị riêng tìm trạng thái hạt Vậy để nghiên cứu trạng thái hệ vi mô cần phải biết toán tử lượng việc tìm hệ tìm toán tử lượng hệ Từ mô tả chuyển động thực tế hệ phi điều hòa, dùng dao động biến dạng để mô tả chuyển động hệ, cần phải biết dao động tử biến dạng biết hạt electron nằm nguyên tử, ta nghiên cứu dao động mạng tinh thể hay tính chất vật lý chất rắn Dao động biến dạng xem biến dạng dao động thông thường, phụ thuộc vào nhiều thông số biến dạng Khi thông số biến dạng tiến đến giá trị dao động biến dạng trở dao động thông thường dao động biến dạng tổng quát dao động chưa biến dạng dao động tử biến dạng có ưu điểm so với dao động tử chưa biến dạng Vì luận văn chọn đề tài “Thế dao động tử biến dạng” làm luận văn tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu loại dao động tử biến dạng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng - Nghiên cứu dạng dao động tử biến dạng xây dựng biểu thức tính dao động tử biến dạng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng cho hệ hạt có spin nguyên có spin bán nguyên Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nhóm lượng tử - Phương pháp nghiên cứu lượng tử Những đóng góp - Nghiên cứu tính toán dao động tử biến dạng Chƣơng DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN 1.1 Dao động hạt có spin nguyên 1.1.1 Dao động hạt có spin nguyên([5]) Những hạt có spin nguyên gọi hạt Boson Các toán tử sinh, toán tử hủy dao động tử Boson tuân theo hệ thức giao hoán: , - (1.1) Và toán tử số dao động N biểu diễn theo toán tử hủy dao động tử toán tử sinh dao động tử có dạng: (1.2) Trong đó: : toán tử hủy dao động tử : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1) với (1.2) ta có: , - , - ( ) ( ) , , - - , - ( , ) - Như vậy: , { , - ( - ) Không gian Fock không gian mà vector sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không ‫׀‬ 〉 định nghĩa trạng thái thỏa mãn điều kiện: { | ⟨ | ( ) Đưa vào sở không gian Fock ‫ 〉 ׀‬là trạng thái riêng toán tử số dao động ứng với trị riêng n: ‫=〉 ׀‬ ( ) ‫〉 ׀‬ √ n = 0, 1, 2,… (1.5) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử hủy, sinh dao động Q=√ ( ), P = i√ ( ) sau: Và chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán: , - (1.6) Thật vậy: , - = i ,( )( (( )( ( )- ) ) i , ( - )( i )) Từ hệ thức (1.6) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg ([2]): 〈( ) 〉〈( ) 〉 ( ) (1.7) Thật ta dễ dàng thấy: 〈 〉 ⟨ | | 〈 〉 Do độ lệch toàn phương 〈( ⟨ | | ) 〉 〈( ) 〉 tọa độ xung lượng là: 〈( 〈( ) 〉 〈( 〈 〉) 〉 = ⟨ |( = ⟨ | = ( ) 〉 〈 〉 ) | | ) 〈( 〈 〉) 〉 〈 ⟨ |( == ⟨ | = ( 〉 ) | | ), Suy ra: 〈( ) 〉〈( ) 〉 ( ) 1.1.2 Thế dao động hạt có spin nguyên ([1]) Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa: ̂ Hay: H= ̂ ̂ (1.8) 20 Thay (2.19) vào (2.18) ta được: ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) Chọn lại gốc tọa độ cho lượng mức thấp để H có dạng: Dao động Fermion biến dạng dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động Toán tử lượng dao động tử Fermion biến dạng viết sau: ( Toán tử sinh ) toán tử hủy b dao động tử Fermion biến dạng biểu diễn thông qua toán tử sinh, toán tử hủy dao động Fermion bình thường sau: √ √ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Từ (2.22) ta thu được: , , - ( Ta tính đạo hàm toán tử sinh ̇ ) toán tử hủy b theo thời gian: 21 ̇ * ̇ ( ) ( ( )+ ( )  Tính ) / Ta có: ( ) √ √ ( ) ( ) ( ) ( / √ / √ ) √ ( √ ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) √ ) / ( ) ( ) /( ( / /( ) )1 ) * ( ) ( ) +( ) 22 ( ) ( ) * ( ( ) Vậy / / ) + ( ) ( ) Thay vào (2.25) ta được: ̇ Sử dụng kí hiệu (2.17) kí hiệu (2.15) ta được: ̇ ( , ) - ( ) Tương tự ta có: ̇ ̇ * ̇ Tính Ta có: ( ) ( : ) / ( )+ ( ) 23 ( ) √ √ ( ) ( ) √ ( √ ( ) ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) / √ / √ ( ) ( ) / / ) ( ) /( /( ( ( ) )1 ) * ( ( ) ( ) * ( ( ) ) ( ) Vậy / Với / +( ) ( Thay vào (2.27) ta được: ̇ ( ) ) + ) 24 Sử dụng kí hiệu (2.17) kí hiệu (2.15) ta được: ̇ ( , ) - Vậy dao động tử biến dạng dao động phi tuyến với tần số W viết: ̇ ̇ Vậy tần số dao động biến dạng: ( { Với ) } (2.28) tương ứng với số mức kích thích số hạt Thế dao động tử Fermion biến dạng – q ( ) (2.29) Thay (2.28) vào (2.29) ta được: ( ) , ( ) - Khi q tiến gần đến dao động fermion biến dạng (dao động phi tuyến) trở dao động điều hòa thông thường 25 Chƣơng DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG – (q, R) 3.1 Dao động tử biến dạng – (q, R) ([5]) Các toán tử sinh, hủy dao động tử (a+, a) hệ Boson dao động biến dạng (q, R) thỏa mãn hệ thức sau: (3.1) Trong đó: q ν thông số biến dạng thực; R toán tử phản xạ; N toán tử số hạt Toán tử phản xạ R thỏa mãn điều kiện sau: (3.2) Toán tử số hạt N thỏa mãn điều kiện: , - , - (3.3) Ta xây dựng không gian Fock có vector sở vector trạng thái riêng toán tử số dao động N có dạng: ‫〉 ׀‬ ( ) √, - ‫〉 ׀‬ ( ) ( ) Ở sử dụng kí hiệu: , - ( , , - Trong đó: , Hay: , - , - , - ) 26 ‫׀‬ Với 〉 ( ‫׀‬ ) 〉 (3.6) hệ số chuẩn hóa, ‫ 〉 ׀‬là trạng thái chân không Trạng thái chân không ‫ 〉 ׀‬thỏa mãn điều kiện sau: ‫׀‬ 〉 ‫׀‬ 〉 ⟨ | ‫׀‬ Với ‫׀‬ 〉 〉 (3.7) Cho toán tử ( ) ‫׀‬ 〉 , - ( ‫׀‬ ) 〉 ( ) 〉 ta thu được: 〉 (3.8) lên trạng thái ‫ 〉 ׀‬là: Hay nói khác, tác dụng toán tử ‫׀‬ ‫׀‬ ) tác dụng lên trạng thái( ‫׀‬ 〉 , - ‫׀‬ 〉 (3.9) Hệ vector trực chuẩn: ⟨ | Phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử số N là: ‫׀‬ ‫׀‬ - , - ‫׀‬ 〉 (3.10) lên trạng thái ‫ 〉 ׀‬là: Tác dụng toán tử Với: , 〉 〉 , ‫׀‬ ( ) 〉 (3.11) 3.2 Thế dao động tử biến dạng – (q, R) ([4]) Toán tử lượng dao động tử Bosson biến dạng - (q,R) có dạng: 27 ( ) Biểu diễn toán tử tọa độ xung lượng thông qua toán tử sinh, hủy dao động sau: √ ( ) √ ( ) ( ) Hệ thức giao hoán toán tử xung lượng tọa độ là: , - ( ) ( ) (3.15) Thay (3.13) (3.14) vào (3.12) ta được: ( ( ) ) ( ( Chọn lại gốc tọa độ để ) ) ) (3.16) có dạng đơn giản: ( Toán tử sinh ( ) ( ) , toán tử hủy a dao động tử Bosson biến dạng – (q,R) biểu diễn thông qua toán tử sinh, toán tử hủy dao động Bosson bình thường sau: √ ( ) ( { √ ( ) ) 28 , Mà: - ( , - ( Ta tính đạo hàm toán tử sinh ) ) toán tử hủy a theo thời gian: ̇ ̇ * ̇ ( ) ( ) ( ) ( )+ (  Ta tính Ta có: ( ) √ √ ( √ ( ) ( ) ) √ / √ ( ( √ / ) ( ) √ ) /( ( ( ) ( ) ( ) ) / / ( ) /( ) )1 ) 29 ( ) ( ) * ( ( ) ( ) ( ) * ( / với / +( ( ) Vậy ) ) ) + ( ) Thay vào (3.19) ta có: ( ̇ ( Tính : ) , - , ( ,, - ) ( ) ( , ( ( ) ) ( Ta có: ) ( { ) ( ) ) ) ( - ) } (3.21) } (3.22) Thay (3.21) vào (3.20) ta được: ̇ ( { ) ươ g tự ta có: ̇ ̇ * ( ) ( )+ 30 ̇ )( ( )  Tính ( ) Ta có: ( ) ( √ (√ ( ) ) ( ) ( ) ( ( √ ( ) ( ) ( (√ ) ) √ ( √ / ) √ ) ) ) ( ( ) ) /( ( / /( ) )1 ) * ( ) ( ) +( ) 31 ( ) ( ) * ( ( ) Vậy / Với / ) + ( ) Thay vào (3.24) t được: ̇ ( ( Tính : ( Ta có: ) ( ) ) , - , ( ,, - ( ) ( { ( ) ( , ( ) ) ) ( ) ) - ) } (3.26) Thay (3.26) vào (3.25) ta được: ( ̇ Hay: ̇ , ) - { } Vậy d o động tử biến g chí h d o động phi tuyến với tần số W viết: ̇ ̇ Tần số d o động biến dạng: 32 { Với } (3.27) tươ g ứng với số mức kích thích số hạt Thế ă g củ d o động tử Boson biến dạng (q,R): ( ) (3.28) Thay (3.27) vào (3.28) ta được: ( ) , - Khi q tiến gầ đến củ d o động Bosson biến dạng (dao động phi tuyến) trở d o độ g điều hò tho g thường, 33 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đề cập đến vấn đề dạng dao động tử biến dạng, sở tìm mối liên hệ dao động tử biến dạng với dao động tử điều hòa tương ứng, tìm tần số biến dạng dao động tử biến dạng phụ thuộc vào biên độ dao động Từ thấy rằng, dao động tử biến dạng dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động Các kết luận văn sau: Viết tổng quan dao động tử hạt có spin nguyên dao động tử hạt có spin bán nguyên dao động tử biến dạng (q, R) Giải phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử lượng, để xác định phổ lượng dao động tử biến dạng Tính dao động tử bosson biến dạng – q, dao động tử Fermion biến dạng – q dao động tử biến dạng (q,R) Thấy q = dao động tử biến dạng trở dao động điều hòa bình thường Những kết có luận văn “Thế dao động tử biến dạng” góp phần giúp cho việc làm sáng tỏ chất vật lý dao động tử biến dạng 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn học lượng tử”, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), “Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [3] D Bonatsos and C Daskaloyannis (1993), “Equivalence of deformed fermionic algebras”, J Phys A26 (7), pp.1589 – 1600 [4] D V Duc (1998), “Statistics of generalized q-deformed quantum oscillators”, Frontiers in quantum physics, Springer 1998, PP.272-276 [5] Nguyen Thi Ha Loan (1996), “Deformed oscillators and their Statistics”, Communications in physics, Vol 6, No 2, page 18 – 22 [6] V.I Man’ko, G Marmo, S Solimeno and F Zaccaria (1993), “Physical nonlinear aspects of classical and quantum q-oscillators”, Int J Mod Phys A8 (20), pp.3577 – 3591 [...]... 2.1.2 Thế năng của dao động của các hạt có spin bán nguyên ([2]) Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa: ̂ Hay: H= ̂ ̂ (2.7) 17 Với ̂ là toán tử thế năng của dao động tử điều hòa Đưa vào ̂ các toán tử sinh, hủy dao động ta có: ̂ ( ( ) )( ) ( ) Và toán tử động năng ̂ , đưa vào ̂ các toán tử sinh, hủy dao động ta có: ̂ ( ( ) )( ) ( ) Vậy: ( ) ( ) ) ( * ( ) + ( ) Phổ năng lượng của dao động tử được... , ) - Vậy dao động tử biến dạng chính là dao động phi tuyến với tần số W thì có thể viết: ̇ ̇ Vậy tần số dao động biến dạng: ( { Với ) } (2.28) tương ứng với số mức kích thích hoặc số hạt Thế năng của dao động tử Fermion biến dạng – q ( ) (2.29) Thay (2.28) vào (2.29) ta được: ( ) , ( ) - Khi q tiến gần đến 1 thì thế của dao động fermion biến dạng (dao động phi tuyến) trở về thế của dao động điều hòa... số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng có thể viết như sau: ( Toán tử sinh ) và toán tử hủy b của dao động tử Fermion biến dạng có thể được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, toán tử hủy của dao động Fermion bình thường như sau: √ √ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Từ (2.22) ta thu được: , , - ( Ta tính đạo hàm của các toán tử sinh ̇ ) và toán tử. .. = 0, Năng lượng của dao động tử: Trường hợp n = 1, Năng lượng của dao động tử: Trường hợp n = 2, Năng lượng của dao động tử: Trường hợp n= 3, Năng lượng của dao động tử: Hiệu hai mức năng lượng: Ta thấy các mức năng lượng cách đều nhau và khoảng cách giữa hai vạch phổ kế tiếp bằng Vậy trong dao động điều hòa thì năng lượng là những mức cách đều nhau và vô hạn là parabolic và phổ 8 1.2 Dao động tử Boson... ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN 2.1 Dao động biến dạng của các hạt có spin bán nguyên 2.1.1 Dao động của các hạt có spin bán nguyên([2]) Những hạt có spin bán nguyên được gọi là những hạt Fermion Các toán tử sinh, toán tử hủy các dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức giao hoán: * + ( ) (2.1) Và toán tử số dao động N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử và toán tử sinh dao động tử. .. hiện ở tần số dao động, phụ thuộc vào biên độ dao động theo một hàm số nào đó mà ta cần tìm Toán tử năng lượng của dao động tử Boson biến dạng có thể viết: (1.20) Toán tử sinh , toán tử hủy a của dao động tử Boson biến dạng có thể được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, toán tử hủy của dao động Boson bình thường , như sau: √ √ { ( ) ( (1.21) ) Từ (1.21) ta thu được: , - , Ta tính đạo hàm của các toán... tơ trạng thái của số hạt N có dạng: ( ‫〉 ׀‬ ) √, - ‫〉 ׀‬ Ở đây sử dụng kí hiệu: , , - , - , - , - (1.14) , - Và : ‫ 〉 ׀‬là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện : 9 ‫׀‬ 〉 ‫׀‬ 〉 ‫׀‬ 〉 ‫׀‬ 〉 √, ‫׀‬ 〉 √, - ‫׀‬ - 〉 ‫׀‬ 〉 (1.15) 1.2.2 Thế năng của dao động tử Boson biến dạng – q Toán tử năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – q có dạng: (1.16) Toán tử sinh, hủy a+, a của dao động biến dạng q có thể... ([6]) Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng - q có dạng: ( ) Toán tử xung lượng P và toán tử tọa độ x có thể biểu diễn qua các toán tử sinh và toán tử hủy của dao động Fermion như sau: √ ( ) ( { √ ( ) ) 20 Thay (2.19) vào (2.18) ta được: ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) Chọn lại gốc tọa độ sao cho năng lượng ở mức thấp nhất để H có dạng: Dao động Fermion biến dạng là một dao động tử phi tuyến... động điều hòa thông thường 25 Chƣơng 3 DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG – (q, R) 3.1 Dao động tử biến dạng – (q, R) ([5]) Các toán tử sinh, hủy dao động tử (a+, a) của hệ Boson dao động biến dạng (q, R) thỏa mãn hệ thức sau: (3.1) Trong đó: q và ν là các thông số biến dạng thực; R là toán tử phản xạ; N là toán tử số hạt Toán tử phản xạ R thỏa mãn điều kiện sau: (3.2) Toán tử số hạt N thỏa mãn điều kiện: , - ,... o động tử biến dạ g chí h à d o động phi tuyến với tần số W thì có thể viết: ̇ ̇ Tần số dao động biến dạng: { Với } (1.27) tương ứng với số mức kích thích hoặc số hạt Thế năng của dao động tử Boson biến dạng – q: ( ) (1.28) 14 Thay (1.27) vào (1.28) ta được: ( ) , - Khi q tiến gầ đến 1 thì thế củ d o động Bosson biến dạng (dao động phi tuyến) trở về d o độ g điều hòa thô g thường, 15 Chƣơng 2 DAO ĐỘNG