tìm hiểu về dao động tử điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÍ - - TÌM HIỂU VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Vật lí Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: ThS Nguyễn Thị Thúy Hằng Phạm Thị Ngọc Mai Mã số SV: 1110203 Lớp: TL1102A1 Khóa: 37 Cần Thơ, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian nghiên cứu làm việc, hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Nguyễn Thị Thúy Hằng, người tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Cảm ơn quý thầy cô dạy bảo suốt thời gian học trường Đại học Cần Thơ Mặc dù có nhiều cố gắng trình nghiên cứu hẳn thiếu sót Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Xin cảm ơn! MỤC LỤC MỤC LỤC .i PHẦN MỞ ĐẦU 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI .1 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI PHẦN NỘI DUNG .3 CHƯƠNG HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.1 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE 1.2 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.3 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG CHƯƠNG TOÁN TỬ 2.1 ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 2.1.1 Định nghĩa .6 2.1.2 Các ví dụ toán tử 2.1.3 Toán tử tuyến tính 2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ .6 2.3 HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 2.4 TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC) 2.4.1 Định nghĩa toán tử hermitic .7 2.4.2 Các tính chất toán tử hermitic CHƯƠNG HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 10 3.1 TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG 10 3.1.1 Toán tử tọa độ xˆ 10 3.1.2 Toán tử xung lượng .10 3.2 NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG .11 3.26.1 Nguyên lí tương ứng 11 3.2.2 Toán tử lượng 12 3.3 HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 12 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER 15 4.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN 15 4.2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN (PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER DỪNG) 17 CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 18 5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 18 5.1.1 Dao động tử điều hòa chiều học cổ điển 18 5.1.2 Dao động tử điều hòa chiều học lượng tử 20 5.2 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BA CHIỀU 34 5.2.1 Thế dao động tử điều hòa ba chiều học cổ điển 34 i 5.2.2 Dao động tử điều hòa ba chiều học lượng tử 34 PHẦN KẾT LUẬN 38 PHỤ LỤC .39 PHỤ LỤC 39 PHỤ LỤC 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 ii SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí PHẦN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ khoa học kỹ thuật phát triển, nhà khoa học có điều kiện nghiên cứu hệ vi mô electron, proton, nơton, nguyên tử, phân tử,… Các tính chất vật lí hạt hay hệ hạt vi mô không tuân theo quy luật vật lí cổ điển mà tuân theo quy luật đặc biệt, quy luật thuyết trường lượng tử, mà trường hợp riêng học lượng tử Cơ học lượng tử nghiên cứu nhiều vấn đề Trong có toán dao động tử điều hòa Mô hình dao động tử điều hòa có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực vật lí học, hóa học, sinh vật học,… Đối với vật lí học, nhiều hệ vật lí có phương trình chuyển động tương tự tập hợp dao động tử điều hòa độc lập Do dó, toán dao động tử điều hòa toán quan trọng học lượng tử Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn học lượng tử mô hình dao động tử điều hòa có tầm quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học nên định chọn đề tài: “Tìm hiểu dao động tử điều hòa” làm luận văn tốt nghiệp MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Tìm phương trình mô tả trạng thái chuyển động, công thức tính lượng dao động tử điều hòa chiều ba chiều học lượng tử, từ so sánh với dao động tử điều hòa học cổ điển để thấy khác biệt phổ lượng xác suất tìm thấy dao động tử không gian mà tồn GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Tìm hàm sóng biểu diễn trạng thái hạt, sở toán học phục vụ cho trình nghiên cứu (các toán tử, tiên đề, nguyên lí tương ứng, nguyên lí bất định Heisenberg, phương trình Schrödinger,…), giải phương trình Schrödinger dao động tử điều hòa chiều để tìm hàm sóng lượng tương ứng dao động tử PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đây đề tài túy lí thuyết, phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp lí thuyết Luận văn tốt nghiệp SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI - Bước 1: Nhận đề tài - Bước 2: Tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Bước 3: Tiến hành viết đề cương trao đổi với giáo viên hướng dẫn - Bước 4: Viết luận văn - Bước 5: Nộp thảo cho giảng viên hướng dẫn, xin ý kiến - Bước 6: Chỉnh sửa hoàn tất nội dung đề tài - Bước 7: Báo cáo nội dung đề tài Luận văn tốt nghiệp SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.1 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE Giả thuyết đề de Broglie vào năm 1924 Để đưa biểu thức tính bước sóng cho hạt vi mô, ông dùng tương tự với động lượng photon Bắt đầu với công thức Einstein:[1] E  mc  Eđ  m0c (1.1) Một cách viết khác công thức (1.1): E  p 2c  m0 2c Từ (1.2) ta có hạt vi mô có khối lượng nghỉ thì: p  Đối với photon: E  hf  Từ (1.3) (1.4) suy ra: p hc λ h λ (1.2) E c (1.3) (1.4) (1.5) Hệ thức liên hệ động lượng bước sóng photon suy hệ thức (1.5) áp dụng cho tất cá hạt vi mô khác.[1] 1.2 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT Theo giả thuyết de Broglie, hạt chuyển động tự với lượng E động lượng p tương ứng với sóng phẳng có tần số ƒ bước sóng λ cho hệ thức: E  hf λ  h h Suy p  p λ Ta có: Tần số góc: ω  2πf  2π E E E    E  ω h h  2π độ lớn vectơ sóng là: k    2π 2π p p     p  k h h λ  p 2π Hàm sóng mô tả sóng phẳng có dạng:    r ,t   0 e i ωt  kr  Luận văn tốt nghiệp (1.6) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí -i  hay  r ,t   0e  -i  Hàm sóng  r ,t   0e   Et  p r   Et  p r  (1.7) phụ thuộc vào không gian thời gian Trong đó:[3]  r vectơ tia xác định vị trí điểm không gian mà sóng truyền tới (hạt tới) 0 số tùy ý, không mô tả tính chất hàm sóng Các thông tin trạng thái hạt chứa đựng hàm sóng Hàm sóng nói chung số phức Ta tách hàm sóng thành hai phần:   Ψr ,t   Ψr Ψ t  -i  Trong đó: Ψr   0e  i Ψt   e  Et  Et  pr  (1.8) phần phụ thuộc không gian phần phụ thuộc thời gian Trong học lượng tử, ta thừa nhận tiên đề sau đây:  Tiên đề 1: Trạng thái hạt thời điểm t mô tả hàm số  r , t  )nói  chung phức) gọi hàm sóng hay hàm trạng thái Đại lượng  r , t  dV cho ta xác suất dw để vào thời điểm t tìm hạt phần tử thể tích dV bao quanh điểm có tọa độ  [4] r  dw   r , t  dV Hàm sóng hàm phức thân hoàn toàn ý nghĩa vật lý Theo cách giải thích Max Born mật độ xác suất  tìm thấy hạt  nguyên tố thể tích dV điểm có tọa độ r tỷ lệ với   (viết Ψ thay cho Ψr ,t  ), tức  ~    * Trong đó: + Nguyên tố thể tích dV chiều dx , hai chiều dxdy ba chiều dxdydz + * liên hiệp phức  VD: Ψ  e ix Ψ  e -ix Luận văn tốt nghiệp SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Từ cách giải thích hiểu  hàm mật độ xác suất, với ý nghĩa nhân với thể tích vùng không gian vô nhỏ lân cận điểm có tọa độ  r ta xác suất tìm thấy hạt vùng không gian đó: dw  ρdV~  dV Chú ý: Hàm sóng số phức âm mật độ xác suất (bình phương modul số phức) thực không âm Cách giải thích Born thừa nhận cho kết phù hợp với thực nghiệm 1.3 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG Ta có xác suất tìm thấy hạt nguyên tố thể tích dV là: dW  ρdV~  dV Xác suất tìm thấy hạt toàn không gian thể tích V mà hạt tồn phải Suy ra: W   ρdV   *dV  Đây điều kiện chuẩn hóa hàm sóng V V Như ta nói trên, số Ψ0 không phản ánh tính chất hạt Do ta nhân số với hàm sóng mà không làm ảnh hưởng đến trạng thái hạt Ta thừa nhận điều tiên đề Từ ta có:  ρdV      V dV  V  0  *dV  Đây công thức dùng để tính hệ số chuẩn hóa Ψ0 V Luận văn tốt nghiệp SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí CHƯƠNG TOÁN TỬ 2.1 ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 2.1.1 Định nghĩa Toán tử ánh xạ tác dụng lên hàm biến hàm thành hàm khác Aˆ    Trong đó: Aˆ toán tử Ψ  hàm số mô tả trạng thái vật lí hệ lượng tử Ta nói toán tử Aˆ tác dụng lên hàm Ψ cho hàm  2.1.2 Các ví dụ toán tử   - Phép nhân với tọa độ x Aˆ  x : Aˆ   x   - Phép lấy đạo hàm theo x  Aˆ  d  ˆ dψ  : Aψ  dx  dx   - Phép nhân với số Aˆ  h ( h  const ): Aˆ   h - Phép lấy liên hiệp phức: Aˆ   * 2.1.3 Toán tử tuyến tính Hầu toán tử học lượng tử toán tử tuyến tính Aˆ gọi toán tử tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện: Aˆ Ψ1  Ψ   Aˆ Ψ1  Aˆ Ψ Aˆ cΨ   cAˆ Ψ Ta viết gộp lại hai điều kiện trên: Aˆ c11  c2 2   c1 Aˆ 1  c2 Aˆ 2 2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ Cho toán tử Aˆ , Bˆ hàm số Ψ Ta có:     Dˆ Ψ  Aˆ  Bˆ Ψ   Bˆ  Aˆ Ψ  Aˆ Ψ  Bˆ Ψ Trong Dˆ toán tử hiệu Pˆ   Aˆ Bˆ   Aˆ Bˆ    Bˆ Aˆ    Bˆ Aˆ  Trong Pˆ tích hai toán tử SˆΨ  Aˆ  Bˆ Ψ  Bˆ  Aˆ Ψ  Aˆ Ψ  Bˆ Ψ Trong Sˆ toán tử tổng Luận văn tốt nghiệp SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Vậy lượng không giá trị lượng thấp dao động tử điều hòa lượng tử Sự tồn mức lượng không dao động tử điều hòa lượng tử biểu đặc trưng tính chất sóng hạt Vì xác nhận thực nghiệm “dao động không” có ý nghĩa lớn lao toàn môn học lượng tử [1] Bằng thực nghiệm, người ta chứng minh tồn lượng cho ánh sáng tán xạ lên tinh thể Ta biết ánh sáng bị tán xạ dao động nguyên tử mạng tinh thể Khi nhiệt độ giảm, biên độ dao động giảm dần theo học cổ điển, giới hạn T  K , biên độ dao động giảm không ánh sáng không bị tán xạ Tuy nhiên, thực nghiệm lại cho thấy giới hạn nhiệt độ thấp, cường độ tán xạ ánh sáng tiến tới giới hạn khác không Điều có nghĩa nhiệt độ [6] T  K , nguyên tử dao động Những dao động gọi dao động không Năng lượng không E0   kết vật lí quan trọng, cho ta biết lượng hệ mô tả dao động tử điều hòa không Các hệ vật lí, ví dụ nguyên tử mạng tinh thể chất rắn hay phân tử đa nguyên tử chất khí, có lượng không kể nhiệt độ K 5.1.2.3 Xác suất tìm thấy hạt Từ đồ thị hàm sóng (Hình 5.3) ta có nhận xét: Hàm sóng  x  n   không điểm Hàm sóng  x  n  1 lần x  Hàm sóng   x  n   hai lần Các điểm hàm sóng gọi điểm nút hàm sóng Số nút hàm sóng số lượng tử n Tính chất với n Vậy số lượng tử n số nút hàm riêng.[6] * Xét hạt trạng thái ( n  ): Ta có:  x   e 1  x   x    x0  Mật độ xác suất tìm thấy hạt là:  lt    x     lt '   Luận văn tốt nghiệp 2x e x  x0   x      x0  28 e  x      x0  SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí lt '   x  2 x   x0   e 0 x0  x0 Suy x  , lt đạt giá trị cực đại Do xác suất tìm thấy hạt Plt đạt giá trị cực đại điểm Trong học cổ điển, lượng thấp dao động tử E  tương ứng với hạt đứng yên vị trí cân x  , điểm này, xác suất tìm thấy hạt Pcđ  , điểm x  Pcđ  Còn học lượng tử, Plt  toàn miền biến thiên x đạt giá trị cực đại x  P Pcđ Plt x O Hình 5.4 Xác suất cổ điển xác suất lượng tử cho trạng thái với lượng cực tiểu E0 dao động tử * Xét hạt trạng thái kích thích thứ ( n  ) Ta có:  x   x e 1  x     x0  x0 x0  E1   Mật độ xác suất tìm thấy hạt trạng thái  x  là:  x   lt    x  2 x  x   e x0  4x  lt '   x0   x   x   x   x   x0 1  e 0 x   x0  Suy lt đạt cực tiểu x  đạt cực đại x   x0 Gải sử dao động tử điều hòa cổ điển có mức lượng E1   Ta có: Luận văn tốt nghiệp 29 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí x  a sin t     E  m a 2 E  E1 m a   2 3 a  x0 m  Từ hình 5.3 ta thấy học cổ điển, hạt tìm thấy khoảng  x  3; x0 xác suất tìm thấy hạt tiến tới giới hạn cực đại hai điểm quay lui x   x0 Còn học lượng tử, hạt tìm thấy toàn trục x Trong học cổ điển, xác suất tìm thấy hạt khoảng từ x đến x  dx là: dt T Pcđ  x dx  Trong đó: t  2 dx ; dt   v Từ ta có: Pcđ  x    Pcđ  x   Suy ra: P 'cđ  x   2a cost    2 a  x x  2 a  x  P 'cđ  x    x   Pcđ  1  2a 2x0 Như có khác rõ rệt động thái dao động tử cổ điển lượng tử Nhưng với n lớn, phân bố xác suất hai dao động tử cổ điển lượng tử gần giống Đường cong phân bố xác suất dao động tử cổ điển gần trùng với đường cong qua cực đại đường cong mật độ xác suất dao động tử lượng tử Với n   đường cong gần trùng Kết phù hợp với nguyên lí tương ứng, với n lớn, học lượng tử gần với học cổ điển.[2] Luận văn tốt nghiệp 30 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Hình 5.5 Đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt trạng thái ứng với n  20 5.1.2.4 Giải phương trình Schrödinger dao động tử điều hòa chiều phương pháp toán tử Phương trình (5.1) viết lại dạng sau:    d    mx    E  2m  i dx   (5.38) (Viết  thay cho   x  ) Ta giải phương trình (5.2) cách gọn cách sử dụng hai toán tử: toán   tử sinh a toán tử hủy a Hai toán tử xác định hệ thức sau:  a   d   imx   2m  i dx  (5.39)  a   d   imx   2m  i dx  (5.40) Có:  d   d   imx   imx   x    2m  i dx  2m  i dx     d     mx   m   x   2m  i dx     a a  Luận văn tốt nghiệp 31 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí  d   d   imx   imx   x    2m  i dx  2m  i dx     d     mx   m   x   2m  i dx     a a   Suy ra:     d    a a    mx     2m  i dx   (5.41)     d    a a    mx     2m  i dx   (5.42)    Từ (5.41) (5.42) suy ra: H  a  a         a a   Biểu thức H trở 2 nên đơn giản Ta viết lại phương trình (5.38) sau:       H   a  a    E   (5.43)       H   a  a    E (5.44)   Ta có:                H a    a  a  a   a    a  a a               a  a a    a  H        a E        H a   E   a  (5.45)                H a    a  a  a  a    a a a               a  a  a    a H        a E        H a   E   a  (5.46)   Luận văn tốt nghiệp 32   SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Từ (5.45) (5.46) ta thấy rằng: Nếu  nghiệm phương trình Schrödinger ứng   với lượng E , a   a  nghiệm phương trình ứng với  lượng E    E    Nói cách khác, tác dụng lên trạng thái  , toán tử a làm  tăng lượng E trạng thái lượng  , toán tử a làm giảm lượng trạng thái lượng  Hai toán tử gọi toán tử bậc thang   (ladder operator): a toán tử lên thang, a toán tử xuống thang.[4] Gọi  trạng thái ứng với mức lượng thấp E0   Đối với toán tử a ta có điều kiện sau: a x   (vì E0 thấp nhất) (5.47)  Nếu tác dụng n lần toán tử a lên hàm sóng  ta hàm sóng trạng thái thứ n: a n x    n x   (5.48)   tức là: a x    x  ; a a x    x  ;…  Từ điều kiện a x   ta có:  d   imx   x    2m  i dx  d  x  m   x  x  dx     x   A0 e  m x 2 Để tìm lượng E0 ta dùng phương trình Schrödinger (5.44) điều kiện (5.47)         x   E0  x   H  x    a  a      a   x          a a  x    x      x   E0  x  2  E0   (5.49) Từ công thức (5.47) ta tìm hàm sóng trạng thái kích thích thứ n m  n  n  x2  n  x   a     x   An a   e 2 Trong An hệ số chuẩn hóa tính theo công thức (5.29) Luận văn tốt nghiệp 33 (5.50) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Từ nhận xét ta có: Để tìm lượng trạng thái  n x  ta cần cộng E0 với n 1  En   n   2  (5.51) Như vậy, phương pháp toán tử ta tìm phổ lượng hàm sóng dao động tử điều hòa 5.2 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BA CHIỀU 5.2.1 Thế dao động tử điều hòa ba chiều học cổ điển kx kz ky Hình 5.4 Dao động tử điều hòa ba chiều học cổ điển.[7] Xét hạt khối lượng m dao động điều hòa theo ba phương vuông góc với hình 5.4 Giả sử độ cứng lò xo khác Thế hạt V  Vx  V y  Vz  Trong đó:  x  kx ; y  m ky ; z  m 1 m x2 x m y2 y  m z2 z 2 2 (5.52) kz m 5.2.2 Dao động tử điều hòa ba chiều học lượng tử Theo nguyên lí tương ứng ta có toán tử dao động tử điều hòa là: 1    V  x , y , z   m x2 x  m y2 y  m z2 z 2 2 (5.53) Phương trình Schrödinger dao động tử trường hợp là:  2  2  2 2   1     m x2 x  m y2 y  m z2 z    x, y , z   E  x, y, z      2   y z   2   2m  x Luận văn tốt nghiệp 34 (5.54) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Điều kiện biên đặt lên nghiệm phương trình (5.54)  x, y , z   x, y, z    Ta viết nghiệm phương trình (5.54) dạng tích hàm sóng chiều:   x, y, z    x  x  y  y  z  z  (5.55) Thay (5.55) vào (5.53) dùng phương pháp tách biến ta được:   2 x  x   m x2 x 2 x  x   Ex x  x  2m x 2 (5.56) 2   y  y   m y2 y 2 y  y   E y y  y  2m y (5.57)   2 z  z    m z2 z 2 z  z   Ez z  z  2m z (5.58)  Phương trình (5.56) giải phần 5.1.2.1, ta có: Exn x 1 x m x 1    x  nx   ;  xn x  x   e H n x  x  2  n x nx !   (5.59) Tương tự ta có nghiệm phương trình (5.57) phương trình (5.58) là: 1  E yn y   y  n y   ;  yn y  y   2  1  Ezn z   z  nz   ;  zn z  z   2  1 m y ny ny!   1 m z 2n z nz !    y2 e H yn y  y  (5.60)  z2 e H zn z  z  (5.61) Trong đó: x  m x ;  y   m y ;  z   m z;  H n x  x    1 e nx  x2 n  2 n z  z y y d n x e  x ny  y d e n z  z2 d e   ; H      e ;     ; H    e ny y nz z n n d xn x d y y d z nx   ; n y   ; nz   Từ (5.55), (5.59), (5.60) (5.61) ta có:  m 3 x y z    n x n y n z  x, y, z    3      Luận văn tốt nghiệp  2 n x  n y  n z     x2  y2   z2    e H n x  x H n y  y H n z  z   n !n !n !   x y z  35 (5.62) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí 1 1 1    En x n y n z  Exn x  E yn y  Ezn z   x  nx     y  n y     z  nz   2 2 2    (5.63) Từ (5.62) ta có nhận xét: ứng với ba số nx , ny , nz , có trạng thái dao động tử điều hòa Đặc biệt dao động tử đẳng hướng  x   y   z   , lượng toàn phần bằng:[6] Trong 3  En    n   2  (5.64) n  n x  n y  nz (5.65) Vậy En phụ thuộc vào tổng số lượng tử nx , ny nz Điều có nghĩa là, với n cho, có tổ hợp khác nx , ny nz Từ suy tất mức lượng, trừ mức lượng n  , suy biến (Hình 5.5) Dễ dàng tính độ bội suy biến Muốn vậy, n , ta cố định thêm số lượng tử nữa, nx chẳng hạn số ba nx , ny , nz số giá trị ny , nghĩa n  nx  ny biến đổi từ đến n  nx Lấy tổng biểu thức thu theo tất giá trị nx , tìm tổng số phép tổ hợp từ ba số lượng tử nx , ny , nz cho tổng nx  n y  nz  n , nghĩa tìm độ bội suy biến mức lượng[6] n  n  n nx 0 Luận văn tốt nghiệp x  1  n  1n  2 36 (5.66) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí nx  0 2 1  ny  2 nz  0 2 1 nx  0 1  ny  1 nz  0 1 nx  0  ny  nz  0 nx   ny  nz  0 Hình 5.5 Phổ lượng dao động tử điều hòa đẳng hướng học lượng tử.[7] Từ hình 5.5 ta thấy lượng dao động tử điều hòa ba chiều bị gián đoạn theo ba số lượng tử nx , ny , nz Các mức lượng có giá trị lượng  Giá trị lượng mức số lẻ nhân với  Mức lượng thấp E000   , ứng với nx  n y  nz  [7] Vì Emin  E000   nên nhiệt độ không tuyệt đối K, hạt không hoàn toàn trạng thái nghỉ Trạng thái ứng với lượng thấp E000   gọi trạng thái bản.[7] Lí lượng dao động tử khác không giải thích dựa nguyên lí bất định Nếu hạt có lượng thấp không động hạt không Nếu hạt không phải đứng yên vị trí cân – vị trí xác định Nhưng theo nguyên lí bất định ta xác định xác vị trí hạt Tương tự, động hạt không động lượng phải không, vi phạm nguyên lí bất định Heisenberg.[7] Luận văn tốt nghiệp 37 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí PHẦN KẾT LUẬN Bằng cách áp dụng phương pháp toán học, điều kiện hàm sóng, sử dụng toán tử, ta tìm phương trình Schrödinger ứng với dao động tử điều hòa chiều:   d m x      x   E  x   2   2m dx Giải phương trình phương pháp giải tích phương pháp toán tử, ta tìm kết hàm sóng lượng tương ứng dao động tử chiều là:  n x   n e 1  x   x n!  x0     x 1  H n   En    n   ; n  0,1,2,  2   x0  Còn dao động tử điều hòa ba chiều ta có:  m 3 x y z    n x n y n z  x, y, z    3      En n x y nz  2 n x  n y  n z     x2  y2   z2    e H n x  x H n y  y H n z  z   n !n !n !   x y z  1 1 1     Exn x  E yn y  Ezn z   x  nx     y  n y     z  nz   2 2 2     x  x Trong đó: H n  i  đa thức Hermite; i  xi  xi  m xi ; i  1, 2, ; x1  x; x2  y; x3  z ;  nx , ny nz số nguyên không âm Từ ta thấy lượng dao động tử điều hòa nhận giá trị gián đoạn Năng lượng cực tiểu dao động tử điều hòa khác không Khác với dao động tử điều hòa học cổ điển: lượng nhận giá trị liên tục nhận giá trị thấp Emin  Đối với dao động tử điều hòa chiều, giá trị lượng ứng với hàm sóng Còn dao động tử điều hòa ba chiều, trừ mức lượng E0 , mức lượng khác có suy biến tổ hợp ba số lượng tử nx , ny nz Vì mô hình dao động tử điều hòa có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực nên tiếp tục nghiên cứu mô hình này, cụ thể mô hình dao động tử điều hòa ba chiều mở rộng cho hệ thực dao động nguyên tử ion chất rắn Luận văn tốt nghiệp 38 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí PHỤ LỤC PHỤ LỤC [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ Chứng minh đẳng thức: (1.1) Nếu Cˆ toán tử hermitic phương trình sau phải thỏa mãn:   Cˆ d x   Cˆ  d x  * * x * (1.2) x Từ (1.1) ta có: [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ  Cˆ  -i[ Aˆ ,Bˆ ]  Cˆ  i[ Bˆ ,Aˆ ]     * Suy Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ   Xét vế trái phương trình (1.1) thay Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ ta được:   VT   *Cˆ d  x    * i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ  d  x  x  x               i * Bˆ Aˆ   Ψ * Aˆ Bˆ  d  x    i Aˆ  Bˆ * *  Bˆ  Aˆ * * d  x  x x          * *   i Aˆ * Bˆ * *  Bˆ * Aˆ * * d  x    i  Aˆ Bˆ   Bˆ Aˆ   d  x    x x       *    -i Bˆ Aˆ  Aˆ Bˆ * d  x    Cˆ * * d  x  x x  VP Gọi A B giá trị trung bình hai biến số động lực A B Độ lệch khỏi giá trị trung bình: ΔA  A  A ΔB  B  B Những đại lượng biểu diễn toán tử: ΔAˆ  Aˆ  A ΔBˆ  Bˆ  B Từ ta có:       [ ΔAˆ ,ΔBˆ ]  [ Aˆ  A ,Bˆ  B ]  Aˆ  A Bˆ  B  Bˆ  B Aˆ  A  Aˆ Bˆ -Aˆ B  A Bˆ  A B -Bˆ Aˆ  Bˆ A  B Aˆ -B A  Aˆ Bˆ -Bˆ Aˆ  [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ   Từ suy ra: Cˆ  i[ Aˆ ,Bˆ ]  i Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ Luận văn tốt nghiệp 39 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí PHỤ LỤC Một số tính chất chuyển động chiều - Tính chất chẵn lẻ nghiệm Xét trường hợp hạt chuyển động dọc theo trục Ox , hạt V  x  phương trình Schrödinger có dạng:   d 2  x   V  x   x   E  x  2m dx (2.1) Nếu hàm chẵn tọa độ ( V x   V  x  ) nghiệm phương trình (2.1) hàm chẵn lẻ tọa độ.[3] Thay x   x vào (1) ta có:   d 2  x   V  x   x   E  x  2m dx (2.2) Vì V x   V  x  nên (2) trở thành:   d 2  x   V  x   x   E  x  2m dx (2.3) Ta thấy   x    x  phương trình (2.1) (2.3) biểu diễn trạng thái ứng với trị riêng E, chúng khác số Nghĩa là:[7]   x   k  x  (2.4) Bây ta thay  x  x vào phương trình (2.3) ta lại phương trình (2.1) suy ra:   x   k  x  (2.5) Từ (2.4) (2.5) ta có k   k  1 Suy  x     x  Vậy   x  hàm chẵn lẻ tọa độ - Các trị riêng lượng thuộc phổ gián đoạn phương trình Schrödinger chiều không bị suy biến Giả sử ứng với trị riêng E có hai hàm riêng  x   x  khác Vì hai hàm thỏa phương trình (2.1) nên ta có:[1]  1' '  x  2m  2''  x  V x   E     x    x  Từ (2.6) ta có: Luận văn tốt nghiệp 40 (2.6) SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí ' ''  1'   2    1'   2'  const (2.7) Vì hàm  x   x  thuộc phổ gián đoạn nên ta có điều kiện         Do const  ta viết phương trình (2.7) dạng:  1'  2'  1  Từ suy ra:   x   const  x  (2.8) Từ công thức (2.8) ta thấy hàm  x   x  khác số nhân nên chúng biểu diễn trạng thái hạt Vậy trị riêng E phổ gián đoạn không bị suy biến - Hàm riêng phụ thuộc số n n  0, 1, 2,  có đồ thị cắt trục hoành n điểm Ta đánh số hàm riêng trị riêng thuộc phổ gián đoạn phương trình Schrödinger (2.1) số n n  0, 1, 2,  cho trị riêng E nhỏ ứng với n  Đối với vác hàm riêng  n x  tương ứng với trị riêng En thuộc phổ gián đoạn, ta có định lí sau đây:[1] Định lí dao động: Hàm riêng  n x  cắt trục hoành n lần giá trị x hữu hạn Luận văn tốt nghiệp 41 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] hyperphysics.phy-astr.gsu.edu [2] Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, 1999 [3] Nguyễn Xuân Tư, Giáo trình Cơ học lượng tử, Đại học Cần Thơ, 2006 [4] Hoàng Dũng, Nhập môn Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, 1999 [5] Phan Đình Kiến, Giáo trình Cơ học lượng tử, NXB Đại học Sư phạm, 2005 [6] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1996 [7] www.eng.fsu.edu Luận văn tốt nghiệp 42 [...]... chuyển động một chiều như: các trị riêng năng lượng En không bị suy biến; hàm riêng  n x  có tính chẵn lẻ xác định và phụ thuộc vào n; đồ thị hàm  n x  cắt trục hoành tại n điểm.[4] (Phụ lục 2) 5.1.2.2 Năng lượng không Từ công thức (5.19) suy ra mức năng lượng nhỏ nhất của dao động tử điều hòa lượng  tử là E0  0 2 Đây là một điểm khác biệt giữa dao động tử điều hòa cổ điển và dao động tử điều hòa. .. Vật lí Vậy năng lượng không là giá trị năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa lượng tử Sự tồn tại của mức năng lượng không của dao động tử điều hòa lượng tử là một trong những biểu hiện đặc trưng nhất về tính chất sóng của hạt Vì thế sự xác nhận bằng thực nghiệm các dao động không” có ý nghĩa lớn lao đối với toàn bộ môn cơ học lượng tử [1] Bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh được sự tồn tại... 2a 2x0 3 Như vậy có một sự khác nhau rõ rệt trong động thái của dao động tử cổ điển và lượng tử Nhưng với các n lớn, thì sự phân bố xác suất của hai dao động tử cổ điển và lượng tử gần giống nhau Đường cong phân bố xác suất của dao động tử cổ điển gần như trùng với đường cong đi qua các cực đại của đường cong mật độ xác suất của dao động tử lượng tử Với n   các đường cong đó gần trùng nhau Kết quả... ngay ở nhiệt độ [6] T  0 K , các nguyên tử vẫn dao động Những dao động này gọi là dao động không Năng lượng không E0   là kết quả vật lí rất quan trọng, vì nó cho ta biết năng 2 lượng của một hệ được mô tả bởi một dao động tử điều hòa không thể bằng không Các hệ vật lí, ví dụ như các nguyên tử trong mạng tinh thể của một chất rắn hay trong các phân tử đa nguyên tử của chất khí, không thể có năng lượng... về việc giải phương trình (4.14) Hạt ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng (4.16) có giá trị năng lượng En xác định Những trạng thái được mô tả bởi hàm sóng (4.16) được gọi là những trạng thái dừng Và phương trình (4.14) được gọi là phương trình Schrödinger dừng Luận văn tốt nghiệp 17 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí CHƯƠNG 5 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 5.1.1 Dao động. .. xét về năng lượng của dao động tử điều hòa cổ điển: + Năng lượng toàn phần E là một hằng số không âm + E  0 nếu x0  0 Vậy nếu hạt đứng yên tại vị trí cân bằng thì năng lượng của hạt bằng 0 + Phổ năng lượng là phổ liên tục Vì a có thể nhận các giá trị tùy ý Luận văn tốt nghiệp 18 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Vx V Hình 5.1 Thế năng của dao động tử điều hòa một chiều Hạt chỉ có thể dao. .. Dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học cổ điển Xét một hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x quanh vị trí cân bằng (chọn xcb  0 ) dưới tác dụng của lực hồi phục F   kx (hệ số đàn hồi k  0 ) Một hệ như vậy gọi là dao động tử điều hòa Theo định luật II Newton ta có: F  ma Hay:  kx  mx k  x  x  0 m Nghiệm của phương trình trên có dạng: x  a sin t    Trong đó   k m Động năng... tìm thấy hạt trong cơ học cổ điển Luận văn tốt nghiệp 19 SVTH: Phạm Thị Ngọc Mai Ngành Sư phạm Vật lí Đồ thị hàm Pcđ x dx được vẽ trên hình 2 Nhận xét: đường cong mô tả hàm này bị giới hạn giữa hai điểm  x0 và x0 5.1.2 Dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử Theo nguyên lí tương ứng, toán tử thế năng có dạng: 1 1 m 2 x 2 Vˆ  kxˆ 2  kx 2  2 2 2 Phương trình Schrödinger cho dao động. .. biết rằng ánh sáng bị tán xạ do dao động của các nguyên tử trong mạng tinh thể Khi nhiệt độ giảm, biên độ của những dao động này giảm dần theo cơ học cổ điển, ở giới hạn T  0 K , biên độ dao động giảm về không và do đó ánh sáng không bị tán xạ Tuy nhiên, thực nghiệm lại cho thấy ngay cả ở giới hạn nhiệt độ thấp, cường độ tán xạ ánh sáng tiến tới một giới hạn khác không Điều đó có nghĩa là ngay ở nhiệt... gián đoạn hay liên tục.[3] Dựa vào phổ của trị riêng ta phân toán tử thành hai loại: Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của toán tử đó.[3] 2.4 TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC) 2.4.1 Định nghĩa toán tử hermitic Cho toán tử Aˆ và các hàm số Ψ và  bất kì Aˆ được gọi là toán tử hermitic nếu hệ thức sau được thỏa mãn:[3]   * ˆ ˆ Ψ * d  ... DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 18 5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 18 5.1.1 Dao động tử điều hòa chiều học cổ điển 18 5.1.2 Dao động tử điều hòa chiều học lượng tử 20 5.2 DAO ĐỘNG... Mai Ngành Sư phạm Vật lí CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 5.1.1 Dao động tử điều hòa chiều học cổ điển Xét hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x quanh vị trí... Từ công thức (5.19) suy mức lượng nhỏ dao động tử điều hòa lượng  tử E0  0 Đây điểm khác biệt dao động tử điều hòa cổ điển dao động tử điều hòa lượng tử Vì theo học cổ điển, hạt có lượng nhỏ