Phương pháp dạy học toán cho học sinh trung bình

Phương pháp dạy học tốn cho học sinh trung bình Một hoạt động học sinh học tập mơn tốn trường phổ thơng hoạt động giải toán Đây hoạt động phức tạp bao gồm nhiều thành tố tham gia, mà lâu chuyên gia lĩnh vực phương pháp dạy học nghiên cứu rõ Thực tiễn dạy học lâu nước ta, theo nội dung, chương trình SGK ban hành, hoạt động học giải tốn học sinh đối tượng trung bình diễn theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức; làm có hướng dẫn; tự làm theo mẫu; độc lập làm bài, tuân theo trình nhận thức chung từ Algôrit đến Ơritstic Để thích ứng với q trình học tập đa số học sinh, kinh nghiệm giáo viên dạy giỏi cho thấy, trình dạy phải tiến hành theo giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Quan sát, tiếp thu Giáo viên giúp học sinh nắm kiến thức bản, tối thiểu, cần thiết • Giáo viên cần kết hợp vừa giảng vừa luyện, phân tích chi tiết, cụ thể, giúp học sinh hiểu khái niệm không hình thức • Đồng thời với cung cấp kiến thức củng cố khắc sâu thơng qua ví dụ phản ví dụ Chú ý phân tích sai lầm thường gặp • Tổng kết tri thức tri thức phương pháp có Đây giai đoạn khó khăn nhất, giai đoạn làm quen tiến tới hiểu kiến thức mới, đồng thời giai đoạn quan trọng nhất, giai đoạn cung cấp kiến thức chuẩn cho học sinh Kinh nghiệm cho thấy hoàn thành tốt giai đoạn học sinh tiếp thu tốt giai đoạn sau Giai đoạn 2: Làm theo hướng dẫnGiáo viên cho ví dụ tương tự học sinh bước đầu làm theo hướng dẫn, đạo giáo viên Học sinh bước đầu vận dụng hiểu biết vào giải tốn Giai đoạn thường cịn lúng túng sai lầm, học sinh chưa thuộc, chưa hiểu sâu sắc Tuy nhiên giai đoạn có tác dụng gợi động cho giai đoạn Giai đoạn 3: Tự làm theo mẫu Giáo viên tập khác, học sinh tự làm theo mẫu mà giáo viên đưa giai đoạn giai đoạn Giáo viên tạm đứng Ở giai đoạn học sinh độc lập thao tác Học sinh hiểu hồn thành tập, học sinh chưa hiểu cịn lúng túng Giáo viên nắm bắt việc học tập mức độ hiểu lớp cá nhân thông qua giai đoạn này, từ đề biện pháp thích hợp cho đối tượng Giai đoạn có tác dụng gợi động trung gian Giáo viên thường vận dụng giai đoạn tập nhà Giai đoạn 4: Độc lập làm tập Giáo viên nên cho học sinh: • Hoặc tập tương tự khác để học sinh làm lớp Hoặc tập nhà tương tự với học, nhằm rèn luyện kĩ • Hoặc kiểm tra thử • Hoặc đề thi năm học trước, nhằm kích thích học tập mơn Giai đoạn có tác dụng gợi động kết thúc nội dung dạy học Giáo viên thường vận dụng giai đoạn kiểm tra Cách dạy học toán theo bốn giai đoạn trên, chưa thoát ly cách dạy học truyền thống, phần tỏ có hiệu thiết thực SGK biên soạn lâu nay, phù hợp với hình thức dạy học theo tiết (45 phút), phù hợp với trình độ nhận thức đối tượng học sinh diện đại trà học tập mơn tốn Để dạy học theo bốn giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải: • Hiểu sâu sắc kiến thức tri thức phương pháp • Trong soạn bài, giáo viên cần chuẩn bị bốn loại tập cho giai đoạn, bên cạnh cịn phải biết phân bậc tập cho đối tượng học sinh lớp • Và phải biết điều hành đối tượng học sinh lớp hoạt động cách giao cho loại đối tượng dạng tập phù hợp với nhận thức họ, có học sinh động lơi • HỌC TỐN ĐỂ LÀM GÌ? Nhiều người nghĩ học tốn để có kiến thức tốn học mà dùng đời sống hàng ngày để học môn học khác, để học môn KHTN kỹ thuật Nghĩ khơng sai có lẽ chưa đủ.Trong thời đại ngày nay, GD-ĐT người ta u cầu cao việc rèn luyện óc thơng minh sáng tạo, tính động thích nghi với thay đổi nhanh đến chóng mặt, nên tốn học vốn coi " thể dục trí não"," nữ hoàng khoa học", phải phát huy hai vai trị đó; tốn học khơng phải rèn óc thông minh sáng tạo để phục vụ cho lĩnh vực " phi tốn " Các mơn học khác có vai trị rèn óc thơng minh sáng tạo, tác dụng không lan tỏa sắc cạnh tác dụng mơn tốn mơn tốn loại bỏ hết khía cạnh vật chất giới khách quan, giữ lại để nghiên cứu quan hệ số lượng quan hệ lơgic Vì tốn học trùm lên khoa học nghiên cứu dạng vận động khác nên toán học gần gũi với lôgic triết học Nhiều người thấy có kiến thức tốn học mà quan tâm đến tư nhân cách người làm tốn Ví dụ: Nếu tốn học bỏ chứng minh phần đảo, hay bỏ tập phần biện luận dễ học cho người học, có lẽ nhiều Vì "chứng minh phần đảo" nhằm mục đích rèn cho tư kín kẽ chiều, nghĩ phải nghĩ lại Còn "biện luận" nhằm làm cho " chủ quan - khách quan phù hợp vói nhau, biện luận phải vét cho hết trường hợp xảy ra, không phiến diện bỏ qua trường hợp Các mơn học khác giáo dục cho học sinh phẩm chất vậy, mơn tốn với ưu địi hỏi tính xác cao độ, khả phục vụ khoa học khác rèn luyện cho người học có đựoc phẩm chất có chiều sâu - rộng hơn, quy củ Nói tóm lại, học tốn khơng để có kiến thức tốn học mà cịn để phát triển tư sáng tạo nhân cách Hai mặt tác động lẫn nhau: tư sắc bén, nhân cách tốt đẹp nắm kiến thức sâu, nắm kiến thức sâu mài sắc tư gia cố nhân cách MỘT SỐ ĐIỀU NÊN VÀ KHƠNG NÊN TRONG DẠY HỌC TỐN Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (1) Tác giả: Prof Nguyen Tien Zung (Nguyễn Tiến Dũng) Trong loạt này, viết dần số quan điểm điều nên không nên giảng dạy Những quan điểm rút từ kinh nghiệm thân, việc nghiên cứu tài liệu giáo dục, trao đổi với đồng nghiệp sinh viên, suy nghĩ để dạy học tốt Tất nhiên có quan điểm tơi cịn phiến diện Xin mời người trao đổi, viết lên quan điểm kinh nghiệm Tơi chủ yếu nói việc dạy tốn, nhiều điểm áp dụng cho hầu hết môn học khác Tôi dùng từ “giảng viên” để giảng viên đại học lẫn giáo viên phổ thông, từ “học sinh” (student) để học sinh sinh viên hay học viên cấp học, từ phổ thông sau đại học Tôi viết không theo thứ tự đặc biệt Nên: Thỉnh thoảng thay đổi mơn dạy Nếu dạy mơn nhiều lần, cải tiến thường xuyên phương pháp nội dung dạy mơn Khơng nên: Dạy năm qua năm khác mơn, với giáo trình nhiều năm không thay đổi Các chức vụ quản lý lãnh đạo thường có nhiệm kỳ, thường có nguyên tắc không làm nhiệm kỳ vị trí Lý để tạo thay đổi cải tiến thường xuyên, tránh trì trệ Ngay việc dạy học vậy: người mà dạy nhiều năm thứ, dễ dẫn đến nhàm chán trì trệ Để tránh chuyện đó, có sở đại học có qui định mơn học có nhiệm kỳ: mà dạy mơn 4-5 năm phải giao cho người khác đảm nhiệm, trừ trường hợp khơng tìm người thay Nhiều khoa tốn có phân chia việc dạy mơn cho tổ mơn, ví dụ mơn “phương trình vi phân” dành cho người tổ mơn phương trình vi phân dạy Việc phân chia có lợi đảm bảo chất lượng dạy,đặc biệt điều kiện trình độ giảng viên nói chung cịn thấp, phải “chun mơn hóa” việc dạy để đảm chất lượng tối thiểu Tuy nhiên có điểm hạn chế, tạo xu hướng người tổ môn biết chun ngành hẹp đấy, tầm nhìn khơng mở rộng Ỏ số trường đại học tiên tiến, nơi có nhiều giảng viên trình độ cao (và với ngun tắc là giáo sư hay giảng viên cao cấp đủ trình độ để dạy mơn mơn tốn bắt buộc bậc cử nhân), công việc giảng dạy không phân chia theo tổ môn hẹp vậy, mà giảng viên (cao cấp) đăng ký dạy mơn bậc cử nhân Tất nhiên, việc thay đổi mơn dạy địi hỏi giảng viên phải cố gắng việc chuẩn bị giảng (mỗi lần đổi môn dạy, lần phải chuẩn bị giảng gần từ đầu), đổi lại làm tăng trình độ thân giảng viên, giúp cho giảng viên tìm hiểu (mà khơng đổi mơn dạy khơng tìm hiểu, sức ỳ) Đặc biệt môn bậc cao học: việc chuẩn bị giảng cho môn cao học giúp ích trực tiếp cho việc nghiên cứu khoa học giảng viên Tơi có số kinh nghiệm cá nhân việc Ví dụ lần năm 1999 nhận dạy học kỳ cao học hệ động lực Hamilton, trình đọc tài liệu để chuẩn bị giảng cho môn đó, tơi phát số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn địa phương hệ động lực chưa nghiên cứu, điều thúc đẩy nghiên cứu số kết tốt Năm 2008 nhận dạy môn đại số (mở rộng trường đại số giao hốn) cho sinh viên tốn năm thứ 4, trước tơi khơng đụng chạm đến thứ Việc dạy môn đại số giúp nắm thêm số kiến thức đại số, ví dụ hiểu thêm ý nghĩa tính chất Noether (đây tính chất đặc trưng “đại số”, đối ngược với “giải tích”) Tất nhiên có nhiều người, điều kiện cơng việc, phải dạy mơn (ví dụ mơn Tốn lớp 12) nhiều năm Để tránh trì trệ trường hợp đó, cần thường xun cải tiến phương pháp nội dung giảng dạy (đưa vào ví dụ minh họa tập từ thực tế tại, sử dụng công nghệ cơng cụ học tập mới, tìm cách giải thích dễ hiểu hơn, v.v.) Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (2) Nên: Dạy kiểm tra kiến thức học sinh theo lối “học để hiểu” Không nên: Tạo cho học sinh thói quen học vẹt, nhớ mà khơng hiểu Các nhà giáo dục học thần kinh học giới làm nhiều phân tích thí nghiệm cho thấy, óc người “hiểu” (tức “make sense” đó, liên tưởng với kiến thức thông tin khác có sẵn não) dễ nhớ (do thiết lập nhiều “dây nối” liên quan đến kiến thức mạng thần kinh não — neuron thần kinh có hàng chục nghìn dây nối đến neuron khác), cố nhồi nhét thông tin riêng lẻ vào não (kiểu học vẹt) mà không liên hệ với kiến thức khác có não, thơng tin khó nhớ, dễ bị não đào thải Thực môn học cần “hiểu” “nhớ”, tỷ lệ “hiểu” “nhớ” môn khác có khác nhau: ví dụ ngoại ngữ khơng có phức tạp khó hiểu cần nhớ nhiều (tất nhiên để nhớ câu chữ ngoại ngữ phải liên tưởng câu chữ với hình ảnh hay ý nghĩa chúng với thứ khác có não), tốn học ngược lại: khơng cần nhớ nhiều lắm, phải hiểu kiến thức, trình hiểu địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Có cơng thức định nghĩa tốn mà qn tự tìm lại dùng hiểu chất cơng thức định nghĩa đó, cịn nhớ cơng thức định nghĩa vẹt mà khơng hiểu nó, khơng dùng nó, khơng người chưa biết Ví dụ cơng thức tính Christoffel symbol cho liên thông Riemann Riemannian metric công thức dài, chẳng nhớ xác lâu “mang tiếng” người làm hình học vi phân: lần đụng đến xem lại, nhớ lúc, lại qn Nhưng điều khơng làm tơi băn khoăn, tơi hiểu chất Christoffel symbol tính chất liên thơng Riemann, từ tự nghĩ lại cơng thức cần thiết (tốn vài phút) tra internet Sinh viên ngày (là chuyên gia ngày mai) tra cứu nhanh định nghĩa, cơng thức, v.v., để hiểu chúng phải tự hiểu, khơng có máy móc hiểu hộ Cách 5-10 năm, theo thông lệ người dạy trước tôi, thường không cho phép sinh viên mang tài liệu vào phòng thi kỳ thi cuối học kỳ, đề thi hay có câu hỏi lý thuyết (tức phát biểu định nghĩa hay định lý điểm) Nhưng thời đại mới, việc nhớ y ngun định nghĩa định lý có giá trị, mà phải hiểu sử dụng chúng Bởi năm gần đây, kỳ thi cho phép học sinh mang tài liệu vào phòng thi, đề thi khơng cịn câu hỏi “phát biểu định lý” Thay vào tập (tương đối đơn giản, thường gần giống có tài liệu thay tham số) để kiểm tra xem học sinh có hiểu sử dụng kiến thức khơng Về mặt hình thức, chương trình học Việt Nam (kể bậc phổ thông lẫn bậc đại học) nặng, nặng “nhớ” mà nhẹ “hiểu”, trình độ trung bình học sinh Việt Nam yếu so với giới (tất nhiên có học sinh giỏi, tỷ lệ học sinh giỏi thực ít, khó so với giỏi phương Tây) Vấn đề người Việt Nam sinh thông minh, mà điều kiện phương pháp giáo dục, trẻ em gốc Việt Nam lớn lên nước ngồi thường thành cơng đường học hành Hiện tượng phổ biến Việt Nam học sinh học thuộc lòng “kiến thức” trước kỳ kiểm tra, sau kiểm tra xong “chữ thầy trả thầy” Việt Nam cần cải cách chương trình giáo dục theo hướng tăng “hiểu” lên, giảm “học gạo”, “nhớ vẹt” Tơi có vấn nhiều sinh viên tốt nghiệp loại giỏi ngành toán Việt Nam, hỏi số kiến thức nhiều em lại Lỗi em mà có lẽ hệ thống giáo dục Nhiều thầy giáo khuyến khích học sinh làm kiểm tra giống hệt lời giải mẫu mình, làm kiểu khác đi, thú vị cách thầy có lại bị trừ điểm Tơi chứng kiến trường hợp sinh viên đạt điểm thi 7-8 lại giỏi sinh viên đạt điểm thi 9-10 kiểu chấm thi Kiểu chấm điểm khuyến khích học vẹt khơng khuyến khích sáng tạo hiểu biết Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (3) Nên: Dạy nhất, nhiều công dụng Không nên: Mất nhiều thời vào thứ khơng dùng đến Trên đời có nhiều để học, thời gian sức lực có hạn, ln phải lựa chọn xem nên học (hay dạy học) Nếu phung phí nhiều thời gian vào cơng dụng (hoặc chí phản tác dụng, ví dụ lý thuyết trị hay kinh tế trái ngược với thực tế), khơng cịn đủ thời gian để học (hay dạy học) quan trọng hơn, hữu ích Tất nhiên, mức độ “quan trọng, hữu ích” kiến thức người khác khác nhau, phụ thuộc vào nhiều yếu tố thời gian, hoàn cảnh, sở trường, v.v Ví dụ học nói viết tiếng Việt cho đàng hồng khơng thể thiếu với người Việt, lại không cần thiết với người Nga Những người muốn làm nghề tốn phải học nhiều tốn, cịn sinh viên đại học ngành khác nói chung cần học số kiến thức toán cao cấp mà cần cơng việc họ Những người muốn làm tốn ứng dụng, ngồi mơn tốn, cần phải học mơn mà họ định mang tốn ứng dụng vào Ngay mơn tốn, khơng phải kiến thức quan trọng Và “độ quan trọng” “độ phức tạp” hai khái niệm khác nhau: khơng phải quan trọng phức tạp khó hiểu, khơng phải rắm rối khó hiểu quan trọng Giảng viên cần tránh dẫn dắt học sinh lao đầu vào rắm rối phức tạp cơng dụng Thay vào đó, cần dành nhiều thời gian cho bản, nhiều công dụng Nếu vừa vừa khó, lại cần dành đủ thời gian cho nó, khí nắm bắt tức nắm bắt cơng cụ mạnh Một ví dụ đạo hàm tích phân Đây khái niệm vơ quan trọng tốn học Học sinh cần hiểu định nghĩa, chất công dụng chúng, nắm số nguyên tắc cơng thức đơn giản, ví dụ ngun tắc Leibniz cho đạo hàm tích, hay cơng thức “đạo hàm sin x cos x” Tuy nhiên bắt học sinh học thuộc hàng trăm công thức tính đạo hàm tích phân khách nhau, tốn thời gian vơ ích phần lớn cơng thức thức khơng dùng đến sau này, dùng đến tra cứu dễ dàng Một lần tơi thấy có sách tiếng Việt tính tích phân cho học sinh, dày 150 trang, với nhiều cơng thức phức tạp dài dịng (ví dụ cơng thức tính tính phân hàm số có dạng thương hai biểu thức lượng giác), mà người làm toán chuyên nghiệp cần đến Thay tốn nhiều thời gian vào công thức phức tạp mà không cần dùng đó, học thứ khác có ích Một lần nhà xuất Springer có lần nhờ làm phản biện cho sách hình học vi phân ứng dụng Tơi khun Springer khơng in sách đó, lý sách chứa nhiều khái niệm mà sách khơng dùng đến Ví dụ khái niệm “không gian Lindeloff” đưa vào đầu sách, phát biểu thành định nghĩa có đánh số hẳn hoi (chứ nhắc qua “remark”), khơng dùng đến lúc sách, không hiểu người viết sách đưa định nghĩa vào sách để làm Một ví dụ khác: bất đẳng thức Có bất đẳng thức “có tên tuổi”, khơng phải “khó”, mà có ý nghĩa (nó xuất vấn đề hình học, số học, phương trình vi phân, v.v.) Chứ học đống hàng ngàn bất đẳng thức mà chúng dùng để làm gì, phí thời gian Phần lớn bất đẳng thức (không kể bất đẳng thức có tính tổ hợp) chứng minh dễ dàng phương pháp bản, phương pháp dùng đạo hàm sai phân Phương pháp học sinh phổ thơng học được, thay vào học sinh lại học kiểu mẹo mực để chứng minh bất đẳng thức Các mẹo mực có cơng dụng, dùng cho tốn khơng dùng cho tốn khác (bởi “mẹo mực” “phương pháp”) “Mẹo mực” làm cho sống thêm phong phú, nhiều thời gian vào “mẹo mực” khơng cịn thời gian cho hơn, giúp tiến xa Như công nghệ, có cải tiến đèn dầu đến khơng thể trở thành đèn điện Hồi cịn nhỏ, có lần tơi thi học sinh giỏi (lớp ?), có tốn tìm cực đại Tơi dùng đạo hàm tính điểm cực đại, có bạn khác lớp biết làm Cách làm chúng tơi tự đọc sách mà không dạy Nhưng viết lời giải lại phải giả vờ “đốn mị” điểm cực đại, viết hàm số dạng số (giá trị điểm đó) cộng với biểu thức hiển nhiên khơng âm (ví dụ có dạng bình phương) điểm, viết đạo hàm hết điểm Nếu thầy giáo trừ điểm học sinh, học sinh giải thi phương pháp “cơ bản” “khơng có sách thầy”, điều góp phần làm cho học sinh học mẹo mực, thiếu Qua vấn số sinh viên đại học cao học ngành toán Việt Nam, thấy họ học nhiều môn “cao cấp”, thiếu kiến thức Ví dụ họ học giải tích hàm, với định lý trừu tượng khó Nhưng họ lại khơng biết cơng thức Parceval cho chuỗi Fourier gì, chuỗi Fourier khái niệm giải tích nhiều ứng dụng tốn Tơi khơng có ý nói giải tích hàm “khơng bản” Nó thứ cần thiết Nhưng khái niệm định lý giải tích hàm học cách hình thức, khơng có liên hệ với chuỗi Fourier hay với ví dụ cụ thể khác, học “trên mây gió” Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (4) Nên: Giải thích chất cơng dụng khái niệm cách trực giác, đơn giản có thể, dựa liên tưởng tới mà học sinh biết Không nên: Đưa khái niệm định nghĩa hình thức, phức tạp, tối nghĩa Các khái niệm toán học quan trọng có mục đích ý nghĩa chúng tạo Và khơng có khái niệm tốn học quan trọng mà thân q khó đến mức khơng thể hiểu Nó trở nên khó hai trường hợp: 1) người học chưa có đủ kiến thức chuẩn bị trước học khái niệm đó; 2) giải thích cách q hình thức, rắm rối khó hiểu Trong trường hợp thứ nhất, người học phải hướng tới học kiến thức chuẩn bị (ví dụ trước học q trình ngẫu nhiên phải có kiến thức sở xác suất giải tích) Trong trường hợp thứ hai, lỗi thuộc người dạy học người viết sách dùng để học Các nghiên cứu thần kinh học (neuroscience) cho thấy nhớ “ngắn hạn” não nhỏ (mỗi lúc chứa khoảng đơn vị thơng tin ?), cịn nhớ dài hạn chạy chậm Thế đơn vị thơng tin ? Tơi khơng có định nghĩa xác đây, ví dụ dịng chữ “TON CHEVAL EST BANAL” người Pháp câu tiếng Pháp chứa khơng q đơn vị thông tin, dễ nhớ, người Việt khơng biết tiếng Pháp dịng chữ chứa đến hàng chục đơn vị thơng tin – chữ đơn vị thông tin – khó nhớ Một định nghĩa tốn học, dài chứa nhiều đơn vị thông tin đó, học sinh khó khăn để hình dung tồn định nghĩa đó, khó hiểu định nghĩa Muốn cho học sinh hiểu khái niệm mới, cần phát biểu cách cho dùng đến lượng đơn vị thơng tin (khơng q ?) Để giảm thiểu lượng đơn vị thông tin mới, cần vận dụng, liên tưởng tới mà học sinh biết, dễ hình dung Đấy cách mà “cha đạo” giảng đạo cho “con chiên”: dùng ngôn ngữ giản dị, mà chiên hiểu được, để giảng giải “tư tưởng lớn” Khi có khái niệm phức tạp, phải “chặt” thành khái niệm nhỏ đơn giản hơn, dạy học khái niệm đơn giản trước, xây dựng khái niệm phức tạp sở khái niệm đơn giản (sau biến khái niệm đơn giản thành “một đơn vị thơng tin”) Ví dụ: khái niệm “nhóm” Có (ít nhất) cách định nghĩa khác nhóm Cách 1: Một nhóm tập hợp, với phép tính (phép nhân phép nghịch đảo), phần tử đặc biệt (phần tử đơn vị), thỏa mãn 4-5 tiên đề Cách 2: nhóm tập hợp “đối xứng” (hay nói “rộng hơn” phép biến đổi bảo tồn số tính chất) vật Cách xác mặt tốn học, dài, khó nhớ, khó hiểu với người gặp khái niệm nhóm lần đầu Cách trực giác hơn, cho nhiều ví dụ minh họa cụ thể (ví dụ nhóm đối xứng hình lập phương, nhóm biến đổi tuyến tính R3, v.v.) Tuy cách thứ hai “thiếu chặt chẽ” tốn học (khơng thấy phép nhân đâu định nghĩa – thực phép nhân chẳng qua phép “composition” tự nhiên đối xứng hay biến đổi), phản ánh chất vấn đề khái niệm nhóm, cần dùng lượng thơng tin nhiều so với cách Tất nhiên toán học cần chặt chẽ logic Nhưng chặt chẽ logic đến sau hiểu chất vấn đề (học sinh hiểu định nghĩa 2, hiểu định nghĩa chẳng qua nhằm hình thức hóa cách chặt chẽ định nghĩa 2), ngược lại Nói theo nhà tốn học tiếng V.I Arnold, định nghĩa tốt ví dụ tốt Định nghĩa mà khơng có ví dụ minh họa “đáng ngờ”.Đi kèm với khái niệm mới, định nghĩa mới, ln cần ví dụ minh họa (hay tập) cụ thể để thể chất, ý nghĩa khái niệm, định nghĩa Chẳng hạn khái niệm đa tạp khả vi Ví dụ minh họa tiêu biểu (và có từ “atlas” định nghĩa đa tạp) bề mặt trái đất (hình dung mặt cầu) với tệp đồ phủ tồn trái đất Một ví dụ tự nhiên khác đa tạp khả vi, tập tất trạng thái vị trí vật thể (như máy bay, ô tô, cốc chén, …) Nếu định nghĩa cấu trúc đa tạp khả vi “một lớp tương đương atlas khả vi” mặt hình thức tốn học, rắm rối khó hiểu, thực tế cần atlas khả vi đủ Có khái niệm tốn học “rất khó hiểu”, khơng phải thân “q khó hiểu”, mà trình bầy cách rắm rối tối nghĩa Một ví dụ tiêu biểu “dãy phổ” (spectral sequence) đại số đồng điều topo đại số, mà số người làm tốn chun nghiệp có nhiều người khơng hiểu Phần lớn sách viết dãy phổ “bỏ bom” cho người đọc dãy ma trận E^n_{pq} “phép phù thủy” để chuyển từ E^n sang E^{n+1}, mà khơng giải thích rõ ràng Trong đó, ý tưởng xuất phát điểm dãy phổ thực sáng, theo ý tưởng cách tự nhiên để tìm dãy phổ thấy dãy phổ khơng có khó hiểu (Khi có filtration đối đồng điều chặt nhiều khúc nhỏ filtration đó, tính khúc nhỏ qua phương pháp “gần đúng”, lấy giới hạn phép tính xác – “phép phù thủy” nhắc đến lúc trước, chẳng qua projection differential ban đầu lên không gian gần khác nhau) Bản thân đọc tài liệu toán vất vả chật vật để hiểu khái niệm đó, tất nhiên có nhiều khái niệm đến không hiểu khơng hiểu Có hiểu lại thấy “nó đơn giản mà người ta viết rắm rối thế” Một đồng nghiệp kể: đọc sách học cổ điển, khơng hiểu hết, đọc sách ơng Arnold hiểu, ơng ta viết thứ sách khác, sáng sủa hẳn Nhiều sách xác suất thống kê có lẽ tình trạng tương tự: hình thức, phức tạp mà khơng thể rõ chất khái niệm Tất nhiên có sách xác suất thống kê viết dễ hiểu, giải thích chất nhiều khái niệm mà khơng cần phải dùng đến ngơn ngữ tốn học “đao to búa lớn” Trên giới, có nhiều người mà dường “nghề” họ biến dễ hiểu thành khó hiểu, biến đơn giản thành rối ren Những người làm quảng cáo, khiên cho người tiêu dùng không phân biệt hàng tốt thật họ Những người làm thuế, đẻ thuế rắm rối người thường không hiểu nổi, với tỷ lỗ hổng đó, v.v Ngay khoa học, có người có quan niệm phải “phức tạp hóa” “quan trọng” Thay nói “Vơ va rửa tay” họ “có phần tử người, mà ảnh qua ánh xạ tên gọi Vô va, thời điểm T, làm động tác, thuộc phạm trù rửa, …” Nhưng mà người “thầy” thực sự, phải làm cho khó hiểu trở nên dễ hiểu học trị Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (5) Nên: Ln ln quan tâm đến câu hỏi “để làm ?” Khơng nên: Không cho học sinh biết họ học thứ giảng viên dạy để làm gì, hay tệ thân giảng viên khơng biết để làm Q trình học (tiếp thu thơng tin, kiến thức kỹ mới) trình tự nhiên liên tục người suốt đời, xảy nơi lúc (ngay giấc ngủ góp phần việc học) khơng phải trường hay làm tập nhà Những mà não tiếp thu nhanh mà thấy thích, và/hoặc thấy dễ hiểu, và/hoặc thấy quan trọng Ngược lại, mà thấy nhàm chán, vô nghĩa, không quan trọng, bị não đào thải không giữ lại, dù có cố nhồi vào Bởi vậy, muốn cho học sinh tiếp thu tốt kiến thức đó, cần làm cho học sinh có điều sau: 1) thích thú tị mị tìm hiều kiến thức đó; 2) thấy có nghĩa (liên hệ nhiều với hiểu biết thông tin khác mà học sinh có đầu); 3) thấy quan trọng (cần thiết, có nhiều ứng dụng) Tất nhiên điểm liên quan tới Ở tơi chủ yếu nói đến điểm thứ 3, tức để học sinh thấy họ học quan trọng, cần thiết Một kiến thức đáng học kiến thức có ích đó, “để làm đó” Nếu học sinh học kiến thứ với lý “để thi đỗ” khơng cịn lý khác, thi đỗ xong kiến thức dễ bị đào thải khỏi não Những môn thực đáng học, môn, mà kể thi, học sinh muốn học, đem lại hiểu biết mà học sinh muốn có kỹ cần cho sống công việc học sinh sau Cịn mơn mà học “chỉ để thi đỗ” có lẽ mơn không đáng học Cũng may phần lớn giảng viên khơng rơi vào tình trạng “dạy mơn khơng đáng học”, mà dạy môn học đáng học, với chương trình gồm kiến thức đáng học Tuy nhiên, giảng viên biết “học chúng để làm gì”, “vì đáng học”, mà học sinh chưa biết Chính ln cần đặt câu hỏi “để làm gì”, khuyến khích học sinh đặt câu hỏi đó, tìm trả lời cho câu hỏi Một trả lời giáo điều chung chung kiểu “nó quan trọng, phải học nó” có giá trị, mà cần có trả lời cụ thể hơn, “nó quan trọng chỗ nào, dùng vào tình nào, đem lại kỹ gì, v.v.” Tiếc việc giải thích ý nghĩa cơng dụng kiến thức cho học sinh bị coi nhẹ, khơng Việt Nam Có lần tơi hỏi lớp đại học ngành toán học đại số tuyến tính Việt Nam “đại số tuyến tính dùng làm ?” Họ trả lời khơng biết Có lần tơi hỏi nhóm sinh viên ngành “Life Sciences” Pháp học xong mơn phương trình vi phân tuyến tính, họ có biết vị dụ phương trình xuất phát từ vấn đề thực tế không Họ trả lời Nếu giảng viên giới thiệu cho học sinh biết công dụng kiến thức họ học qua ví dụ (ví dụ phương trình vi phân tuyến tính xuất mơ hình tăng trưởng), họ thấy họ học có nghĩa hơn, đáng để học hơn, dễ nhớ Trong công việc sau học sinh trường, câu hỏi “để làm gì” lại đặc biệt quan trọng Mọi hoạt động tổ chức hay doanh nghiệp tất nhiên phải có mục đích Ngay cơng việc nghiên cứu khoa học, có nhiều người khơng làm kết nghiên cứu quan trọng (tạm định nghĩa quan trọng = nhiều người khác sử dụng) “dốt” mà “khơng biết lựa chọn vấn đề để nghiên cứu”, thời nghiên cứu vào ý nghĩa, quan tâm đến Bởi học sinh cần làm quen với việc sử dụng câu hỏi “để làm gì” từ học, vũ khí lợi hại việc chọn lựa định Một số điều nên khơng nên giảng dạy tốn (6) Nên: Tổ chức thi cử cho nhẹ nhàng nhất, phản ánh trình độ học sinh, khiến cho học sinh học tốt Khơng nên: Chạy theo thành tích, hay tệ gian trá khuyến khích gian trá thi cử Việc kiểm tra đánh giá trình độ kết học tập học sinh (cũng trình độ kết làm việc người lớn) việc cần thiết Nó cần thiết có nhiều định phải dựa kiểm tra đánh giá đó, ví dụ học sinh có đủ trình độ để hiểu mơn học khơng, có đáng tin tưởng để giao việc cho khơng, có xứng đáng nhận học bổng hay giải thưởng khơng, v.v Bởi giảng viên tránh khỏi việc tổ chức kiểm tra, thi cử cho học sinh Cái tránh, để đừng biến kiểm tra thi cử thành “sự tra tấn” học sinh, có giảng viên Một “định luật” giáo dục THI SAO HỌC VẬY Tuy mục đích cao dài hạn việc học để mở mang hiểu biết rèn luyện kỹ năng, phần lớn học sinh học theo mục đích ngắn hạn, tức để thi cho đỗ hay cho giải Trách nhiệm người thầy hệ thống giáo dục cho hai mục đích trùng với nhau, tức cần tổ chức thi cử cho học sinh mở mang hiểu biết rèn luyện kỹ nhiều học sinh đạt kết tốt thi cử Nếu “thi lệch” học sinh học lệch Ví dụ thi tốt nghiệp phổ thông, thi có 34 mơn học sinh học 3-4 môn mà bỏ bê môn khác Trong môn thi, hạn chế đề thi vào phần kiến thức đó, học sinh tập trung học phần thơi, bỏ qn phần khác Nếu đề thi tồn mẹo mực, học sinh học mẹo mực mà thiếu Nếu thi cử gian lận, học hành khơng thực chất Nếu thi cử q nhiều lần, học sinh mệt mỏi, suốt ngày phải ôn thi, khơng cịn cho kiến thức thứ khác Nếu thi theo kiểu bắt nhớ nhiều mà suy nghĩ ít, học sinh học thành vẹt, học thuộc lòng thứ, mà không hiểu, không suy nghĩ Mấy đề thi trắc nghiệm Việt Nam năm gần có xu hướng nguy hiểm vậy: đề thi dài, với nhiều câu hỏi tủn mủn, đòi hỏi học sinh phải nhớ mà điền câu trả lời, khơng địi hỏi phải đào sâu suy nghĩ hết Thậm chí thi học sinh giỏi tốn tồn quốc có lần thi theo kiểu tủn mủn vậy, kết việc chọn lọc đội tuyển thi toán quốc tế năm bị sai lệch nhiều Bản thân chuyện thi trắc nghiệm chuyện tồi, thi trắc nghiệm có cơng dụng nó, ý tơi muốn nói cách dùng thi cử Việt Nam chưa tốt Thi cử chia làm loại chính: loại kiểm tra (ví dụ kiểm tra xem có đủ trình độ để đáng lên lớp hay cấp không), loại thi đấu (tuyển chọn, mà số suất hay số giải thưởng có hạn) Loại thi đấu cần thang điểm chi tiết (ví dụ hai người có điểm xấp xỉ mà có suất phải loại người, chênh ¼ điểm quan trọng), loại kiểm tra, không cần chấm điểm chi li: thang điểm nhiều bậc điểm (ví dụ thang điểm 20, tính ½ điểm một, tổng cộng thành 41 bậc điểm) không cần thiết, mà cần nước Nga, Đức hay Mỹ (chỉ có 4-5 bậc điểm) làm đủ Kinh nghiệm chấm thi sinh viên cho thấy chấm chi li điểm nhỏ thời mà không thay đổi chất điểm kiểm tra: sinh viên kém, sinh viên giỏi cần nhìn qua tổng thể kiểm tra biết Kiểm tra nói hình thức kiểm tra tốt: vịng 10-15 phút hỏi thi cộng với vài tập làm chỗ giảng viên “ước lượng” mức hiểu kiến thức sinh viên xác Tuy nhiên, kiểu thi nói cịn Việt Nam, Pháp không phổ biến Có nhiều người lo ngại thi nói khó khách quan Điều có lẽ điều kiện Việt Nam nay, có nhiều giảng viên thiếu nghiêm túc thi cử Điểm kiểm tra để “tính sổ” Việt Nam điều kiện cần qua thi viết cho khách quan, đỡ bị gian lận Nhưng kiểm tra cần “tính vào sổ” Số lượng kiểm tra “chính thức”, “tính sổ” nên thơi, ngồi thay kiểm tra “khơng thức”, khơng phải để tính điểm học sinh, mà để giúp học sinh hay phụ huynh học sinh biết xem trình độ sao, có điểm yếu điểm mạnh Hệ thống giáo dục phổ thơng cấp Pháp tính “điểm” vậy: Điểm điểm “7” hay “10” mà điểm “phần nắm tốt”, “phần phải học thêm” Việc giao nhiều tập bắt buộc nhà, kiểm tra tính điểm đó, khơng cẩn thận biến thành “nhục hình” với học sinh Nếu học sinh ngày phải thức nửa đêm làm tập, không đủ thời gian để ngủ, điều làm ảnh hưởng xấu đến phát triển bình thường học sinh Chúng ta nên ý giấc ngủ phần quan trọng q trình học: giấc ngủ, não “làm vệ sinh”, thải bớt “rác” khỏi não để có chỗ cho hơm sau đón nhận thông tin mới, xếp lại thông tin thu nhận ngày lại, liên kết với thơng tin khác có não, để trở thành “thông tin dài hạn”, “kiến thức” Giai đoạn người học nhanh cịn tuổi, giai đoạn có nhu cầu ngủ nhiều nhất, cịn lớn tuổi học nhu cầu ngủ Trình độ học sinh, mơn tốn, khơng thể qua việc “đã làm tập dạng đó” mà “nếu gặp tập có làm khơng” Tất nhiên muốn hiểu biết phải luyện tập Nhưng làm thật nhiều tập giống máy mà khơng suy nghĩ, phí thời gian Thay vào cần làm hơn, làm hiểu Theo tơi nói chung khơng nên tính điểm bắt buộc cho tập nhà, mà thay vào tính điểm thưởng tốt Một điều phổ biến đáng lo ngại Việt Nam học sinh thầy cô giáo dạy cho làm ăn gian dối Có giáo viên làm thể để “lấy thành tích” cho Ví dụ có đồn kiểm tra đến dự lớp, dặn trước lớp phải giơ tay xin phát biểu, cô gọi bạn nhắm trước Hay giao tập khó nhà cho học sinh, mà biết học sinh không làm bố mẹ học sinh làm hộ cho, để lấy thành tích dạy giỏi Hoặc mua bán điểm với học sinh: nộp thầy triệu lên điểm chẳng hạn Nhưng có nhiều trường hợp mà giáo viên có ý định tốt, vơ tư lợi, quan điểm “làm để giúp học sinh” nên tìm cách cho học sinh “ăn gian” để thêm điểm Trong hầu hết trường hợp, khuyến khích học sinh gian dối làm hại học sinh Như Mark Twain có nói: ” It is better to deserve honors and not have them than to have them and not deserve them.” Có gắn thành tích rởm vào người, khơng làm cho người trở nên giá trị Học sinh mà dạy thói làm ăn gian dối từ bé, có nguy trở thành người giả dối, giá trị Tất nhiên, xã hội mà chế luật lệ “ấm ớ”, gian dối trở thành phong trào, mà khơng gian dối, khơng làm sai luật thiệt thịi khơng sống được, buộc người ta phải gian dối Tôi không phê phán hành động gian dối “hành cảnh bắt buộc” Nhưng đừng lạm dụng “vũ khí” này, hướng cho chọ sinh đến xã hội lành mạnh hơn, mà cần đến gian dối Để đạt vậy, tất nhiên “luật chơi” phải thay đổi cho hợp lý minh bạch Tất nhiên, không Việt Nam, mà giới có nhiều người hám “danh hão” làm ăn giả dối, tỷ lệ nhiều Tôi biết giáo sư nước ngồi có trình độ cao, “q hám danh” nên dẫn đến làm ăn giả dối Sinh viên Pháp mà tơi dạy có quay cóp Bản thân tơi học quay cóp Tất nhiên tơi chẳng có để tự hào vê chuyện đó, không “quá xấu hổ” mà người xung quanh tơi quay cóp Chúng ta người khơng hồn thiện, hướng tới hoàn thiện, giúp cho hệ sau hoàn thiện Một số điều nên không nên giảng dạy tốn (7) Nên: Dạy học nghiêm túc, tơn trọng học sinh Khơng nên: Dạy qua qt, coi thường học sinh Điều gần hiển nhiên Nhưng trường tơi Pháp có giáo sư dạy học qua qt, nói lảm nhảm học sinh khơng hiểu, bị học sinh than phiền nhiều, mà dạy học ê-kíp với họ khổ cực lây Người mà khơng thích khơng hợp với dạy học, nên chuyển việc Nhưng nhận việc có phần dạy học (như công việc giáo sư bên Pháp, gồm nghiên cứu giảng dạy) phải làm việc cho nghiêm túc Dù có “tài giỏi” đến đâu, khơng nên tự đề cao q mà coi thường học sinh Công việc đào tạo quan trọng xã hội khơng cơng việc nghiên cứu Có số bạn trẻ, thân chưa có đóng góp quan trọng, vội chê bai người thầy mình, người có hạn chế trình độ kết nghiên cứu (do điều kiện, hồn cảnh) có nhiều cống hiến đào tạo, không nên Nên: Đối thoại với học sinh, khuyến khích học sinh đặt câu hỏi Khơng nên: Tạo cho học sinh thói quen học thụ động kiểu thầy đọc trò chép Qua thảo luận, hỏi đáp biết học sinh cần gì, vướng mắc gì, giảng ổn chưa, … Khi học sinh đặt câu hỏi tức có suy nghĩ não trạng thại muốn “hút” thông tin Học sinh nhiều muốn hỏi ngại, khuyến khích hỏi Nên: Cho học sinh thấy họ thành cơng có tâm Không nên: Nhạo báng học sinh Tôi chứng kiến giáo sư sỉ nhục học sinh, ví dụ viết lên thi học sinh câu kiểu “thứ mày học làm cho tốn tiền” “đây phần tử nguy hiểm cho xã hội” Như người ta thường nói “người phụ nữ khen đẹp đẹp lên, bị chê xấu xấu đi” Học sinh bị đối xử tồi tệ, coi “đồ bỏ đi”, bị “blocked”: việc học trở thành “địa ngục” bị ức chế không học Nhưng đối xử tử tế, cảm thấy tơn trọng cảm thơng, họ cố gắng, dễ thành công Nếu họ có “rớt”, họ cịn nhiều hội khác để thành công, giữ niềm tin ý chí Học sinh học kém, nhiều khơng phải không muốn học không đủ thông minh để học, mà có khó khăn đó, giải tỏa học Trẻ em sinh thiếu hiểu biết không ngu ngốc Nếu lớn lên trở thành người ngu ngốc, suy nghĩ, hồn cảnh mơi trường lỗi hệ thống giáo dục Người “thầy” thực phải giúp học sinh tìm lại thơng minh mình, khơng làm cho họ “đần độn” Nên: Cho học sinh lời khuyên chân thành nhất, hướng cho họ làm mà giảng viên thấy có lợi cho họ, đồng thời cho họ tự lựa chọn họ thích Khơng nên: Biến học sinh thành “tài sản” mình, bắt họ phải làm theo thích Các bậc cha mẹ không nên bắt phải theo sở thích cha mẹ, mà chúng lựa chọn chúng thích Nguồn: Zung’s Website PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TIẾT ƠN TẬP TỐN Bốn lời khun dạy tiết ôn tập Tiết ôn tập để nhắc lại kiến thức học Mà để giúp học sinh tìm mạch kiến thức nội dung học Nên có bảng hệ thống thể mối liên quan hệ thống kiến thức Nên chọn tập có nội dung tổng hợp liên quan đến nhiều kiến thức cần ơn tập, qua khắc sâu, hệ thống nâng cao kiến thức học Ln ln thay đổi hình thức ơn tập cho phong phú, đa dạng hiệu khoảng 15/20 phút cho hình thức Trong hình thức nào, Hs phải chủ động tham gia vào q trình ơn tập kiến thức Các hoạt động dạy học ơn tập Có nhiều cách dạy học ơn tập, phương án là: Hoạt động hóa người học thơng qua việc tập hóa kiến thức Giờ học thiết kế theo chùm tập tương ứng với loại đối tượng học sinh là: Giỏi Khá - Trung bình - Yếu, Phương pháp chủ yếu đối tượng học sinh giao tập thích hợp theo mức độ tăng dần Bài tập chuẩn bị theo bảng sau: Đối tượng Học sinh Yếu, Học sinh Trung bình Học sinh Khá Học sinh Giỏi Mức độ Ghi Mức độ Mức độ Mức độ Mức độ Bài 1.1 Bài 1.2 Bài 1.3 Bài 1.4 Bài 2.1 Bài 2.2 Bài 2.3 Bài 2.4 Bài 3.1 Bài 4.1 Bài 3.2 Bài 4.2 Bài 3.3 Bài 4.3 Bài 3.4 Bài 4.4 Ghi chú: Mức độ tăng dần từ mức đến mức (có thể phân bậc mịn tốt), đó: • • • Bài 1.4 tương đương 2.1 Bài 2.4 tương đương 3.1 Bài 3.4 tương đương với 4.1, Với chuẩn bị vậy, giáo viên giao nhiệm vụ, học sinh tự giác chiếm lĩnh tri thức Giờ học diễn biến theo tiến trình: Hoạt động Giáo viên giao nhiệm vụ cách, yêu cầu đối tượng làm tập thích hợp Tất nhiên có hạn chế thời gian Hoạt động Giáo viên theo dõi hoạt động học sinh giải đáp thắc mắc đưa hướng dẫn gợi ý cho đối tượng, học sinh độc lập làm Hoạt động Kiểm tra kết cơng việc sau khoảng thời gian cho phép • Nếu học sinh làm đúng, nhanh khen thưởng (thơng qua việc mời học sinh chữa cho lớp), giáo viên đừng quên cho điểm Giáo viên chuẩn hóa kiến thức Chú ý thơng qua hoạt động này, giáo viên giúp học sinh nắm tri thức tri thức phương pháp Hoạt động Các hoạt động diễn lặp lại hoạt động nhận thức thực Cách dạy học ơn tập có ưu điểm, nhược điểm sau: Ưu điểm Học sinh hoạt động độc lập, tự giác hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức phù hợp với trình độ nhận thức Nhược điểm Chuẩn bị vất vả, điều khiển học phức tạp có nhiều học sinh hiểu không giống nhau, điều khiển học bị phân tán phản tác dụng Mặt khác, trình tự học vậy, học sinh tự giác tích cực đạt hiệu cao hơn, ngược lại số học sinh kém, hoạt động chậm bị động dễ dẫn đến chán học _ Với đối tượng học sinh trung bình (diện đại trà) học sinh yếu q trình dạy học ơn tập nên theo giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Giáo viên làm mẫu để học sinh bắt chước theo mẫu Chú ý rõ cho học sinh chương trình hành động (bước 1, bước 2, ) Giai đoạn 2: Học sinh tái lớp kiến thức vừa học thông qua tập tương tự Lúc này, giáo viên hướng dẫn học sinh tiến hành làm theo bước Giai đoạn 3: Giáo viên cho học sinh tập tương tự Học sinh tự lực làm hướng dẫn giáo viên Thơng qua hoạt động này, giáo viên biết thực trạng nắm kiến thức học sinh, từ có biện pháp kịp thời 4 Giai đoạn 4: Củng cố kiến thức thơng qua tập Có thể đề thi tập nhà thông thường Cách dạy học theo giai đoạn chưa hồn tồn phát huy tính tích cực cao độ học sinh, song lại phù hợp với hình thức tổ chức dạy học nay, phù hợp với cách dạy học đồng loạt khoảng thời gian 45 phút Học sinh học dựa theo PPDH truyền thống có điều khiển hoạt động Giáo viên, định hướng hành động thông qua bước cụ thể để đạt kiến thức, bước đầu góp phần hoạt động hóa người học Q trình lặp lặp lại góp phần hình thành PPHT môn cho học sinh Cách dạy học giúp cho học sinh nắm kiến thức cách không hình thức MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỌC TỐN HAY Phương pháp làm việc theo nhóm Tốn học mơn học đòi hỏi khả tư sáng tạo lớn Và niềm đam mê Toán học yếu tố quan trọng Sau vài kinh nghiệm học toán: Hãy từ đơn giản: Có nói thành đạt dựa niềm đam mê tốn học Có nhiều bạn quan niệm rằng, muốn học giỏi tốn địi hỏi người phải thật thông minh Nhưng theo tôi, bạn học chưa tốt mơn tốn, trước tiên tạo cho động lực để học toán, bạn giải tốn thật đơn giản trước , sau giải tốn khó dần lên Bạn nên nhớ bạn giải tốn , làm cho bạn hưng phấn muốn giải khó Hãy từ đơn giản để làm điều lớn Hãy giải tốn để giải tốn khó Biết sưu tầm áp dụng phương pháp Thật phương pháp phát có xuất phát điểm từ phuơng pháp có Để có nhìn rộng tốn, bạn phải có nhiều phương pháp để giải tốn Và để có đựoc nhiều phương pháp bạn phải đọc nhiều nghiên cứu nhiều, tập hợp phuơng pháp hay để giải toán Đến lúc phương pháp ăn vào máu thịt việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, nhờ động lực giải toán bạn tăng lên nhiều Hãy tìm tịi thật nhiều phuơng pháp, chúng khơng thừa cả, có lúc bạn cần đến để giải tốn Sáng tạo tư táo bạo Đừng nghĩ toán suy nghĩ hẹp , suy nghĩ rộng ra, hoang tưởng Chẳng hạn: Một tốn hình học giải hình học túy, đại số, hình học giải tích Thế khơng giải SỐ HỌC nhỉ? Đấy lối tư táo bạo Hãy sáng tạo tư thật táo bạo, bạn phát điều kỳ thú Đừng chủ quan (Đây bệnh thường mắc phải người học tốn) Thơng thường bạn giải tốn, khơng thèm trình bày cách cụ thể mà thường qua loa, giải mà Đây khuyết điểm lớn, bạn thi vào 10 thi đại học Bởi đề thi khơng khó cần bạn trình bày thật học vững kiến thức bản, bạn đạt điểm 9, 10 kì thi Do luyện tập cho khả trình bày tính tỉ mỉ giải tốn Rèn cho tính cẩn thận tỉ mỉ giúp bạn học tốt mơn Tốn (Sưu tầm biên soạn) NGHỀ LÀM TỐN Ở MỸ Tốn học thường chia làm hai loại, lý thuyết (hay cịn gọi tốn túy –pure mathematics, hay toán - fundamental mathematics) ứng dụng (applied mathematics), khơng có danh giới rạch rịi hai loai Các “nhà tốn học ứng dụng” dùng lý thuyết, mơ hình, định luật, cơng cụ tốn học (mà phần đáng kể “nhà toán học lý thuyết” tạo ra) cơng cụ tính tốn (máy tính phần mềm) để giải vấn đề kinh tế, khoa học, kỹ nghệ, quản lý, v.v Ngoài ra, có nhiều nghề liên quan mật thiết đến tốn học, người làm nghề khơng gọi nhà toán học mà gọi với tên khác, ví dụ như: nhà vật lý, kỹ sư cơng nghệ thơng tin, giáo viên dạy tốn phổ thơng, nhà thống kê (statistician — sử dụng chuyên ngành toán học, tính nghề khác), v.v Năm 2006 Mỹ có 3033 người tuyển việc với danh nghĩa nhà toán học (mathematician), kể lý thuyết lẫn ứng dụng) Trong có 412 người nhận việc academic (các trường đại học cao đẳng), 1302 người vào làm cho quan phủ (như Bộ Quốc Phòng, NASA, …), 1155 người làm cho “doanh nghiệp” (cơng nghiệp, tài chính, …) Trong số 1155 người này, có 748 người làm cơng việc nghiên cứu & phát triển, 277 người làm tư vấn quản trị kỹ thuật, 112 người làm dịch vụ kiến trúc kỹ sư Lương trung bình (median) nhà toán học Mỹ năm 2006 quãng 87 nghìn USD, có 10% số người có lương cao 132000, 10% số người có lương thấp 43500 Về môi trường làm việc, nhà tốn học thường có phịng làm việc tiện nghi thoải mái Nhiều nhà toán học ứng dụng làm việc nhóm nghiên cứu có người chuyên gia lĩnh vực khác Các nhà toán học làm việc academia (đại học viện nghiên cứu) thường có trách nhiệm giảng dạy kèm với trách nhiệm nghiên cứu, có trợ lý nghiên cứu sinh thực tập sinh Đi công tác xa thường xuyên (dự hội nghị, hội thảo, hợp tác khoa học, …) đặc điểm hay thấy nhà tốn học Thơng thường để nhận công việc với danh nghĩa nhà tốn học, điều kiện khơng thể thiếu phải có PhD tốn Vào năm 2007, có khoảng 300 chương trình sau đại học (graduate) tốn Mỹ Hầu hết trường đại học (university) cao đẳng (college) Mỹ có chương trình đại học (Bachelor) tốn Các mơn khơng thể thiếu chương trình giải tích (calculus), đại số (linear and abstract algebra), phương trình vi phân (differential equations) Ngồi có thêm nhiều mơn khác, logic, giải tích nhiều biến, giải tích phức, tơ pơ, giải tích số, toán rời rạc, xác suất thống kê, v.v Các trường thường khuyến khích học sinh ngành tốn học lấy kép (double major): toán chuyên ngành khác (như máy tính, kỹ sư, kinh tế, sinh vật, v.v.) Bằng kép thuận lợi cho xin việc cho cơng việc sau Những người có Đại Học (Bachelor) Cao học (Master) tốn làm nghề liên quan đến tốn, ví dụ lập trình viên, phân tích viên, giáo viên dạy tốn, v.v Chỉ riêng nghề dạy toán cho trường postsecondary (trung cấp ?) năm 2006 Mỹ tuyển đến 54 nghìn người Theo báo cáo Mathematics In Industry SIAM, kỹ sau đánh giá quan trọng nhà toán học làm việc môi trường nonacademic (tức 85% nhà toán học Mỹ) Tất nhiên, kỹ quan trọng cho nhà toán học làm việc mơi trường academic Kỹ tinh tốn đặc biệt quan trọng: 93% nhà toán học mơi trường nonacademic đánh giá kỹ tính tốn (computing skills) thiếu công việc họ Dưới chuyên ngành toán dùng nhiều môi trường nonacademic (số % bên phải số nhà tốn học nonacademic dùng đến công việc) Báo cáo SIAM cũ (từ năm 1998) từ đến tình hình thay đổi đơi chút, kết luận Ứng dung vào tình hình Việt Nam: Việt Nam thụt lùi so với giới (ít nhất) chục năm, nên thơng tin phía dùng làm định hướng cho Việt Nam năm tới (sưu tầm) BÀI THI TỐN ĐỜI XƯA Qua Thi Tốn đời xưa đăng Báo Khoa- Học số 13, 14 tháng 1, năm 1943, trang 207- 215, GS Hoàng Xuân Hãn, cung cấp nhiều thông tin quý báu việc tổ chức THI TOÁN nước ta đời xưa mà để lại nhiều vấn đề đáng lưu tâm cho đời Chúng xin phép tóm lược ý báo theo đề mục sau: 1.- Mấy nét lịch sử: Tốn học Trung Hoa có lịch sử 4000 năm, đến đời Đường (618 -935) du nhập vào Việt Nam nước khác châu Á Nhật Bản, Triều Tiên… Cuốn sách toán vào nước ta Bản Cửu chương theo thứ tự từ lớn đến bé (cửu cửu bát nhất, bát cửu thất nhì…) Về sau, theo sách Tốn pháp thống tơn (1639) cuối đời Minh lại đổi thứ tự ngược lại từ bé đến lớn Nhân nói Thi Tốn, HXH có nhắc tới hai người (xem nhà toán học nước ta thuở xưa) Một trạng nguyên Lương Thế Vinh (1441) đời Lê Thánh Tơng với Đại Thành Tốn pháp, in thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719) Ngoài cửu chương (theo thứ tự từ lớn đến bé ), sách cịn nói số lớn: ức, triệu, kinh, thê, cai, nhương, giản, chinh, ti, cực Cứ vạn vạn bậc ăn bậc trên, ví dụ: vạn vạn ức triệu, vạn vạn triệu kinh Nhưng không cho biết vạn vạn bao nhiêu? Nếu vạn vạn = 10 giống 10 chục trăm, mười trăm nghìn lại phân biệt cách đếm số lớn với số nhỏ Cách đếm Tơn Tử gọi Đại số pháp ý chữ đại lớn, khác với chữ đại thay (thay số chữ đại số, Algèbre) Người thứ hai ông Nguyễn Hữu Chung (khơng biết có đỗ dạt khơng ) với Bản Cửu chương Lập thành tính pháp trước thời Vĩnh Thịnh 2.- Tổ chức thi toán Nhà nước Phong kiến xưa tổ chức kỳ thi toán để chọn người làm việc lại (lại viên) Kẻ học để thi khoa cử không thi lại Các kỳ thi không tổ chức định kỳ Cứ 10 năm, 15 năm có kỳ thi chọn lại viên Kỳ thi chọn lại viên biết sớm từ thời nhà Trần Năm 1077, tháng năm Đinh tỵ, đời Lý Nhân Tôn với môn thi: Thư (viết chữ tốt ), Tốn (tốn pháp ), Hình luật Năm 1261, tháng năm Tân Dậu đời Trần Thánh Tơn, thi lại viên với mơn Thư, Tốn Ai trúng sung vào chức Nội lĩnh sử Các kỳ thi chọn lại viên tổ chức vào năm 1363, tháng năm Quý Mão đời vua Trần Dụ Tôn; năm 1373, tháng đời vua Trần Duệ Tơn, năm 1393, đời vua Trần Thuận Tơn khơng thi mơn tốn Năm 1404, Hồ Hán Thương lên ngơi, thi chọn lại viên có mơn tốn Năm 1437, tháng giêng năm Đinh Tỵ đời vua Lê Thái Tơn có thi tốn 690 người trúng cử bổ chức nha môn Tiếp theo, vào năm 1475, 1477, 1483, 1507, 1572, 1722 1762 tháng 5, năm Nhâm Ngọ đời vua Lê Hiển Tôn kỳ thi chọn lại viên cuối có thi toán Đặc biệt kỳ thi năm 1507, tháng chạp năm Bính Dần, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Tốn sân Điện Giảng Võ có vạn thí sinh, 1519 người trúng tuyển, Nguyễn Tử Khương đỗ đầu 3.- Chương trình thi Như nói trên, thi lại viên cốt chọn người làm việc lại: coi việc sổ sách giấy má, tính sưu thuế, việc đạc điền (biết tính diện tích đám ruộng), việc binh lương việc quốc dụng khác tính thể tích đê, thành, hào Biết tính số gạch, gỗ, cần người biết làm tốn Khơng biết chương trình thi Tốn thời Trần có gì, đến thời Lê, chương trình thi tốn quy định sau: Về số học có phép tính: cộng, trừ, nhân, chia dùng bàn tính thẻ (trù tốn) Các phép chia bình phân (chia đều), sai phân (chia tỷ lệ) phức tạp, có tạp số, ví dụ mẫu = 10 sào, sào = 15 thước Ngồi thí sinh cịn phải dùng đến phép khai phương (lấy bậc hai) Thí sinh thường dùng “Cửu chương lập thành tính pháp“ ông Nguyễn Hữu Chung, trước thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719 ) để ơn luyện, có học thuộc lịng Về Hình học, chương trình gồm: tính diện tích hình tự phương điền (hình vng), trực điền (hình chữ nhật), thê điền (hình thang), khuê điền (thang cân), tà điền (tam giác thường), viên điền (hình trịn), thuẩn điền (hai cung úp vào nhau), hình bầu dục (Elip), mi điền (hình đường mày), cổ điền (hình trống) Có vấn đề chưa rõ người ta tính diện tích hình nói theo cơng thức nào? độ xác đến đâu? Đã biết dùng số pi chưa độ xác đến mức Rất tiếc khơng có đề thi hình học để tham khảo 4.- Đề thi Có lẽ tác giả khơng tìm tư liệu, khơng có tư liệu loại nên trích sách “Chỉ minh lập thành tốn pháp” ơng Phan Huy Khuông, tự Lã Phố (người làm vườn già ), người làng Đơng Ngạc, huyện Từ Liêm, Hà Nội Ơng sinh vào thời Lê mạt Sách ông soạn cốt để dạy cháu nhà thi (sách luyện thi) Sau mẫu (chỉ có phần số học, khơng có hình học), lời văn rườm rà, có chỗ thừa, từ ngữ cổ, xin chép lại nguyên văn để bạn đọc tham khảo Bài (Đầu bài): Hỏi, phụng ban vàng bạc cộng 1000 cân Số bạc quan lĩnh, lượng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho viên thuộc dinh 328 người Nếu chia cho người cịn lẻ phân, ly, nghĩ hạ chia đều, lẽ chưa phải Vậy phép chia dùng, lẽ rõ ràng Nay muốn đem số tiền chia cho thuộc theo phép “sai suy“ (hoặc sai phân, suy phân phép chia theo tỷ lệ - giải thích GS HXH) Chia làm ba hạng: hạng Giáp người, người phân; hạng Ất 20 người, người phân; hạng Bính 300 người, người phân Như người lĩnh bao nhiêu, tính góp lại hạng lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi tốn, học tập tinh thơng; tính toán, biên biệt; nên tường tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ Trả lời (Đáp án): Hạng Giáp người 49 lạng, gộp thành 392 lạng Hạng Ất người 35 lạng, gộp thành 700 lạng Hạng Bính người 14 lạng, gộp thành 4200 lạng Để bạn đọc ngày không gặp rắc rối ngôn từ việc chuyển đổi đơn vị, chúng tơi xin tóm tắt lại đầu bài: Đem 5292 lạng bạc chia cho 328 người Nếu chia cho người thi lẻ phân, ly (1 lạng = 100 phân, phân = 10 ly, 5292 = 328 * 16.134 + 0.048) Nên phải chia theo phép sai phân (chia theo tỷ lệ) Chia thành loại: Hạng Giáp người, hạng Ất 20 người, hạng Bính 300 người Mỗi người hạng Giáp, Ất, Bính tương ứng tỷ lệ với 7, 5, Hỏi mồi người lĩnh bao nhiêu? gộp lại hạng bao nhiêu? Chú ý: Bài có nhiều chỗ thừa: số vàng, bạc 1000 lạng vua ban lý việc chia khơng hết (cịn dư phân, ly) khơng cần thiết Bài giải mẫu tốn ông Phan Huy Khuông đưa dài, văn cổ, nên không muốn chép sợ làm phiền bạn đọc Qua Thi Toán đời xưa, điều dễ nhận thấy là: Toán học du nhập vào nước ta sớm từ thời Trần (thế kỷ 11) tổ chức kỳ thi toán, nhiên toán học nước ta xưa vừa thấp lại khơng phát triển Kiến thức tốn từ Trung Hoa du nhập vào ta Bản cưủ chương cách đếm số cịn có khơng? Theo GS HXH, “Ở đời Đường, toán học bên Trung Hoa bành trướng đến cực Tây, mà ta cịn có tủ sách cũ “ Tình hình nguyên nhân: + Việc học Toán, thi toán ta thời xưa xem nhẹ Nhà nước xã hội coi khinh người làm cơng việc tính tốn (lại viên) Kẻ lại cho thấp hèn Tác giả trích lời Phan Huy Chú Lịch triều hiến chương rằng: “Xét chức nha, lại cho hèn thấp Việc kiểm sốt sổ sách khơng giao cho kẻ sĩ Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại ti tiện nên không nhúng tay vào“ Những người thông minh, tài giỏi, học hành tử tế (kẻ sĩ) coi khinh tốn học lấy đâu nhà tốn học + Các cơng trình, sách tốn khơng in ấn có khơng lưu giữ lấy đâu tài liệu mà học (!) Chúng ta tôn vinh Trạng nguyên Lương Thế Vinh (Trạng Lường), trạng nguyên Vũ Hữu, xem hai nhà tốn học Việt Nam xưa nhiều hình thức, việc sưu tầm, cơng bố đóng góp lĩnh vực tốn học vị cho đời lại khơng thấy làm Hoặc có mà khơng giữ lại 10 CÁCH GIÚP TRẺ HỌC TỐN Bạn giúp tự tin với số, làm tốn qua trị chơi Ở độ tuổi chưa học, đừng bắt tiếp xúc với tập hay thứ làm cho mơn tốn trở nên tẻ nhạt Những em chơi trị chơi có liên quan đến hình học số học thường phát triển khả tốn học mang tính trực giác Tất nhiên tất em trở thành thiên tài tốn học, khơng vơ ích tiếp xúc với tốn sớm Có nhiều cách đố vui tốn chữ Hát Những em biết đếm trước học thường có lợi hơn, hát cách dạy đếm dễ dàng Có thể hát đếm số ru ngủ; hát xe, lên cầu thang, tiệm tạp hoá, kể làm việc vặt Những hát đếm lùi số kỹ quan trọng làm toán trừ Khi hát, bạn nên thêm vào số từ quen thuộc vật ưa thích như: "Một voi con, hai voi con, ba voi con" đếm dần lên "mười voi con" Sau hát ngược lại số: "Mười mèo, chín mèo " Tùy theo độ tuổi mà bạn thêm bớt số từ kèm Thơ vần "Một, hai, ba gà" ; "Ba, bốn, năm tăm" Thơ vần nhạc giúp em dễ hình dung để nhớ số Tìm đọc loại sách dùng để đếm dành cho lứa tuổi em, bịa hát vui hát với em Mọi thứ đếm Trẻ em đọc thuộc số lại khơng hiểu số chẳng hạn Số thực tượng trưng cho Để giúp em đối chiếu tương ứng số số lượng, tập cho em quan sát cảm nhận vật thể có thực đếm Khi lau ghế, lấy quần áo khỏi máy giặt, nhặt vỏ sò bãi biển, bạn đếm với em Sử dụng phận thể để đếm Trẻ em độ tuổi thường hay mân mê khắp mẩy, thích đồ chơi tốn học mà đâu chúng mang theo Hãy đếm mắt trẻ cộng lại: Một mắt cộng mắt hai mắt Có tay, chân? Thử cộng với cách giơ ngón tay bàn tay cộng lại Cịn ngón chân cộng với ngón chân (để tránh lẫn lộn, nên dùng hai vật tên) Nếu trẻ thực thích thú tiếp tục, cịn khơng đừng ép Nhớ số Khuyến khích em ý đến số viết địa đường, số xe Để cho em tự đánh dấu ngày sinh lịch Điều tạo thêm kinh nghiệm đọc số cho em, mà nhấn mạnh cho em biết số bình thường sống ngày Tác dụng hình khối Tốn học khơng nói đến số mà cịn nói đến diện tích, kích thước, chiều khơng gian, hình thể, so sánh Đó lý hình khối truyền thống lại đồ chơi tốn học khơng thể thay 7 Phân loại Tốn học địi hỏi khả phân biệt thuộc tính giống khác chúng thành loại Để thiết lập kỹ này, khuyến khích trẻ xếp đồ vật thành nhóm theo thuộc tính riêng như: bút chì màu theo màu, đồ chơi riêng rẽ với dụng cụ học tập, quần áo theo màu loại Đo lường Chỉ cho trẻ biết cách sử dụng thước Đo xem bàn, chó, giường cao bao nhiêu, dài Một sợi bún dài hay ngắn thước đó? Đơi giày lớn hơn? Cho trẻ đứng dựa vào tường, đánh dấu để cháu tự lấy thước đo xem cao Khi trẻ lớn hơn, cho chúng cách sử dụng centimet để đo vật nhỏ xác Nấu ăn Khi chiên thịt, nướng bánh , tán gẫu toán học Để bắt đầu, bạn nên hỏi câu như: miếng thịt lớn miếng thịt nhỏ Tại phải cân đo trứng đường làm bánh? Hãy tôn trọng ý kiến bạn tán gẫu Không cần trẻ phải trả lời đúng, cần biết cách tính tốn mà thơi 10 Đừng quên trò chơi cổ điển chơi "năm mười" (trốn tìm), chơi đếm "một chuột có đuôi, hai tai, đầu bốn chân" "Hai chuột có đi, bốn tai " Nhiều chuyên gia đề nghị cho trẻ chơi đôminô, chơi cờ cá ngựa để dễ nhận khối số đôminô mà không cần phải đếm dấu chấm một, cho ngựa đoạn mà không cần đếm ô Theo Web Trẻ thơ