Điều chỉnh chuyên ngành từ hình học và tô pô sang chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI VĂN HUẤN BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI VĂN HUẤN BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành chương trình đào tạo cao học hoàn thành luận văn này, tác giả luận văn nhận nhiều giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện gia đình, Thầy Cô giáo, quan bạn bè đồng nghiệp Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tham gia giảng dạy cho chúng em trình học cao học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc tận tình hướng dẫn bảo em trình hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau đại học phòng, ban trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tác giả luận văn xin cảm ơn các cấp quản lý tạo điều kiện cho tham gia khóa học cao học để nâng cao trình độ chuyên môn Xin cảm ơn bạn đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ trình học thực luận văn Mục lục Lời Mở đầu Chương Các kiến thức sở 1.1 Phép chia tập hợp số nguyên 1.1.1 Phép chia hết 1.1.2 Phép chia có dư 1.1.3 Số nguyên tố, hợp số 1.1.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ 1.1.5 Một số tính chất khác chia hết 1.1.6 Một vài hàm số học thông dụng 1.2 Đồng dư 11 1.2.1 Khái niệm đồng dư 11 1.2.2 Một số tính chất đồng dư thức 12 1.2.3 Hệ thặng dư lớp thặng dư 12 1.2.4 Một số định lý tiếng lý thuyết đồng dư 13 Chương Một số phương pháp giải toán chia hết 15 2.1 Phương pháp áp dụng tính chất phép chia hết 15 2.1.1 Áp dụng tính chất phép chia hết 15 2.1.2 Phương pháp xét số dư 21 2.1.3 Áp dụng đẳng thức 26 2.2 Phương pháp áp dụng đồng dư 28 2.2.1 Áp dụng tính chất đồng dư thức 28 2.2.2 Áp dụng định lý đồng dư 33 2.3 Một số phương pháp khác 40 2.3.1 Phương pháp quy nạp toán học 40 2.3.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 44 2.3.3 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 46 Chương Một số toán áp dụng 48 3.1 Một số áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên 48 3.2 Một số toán tính chia hết số hạng dãy số nguyên 53 3.3 Một số toán tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến chia hết 57 3.4 Một số tập khác 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 68 Lời mở đầu Số học phân môn quan trọng lĩnh vực cổ xưa Toán học Số học sớm giảng dạy chương trình phổ thông từ học sinh bắt đầu học Toán học, với việc làm quen với số khái niệm đơn giản tính chia hết, ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất, Cho đến công trình nghiên cứu nhà khoa học, Số học lĩnh vực có nhiều toán, giả thuyết nghiên cứu chưa giải đáp Trên đường tìm kiếm lời giải cho toán, giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, lý thuyết lớn Toán học nảy sinh Trong chương trình phổ thông nay, Số học chưa giành nhiều thời gian để học chuyên sâu lĩnh vực xuất nhiều đề thi Học sinh giỏi cấp trở thành phận quan trọng chương trình giảng dạy Toán lớp chọn lớp chuyên Toán, công cụ tốt để rèn luyện trí thông minh tư Toán học Tác giả lựa chọn đề tài “Bài toán chia hết số học” với mục đích tham khảo để tiếp cận hoàn thiện thêm vấn đề Số học, làm sở học tập nghiên cứu lĩnh vực khác lý thuyết số sơ cấp Luận văn gồm chương: Chương – Các kiến thức sở Trong chương này, tác giả trình bày tóm tắt lại số khái niệm, tính chất phép chia tập số nguyên số vấn đề liên quan Trong đó, lý thuyết đồng dư công cụ mạnh mẽ để giải toán chia hết Chương – Một số phương pháp giải toán chia hết Trong chương này, tác giả trình bày số phương pháp phổ biến thường sử dụng toán liên quan đến chia hết như: phương pháp sử dụng tính chất phép chia hết, phương pháp sử dụng lý thuyết đồng dư định lý tiếng, phương pháp quy nạp toán học, phương pháp chứng minh phản chứng, phương pháp áp dụng nguyên lý Dirichlet, Chương – Một số toán áp dụng Trong chương này, tác giả trình bày số toán Số học liên quan đến phép chia hết như: áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên, tính chất chia hết số hạng dãy số nguyên, toán tìm số nguyên thỏa mãn tính chất cho trước, Với tất cố gắng, với thời gian, lực có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy giáo, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Chương Các kiến thức sở Trong số học, tính chất chia hết giữ vị trí quan trọng Nó sở để đưa giải toán số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư, Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức thường xuyên áp dụng toán chia hết số học 1.1 Phép chia tập hợp số nguyên Trong tập hợp số nguyên, phép toán cộng, trừ, nhân thực Tuy vậy, phép chia số nguyên a cho số nguyên b = lúc thực Khi phép chia số nguyên a cho số nguyên b = thương số nguyên x thỏa mãn phương trình bx = a ta nói a chia hết cho b 1.1.1 Phép chia hết Định nghĩa 1.1 Cho a, b số nguyên, b khác Ta nói a chia hết cho b (hay b chia hết a) tồn số nguyên c cho a = bc Khi đó, ta nói a bội số b hay b ước số a Ký hiệu là: a b hay b | a Trên tập hợp số nguyên, ta có tính chất sau: Tính chất 1.2 Với số nguyên a = 0, ta có: a | Với số nguyên a, ta có: | a (Tính chất phản xạ) a | a (Tính chất bắc cầu) Nếu a|b b|c a|c Nếu a|b a|c a | (mb + nc) Nếu a|b a|(b ± c) a|c Nếu a|c b|c (ab)|(cd) Nếu a|b với số tự nhiên n, ta có: (an ) | (bn ) Nếu a|b |a| ≤ |b| Vì vậy: Nếu a|b a, b nguyên dương a ≤ b Nếu a|b b|a |a| = |b| Nếu a|b (±a) | (±b) Mọi số nguyên a có ±1 ±a (nếu a = 0) ước số a, gọi ước tầm thường a Các ước số lại gọi ước thực a 1.1.2 Phép chia có dư Định lý 1.3 Cho a, b số nguyên, b khác Khi tồn cặp số nguyên (q, r), cho a = bq + r, ≤ r < |b| Định nghĩa 1.4 Cho a, b số nguyên, b khác Khi đó, ta nói a chia cho b có thương q số dư r a = bq + r, ≤ r < |b| Khi r = ta a chia hết cho b Khi r = ta nói a không chia hết cho b 1.1.3 Số nguyên tố, hợp số Định nghĩa 1.5 Số nguyên tố số nguyên dương lớn có hai ước số nguyên dương Số nguyên dương khác không số nguyên tố gọi hợp số Định lý 1.6 (Euclide) Tập hợp số nguyên tố vô hạn Định lý 1.7 (Định lý số học) Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số nguyên tố 1.1.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Định nghĩa 1.8 Ước chung lớn hai số nguyên a, b không đồng thời số nguyên lớn chia hết a b, ký hiệu (a, b) Khi (a, b) = 1, ta nói hai số a b nguyên tố Tính chất 1.9 (ma, mb) = m (a, b), với m nguyên dương (a, b) a b , = Nếu d > ước chung a, b d d d a b Nếu (a, b) = d , =1 d d Nếu m|a, m|b m| (a, b) (a, b) = (a, −b) = (b, a) = (b, a + kb), với số nguyên k Nếu (a, m) = (b, m) = (ab, m) = Nếu m| (ab)và (m, a) = m|b Nếu a m, a n (m, n) = a (mn) Định lý 1.10 Cho a b số nguyên, d = (a, b) Khi tồn số nguyên m, n cho d = ma + nb Tài liệu tham khảo [1] Doãn Minh Cường, (2008), Số học, NXB ĐHSP [2] Phan Huy Khải, (2009), Các toán số học, NXB Giáo Dục [3] Hà Huy Khoái, (2004), Số học, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Vũ Lương, (2009), Các giảng số học, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Văn Mậu, (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Nho, (2005), Chuyên đề số học, NXB ĐHQG TP HCM [7] Phạm Minh Phương, (2008), Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục [8] Phạm Văn Quốc, (2012), Một số toán số học liên quan đến lũy thừa [9] Đặng Hùng Thắng, (2010), Bài giảng số học, NXB Giáo dục [10] www.diendantoanhoc.net [11] www.mathlinks.ro [12] Titu Andreescu, Dorin Andrica, (2006), Number Theory, USA [13] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng, (2006), 104 Number Theory Problems, USA [14] W Sierpinski, (1988), Elementary Theory of Numbers, POLAND 68 [...]... (2008), Số học, NXB ĐHSP [2] Phan Huy Khải, (2009), Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo Dục [3] Hà Huy Khoái, (2004), Số học, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Vũ Lương, (2009), Các bài giảng về số học, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Văn Mậu, (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Nho, (2005), Chuyên đề số học, NXB ĐHQG TP HCM [7] Phạm Minh Phương, (2008), Các chuyên đề số học, NXB Giáo... [6] Nguyễn Văn Nho, (2005), Chuyên đề số học, NXB ĐHQG TP HCM [7] Phạm Minh Phương, (2008), Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục [8] Phạm Văn Quốc, (2012), Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa [9] Đặng Hùng Thắng, (2010), Bài giảng số học, NXB Giáo dục [10] www.diendantoanhoc.net [11] www.mathlinks.ro [12] Titu Andreescu, Dorin Andrica, (2006), Number Theory, USA [13] Titu Andreescu, Dorin Andrica,