MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THÙY NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Công trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Phản biện 1: TS PHẠM QUÝ MƯỜI Phản biện 2: TS HOÀNG QUANG TUYẾN Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Dãy số chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Giải tích tốn học: dãy số không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích, lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Các vấn đề liên quan đến dãy số phong phú Có thể kể số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, cơng thức tìm số hạng tổng quát, tính đơn điệu tính bị chặn dãy số, tính chất dãy số nguyên Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic tốn học quốc tế, hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học tốn dãy số xuất nhiều xem dạng tốn loại khó bậc Trung học phổ thơng Một nội dung thường gặp toán dãy số xác định số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số Hiện có nhiều tài liệu đề cập đến khía cạnh khác dãy số Tuy nhiên, tài liệu hệ thống theo dạng toán phương pháp giải chưa có nhiều tơi mong muốn cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi u thích tốn, thêm tài liệu tham khảo dãy số Tôi cố gắng hệ thống phương pháp giải tốn tìm số hạng tổng quát toán giới hạn dãy số Với lý qua khả tìm hiểu, nghiên cứu, tơi chọn “Một số vấn đề chọn lọc dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm hệ thống lại số phương pháp hiệu để giải tốn xác định cơng thức tổng quát chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài dãy số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu viết dãy số, đặc biệt tài liệu xác định công thức tổng quát giới hạn dãy số, sau hệ thống lại kiến thức Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung vấn đề luận văn cách phù hợp Bố cục đề tài Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Xác định công thức tổng quát dãy số Chương 3: Một số phương pháp chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Dãy số ứng dụng thực tế qua ví dụ, tập áp dụng, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Dãy số Đưa số tốn, số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số) Dãy số với phần tử un thường kí hiệu un  , n  1,2,  un  Giả sử cho   cho hai dãy số: (an )  (a1, a2 , , an , ); (bn )  (b1, b2 , , bn , ); Định nghĩa 1.1.2.[3]  cn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 , , an  bn ,  gọi tổng dãy  an   bn  ; b Dãy  dn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 , , an  bn ,  gọi hiệu dãy  an   bn  ; c Dãy  bn    b1 , b2 , , bn ,  gọi tích số  dãy  bn  a Dãy 1.2 DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: n  * , un  M Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: n  * , un  m Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Nghĩa là, tồn số M số m cho: n  * ,m  un  M 1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Dãy số  un  gọi dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) với un  un1 , n  * n * ta có: un  un 1 (tương ứng ) Dãy số  un  gọi dãy số giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) với un  un1 , n  * n * ta có: un  un 1 (tương ứng ) Dãy số tăng hay giảm gọi dãy số đơn điệu 1.4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  un  gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai trở số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi Số không đổi gọi cơng sai cấp số cộng Tính chất 1.4.1.[3] a Công thức số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d , n  b un 1  un  u n  , n  * * c Tổng n số hạng cấp số cộng: n(u1  un ) n  2u1   n  1 d  Sn  u1  u2   un   2 Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số  un  gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai trở số hạng số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi Số không đổi gọi công bội cấp số nhân Tính chất 1.4.2.[3] a Cơng thức số hạng tổng quát: un  u1.q n1 , n  * b un21  un un , n  * c Tổng n số hạng đầu tiên:  qn ,(q  1) 1 q d Tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn: u S  u1  u2   1 q 1.5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN Định nghĩa.[4] Dãy số  un    u1 , u2 , , un ,  có giới hạn Sn  u1  u2   un  u1 số (điểm) a số đó, số hạng un nằm  -lân cận U  a,   điểm a , tức U  a,   có số hữu hạn số hạng khơng có số hạng dãy Kí hiệu: lim un  a hay un  a n   n  Định lí 1.5.1.[4] Nếu dãy ( un ) có giới hạn bị chặn Định lí 1.5.2.[4] Dãy hội tụ có giới hạn Định lí 1.5.3.[4] Nếu lim un  a , lim  b un  , n  n  n  Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử: a lim un  lim   ; n  n  b un  zn  , n  ; Khi lim zn   n  Định lí 1.5.5.[4] Nếu lim un  a lim | u n || a | n  Định lí 1.5.6.[4] n  a  b Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ bị chặn (dưới) Định lí 1.5.7.[4] Giả sử dãy  un  ,   hội tụ lim un  a , lim  b ; n  n  Khi đó: a lim(un  )  lim un  lim  a  b ; n n n  b lim(un )  lim un lim  ab ; n  n  n  c Nếu un  0, n lim un  lim n  n  1   un lim un a n  CHƢƠNG II XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1 SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ Nội dung chủ yếu phần giới thiệu số kỹ thuật biến đổi để qui dãy số quen thuộc chương trình tốn THPT cấp số cộng cấp số nhân Xét số toán sau: Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  u1  c xác định bởi:  với a, b, c  un  aun 1  b Phƣơng pháp giải Trường hợp 1: Nếu a  dãy  un  cấp số cộng với cơng sai b Dựa vào tính chất cấp số cộng ta tìm số hạng tổng quát dãy là: un  u1  (n  1)b  c  (n  1)b Trường hợp 2: Nếu a  , ta qui dãy  un  dãy   cách đặt  un  k , k  ; số k xác định cho b thỏa mãn  avn1 (ta xác định k  ) a 1 Với cách đặt ta   cấp số nhân, công bội a Dựa vào tính chất cấp số nhân ta tìm cơng thức tổng qt dãy   Từ suy cơng thức tổng quát dãy  un  Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  u1  c xác định bởi:  với a, c  un  aun 1  f (n) bậc k theo n , f (n) đa thức Phƣơng pháp giải Ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1) với g (n) đa thức theo n Trường hợp 1: Nếu a  , ta thấy đa thức g (n)  ag (n  1) có bậc nhỏ đa thức g (n) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g ( n) Vì f(n) đa thức bậc k nên để f (n)  g (n)  ag (n  1)(*) ta cần chọn g (n) đa thức bậc k  nên chọn hệ số tự g (n) khơng Khi để xác định hệ số g (n) ta cần thay k  giá trị n vào (*) giải hệ gồm k  phương trình Lúc ta có un  g (n)  u n1  g(n  1)   u1  g (1) Từ suy cơng thức tổng quát dãy  un  Trường hợp 2: Nếu a  , ta thấy g (n)  ag (n  1) g (n) hai đa thức bậc Vì ta chọn g (n) đa thức bậc k hệ số g (n) xác định tương tự trường hợp Lúc ta có un  g (n)  a(un1  g (n  1)) Đặt  un  g (n) ta có dãy (v n ) cấp số nhân, công bội a Dựa vào tính chất cấp số nhân ta tìm công thức tổng quát dãy (v n ) Từ tìm cơng thức tổng qt dãy  un  Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát dãy số  un   u1  c xác định bởi:  với a,b,c  ,  n  un  aun 1  b Phƣơng pháp giải Trường hợp 1: Nếu a      Ta phân tích:  n  k n  ak n1   k    a   Khi ta có: un  bk n  a(un1  kb n1 )   an1 (u1  bk );  un  an1 (u1  bk )  bk n Trường hợp 2: Nếu a   Ta phân tích:  n  n n   (n  1) n1 Khi đó: 10 Bài tốn 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát dãy số  un   u1  k xác định bởi:  với k  , n   un  4u n 1  3un 1 Phƣơng pháp giải Trường hợp 1: k  Khi  0;  : cos   k  u1 Từ cơng thức truy hồi dãy ta liên tưởng đến công thức nhân ba hàm số cơsin: cos3  4cos3   3cos Ta có: u2  4u13  3u1  cos3 ; u3  4u23  3u2  cos9 ; u4  4u33  3u3  cos 27 ; … Bằng qui nạp ta chứng minh un  cos3n1 Trường hợp 2: k  1 1 Ta đặt u1   a   2 a Bằng qui nạp ta chứng minh  3n1  un   a  3n1  , n  2 a  Bài tốn 2.2.3 Tìm cơng thức tổng quát dãy  un  xác u1  a  định bởi:  un 1  b với n  un   b.u n 1  Phƣơng pháp giải Ta đặt a  tan  , b  tan   un  tan    n  1   11 Bài tốn 2.2.4 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác u1    định bởi:  với n  2,  1, ab  a un  a  bun 1 Phƣơng pháp giải Đặt: u1    a cos; Bằng qui nạp ta chứng minh un  a cos 2n1 , n  2.3 ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ Ở tơi trình bày ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai số dạng tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không chứng minh) Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình dạng: u1   ,au n1  bun  f n , n  * ; 1 Trong a, b, số, a  f n biểu thức n cho trước Phƣơng pháp giải Bước 1: Giải phương trình đặc trưng a  b  để tìm  ; Bước 2: Tìm nghiệm un phương trình sai phân tuyến tính tương ứng: aun1  bun  (nghiệm có dạng un  c n 1 , c xác định dựa vào u1 ); Bước 3: Tìm nghiệm riêng un* phương trình khơng nhất; Bước 4: Nghiệm tổng quát phương trình (1) un  un  un* 12 Bài tốn 2.3.1 Tìm cơng thức tổng quát dãy  un  xác u1   định bởi:  với n  aun 1  bun  Phƣơng pháp giải Từ công thức truy hồi ta có: n 1  b  b  b un     un 1     un       u1  a  a  a Bài tốn 2.3.2 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác định u1   bởi:  với n  , f (n) đa thức bậc k n aun 1  bun  f (n) Phƣơng pháp giải b Xét phương trình đặc trưng: a  b      a Khi số hạng tổng quát dãy xác định un  c n1  un* Trong un* xác định sau: + Nếu a  b  un*  g (n) , thay vào phương trình ta được: ag (n  1)  bg (n)  f (n) Đồng hệ số ta tìm un* + Nếu a  b  un*  n.g (n) , thay vào phương trình ta được: a(n  1) g (n  1)  bng (n)  f (n) Đồng hệ số ta tìm un* Với g (n) đa thức bậc k n c số xác định dựa vào u1 Bài tốn 2.3.3 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác định  u1   bởi:  với n  n  aun 1  bun  d  13 Phƣơng pháp giải b Xét phương trình đặc trưng: a  b      a Khi số hạng tổng quát dãy xác định: un  c n1  un* ; un* xác định sau: + Nếu    un*  A. n , thay vào phương trình ta được: d ; a A n 1  b A n  d n  A  a  b d n d n Vậy un*   a  b a(   ) + Nếu    un*  An n , thay vào phương trình ta được: a A(n  1) n 1  b An n  d n ; d d d  A   a(n  1)  bn a(n  1)  a n a dn n 1 a Với c số xác định dựa vào u1 Vậy un*  Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình dạng: u1   ,u   ,au n2  bun1  cun  gn , n  * ;  2 a, b,c, ,  số, a  g n biểu thức n cho trước Phƣơng pháp giải Bước 1: Tìm nghiệm un phương trình sai phân tuyến tính tương ứng: aun  bun1  cun  0; Bước 2: Tìm nghiệm riêng un* phương trình khơng nhất; Bước 3: Nghiệm tổng quát phương trình (2) un  un  un* 14 Bài tốn 2.3.4 Tìm cơng thức tổng quát dãy  un  xác u1   , u2   định bởi:  với n  aun   bun 1  cun  Phƣơng pháp giải Xét phương trình đặc trưng a  b  c  Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt 1 , 2 un  c  n 1 1 c  n 1 2 số hạng tổng qt dãy có dạng ; c1 , c2 xác định biết u1 , u2 Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực 1  2   số hạng tổng qt dãy có dạng un  (c1  c2 n) n ; c1 , c2 xác định biết u1 , u2 kép Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức   x  iy   x  iy nghiệm phương trình đặc trưng Ta đặt:   r  cos  i sin   ; Vậy số hạng tổng quát dãy un  r n (c1 cos n  c2 sin n ) ; c1 , c2 xác định biết u1 , u2 Bài tốn 2.3.5 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác  u1   , u2   định bởi:  với n  n  aun   bun 1  cun  dq Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a  b  c  tìm nghiệm Ta có số hạng tổng quát dãy un  un  un* ; đó: un nghiệm phương trình tương ứng xác định toán 4, với c1 , c2 chưa xác định un* xác định sau: + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  q 2  q un*  kq n , thay vào phương trình ta được: 15 d ; aq  bq  c + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  q akq n   bkq n 1  ckq n  dq n  k  2  q un*  knq n , thay vào phương trình ta được: ak (n  2)q n   bk (n  1)q n 1  cknq n  dq n ; d a(n  2)q  b(n  1)q  cn + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  2  q k  un*  kn2 q n , thay vào phương trình ta được: ak (n  2) q n   bk (n  1) q n 1  ckn q n  dq n ; k  d d  a(n  2)2 q  b(n  1) q  cn 2aq Từ hệ thức un  un  un* ta tìm c1 , c2 biết u1 , u2 Bài tốn 2.3.6 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác u1   , u2   định bởi:  , n  , f (n) đa thức bậc k aun   bun 1  cun  f (n) theo n Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a  b  c  tìm nghiệm Ta có số hạng tổng quát dãy có dạng un  un  un* ; đó: un nghiệm phương trình tương ứng xác định toán 4, với c1 , c2 chưa xác định un* xác định sau: + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  2  u  g ( n) * n + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  2  u  ng (n) * n 16 + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm 1  2  u  n2 g (n) * n Trong g (n) đa thức bậc với f (n) Từ hệ thức un  un  un* ta tìm c1 , c2 biết u1 , u2 2.4 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ Ta xét số toán sau: Bài toán 2.4.1 Xác định số hạng tổng quát hai dãy  un    u0   , v0    thỏa mãn un 1  aun  bvn v  cu  dv n n  n 1 Phƣơng pháp giải u  a b  Đặt X n   n  , A    Khi ta được: c d    X n  AX n1   An X Như toán giải ta xác định An Bài toán 2.4.2 Xác định số hạng tổng quát dãy  xn  ,  yn   zn  thỏa mãn:  x0   , y0   , z0     xn 1  a1 xn  b1 yn  c1 zn ,n   yn 1  a2 xn  b2 yn  c2 zn  zn 1  a3 xn  b3 yn  c3 zn * Phƣơng pháp giải  a1 b1 c1   xn    Đặt A   a2 b2 c2  , X n   yn  Khi ta được:  a3 b3 c3   zn  X n  AX n1   An X 17 2.5 PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ Cơ sở lý thuyết Định nghĩa Hàm sinh thường dãy số vô hạng  an n0 chuỗi hình thức xác định bởi: G( x)  a0  a1 x  a2 x2   an x n  Sau tổng kết số công thức thường dùng hàm sinh: a/   x  x  x3  ; 1 x b/   x  3x  x3  ; (1  x) c/  n(n  1) n(n  1)(n  2)   nx  x  x    Cii n 1xi , n  n (1  x) 2! 3! i 0 * ;   x  x  x3  ; 1 x e/   2ax  3a x  4a3 x3  ; (1  ax)2 f/   x r  x r  x3r  ;  xr g/   x r  x r  x3r   xr Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát d/ dãy số Xét vài toán sau: Bài tốn 2.5.1 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác u0  a, u1  b định bởi:  với n  un   pun 1  qun Phƣơng pháp giải Đặt G( x) hàm sinh cho dãy  un  , ta có: 18 G( x)  u0  u1 x  u2 x  u3 x3  ;  pxG( x)   pu0 x  pu1 x2  pu2 x3  pu3 x4  ; qx2G( x)  qu0 x2  qu1 x3  qu2 x4  qu3 x5  ; Cộng đẳng thức vế theo vế, kết hợp với hệ thức truy hồi đề cho ta được:  G ( x)  (u1  pu0 ) x  u0  px  qx Trường hợp 1: Nếu  ,   :1  px  qx2  (1   x)(1   x) ; (u  pu0 ) x  u0 A B Do G( x)  ;   (1   x)(1   x)   x   x Quy đồng đồng hệ số ta tìm A, B   A B  G ( x)    A ( x)n  B (  x) n 1 x 1  x n 0 n 0 Do hệ số x n khai triển G( x) A n  B n nên: un  A n  B n , n  Trường hợp 2: Nếu   :1  px  qx2  (1   x)2 : (u  pu0 ) x  u0 A B Do G( x)  ;   (1   x)   x (1   x) Quy đồng đồng hệ số ta tìm A, B   A B n  G ( x)    A (  x )  B (n  1)( x)n     x (1   x) n0 n0 Do hệ số x n khai triển G( x) là: A n  B(n  1) n   A  B(n  1) n nên un  [A  B(n  1)] n , n  Trường hợp 3: Nếu  ,   :1  px  qx2  1     i  x  1     i  x  Do : 19 G ( x)  (u1  pu0 ) x  u0 A B   1     i  x  1     i  x   (   i) x  (   i) x Quy đồng đồng hệ số ta tìm A, B  G ( x)    A B   A[(   i) x]n  B[(   i) x]n  (   i) x  (   i) x n 0 n 0 Do hệ số x n khai triển G( x) A(   i)n  B(   i)n nên: un  A(   i)n  B(   i)n , n  Ta chuyển    i dạng lượng giác r (cos  i sin  ) để dễ tính lũy thừa Bài tốn 2.5.2 Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  xác u0  a, u1  b định bởi:  với n  , f (n) biểu un   pun 1  qun  f (n) thức theo n Phương pháp sử dụng hàm sinh để tìm cơng thức tổng qt dãy số có dạng cho tương tự tốn 20 CHƢƠNG III MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN Phương pháp chung Bước 1: Chứng minh dãy số tăng bị chặn số M (hoặc giảm bị chặn số m) Bước 2: Tính giới hạn dãy số theo hai cách sau: *Cách 1: - Đặt lim un  a ; n  - Từ hệ thức truy hồi ta phương trình theo ẩn a ; - Giải phương trình tìm nghiệm a giới hạn dãy (un ) nghiệm phương trình *Cách 2: - Tìm cơng thức tổng qt dãy số; - Tính giới hạn dãy số dựa vào cơng thức tổng quát vừa tìm 3.2 DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm số co Hàm số f : D  D gọi hàm số co D tồn số thực  q 1 cho f ( x)  f ( y)  q x  y , x, y  D Định lý Nếu f ( x) hàm số co D dãy số (x n ) xác định x0  a  D, xn1  f ( xn ) hội tụ Giới hạn dãy số nghiệm D phương trình x  f ( x) Phương pháp thường dùng dạng toán: u1  a , n  Cho dãy số thực (un ) xác định  un 1  f (un ) * 21 Khi f (u ) hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a f ' (u)  q  1, u  D (un ) có giới hạn hữu hạn n   Ngược lại f (u ) hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a , f (a)  f ' (u)  q  1, u  D (un ) dần dương vô n   Trường hợp (un ) có giới hạn giới hạn nghiệm phương trình f (u)  u Trong phương pháp ta thường dùng định lý Lagrange Định lý Lagrange Nếu f hàm số liên tục  a; b khả vi (a;b) ln tồn c   a; b  cho f (b)  f (a)  f ' (c)(b  a) 3.3 PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ Trong phương pháp ta thông qua giới hạn dãy số khác để tìm giới hạn dãy số cho cách đặt thêm dãy số phụ 3.4 DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Đối với vài dãy số có dạng un  f (n), n  * , ta có lim f ( x)  l lim un  l Như vậy, ta chuyển việc tính giới hạn x  dãy số sang tính giới hạn hàm số Khi tính giới hạn hàm số, ta sử dụng nhiều tính chất liên quan đến hàm số Và ta sử dụng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn đơn giản hơn, điều mà tính giới hạn dãy ta khơng dùng 3.5 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP Kết hợp việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá sử dụng nguyên lý kẹp, ta tính giới hạn số dãy số cho hệ thức truy hồi Sử dụng phương pháp ta đưa tốn tìm giới hạn dãy cho tốn tìm giới hạn dãy đơn giản 22 3.6 DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO Định lý trung bình Cesaro Nếu dãy số  un  có giới hạn hữu  u  u   un  hạn a dãy số trung bình cộng   có n   giới hạn a Định lý phát biểu dạng tương đương sau: u Nếu lim  un1  un   a lim n  a n n  n Định lý Stolz Cho dãy  un  ,   thỏa mãn: i/   tăng thực đến  ; u  un 1 ii/ lim n a; n  v  v n n 1 u Khi lim n  a n  v n Định lý trung bình Cesaro định lý Stolz có nhiều ứng dụng việc tìm giới hạn dãy số, đặc biệt dãy số có dạng un1  un   un   3.7 SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN Để tìm giới hạn tổng phụ thuộc vào n , nhiều trường hợp ta gặp khó khăn việc phân tích để tính tổng Tuy nhiên, ta lại phân tích tổng dạng tổng tích phân, chuyển tốn tính giới hạn tốn tính tích phân tương ứng Theo định nghĩa tích phân xác định ta có : Nếu hàm f ( x) khả tích đoạn  a; b với phép phân hoạch  đoạn  a; b cách chọn điểm i  xi 1; xi  , i  1,2, , n ta ln b có  a f ( x)dx  lim d 0 n  f ( )( x  x i i 1 i i 1 ) Trong d  max( xi  xi 1 ) 1i  n 23 Như vậy, để tính giới hạn tổng dựa vào định nghĩa tích phân ta làm sau: Xét hàm f ( x) xác định đoạn  a; b ; Chia đoạn  a; b thành n đoạn nhau, giới hạn (n  1)   điểm chia xi i  0, n sau: x0  a  x1  x2   xn  b Lấy i  xi  a  i ba [xi 1 ; xi ],i=1, n ; n ba   f (i )  f  a  i  n   ba n  f  a  i Nếu f ( x) khả tích  a; b lim Sn   f ( x)dx Ta lập tổng Sn  n  i 1 f (i )( xi  xi 1 )  n  n i 1 b  ba n  a 3.8 PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nội dung phương pháp lựa chọn dãy phù hợp nhằm áp dụng cơng thức tích phân phần để tìm quy luật dãy Từ tính giới hạn theo u cầu đề 24 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tập trung chương II chương III Các kết cụ thể luận văn gồm : Hệ thống phương pháp thường gặp tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số tốn chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số, bao gồm số phương pháp sử dụng kiến thức Toán cao cấp Trong phần xác định công thức tổng quát dãy số chương II, luận văn đưa số toán dạng tổng quát phương pháp giải chung cho dạng Chọn lọc toán thi để làm ví dụ minh họa cụ thể cho vấn đề đề cập luận văn Tuy nhiên, hạn chế định trình độ khoa học, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên luận văn hạn chế định, : Khi tìm hiểu ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính để xác định công thức tổng quát dãy số, luận văn chủ yếu tập trung vào ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai số dạng tốn mà khơng mở rộng thêm