Định lý cwikel và bất đẳng thức cwikel lieb rozenblum

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG C THèN NH Lí CWIKEL V BT NG THC CWIKEL - LIEB - ROZENBLUM Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T Ngc Trớ H Ni - 2016 LI CM N Tụi xin by t lũng bit n sõu sc v chõn thnh ti TS T Ngc Trớ, ngi ó tn tỡnh hng, dn ch bo cho tụi quỏ trỡnh lm lun Thụng qua lun ny, tụi mun gi li cm n n phũng sau i hc v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch trng i hc S phm H Ni ó to iu kin v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Tụi cng xin chõn thnh cỏm n gia ỡnh, bn bố v cỏc thnh viờn lp Toỏn gii tớch Khúa 18 ó ng viờn, giỳp tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Dng c Thỡn LI CAM OAN Tụi xin cam oan, lun ny l tụi vit di s hng dn ca TS T Ngc Trớ Tụi cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi ti khỏc Cỏc thụng tin trớch dn, cỏc ti liu tham kho lun ó c ch rừ ngun gc Lun cha c cụng b trờn bt k chớ, phng tin thụng tin no H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Dng c Thỡn MC LC Bng ký hiu M u Toỏn t v ph ca toỏn t 1.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn v ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn 1.2 1.3 1.1.1 Lý thuyt ph cho cỏc toỏn t t liờn hp 11 1.1.2 Lý thuyt ph cho cỏc toỏn t chun tc 24 Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn v ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn 27 1.2.1 Cỏc nh ngha c bn 27 1.2.2 Cỏc toỏn t úng 33 1.2.3 Cỏc toỏn t t liờn hp 38 1.2.4 Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn 49 1.2.5 nh lý ph 54 Toỏn t Schrăodinger 61 1.3.1 Toỏn t Schrăodinger t 61 1.3.2 Ph ca toỏn t Schrăodinger mt s trng hp khỏc 63 nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLiebRozenblum 68 2.1 M u 68 2.2 Kt qu m rng ca nh lý Cwikel 69 2.3 nh lý Cwikel v mt cỏch chng minh mi 73 2.4 Mt s kt qu m rng 75 2.5 Bt ng thc CwikelLiebRozenblum cho cỏc toỏn t 2.6 dng Schrăodinger tng quỏt 78 Mt s kt qu khỏc 82 Kt lun 85 Ti liu tham kho 86 BNG Kí HIU N Tp s t nhiờn R Tp s thc R+ Tp s thc dng C Trng s phc Tp hp rng Rn Khụng gian Euclide n chiu trờn trng s thc , Tớch vụ hng n x = j=1 x2j Chun Euclide ca vect x F Phộp bin i Fourier C (ã) Tp cỏc hm liờn tc T Nghch o ca toỏn t T T Toỏn t liờn hp ca toỏn t T khụng gian Hilbert T Bao úng ca toỏn t T (T ) Tp gii c ca toỏn t T RT Gii c ca toỏn t T D (T ) Min xỏc nh ca toỏn t T Ker (T ) Nhõn ca toỏn t T Ran (T ) Min giỏ tr ca toỏn t T L (X) Khụng gian Lebesgus cỏc hm b chn hu khp ni Lp (X) Khụng gian Lebesgus ca cỏc hm p - kh tớch ã inf Lp Chun Lp (X) Cn di ỳng sup Cn trờn ỳng suppg Giỏ ca hm g (T ) Ph ca toỏn t T p (T ) Ph im ca toỏn t T d (T ) Ph ri rc ca toỏn t T ess (T ) Ph thit yu ca toỏn t T o ph Toỏn t n v (ã) Biu trng ca h.k.n Hu khp ni CLR CwikelLiebRozenblum Kt thỳc chng minh M U Lý chn ti Bi toỏn c lng s cỏc giỏ tr riờng õm ca toỏn t Schrăodinger l mt bi toỏn rt c quan tõm Mt cỏc c lng ú l kt qu m ngy c phỏt biu l nh lý CwikelLiebRozenblum (xem [3], [5]) Dng u tiờn ca nh lý CwikelLiebRozenblum l t kt qu ca M Cwikel (xem [4]), ngy thng c gi l nh lý Cwikel Theo ỏnh giỏ [5] thỡ nh lý Cwikel l mt nhng nh lý p nht lý thuyt ph (among the most beautiful theorems in spectral theory) Bi bỏo gn õy ca Rupert L Frank [5] a mt cỏch chng minh mi, ngn gn hn cho cỏc kt qu ca nh lý Cwikel v sau ú l nh lý CwikelLiebRozenblum Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt ph thụng qua cỏc kt qu ca nh lý Cwikel v nh lý CwikelLiebRozenblum v c s hng dn ca thy T Ngc Trớ, tụi ó chn nghiờn cu ti: nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLiebRozenblum Mc ớch nghiờn cu ti ny nhm tỡm hiu nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLieb Rozenblum thụng qua mt kt qu c cụng b gn õy bi bỏo Rupert L Frank, Cwikels theorem and the CLR inequality, J Spectr Theory (2014), No 1, - 21 Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu mt chng minh v nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLiebRozenblum v cỏc liờn quan n cỏc kt qu ny qua vic tỡm hiu v nghiờn cu bi bỏo trờn õy ca Rupert L Frank i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Mt s cỏc dng toỏn t Schrăodinger v ph ca chỳng + Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo liờn quan n nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLieb-Rozenblum Phng phỏp nghiờn cu + S dng cỏc kin thc v lý thuyt ph, lý thuyt toỏn t tip cn ; + Tp hp ti liu liờn quan nghiờn cu bi bỏo ca Rupert L Frank; + Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc kt qu; + Tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn úng gúp mi + Lun s l mt ti liu tham kho cho nhng ngi quan tõm nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLiebRozenblum v cỏc xung quanh Ni dung Lun gm cú chng: Chng Lun trỡnh by cỏc kin thc c bn lm nn cho chng chớnh Chng Lun trỡnh by v nh lý Cwikel v bt ng thc CwikelLiebRozenblum Chng TON T V PH CA TON T Trong chng ny, lun trỡnh by v mt s dng toỏn t v ph ca chỳng Ni dung ca chng l nhng kin thc c s gúp phn lm nn cho chng chớnh phớa sau Ni dung ca chng c trớch dn t cỏc ti liu [8], [12] v [7] 1.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn v ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn nh ngha 1.1.1 Cho X, Y l cỏc khụng gian vect nh chun trờn trng s K, ỏnh x T : X Y tuyn tớnh nu T (x + y) = (T x) + (T y) vi mi x, y X v , K Ta núi rng ỏnh x tuyn tớnh T l mt toỏn t tuyn tớnh b chn nu tn ti hng s C > cho Tx Y C x X vi mi x X S C nh nht tha bt ng thc trờn c gi l chun ca T , kớ hiu l T Do ú, T = sup x X =1 Tx Y Khi X = Y thỡ T gi l toỏn t trờn X Khi Y = K thỡ toỏn t tuyn tớnh T c gi l phim hm tuyn tớnh 73 Nu a > (h.k.n) thỡ cỏc b 2.2.2 v 2.2.3 suy 1 p+1 sc Dd,p a p1 àp+1 T r a(i) b (X) a(i) + p p,w b p p, õy (p 1)p1 sc p+1 = Rd,p pp Vi dng tng quỏt a khụng õm chỳng ta ỏp dng cỏc cn trờn a = max {a, a}, õy a l hm dng c nh Lp, Rd Khi ú sc Dd,p 1 1 T r a(i) b (X) a(i) = T r b(X) a (i) b(X) + 1 T r b(X) a (i) b(X) + + = T r a (i) b (X) a (i) cỏc khng nh sau t cn trờn cho a v hin nhiờn l lim a 2.3 p p,w = a p p,w nh lý Cwikel v mt cỏch chng minh mi nh lý 2.3.1 (nh lý Cwikel) Nu f lq Rd v g lq Rd vi q > thỡ f (X) g (i) Sq,w L2 Rd vi f (X) g (i) q q,w q q2 q q+2 q2 q2 (2)d f q q g q q,w Nhn xột: Chỳng ta s ch õy rng nh lý Cwikel ch l mt h qu ca nh lý 2.2.1 Chng minh suy nh lý Cwikel t nh lý 2.2.1 ta s dng b sau, m nú ch rng cỏc i lng b chn nh lý 2.2.1 l thc s tng ng vi chun mt lp Schatten yu.(xem [5]) B 2.3.2 Ly K l mt toỏn t compact trờn mt khụng gian Hilbert H tỏch c v ly q > Khi ú K Sq,w (H) nu v ch nu |K| q := sup à>0 q 1 q T r(K K à)+ < , + 74 Hn na, q q2 |K| q K q,w T r(K K à)+ = n q,w |K| q X (, ) (E) d Chng minh Khi (E à)+ = Nu K q q2 n ta cú , (K K) d l hu hn thỡ nú b chn theo , (K K) d K q Tht vy, |K| q 1q K q,w q,w q q d = K Ngc li, (2 ,) (E) (E à)+ vi bt k < ta cú n , (K K) T r(K K à)+ Nu |K| q l hu hn thỡ nú b chn theo T r(K K à)+ q +1 Ta ti u húa v phi bng cỏch chn = n , (K K) q q 2q +1 q K q,w q q q v nhn c q |K| q Nh ó nờu ú l q |K| q 12 + 1q |K| q q q +1 q,w 75 Bõy gi chỳng ta chuyn sang chng minh nh lý Cwikel nh l mt h qu ca nh lý 2.2.1 Tht vy, bng cỏch ỏp dng phộp bin i unita chỳng ta cú th gi s f v g l khụng õm t K = f (X) g (i) p dng nh lý 2.2.1 vi a = g , b = f v p = 2q ta suy K q q sup q à>0 T r(K K à)+ (p + 1)p1 d a p (2) (p 1) p p,w b B 2.3.2 cho phộp ta bin iu ny thnh mt cn trờn cho K ú l kt qu ca nh lý Cwikel 2.4 p p q,w Mt s kt qu m rng Sau õy ta xột kt qu m rng ca nh lý Cwikel cho cỏc toỏn t nh lý 2.4.1 Cho : L2 (X, H) L2 (Y, G) l mt toỏn t unita, m L1 (X, H) b chn L (Y, G) Ly q > Nu f Lq (X, Sq (H)) thỡ f g Sq,w (L2 (Y, H) , L2 (X, G)) vi f g õy C = q q q2 q q,w q1 C2 f q Lq (Sq ) g q Lp,w (B) , L1 L Ký hiu Lp (X, Sp (H)) l khụng gian ca cỏc hm f o c trờn X vi cỏc giỏ tr cỏc toỏn t compact trờn H, tha iu kin f p Lp(Sp ) f = p Sp (H) dx < X Tng t, ký hiu Lp,w (Y, B (G)) l khụng gian ca tt c cỏc hm g o c trờn Y vi cỏc giỏ tr cỏc toỏn t b chn trờn G, tha iu kin: g p Lp,w (B) = sup p >0 y Y : g (y) B(G) > 76 (vi X v Y l cỏc khụng gian hu hn o c; H v G l cỏc khụng gian Hilbert tỏch) Nhn xột: Hng s ny l khụng tt bng hng s nh lý Cwikel q q+2 q (Corollary 2.2, [5]) bi tha s ca (q2)/2 > Nhng tha s ny q q2 q2 q q C2 q2 l tt hn tha s 22q5 q (xem [6], [4] v xem chi tit [5]) Chng minh í tng cỏch chng minh nh lý ny tng t chng minh ca b 2.2.3 C th, nu p > v a Lp,w (Y, B (G)) vi a (y) v kera (y) = {0} cho y Y (h.k.n) thỡ vi mi toỏn t trờn L2 (X, H) tha < < a, 2p1 2 T r a1 (p 1) p1 p 2p p1 C p1 a p Lp,w (B) T rH (x, x)p dx (2.3) X Nhc li õy C = L1 L Qua mt m rng n gin ca b 2.2.2 ta suy t (2.3) rng: T r a b a à p+1 + p p1 p C2 a p Lp,w (B) b p Lp (Sp ) , (2.4) vi iu kin a(y) v b(x) l cỏc giỏ tr khụng õm ca x v y iu ny cú ngha nh lý 2.4.1 tng t nh lý 2.2.1 theo ngha nh lý Cwikel Ta vit tng t nh trờn: 2 T r a1 = T rH (x, x) X d dx, (2.5) vi = P P v P = (0, ] (a) Cho toỏn t Hilbert-Schmidt H bt kỡ H, mi X hn o c v vi mi > 0, ta ỏp dng bt ng thc Schwarz tỡm: T rH H (x, x) Hdx = T rL2 (X,H) H H 77 (1 + ) T rL2 (X,H) H P P H + + T rL2 (X,H) H P P H ( õy H l vit tt ca H v P ca P ) Vi s hng u v phi ta chỳ ý rng: T rH H (x, x) Hdx T rL2 (X,H) = s hng th hai b chn chỳng ta nhc li iu hin nhiờn a v C = L1 L < , suy ra: T rL2 (X,H) H P P H T rL2 (X,H) H a{a> } H T rH H (y, x) a (y) {a(y)> } (y, x) Hdydx = Y a (y) {a(y)> } B (y, x) B T rH H Hdydx Y || C T rH H H a (y) B {a(y)B> } dy Y õy chỳng ta s dng thc t rng a (y) {a(y)> } B = a (y) B {a(y)B> } Bõy gi gi s Lp yu cú cn nh chng minh ca b 2.2.3 dn ti T rL2 (X,H) H P P H || C T rH H H p a p1 p Lp,w (B) p+1 Túm li, ta cú: T rH H (x, x) Hdx (1 + ) T rH H (x, x) Hdx + + || C T rH H H p a p1 p p+1 Lp,w (B) Khi ú nú cú giỏ tr vi mi v mi H, ta cú bt ng thc toỏn t (x, x) (1 + ) (x, x) + + C p a p1 p p+1 Lp,w (B) 78 Bõy gi chỳng ta s dng thc t rng mt bt ng thc toỏn t A B cú ngha l T rf (A) T rf (B) vi f khụng gim Trong trng hp riờng f (t) = t+ l phn dng v ú T rH (x, x) (1 + )1 T rH (x, x) + C p a p1 p + Nú cũn dựng bin i tớch phõn d p1 T rH (x, x) p (1 + ) p1 p1 p p p1 C p1 a p p Lp,w (B) T rH (x, x) , V ti u húa bng cỏch chn = (p 1)1 iu ny kt hp vi (2.5) chng minh (2.3) v hon thnh chng minh 2.5 Bt ng thc CwikelLiebRozenblum cho cỏc toỏn t dng Schră odinger tng quỏt Nhc li, mc ny ta gi s rng X l mt khụng gian o c v H l mt khụng gian Hilbert tỏch c nh lý 2.5.1 Cho T l mt toỏn t khụng õm trờn L2 (X, H) vi ker T = {0} Gi s rng cú cỏc hng s v > v A < vi mi E > , mi X ca o hu hn v mi H : T rL2 (X) , T (0,E] (T ) H X AE v2 || H (2.6) Khi ú vi mi hm o V trờn X, ly cỏc giỏ tr cỏc toỏn t compact t liờn hp trờn H, v N (0, T + V ) Cv A T rH V (x)2 dx X vi v v Cv = v2 v2 p+1 Lp,w (B) 79 Nu dim H = thỡ Cv cú th thay th bi v2 v (v + 2) (v 2)2 Cv = Núi cỏch khỏc, gi s (2.6) cú ngha l T (0,E] (T ) cú nhõn tớch phõn (ly cỏc giỏ tr cỏc toỏn t b chn trờn H) m trờn ng chộo cú cn tha T (0,E] (T ) (x, x) B(H) AE v2 Chng minh Theo nguyờn lý bin phõn v nguyờn lý Birman-Schwinger 1 N (0, T + V ) N (0, T V ) = n 1, T V T Tht vy, bng cỏch lp lun tng t nh chng minh ca b 2.3.2, Ta cú 1 T r T V T v v +1 AD T rH V (x)2 dx + X õy v v2 D= v2 trng hp tng quỏt, m cú th ci thin v+2 D= v v2 v2 vi dimH = Theo lp lun ca b 2.2.2 cui bt ng thc ny thỡ ta cú bt ng thc tng ng 1 v T r T A v2 K T rH (x, x) v2 dx X vi mi toỏn t T õy K= v2 (v 2)2 v 2(v1) v2 80 trng hp tng quỏt nú cú th ci thin (v 2)2 K= v (v + 2) vi dimH = Trong trng hp vụ hng dimH = (xem [9], [9], xem chi tit [5]) Nhng sa i x lý trng hp tng quỏt l tng t vi cỏc lp lun ca chỳng ta chng minh ca nh lý 2.4.1 cho hon chnh, ta phỏc tho ngn gn chng minh Ta thờm vo PE= (E,) (T ) v PE = (0,E] (T ) iu quan trng l cỏc cn nh trc: T rL2 (X,H) H PE PE H T rL2 (X,H) H PE T PE H vi mi X ca o hu hn v ca toỏn t Hilbert-Schumidt H bt k trờn H Theo (2.6) gi s v phi b chn AE (v2)/2 || T rH H H theo iu ny, cú ngha nh trờn thỡ ta cú: (x, x) (1 + ) (PE PE ) (x, x) + + AE v2 vi mi > Trong trng hp c bit dimH = cỏc cn cú th c ci thin phn no bng cỏch s dng lp lun ca b 2.3.1 (x, x) (PE PE ) (x, x) + A E v2 Vi cỏc cn nh trờn chỳng ta hon thnh chng minh bng cỏch ly tớch phõn trờn E Vớ d 2.5.2 Ly T = ()s , < s < d/2 L2 Rd Khi ú rừ rng ng chộo thụng qua phộp bin i Fourier ó thy (2.6) luụn ỳng vi v = d/s v |p|2s {|p| v C v mi t > t T rL2 (X) (, exp (tT ) )H C t (2.9) thỡ vi mi E > T rL2 (X) , T (0,E] (T ) AE H v2 (2.10) vi B = C (2e/v)v/2 Hn na, nu (2.10) luụn ỳng vi mt vi cỏc hng s v > v B v mi E > thỡ vi mi E > ta cú: T rL2 (X) , T (0,E] (T ) AE H v2 (2.11) vi A = B v/ (v 2) Chng minh chng minh khng nh th nht ca b ta s dng tớnh b chn (0,E] () etE et Tht vy t (2.9) suy T rL2 (X) , (0,E] (T ) v C t etE H 82 vi mi t > Ta ti u húa v phi bng cỏch chn t = v/ (2E) chng minh khng nh th hai ta vit (0,E] () = (o,min{s,E}] () ds s2 Tht vy t (2.10) suy T rL2 (X) , T (0,E] (T ) v B H {s, E} v2 v ds , = B E s2 v2 nh ó nờu Mt ng dng ca b 2.5.3 liờn quan t cỏc toỏn t Schrăodinger ú l, chn X = Rd , H = C v T = (i + A)2 Khi ú, ta khụng th kim tra (2.6) mt cỏch trc tip, chỳng ta bit t bt ng thc nghch o (2.9) luụn ỳng vi C = (4)d/2 || 2H Tht vy, kớch thc d 3, (2.11) luụn ỳng vi A = (e, (2d))d/2 (d/ (d 2)) || 2H v (2.6) vi A = (e, (2d))d/2 (d/ (d 2)) (xem chi tit [5]) 2.6 Mt s kt qu khỏc Trong mc cui ny chỳng ta s tho lun tỡm bi toỏn ti u (tc l ln nht cú th) hng s Ks,d bt ng thc Rumin 1 T r ()s Ks,d d (x, x) d2s dx (2.12) Rd vi cỏc toỏn t trờn L2 Rd tha ()s Ta gi s 2s < d B 2.2.3 (vi a () = ||2s v p = d/2s) suy bt ng thc ny luụn ỳng v hng s ti u tha món: Ks,d 2ds d 2s d 2s (2) d2s d + 2s d d d2s 2s dd2s 83 õy d = Rd : || < Trong nhn xột sau chỳng ta s ly hai cn trờn cho Ks,d v tho lun v mt tớnh i xng Nhn xột 2.6.1 õy ta thy Ks,d (2) 2ds d2s d 2s d d d2s 2s dd2s (2.13) Chỳ ý cn trờn ny khỏc vi hng s b 2.2.3 ch theo mt tha s ca (d 2s) / (d + 2s) ú l hai phng phỏp chng minh (2.13) Th nht chỳ ý rng mt Weyl - cụng thc bỏn c in cho mt cn di trờn hng s ti u Ds,d bt ng thc: s s T r () V () d d + Ds,d 2s +1 V (x)2s dx Rd v sau ú s dng b 2.2.2 bin i thnh mt cn trờn ca Ks,d Khi ú nú l chun, ta gii thớch mt chỳt, nhng tip cn mt cỏch trc tip hn Thay vỡ tỡm hng s tt nht Ks,d (2.12) ta tỡm hng s tt nht K s,d bt ng thc d d2s dpdx M (p, x) dp dx |p|2s M (p, x) K s,d (2)d (2)d Rd ìRd Rd Rd (2.14) vi mi hm s M trờn Rd ì Rd tha M (p, x) |p|2s vi mi x v p Vic s dng trỡnh by mch lc nú l n gin xỏc nh rng Ks,d K s,d ú l s b tớnh toỏn hng s ti u K s,d Nú xỏc nh theo v phi ca (2.13) Ti u húa M ca s hng M (p, x) = |p|2s {|p| 1/2 Ta cng chỳ ý rng cỏc hng s v phi ca (2.13) v (2.16) l kt qu gn ỳng s v s d/2 85 KT LUN Lun ny gii thiu mt cỏch tip cn gn õy ca Rupert L Frank vic chng minh nh lý Cwikel v bt ng thc Cwikel LiebRozenblum v cỏc xung quanh Do thi gian cú hn nờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp v ý kin ca cỏc thy cụ cựng cỏc bn lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n ! 86 TI LIU THAM KHO Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut [2] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni Ti liu ting Anh [3] J G Conlon (1985), A new proof of the CwikelLiebRosenbljum bound Rocky Mountain J Math, 15, No 1, 117122 [4] M Cwikel (1977), Weak type estimates for singular values and the number of bound states of Schrăodinger operators Ann Math 106, 93102 [5] Rupert L Frank (2014), Cwikels theorem and the CLR inequality, J Spec Theory , No 1, 21 [6] D Hundertmark (2002), On the number of bound states for Schră odinger operators with operator-valued potentials Ark Mat 40, 7387 [7] E Kowalski (2009), Spectral theory in Hilbert spaces, ETH Ză urich, Switzerland 87 [8] M Reed and B Simon (1980), Methods of modern mathematical physics, I: Functional Analysis, Academic Press, New York [9] M Rumin (2010), Spectral density and Sobolev inequalities for pure and mixed states Geom Funct Anal 20, 817844 [10] M Rumin (2011), Balanced distribution-energy inequalities and related entropy bounds Duke Math J 160, No 3, 567597 [11] B Simon (1976), Analysis with weak trace ideals and the number of bound states of Schrăodinger operators Trans Amer Math Soc 224, 367380 [12] Gerald J Tesch (2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrăodinger Operators, Academic Press, New York [13] T Ngc Trớ (2009), Results on the number of the zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University [...]... sẽ định nghĩa hàm f (T ) cho toán tử tự liên hợp T ∈ L(H) và f ∈ C(σ(T )) Định nghĩa của hàm f (T ) sẽ được sáng tỏ như sau: nếu d αj z j p(z) = j=0 là một hàm đa thức trong C [X], giới hạn tới σ (T ) Khi đó ta có thể xác định d αj T j ∈ L (H) p (T ) = j=0 Ta sẽ sử dụng định lý và hệ quả sau: Định lý 1.1.2 (Stone-Weierstrass) Cho X là một không gian tôpô compact Cho A ⊂ C (X) là một đại số con bất. .. C (σ (T )) có thể xấp xỉ đều bởi các hàm đa thức Điều này dẫn đến định nghĩa f (T ) = lim pn (T ) , n→+∞ (1.1) 13 ở đây (pn ) là dãy các đa thức sao cho f − pn C(X) → 0 Định nghĩa này bao gồm cả chiều và tính dương, và tính chất cơ bản của cấu trúc này được đưa ra trong định lý sau: Định lý 1.1.5 (Phép toán cho các hàm liên tục) Cho H là không gian Hilbert và T ∈ L(H) là một toán tử bị chặn tự liên... (x) với mọi x ∈ X (hầu khắp nơi) Ta sẽ chứng minh định lý này cho các toán tử tự liên hợp qua định lý quan trọng sau: 22 Định lý 1.1.14 (Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp) Cho H là một không gian Hilbert tách được và T ∈ L(H) là một toán tử liên tục tự liên hợp Tồn tại một không gian độ đo hữu hạn (X, µ), một toán tử unita U : H → L2 (X, µ) và một hàm bị chặn g ∈ L∞ (X, µ) sao cho Mg ◦ U =... muốn kéo dài chúng đến các toán tử được xác định trù mật Ta xét vận chuyển thông qua các phép đẳng cấu như sau: Cho H, H là các không gian Hilbert, A:H→H một đẳng cấu (không nhất thiết phải đẳng cự, và (D (T ) , T ) trong DD (H) Khi đó A (D (T )) , ω → A T A−1 (ω) 31 nằm trong DD (H ) và thường được ký hiệu AT A−1 Nói riêng, nếu A là đẳng cấu unita, ta nói T và AT A−1 là tương đương unita Một chú ý quan... dx), và điều này cho ta một toán tử tuyến tính đẳng cự F : L2 (Rn , dx) → L2 (Rn , dx) Hơn nữa, ta có thể chỉ ra sự mở rộng này là toàn ánh (như từ công thức Fourier nghịch đảo f = F f , f (x) = f (−x) 32 phù hợp với bất kỳ f khả tích nào với Ff cũng khả tích, và các hàm đó cũng trù mật trong L2 (Rn , dx)) Do vậy biến đổi Fourier là một ví dụ của một song ánh đẳng cự trên L2 (Rn , dx), và công thức. .. Cb (X) Xem phần chứng minh trong [[8], IV.4] 18 Ta thấy mệnh đề này là ứng dụng trực tiếp của định lý Riesz-Markov Thật vậy, ta có phiếm hàm tuyến tính   C (σ (T )) → C  f → f (T ) υ, υ Nó được xác định rõ ràng và dương, khi đó nếu f 0, ta có f (T ) 0, do vậy f (T ) υ, υ 0 theo định nghĩa Theo định lý Riesz-Markov, tồn tại một độ đo Radon duy nhất µ trên σ (T ) sao cho (f ) = f (T ) υ, υ = f (x)dµ... đóng (do định nghĩa của tổng Hilbert), nếu nó không thuộc trường hợp này, thì tồn tại υ0 ∈ H1⊥ − {0}, và khi đó I = I ∪ {υ0 } rõ ràng nằm trong O và chắc chắn rộng hơn I Vì vậy, bởi tính chất cực đại, ta có H1 = H Định lý 1.1.13 Cho H là không gian Hilbert tách được và T ∈ L(H) là một toán tử chuẩn tắc liên tục Khi đó tồn tại một không gian độ đo (X, µ), một toán tử unita U : H → L2 (X, µ) và một hàm... này mở rộng định nghĩa cho các đa thức, hay với bất kỳ p ∈ C [X], ta có d α (j)T j φ (p) = p (T ) = j=0 -(1) Ánh xạ này là một đại số Banach (đẳng cự), nói cách khác, ta có φ (f1 f2 ) = φ (f1 ) φ (f2 ) với mọi fi ∈ C (σ (T )) , φ (Id) = Id, và φ (f ) = f C(σ(T )) (1.2) Ngoài ra, đồng cấu này còn có các tính chất sau: -(2) Với bất kỳ f ∈ C (σ (T )), ta có φ(f )∗ = φ f hay f (T )∗ = f (T ), và nói riêng... được định nghĩa trên C khi σ (T ) không là tập con của R Đầu tiên ta phải khẳng định rằng tất cả các phép chiếu Π1,A và Π2,B (Do T1 và T2 giao hoán theo bổ đề sau (không cần chứng minh): Bổ đề 1.1.18 Cho H là không gian Hilbert tách được, và cho T1 , T2 là các toán tử tự liên hợp trong L (H) mà giao hoán, liên kết với các độ đo giá trị là phép chiếu Π1 và Π2 Khi đó, với các hàm độ đo bị chặn f và g,... tài liệu [7], [8] 1.2.1 Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian Hilbert Một toán tử được xác định trù mật (densely defined operator) định nghĩa trên H là một cặp (D (T ) , T ) ở đây D (T ) ⊂ H là một không gian con trù mật của H, được gọi là miền xác định của toán tử, và T : D (T ) → H là một ánh xạ tuyến tính Ta ký hiệu DD(H) là tập của các toán tử xác định trù mật trên H Nhận