Về bất đẳng thức bất định heisenberg cho toán tử tích phân fourier không unitar

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CÙ THỊ THU MINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG CHO TỐN TỬ TÍCH PHÂN FOURIER KHÔNG UNITAR LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CÙ THỊ THU MINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG CHO TỐN TỬ TÍCH PHÂN FOURIER KHƠNG UNITAR Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2017 Mục lục Lời nói đầu Biến đổi tích phân Fourier 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Biến đổi Fourier chuỗi 1.3 Những tính chất biến đổi Fourier 5 14 Bất đẳng thức bất định Heisenberg 2.1 Hàm Hermite 2.2 Nguyên lí bất định biến đổi Fourier 2.2.1 Nguyên lý bất định Heisenberg 2.2.2 Ứng dụng học lượng tử 2.2.3 Ứng dụng vật lý 2.3 Nguyên lý bất định Heisenberg 22 22 30 30 31 33 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu "Sự ngẫu nhiên mờ ảo cai trị giới nguyên tử Tôi miêu tả chuyển động electron nguyên tử miêu tả đường đạo trái banh mà người ta ném lên không, hay hành trình tàu rẽ nước đại dương Tơi khơng nắm chuyển động electron đo thời điểm lúc vị trí vận tốc tơi làm việc cho trái banh hay tàu Sự khơng xác, hay bất định, khơng thể trừ khử cho dù dụng cụ đo đạc có cầu kỳ Nó gắn liền với hành động đo Thí dụ lúc đo vị trí electron, tơi phải chiếu sáng nó, làm vậy, tơi gởi tới hạt ánh sáng gây nhiễu loạn vận tốc electron Nếu ∆x bất định phép đo vị trí x ∆v bất định phép đo vận tốc v, tích h số chúng ln ln lớn số nhỏ, 2π h −27 số Planck, h ∼ 6, 63.10 erg giây): ∆x.∆v ≥ h 2π Vậy làm giảm bất định vị trí (∆x gần zero) bất định trở nên vơ lớn để bù trừ, làm tích h Tôi làm giảm lúc ∆x ∆x.∆v ln lớn 2π ∆v." (Trích- nguồn: Internet) Nhà vật lý học Đức Werner Heisenberg diễn tả bất định giới nguyên tử bất đẳng thức Nguyên lí bất định nguyên lí quan trọng học lượng tử Trong tốn học, ngun lí bất định thể đa dạng, phong phú Trong khuôn khổ nghiên cứu em muốn trình bày luận văn số hiểu biết Bất đẳng thức bất định Heisenberg cho tốn tử tích phân Fourier khơng unitar Luận văn gồm hai chương xếp sau Chương nhắc lại định nghĩa biến đổi Fourier biến đổi tích phân Fourier ngược số ví dụ Sau tính chất biến đổi Fourier tính tuyến tính, tính trễ, tính liên hợp phức số định lý, bổ đề quan trọng có sử dụng Chương Trong chương 2, luận văn trình bày nguyên lý bất định Heisenberg , biến dạng biến thể của nguyên lý Luận văn nhấn mạnh đến nguyên lý bất định cho biến đổi tích phân Fourier không unitar Đầu tiên, ta đề cập đến dịch chuyển hàm Hermite Hàm Hermite đóng vai trò quan trọng nghiên cứu dao động điều hòa học lượng tử, hàm riêng phép biến đổi T2,1 Do T2,1 khơng phải tốn tử unitar nên đẳng thức Parseval khơng cho tốn tử này, thay vào đẳng thức dạng Parseval Tiếp theo, ta đề cập đến nguyên lý bất định định lý Với đại lượng đề cập định lý ta tìm hiểu ý nghĩa vật lý học lượng tử Cuối nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho tốn tử tích phân Fourier T2,1 Do T2,1 khơng phải tốn tử unitar nên việc chứng minh nguyên lý phức tạp nhiều so với phép chứng minh tương tự cho tốn tử unitar Vì thế, luận văn nêu lại đẳng thức Parseval, đẳng thức dạng Parseval , đóng vai trò quan trọng trình chứng minh nguyên lý Một số bổ đề định lý đưa bổ sung cho bước chứng minh Cách tiếp cận để chứng minh cho nguyên lý sử dụng chuỗi Fourier hàm số thực Để hoàn thành luận văn, tác giả nhận giúp đỡ thầy cô, bạn bè, đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, thầy cô Seminar mơn Tốn trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn thầy cô giáo khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn em hồn thành khóa học Cao học 2015-2017 Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Rất mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Biến đổi tích phân Fourier 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 ([13]) Biến đổi Fourier biến đổi tích phân Fourier ngược định nghĩa công thức đây: (Ff ) (x) := d (2π) F−1 f (x) := d (2π) f (y)e−ixy dy (1.1) f (y)eixy dy (1.2) Rd Rd Hàm số f gọi hàm gốc, Ff gọi hàm ảnh Trong mục ta chứng minh với giả thiết cho trước , F xác định không gian hàm L1 Rd L2 Rd , hai biến đổi Fourier F, F−1 thực tạo thành cặp xuôi-ngược Nghĩa gọi biến đổi khởi đầu biến đổi ngược (Ta chấp nhận cụm từ biến đổi ngược dành cho F−1 ) Với x = (x1 , x2 , , xd ) ∈ Rd , kí hiệu −x = (−x1 , −x2 , , −xd ), f (x) = f (−x) cho hàm xác định Rd Dễ dàng thấy rằng, f ∈ L1 (Rd ) f ∈ L1 (Rd ) Hơn nữa, Ff (x) = F−1 f (x), (1.3) (F f ) (x) = F−1 f (x) (1.4) Đơi ta dùng kí hiệu (Ff )( x) := f (x) Trong trường hợp phức hợp, ta dùng kí hiệu sau (f g)∧ (x) := (Ff g)(x), Nghĩa , (f g)∧ (x) biến đổi Fourier hàm số tích f g Ví dụ 1.1 Với số dương a, xét hàm số f (y) = e−a|y| xác định Rd , y12 + y22 + · · · + yd2 |y| := Đây trường hợp đặc biệt hàm Gauss Ta dễ nhận thấy f ∈ L1 (Rd ) Hơn nữa, |x|2 (Ff ) (x) = √ e− 4a 2a Bằng cách chọn a = , x = ta đẳng thức quen thuộc +∞ e−x dx = √ π −∞ Khi thấy Ff ∈ L1 (Rd ) Trong trường hợp f ∈ L1 (Rd ) f ∈ L1 (Rd ) Khi a > ta thấy f ∈ Lp (Rd ) f ∈ Lp (Rd ) với p ≥ Ví dụ 1.2 Xét hàm số h(y) = e−y , 0, y ≥ y < xác định R, ta có (Fh) (x) = √ 2π(1 + ix) Hơn nữa, 1 1 |(Fh) (x)| = √ = √ √ 2π + ix 2π + x2 Từ suy Fh ∈ / L1 (R) Trong trường hợp h ∈ L1 (R) Fh ∈ / L1 (R) Ví dụ 1.3 Cho hai số a, b ∈ R thỏa mãn a < b Xét hàm số (f0 )(y) = 1, a ≤ y ≤ b 0, y ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) Như hàm f0 xác định R điểm x=0 ta có (Ff0 ) (0) = √ 2π −ixy e R f0 (y)dy = √ 2π b a b−a dy = √ 2π Tại điểm x = ta có (Ff0 ) (0) = √ 2π −ixy e R f0 (y)dy = √ 2π b e−ixy dy = a e−iax − e−ibx √ 2πix Vậy,  −iax e − e−ibx    √ ,x = 2πix (Ff0 )(x) = b−a    √ , x = 2π Chú ý: Hàm ảnh f0 Ff0 liên tục điểm Tuy nhiên F f0 ∈ / L1 (R) 1.2 Biến đổi Fourier chuỗi Fourier khoảng vô hạn Trong phần ta ngầm hiểu hàm xét thỏa mãn tất giả thiết để lập luận Trọng tâm phần trình bày ý tưởng, ta xét trường hợp chiều Giả sử hàm f xác định R Ta nói hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng [−T, T ] • f khả tích tuyệt đối khoảng [−T, T ] • f có số lượng hữu hạn điểm gián đoạn loại khơng có điểm gián đoạn loại hai khoảng [−T, T ] • f có số lượng hữu hạn điểm cựu đại cực tiểu thuộc khoảng [−T, T ] Theo định lý Fourier, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet khoảng [−T, T ] f biểu diễn dạng chuỗi Fourier phức +∞ f (x) = cn exp(i n=−∞ nπ x), T (1.5) +T cn = 2T f (t) exp(−i −T nπ t)dt T (1.6) Đặc biệt f ∈ C ([−T, T ]) chuỗi Fourier xác định vế phải (1.5) hội tụ tuyệt đối đến f Có thể nói rằng, điều kiện Dirichlet đủ để chuỗi Fourier hội tụ Thực ra, điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ mối quan tâm nhiều nhà toán học lớn thời gian dài Năm 1922, Andrey Kolmogorov cho ví dụ hàm khả tích Lebesgue chuỗi Fourier lại phân kỳ hầu khắp nơi Sau đó, ơng lại cho ví dụ hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ điểm Đến nay, có nhiều kết đề cập đến tính hội tụ chuỗi Fourier, từ điều kiện đủ f khả vi x dến kết tinh tế Lennart Carleson f ∈ L2 ([0, T ]) chuỗi hội tụ hầu khắp nơi; cụ thể, hai định lý phiên khác chứng minh Carleson cho đối tượng thuộc L2 vào năm 1966, Hunt mở rộng cho đối tượng thuộc Lp (p > 1) vào năn 1968 Định lý 1.1 ([13], Định lý Carleson-Hunt) Giả sử f hàm số xác định đoạn hữu hạn [0, T ] Lp - khả tích với p > Ký hiệu f (n) hệ số Fourier f Khi f (n)einx = f (x) lim N →∞ |n| N với x ∈ [0, T ] hầu khắp nơi Định lý 1.2 ([13], Định lý Carleson-Hunt) Giả sử f ∈ Lp (R) với p > f có biến đổi Fourier f (ξ) Khi lim √ R→∞ 2π f (ξ)eixξ dξ = f (x) |ξ| R với x ∈ R hầu khắp nơi Nhận xét Trong công thức (1.5), f biểu diễn tổng nπ biên độ phức cn Biểu diễn hiển dao động với tần số T 2T nhiên tuần hoàn với chu kỳ khoảng [−T, T ] Tuy thế, n vế phải (1.5) không biểu thị hàm f điểm khoảng [−T, T ], trừ f vốn tuần hoàn với chu kỳ 2T Trong trường hợp tổng qt (khi mà f khơng thỏa mãn điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ), ta viết +∞ nπ cn e(i T x) f (x) ∼ (1.7) n=−∞ Ta nói (1.7) biểu diễn (hình thức) hàm f xác định đoạn hữu hạn [−T, T ] Ta thấy vấn đề khoảng hữu hạn dẫn đến lý thuyết chuỗi Fourier, vấn đề khoảng vô hạn (−∞, +∞) dẫn đến tích phân Fourier Câu hỏi đặt cách tự nhiên là: với hàm xác định R sao? Nói cách khác, tìm biểu diễn hàm xác định R (khơng thiết tuần hồn) Rõ ràng, biểu diễn với tổng tương tự (1.5) có lẽ khơng phù hợp tổng đại lượng nπ e(i T x) có nghĩa T hữu hạn Ý tưởng là, cho T → ∞ ta tìm biểu diễn tương ứng cho hàm số xác định khoảng vơ hạn R ( khơng thiết tuần hồn) Tạm thời ta ký hiệu +T f (T, ω) = −T f (x)e−iωx dx, ω ∈ R (1.8) 30 2.2 2.2.1 Nguyên lí bất định biến đổi Fourier Nguyên lý bất định Heisenberg Nguyên lý bất định biến đổi Fourierkhẳng định hàm số khác không ảnh Fourier khơng thể đồng thời địa phương hóa Nói cách khác , độ rộng đồ thị |f (x)|2 |(Ff )(ξ)|2 đồng thời đủ nhỏ Sự kiện tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg học lượng tử rằng: tọa độ hạt xung lượng khơng thể đồng thời xác định xác, định lý độ rộng băng tần giải tích tín hiệu lý thuyết thơng tin Về khía cạnh lịch sử, ý tưởng nguyên lý bất định đặt Heisenberg vào năm 1927, sau phát triển Gabor vào năm 1946, sau chúng phổ biến phát triển mạnh mẽ Ngày có nhiều mở rộng, nhiều biến dạng, biến thể nguyên lý bất định cho tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Cơng trình nghiên cứu Folland, tác giả cho khái qt sâu rộng, hệ thống hóa tồn diện, bao quát nguyên lý bất định cho đối tượng toán học khác nhau, cho biến dạng biến thể nguyên lý Ngoài ra, tác giả Maass Sagiv, Cochen, Stark cơng trình nghiên cứu nhiêu kết gần liên quan đến nguyên lý bất định Định lý 2.8 ([13], Nguyên lý bất định) Nếu f ∈ L2 (R), g = T2,1 f, xf (x) ξg(ξ) 2 f (2.12) Đẳng thức xảy f (x) = M e−N x với hầu khắp nơi R, N > Thực ra, ta có (x − x0 )f (x) (ξ − ξ0 )g(ξ) f 2 (2.13) với x0 , ξ0 ∈ R Chú ý 2.2 Chú ý phát biểu Định lý 2.8 có phần thơ thiển lẽ hàm xf (x) ξ f (ξ) không L2 - hội tụ Khi đó, vế trái xem đại lượng +∞; vậy, bất đẳng thức theo nghĩa rộng Chứng minh Bất đẳng thức (2.13) suy trực tiếp từ bất đẳng thức (2.12) cách thay hàm f (x) hàm e−ixξ0 f (x + x0 ) sau đổi biến Bởi ta cần chứng minh (2.12) 31 Khơng tính tổng quát, ta chuẩn hóa hàm f , nghĩa giả thiết ||f || = Hơn nữa, không gian Schwartz S trù mật L2 (R) nên ta cần chứng minh bất đẳng thức cho hàm thuộc S Như vậy, giả sử f ∈ S Ta có |f (x)|2 dx = − 1= x R R =− d |f (x)|2 dx xf (x)f (x) + xf (x)f (x) dx R Sử dụng đẳng thức f = f f bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta |x| |f (x)| f (x) dx R 2 |x| |f (x)| dx 2 |f (x)| dx (2.14) R R Mặt khác lấy đạo hàm biến đổi Fourier ta |f (x)| dx = R |ξ|2 f (ξ) dξ (2.15) R Kết hợp hai bất đẳng thức (2.14) (2.15) ta nhận bất đẳng thức cần chứng minh Nếu đẳng thức xảy ra, đẳng thức xảy dấu mà ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Khi f (x) = N xf (x), N ∈ R Phương trình vi phân thường có nghiệm f (x) = M eN x , M số Do f ∈ S ta suy N < Định lý 2.8 chứng minh hoàn toàn 2.2.2 Ứng dụng học lượng tử Vấn đề tượng hạt vi mô Khi nghiên cứu tọa độ xung lượng hạt, người ta muốn xác định xác đồng thời 32 tọa độ hạt xung lượng Ở đề cập tới hạt điện tử (electron) di chuyển dọc theo trục thực Theo định luật vật lý, thuộc tính quan trọng chi phối hàm trạng thái f (hay gọi hàm sóng) mà ta chuẩn hóa |f (x)|2 dx = R Chú ý tọa độ hạt (vi mô) định nghĩa theo cách thông thường vị trí điểm x; thay vào xác suất tọa độ cho luận điểm học lượng tử; là: • Xác suất hạt có khoảng (a, b) b |f (x)|2 dx a Theo luận điểm này, ta tìm xác suất tọa độ hạt thông qua hàm trạng thái f Dù xác suất bắt gặp hạt khoảng (a, b) nhỏ, xác suất trục R đương nhiên 1, nghĩa |f (x)|2 dx = R Về mặt toán học, biến cố chắn Ngoài hàm mật độ xác suất |f (x)|2 , đại lượng kì vọng nơi hạt cần phải xuất Kì vọng cho công thức x|f (x)|2 dx x= (2.16) R Ý nghĩa kì vọng dự đốn tốt tọa độ hạt Ví dụ sau cho minh họa điều này: xét tình ký tưởng mà hạt vị trí hữu hạn x1 , x2 , , xN , với xác suất xuất tương ứng làp1 , p2 , , pN , Khi đó, điều tự nhiên ta nghĩ khả vị trí hạt N x= xk pk k=1 Tổng xem giá trị trung bình với trọng pk tọa độ hạt xuất Bởi vậy, đại lượng (2.16) hợp lý cho trường 33 hợp liên tục Kí hiệu x kỳ vọng hạt đại lượng xác định cơng thức (x − x)2 |f (x)|2 dx Ef (x) := (2.17) R gọi bất định tọa độ (uncertainty of co-ordinate), mà lý thuyết xác suất gọi phương sai Thực vậy, nội hàm tính bất định ở chỗ: f tập trung nhiều gần x có khả cao x gần x nên đại lượng Ef nhỏ; trái lại, f (x) phân tán cao, tức phân bố xác suất |f (x)|2 không nhận giá trị tập trung vào khoảng cụ thể, đại lượng Ef lại lớn; đó, xác suất bắt gặp hạt gần vị trí kỳ vọng x lại nhỏ Tiếp theo ta đề cập đến xung lượng hạt Một định luật học lượng tử khẳng định rằng: • Xác suất xung lượng ξ thuộc khoảng (a,b) b f (ξ) dξ, a f biến đổi Fourier f Tương tự khái niệm tính bất định tọa độ ta xây dựng tính bất định xung lượng sau 2 (ξ − ξ) f (ξ) dξ Ef (ξ) := R Kết hợp tính bất định hai thuộc tính vật lý tọa độ xung lượng, Định lý 2.8có ý nghĩa là: hai đại lượng bất định nêu khơng thể đồng thời nhỏ; nói cách khác, xác định tọa độ với xác suát cao xung lượng mong muốn xuất với xác suất nhỏ, ngược lại Bằng cách chọn số dương thích hợp số Planck h để chuẩn hóa hàm trạng thái f ta kết luận rằng: (bất định tọa độ ) x (bất định xung lượng ) 2.2.3 Ứng dụng vật lý Tiếp theo, nhắc đến ý tưởng Bruijn, tác giả kết nối biểu thức tích phân với khái niệm hữu dụng vật lý cổ điển Cụ thể, với f1 , f2 ∈ L2 (R), với x, y số thực, ta định nghĩa 34 f1 (x + t)f2 (x − t)e−4πiyt dt H(x; y; f1 , f2 ) = (2.18) R Xem H hàm số biến x y, tác giả đưa khái niệm (2.18) thuật ngữ âm với H(x, y; f, f ) gọi mật độ lượng f thời điểm x tần số y, đơn giản điểm kết âm f Giả sử f, g xác định f (t) = f1 (t + x)e−2πiyt , g(t) = f2 (t + x)e−2πiyt Khi ta có H(x, y; f1 , f2 ) = H(0, 0; f, g) Do vậy, thay xét H(x, y; f1 , f2 ) (2.18) ta xét H(0, 0; f, g), nghĩa H(0, 0; f, g) = f (t)g(−t)dt R Cái gọi điểm kết âm xuất bất đẳng thức (2.19) 2.3 Nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi tích phân Fourier khơng unitar Định lý 2.9 ([13], Hệ thức bất định dạng Heisenberg) Nếu ψ, ξ(T2,1 ψ)(ξ) ∈ L2 (R), xψ(x) ξ(T2,1 ψ)(ξ) 2 − ξ(T2,1 ψ)(ξ), ξ(T2,1 ψ)(−ξ) 2 ≥ ψ 2, (2.19) xψ(x) −1 ξ(T2,1 ψ)(ξ), ξ(T2,1 ψ)(ξ) ≥ ψ 2 (2.20) Đẳng thức xảy ψ(x) = Ae−βx , β > Do T2,1 tốn tử unitar nên phép chứng minh phức tạp nhiều so với phép chứng minh tương tự cho toán tử unitar Rất may đẳng thức Parseval nên đẳng thức dạng Parseval 35 2.9 Định lý 2.7 có vai trò quan trọng phép chứng minh Định lý 2.9 Cách tiếp cận sử dụng chuỗi Fourier hàm số thuộc L2 (R) Với m, n ∈ R ta có ψm , ψn = δmn , δmn ký hiệu Kronecker Giả sử f ∈ L2 (R), g = T2,1 Do + 2i − 2i −1 F+ F 4 −1 T2,1 = (2.11), hệ số Fourier f g có mối liên hệ − 2i −1 + 2i Fψm + F ψm 4 (1 + 2i)i−m + (1 − 2i)im = g, ψm (2.21) −1 γm := f, ψm = T2,1 f, T2,1 ψm = g, Tương đương với g, ψm = θm γm , θm := , m = 0,1, (1 + 2i)i−m + (1 − 2i)im Dễ dàng thấy m θm = (−1) 2 m = 0,2 (mod 4) m−1 (−1) m = 1,3 (mod 4), θm = −θm θm+2 = m chẵn m lẻ (2.22) (2.23) Bổ đề 2.2 Đẳng thức sau ∞ tf (t) 2 + + tg(t) 2 = [(2m + 1)(1 + θm ) |γm |2 m=0 m(m + 1)(1 + θm−1 θm+1 )(γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 )] (2.24) Chứng minh Chúng ta nhắc lại công thức truy hồi hàm Hermite √ √ √ 2tψm (t) = m + 1ψm+1 (t) + mψm−1 (t), m ∈ N, 36 ký hiệu ψ−1 (t) := Đặt γ−1 := Khi √ √ √ tf (t), ψm (t) = m + 1γm+1 + mγm−1 (2.25) Ký hiệu θ−1 = −1, áp dụng đẳng thức (2.21)-(2.23) ta có √ √ √ tg(t), ψm (t) = g(t), m + 1ψm+1 (t) + mψm−1 (t) √ √ = m + g(t), ψm+1 (t) + m g(t), ψm−1 (t) √ √ = m + 1θm+1 γm+1 + mθm−1 γm−1 Do tf (t) 2 ∞ √ √ = tf (t), tf (t) = m + 1γm+1 + mγm−1 m=0 ∞ (m + 1)|γm+1 |2 + m|γm−1 |2 = m=0 + m(m + 1)(γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 ) ∞ = (2m + 1)|γm |2 m=0 + m(m + 1)(γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 ) (2.26) tg(t) 2 = tg(t), tg(t) ∞ √ √ = m + 1θm+1 γm+1 + mθm−1 γm−1 m=0 ∞ 2 (m + 1)θm+1 γm+1 + mθm−1 |γm−1 |2 = m=0 + m(m + 1)θm−1 θm+1 (γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 ) ∞ = (2m + 1)θm |γm |2 + m=0 m(m + 1)× θm−1 θm+1 (γm−1 γm+1 + γm−1 γm+1 ).] (2.27) Áp dụng (2.26) (2.27) ta thu đẳng thức (2.24) Bổ đề 2.2 chứng minh 37 Bổ đề 2.3 Bất đẳng thức sau tf (t) 2 + tg(t) 2 f 2 (2.28) Đẳng thức xảy hàm f có dạng sau exp(−At2 ), A > với hầu khắp nơi t ∈ R Chứng minh Áp dụng (2.21)-(2.24) ta có ∞ 2 P := tf (t) + tg(t) 2 (2m + 1)(1 + θm )|γm |2 = m=0 + m(m + 1)(1 + θm−1 θm+1 )(γm−1 γm+1 γm−1 γm+1 ) ∞ = (2m + 1)(1 + θm )|γm |2 m=0 √ √ + (1 + θm−1 θm+1 ) m + 1γm+1 + mγm−1 ∞ − (1 + θm−1 θm+1 ) (m + 1)|γm+1 |2 + m|γm−1 |2 m=0 Thay m + := m, m − := m, ta thu ∞ [(2m + 1) (1 + θm |γm |2 + (1 + θm−1 θm+1 )× P := m=0 √ m + 1γm+1 + √ mγm−1 ∞ − (2m + 1)(1 + θm θm+2 )|γm |2 m=0 Do θm = −θm θm+2 ta có ∞ P = (2m + 1)θm |γm |2 m=0 ∞ + √ √ (1 − θm ) m + 1γm+1 + mγm−1 m=0 ∞ 2 (2m + 1)θm |γm |2 = 4|γ0 | + 3|γ1 | + m=2 ∞ + √ √ (1 − θm−1 ) m + 1γm+1 + mγm−1 m=0 38 Vì − θm−1 −3, 3|γ1 |2 4|γ1 |2 − |γ1 |2 , nên ta có P 4|γ0 |2 + 4|γ1 |2 ∞ √ √ 3 m + 1γm+1 + mγm−1 +4 |γm | − |γ1 | − 2 m=2 m=2 ∞ ∞ √ √ =4 |γm | − m + 1γm+1 + mγm−1 m=2 m=2 ∞ |f (t)|2 dt − =4 R 2 t2 |f (t)|2 dt (2.29) R Do tf (t) 2 + tg(t) 2 f 2 Đẳng thức xảy (2.28) γ1 = γ2 = · · · = 0, nghĩa f (t) hầu khắp nơi hàm số exp(−At2 ), A > Bổ đề 2.3 chứng minh Bây ta chứng minh Định lí 2.8 Chọn số p > 0, xét hàm số f1 , g1 sau: 1 t f1 (t) = p− f ( ), g1 (t) = p g(tp) p Ta chứng minh g1 = T2,1 f1 Thực vậy, ta có (2 cos ty + sin ty)f1 (y)dy (T2,1 f1 )(t) = √ 2π R 1 2+i y 2−i y √ √ = e−ity p− f ( )dy + eity p− f ( )dy p p 2π R 2π R 2+i y 2−i y √ √ = p2 e−ity f ( )dy + eity f ( )dy p p 2π R 2π R 1 = p (T2,1 f )(tp) = p g(tp) = g1 (t) Áp dụng Bổ đề 2.3 cho f1 , g1 ta 4p2 tf (t) 2 + p−2 tg(t) 2 f1 2 =4 f 2 Tìm cực tiểu biểu thức vế trái theo biến p ∈ (0; +∞) ta nhận p∈(0;+∞) 4p2 tf (t) 2 + p−2 tg(t) 2 = tf (t) tg(t) 39 Suy bất đẳng thức bất định Heisenberg (2.28) Định lý 2.8 chứng minh Bây ta chứng minh Định lý 2.9 Xét phép biến đổi tích phân sau (T1 f )(x) := √12π R (cos xy − 21 sin xy)f (y)dy Áp dụng đẳng thức 1 sin xu)(cos xv − sin xv) 2 = cos x(u − v) + cos x(u + v) − sin x(u + v), 8 (cos xu − ta chứng minh Bổ đề 2.4 tương tự phép chứng minh đẳng thức (2.9) Bổ đề 2.4 Với f, g ∈ L2 (R) ta có T1 f, T1 g = f, g + f, g 8 (2.30) Ta chứng minh Định lý 2.9 Áp dụng Định lý 2.5 nhận xét S(R) trù mật L2 (R), ta cần chứng minh định lý cho hàm ψ ∈ S(R) Lấy tích phân phần sử dụng ψ, (ψ) ∈ S(R) ta thu ψ 2 =− x R d |ψ(x)|2 dx = − xψ (x), ψ(x) − xψ(x), ψ (x) dx Áp dụng đẳng thức | xψ (x), ψ(x) | = | xψ(x), ψ (x) | bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có ψ 2 |x| |ψ(x)| |ψ (x)| dx 2 xψ(x) ψ (2.31) R −1 Theo Định lý 2.2 ta có ψ = (T2,1 (T2,1 ψ)) Do ψ (x) = (T1 (y(T2,1 ψ)(y)))(x) Thế đẳng thức vừa nhận vào đẳng thức (2.30) ta ψ(x) 2 y(T2,1 ψ)(y), y(T2,1 ψ)(y) − y(T2,1 ψ)(y), y(T2,1 ψ)(−y) = (2.32) 40 y(T2,1 ψ)(y), 5y(T2,1 ψ)(−y) − 3y(T2,1 ψ)(−y) = y (2 cos yt + sin yt) [5(2 cos yv + sin yv) 16 R R R −3(2 cos yv − sin yv)] ψ(t)ψ(v)dydtdv 1 = y (2 cos yt + sin yt)( cos yv + sin yv)× 2π R3 −1 ψ(t)ψ(v)dytdv = y(T2,1 ψ)(y), y(T2,1 ψ)(y) (2.33) = Kết hợp đẳng thức (2.33) (2.31) ta thu bất đẳng thức (2.19), đẳng thức (2.33) (2.31) ta nhận (2.20) Nếu xảy đẳng thức (2.19) (2.20), có đẳng thức (2.31) ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Do ta tìm ψ (x) = βxψ(x) với β số Vì vậy, ta thu hàm ψ(x) = Ae−βx với hầu khắp nơi x ∈ R (Ở A, β số) Ngược lại, ψ(x) = Ae−βx , đẳng thức xảy bất đẳng thức (2.19) (2.20) Định lý 2.9 chứng minh Chú ý 2.3 a) Áp dụng đẳng thức hình bình hành x+y x, y = 2 − x−y 2 với x, y ∈ L2 (R), bất đẳng thức (2.19), (2.20) viết lại sau xψ(x) 2 ξ(T2,1 ψ)(ξ) 2 − ξ(T2,1 ψ)(ξ) − ξ(T2,1 ψ)(−ξ) + ξ(T2,1 ψ)(ξ) − ξ(T2,1 ψ)(−ξ) xψ(x) −1 ξ(T2,1 ψ)(ξ) + ξ(T2,1 ψ)(ξ) − ξ(T2,1 ψ)(ξ) − −1 ξ(T2,1 ψ)(ξ) 2 ψ 2 ψ 2 2, 2 2 b) Thừa số thứ hai vế trái bất đẳng thức (2.19) hiệu số tần số điểm kết âm (theo thuật ngữ Bruijn) 41 xây dựng từ sóng sine Nếu so sánh với bất đẳng thức (2.20), bất đẳng thức bất định biến đổi F xψ(x) ξ(Fψ)(ξ), ξ(F−1 ψ)(−ξ) ψ 2 Tóm lại, nguyên lý bất định Heisenberg lý thuyết học lượng tử hay lý thuyết thông tin biểu thị dạng toán học bất đẳng thức : δx × δp 42 Kết luận Luận văn "Về bất đẳng thức bất định Heisenberg cho toán tử tích phân Fourier khơng unitar " giải vấn đề sau Luận văn trình bày tóm lược tính chất biến đổi Fourier Luận văn trình bày tính chất tốn tử T2,1 : khơng unitar, tập trung vào tính chất khơng giống tốn tử Fourier Luận văn trình bày nguyên lý bất định Heisenberg cho toán tử T2,1 nêu số áp dụng lượng tử Luận văn giúp nâng cao thêm hiểu biết thân bất đẳng thức tích phân, từ giúp thân có phương pháp nghiên cứu khoa học 43 Tài liệu tham khảo [1] N I Akhiezer, Lectures on the theory of approximations, Pub Nauka, Moscow, 1965, (in Russian) [2] P K Anh, N M Tuan, and P D Tuan, The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, J Math Anal Appl 397 (2013), 537–549 [3] G Arfken, Mathematical methods for physicists, Academic Press, 1985 [4] N Q Báu, H H Bằng, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội, 2006 [5] N G de Bruijn, Uncertainty principles in Fourier analysis (in Proc Sympos Wright-Patterson Air Force Base, Ohio), Academic Press, New York, 1965 [6] L Debnath, and D Bhatta, Integral transforms and their applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2007 [7] G B Folland, and A Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, J Fourier Anal Appl (1997), no 3, 207–238 [8] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan, Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions, Integral Equation Operator Theory 65 (2009), no 3, 363–386 [9] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan, Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications, Math Nachr 283 (2010), 1758–1770 [10] N T Hợp, Giải tích Tập I, II, III, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội, 2005 44 [11] K J Olejniczak, The Hartley transform, The Transforms and Applications Handbook (A D Poularikas, ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, BocaRaton-London-New York, Third Ed., 2010 [12] N Sochen, P Maass, C Sagiv, and H G Stark, Do uncertainty minimizers attain minimal uncertainty?, J Fourier Anal Appl 16 (2010), 448–469 [13] N M Tuan and P D Tuan, Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator, Integral Transforms and Special Functions 23 (2012), 1–12 ... biết Bất đẳng thức bất định Heisenberg cho tốn tử tích phân Fourier khơng unitar 4 Luận văn gồm hai chương xếp sau Chương nhắc lại định nghĩa biến đổi Fourier biến đổi tích phân Fourier ngược... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CÙ THỊ THU MINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG CHO TỐN TỬ TÍCH PHÂN FOURIER KHƠNG UNITAR Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... tử Cuối nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho toán tử tích phân Fourier T2,1 Do T2,1 khơng phải toán tử unitar nên việc chứng minh nguyên lý phức tạp nhiều so với phép chứng minh tương tự cho