Đề cương dao động kỹ thuật

PHẦN 1 : LÝ THUYẾT Câu 1: Trình bày các thí dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do không cản ? 1)Dao động của 1 vật nặng treo vào lò xo Xét 1 vật nặng khối lượng m treo vào lò xo có hệ số cứng c, bỏ qua khối lượng lò xo < hình 1> Động năng và thế năng của hệ có dạng T = m 2 ; c 2 Thế các biểu thức động năng và thế năng trên vào phương trình lagrange loại 2 : = Ta nhận được phương trình dao động của hệ là: m cx = 0 2) Dao động con lắc toán học: Con lắc toán học là 1 hệ dao động gồm 1 chất điểm có khối lượng m treo vào 1 điểm O cố định bằng 1 sợi dây nhẹ, không dãn chiều dài l Gọi tọa độ của chất điểm là x,y. Từ hình vẽ ta có x=l , y=l . Từ đó ta dễ dàng tính được các biểu thức động năng của chất điểm T= m = ml2 . =mgy = mgl Thế cá biểu thức trên vào phương trình lagrange loại 2 ta được: ml2 = mgl hay + = 0 3) Dao động con lắc vật lý Con lắc vật ý là một hệ dao động gồm có một vật rắn có thể quay quanh 1 trục cố định đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa khối tâm C của vật (hình 3) . khoảng cách từ điểm O đến khối tâm C của vật là a,mô men quán tính của vật rắn với trục quay là J0 . biểu thức động năng và thế năng của hệ có dạng : T = J0 ; = mga Thế các biểu thức động năng và thế năng vào chương trình lagrange loại 2 ta được : J0 +mga = 0

PHẦN 1 : LÝ THUYẾT

Câu 1: Trình bày các thí dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do không cản ?

1)Dao động của 1 vật nặng treo vào lò xo

Xét 1 vật nặng khối lượng m treo vào lò xo có hệ số cứng c, bỏ qua khối lượng lò xo

2) Dao động con lắc toán học:

Con lắc toán học là 1 hệ dao động gồm 1 chất điểm có khối lượng m treo vào 1 điểm O cố

Gọi tọa độ của chất điểm là x,y Từ hình vẽ ta có x=l , y=l Từ đó ta dễ dàng

tính được các biểu thức động năng của chất điểm

Con lắc vật ý là một hệ dao động gồm có một vật rắn có thể quay quanh 1 trục cố định đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa khối tâm C của vật (hình 3) khoảng cách từ điểm O đến khối tâm C của vật là a,mô men quán tính của vật rắn với trục quay là J0 biểu thức động năng và thế năng của hệ có dạng :

Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình lagrange loại 2 nhận được phương trình dao động xoắn tuyến tinhscuar vật nặng :

Thế các điều kiện đầu vào các biểu thức trên ta xác định được :

dao động , là pha ban đầu Đại lượng T= được gọi là chu kì dao động

Dao động tự do là dao động điều hòa và có các tính chất sau :

- Tần số riêng và chu kì dao động không phụ thuộc vào các điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ

- Biên độ dao động là các hằng số Biên độ dao động và pha ban đầu của dao động

tự do không cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu và các tham số của hệ

Việc xác định tần số dao động theo công thức (0) là nhiệm vụ quan trọng nhất của bài toán dao động.

Câu 3 : Trình bày cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động cho ví dụ minh họa

1, Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi :

Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng , ta có thể tính toán hệ số cứng quy đổi tương đối đơn giản

Trong trường hợp thanh đàn hồi chịu kéo nén ta có :

Trong đó G là mô đun trượt , Ip là mô đun quán tính cực của mặt cắt ngang.

Từ công thức trên dễ dàng suy ra:

Mx = = c

Đối với hệ có 2 lò xo mắc song song ,ta có thể thay thế tương đương bằng hệ có một lò

xo Từ biểu thức lực đàn hồi lò xo, ta suy ra công thức tính hệ số cứng lò xo tương đương:

F = c1x + c2x = c*x c* = c1 + c2

Nếu hệ có lò xo mắc song song tính toán tương tự ta có :

c* =

Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp như hình vẽ ,nếu ở hệ thay thế lò xo dãn ra một đoạn x bằng tổng hai độ dãn x1 và x2 của hệ ban đầu thì ta có :

Câu 1: Hãy thiết lập phương trình vi phân của vật nặng treo vào lò xo như hình 1.

Xác định tần số dao động riêng của hệ biết : C = 10N/m; m = 20 kg

Lời giải:

-Biểu thức động năng

(1) chính là phương trình vi phân dao động của vật

- Tần số riêng dao động riêng của hệ

Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối dài

L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ số cản Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m?

h

L

O

a

Gọi là góc lệch của con lắc khỏi vị trí cân bằng tĩnh.

∏= c + mgh (với = asin ; h= L – Lcos = L(1 – cos ))

Suy ra = ca2sin2 + mgL(1 – cos )

Câu 4: Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình 4 Hãy thiết lập phương trình

vi phân dao động của cơ hệ ?

Xác định tần số dao động riêng và véc tơ riêng của hệ dao động ?

2b b

m 2m

c

Phương trình vi phân dao động của cơ hệ :

(4.3)Xác định tần số dao động riêng :Phương trình tần số trong trường hợp này có dạng:

a) Gọi x1, x2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối

lượng m1 và m2 so với vị trí cân bằng tĩnh ban đầu

Hàm động năng T:

Hàm thế năng Π:

Hàm hao tán Ф

Thay vào phương trình Lagrange loại II :

(2.5.1)

Ta có:

Hình 2.5

Thay vào (2.5.1) ta có hệ phương trình dao động

(2.5.2)Với m1 = m2 = m; c1 =c2 = 2c; b1 = b2 = 3b ta có