BÀI TẬP LỚN MÔN: DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

Phần I: Lý thuyết Câu 1: Các dạng kích động và phương trình vi phân của dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động điều hòa a) Kích động lực. Trên hình 2.22 là mô hình dao động khối lượng – lò xo chịu kích động lực. Giả sử F(t)= FˆsinΩt , trong đó Fˆ là giá trị cực đại của hàm F(t). Đối với mô hình này ta có: T= 1 2 mẏ2 , ᴨ=1 2 cy2 , Φ= 1 2 bẏ2 , Q =F(t). Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại (II):

B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA CƠKHÍ

BÀI TẬP LỚN

MÔN:DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY: TS Phạm Thị Minh Huệ

SINH VIÊN THỰC HIỆN: Nguy n Duy Nh t

Phần I: Lý thuyết

Câu 1: Các dạng kích động và phương trình vi phân của dao động cưỡng bức của hệ chịu

kích động điều hòa

a) Kích động lực

Trên hình 2.22 là mô hình dao động khối lượng – lò xo chịu kích động lực Giả sử F(t)=

FˆsinΩt , trong đó Fˆ là giá trị cực đại của hàm F(t) Đối với mô hình này ta có:

Chia hai vế của (3.1) cho m và đưa

Vào kí hiệu 𝑦̂=𝐹̂/c, ta biến đổi (3.1) về dạng:

ÿ+ 2δẏ+ω0 y= ω0 𝑦̂sin Ωt

b) Kích động bởi khối lượng lệch tâm

Mô hình dao đọng của hệ chịu kích động bởi khối lượng lệch tâm cho trên hình 2.22b Roto có khối lượng lệch tâm m1, quay đều với vận tốc góc Ω Biểu thức động năng của hệ có dạng :

T =1

2m0ẏ2 + 1

2m1v1

Do

x1=ecos Ωt, ẋ1=−eΩsinΩt,

y1=y+ esinΩt, ẏ1=ẏ+eΩcos Ωtnên ta có:

Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng : mÿ+ b(ẏ-𝑢̇)+ c(y- u)= 0

Thế u(t)=𝑢̂sinΩt, 𝑢̇(t)= 𝑢̂ΩcosΩt vào phương trình trên ta được : 𝑚ÿ+ bẏ+ cy= 𝑢̂(csinΩt+ bΩcosΩt) (3.4)

chia hai vế của phương trình (3.4) cho m ta được :

ÿ+ 2δẏ+ω0 y= ω0yˆ(ω0sinΩt+ 2δΩ

ω0cosΩt) (3.4a) Trong đó 𝑦̂= 𝑢̂

Qua các thí dị trên ta thấy : Phương trình vi phân dao động tuyến tính của một hệ bặc tự do chịu kích động điều hòa có dạng:

m𝑞̈+ b𝑞̇+ cq= H1sinΩt+ H2cosΩt (3.6)

hoặc 𝑞̈+ 2δ𝑞̇+ ω0 q= h1sinΩt + h2cosΩt (3.7)

Chú ý nếu ta sử dụng độ cản LehrD thì phương trình (3.1a) có dạng như sau 𝑦̈+ 2Dω0𝑦̇+ ω0 y=

ω0 𝑦̂sinΩt (3.8)

Trong đó ω0 = 𝑐

𝑚 , D = δ

ω0 = 𝑏2√𝑐𝑚

Ta có thể biến đổi các phương trình (3.2a), (3.3a), (3.4a), (3.5) về dạng tương ứng

Câu 2 : Tính toán dao động cưỡng bức không cản và ví dụ minh họa

Phương trình vi phân dao động cưỡng bức không cản của hệ một bậc tự do có dạng:

𝑞̈ + 02 q = hsint (2.2)

Nghiệm tổng quát phương trình 2 có dạng:

q(t) = C1cos0t + C2sin0t + 0h-2 sint (2.3)

Các hằng số C1, C2 được xác định từ các điều kiện đầu.Giả sử khi t=0 thì q(0)=q0

;𝑞̇(0)=𝑞 ̇0 Thế các điều kiện này vào biểu thức 3 và đạo hàm của nó ta có:

C1 =q0 ; C2 = q00 - h

0(0 -2) Như vậy biểu thức nghiệm 3 có dạng :

q(t) = q0cos0t + q00 sin0t - h

0(0 -2) sin0t + 0h-2 sint (2.4) Nghiệm 4 gồm hai thành phần : Ba số hạng đầu biểu thị dao động tự do với tần số là tần

số riêng của hệ, số hạng thứ tư biểu thị dao động cưỡng bức với tàn số là tần số của lực kích động

Chú ý rằng khi q0 = 𝑞̇0 =0 thì nghiệm 4 có dạng :

q(t) = - h

0(0 -2) sin0t + 0h-2 sint (2.5)

Số hạng thứ nhất của (2.5) được gọi là thành phần dao động tự do kéo theo

Sau một khoảng thời gian nào đó, do ảnh hưởng của lực cản nên các thành phần mô tả dao động tự do của hệ sẽ mất đi→ hệ chỉ còn thực hiện dao động cưỡng bức với tần số là tần số của lực cưỡng bức

Giai đoạn đầu còn tồn tại cả dao động tự do và dao động cưỡng bức được gọi là giai đoạn chuyển tiếp

Giai đoạn chỉ còn tồn tại dao động cưỡng của hệ được gọi là giai đoạn bình ổn

Đối với giai đoạn bình ổn, quy luật dao động của hệ sẽ là:

q(t) = 0h-2 sint = H

c(1-2) sint (2.6)

Trong đó  = 

0 Chú ý: Thừa số H\c chính là dịch chuyển gây ra bởi lực tĩnh H đặt vàovật dao

động

Đại lương V() = 1-12

→biểu thị tác dụng động lực của lực kích động, và được gọi là hàm khuyếch đại (hệ số động lực)

Ta thấy: khi tỷ số 

0 dần đến 1 thì V và do đó dao động cưỡng bức tăng lên nhanh chóng

và tiến tới vô cùng khi Ω= ω0 Hiện tượng đó gọi là hiện tượng

Trong đó  là đại lượng vô cùng bé

Sau một số phép biến đổi nghiệm (2.5)đưa về dạng :

20 tăng lên vô hạn khi thời gian t tăng

Như thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính không cản, sự tăng biên độ lên

vô hạn ở vùng cộng hưởng cũng đòi hỏi phải có thời gian

Đối với các máy được thiết kế làm việc ở vùng cộng hưởng, khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng hưởng cần phải khẩn trương cho vượt qua đủ nhanh

Kết luận: Khi tính toán dao động cưỡng bức không cản ta cần phân ra 2 trường hợp:

Trường hợp xa cộng hưởng (≠0)

Trường hợp gần cộng hưởng (≈ 0) Trong trường hợp này khi =0+2 ta có hiện

tượng phách Khi =0 ta có hiện tượng cộng hưởng

Ví dụ minh họa: bánh xe lăn không trượt trên mặt đường gồ ghề lượn sóng vận tốc tâm

o của bánh xe luôn khonng đổi là v = 60km/h.Mặt đường lượn sóng có phương trình là s =

𝑠̂sin(πx

L với 𝑠̂ =2cm, L =100cm.Xác định biên độ dao động cưỡng bức thẳng đứng của

vật thể M có khối lượng m,nối với trục chính bánh xe bằng lò xo có độ cứng là c Biết

rằng biến dạng tĩnh của lò xo dưới tác dụng của vật thể là 0 = 10 cm

Lời giải:

Từ điều kiện cân bằng tĩnh y c 0 =mg ta suy ra

c = - mg0 v

Phương trình vi phân chuyển s s(t)

động của vật thể M có dạng : x

m𝑦̈ +c(y-s) = 0 L

Nếu đưa vào kí hiệu

0 = c m , phương trình vi phân dao động

được đưa về dạng

𝑦̈ + 0 y = 0 𝑠 ̂ sin(πx

L)

0

M

Y = Asint, với A =0,075cm

Câu 3 : Cách tính toán dao động cưỡng bức có ma sát nhớt và ví dụ minh họa

Phương trình vi phân dao động trong trường hợp này:

q(t) = Ae-  tsin(t + ) + Msint + Ncost (3.4)

Số hạng thứ nhất của (3.4) biểu diễn thành phần dao động tự do tắt dần Hai số hạng sau

có tần số Ω của ngoại lực biểu diễn thành phần dao động cưỡng bức của hệ.Thành phần dao động cưỡng bức (3.2) có thể biểu diễn dưới dạng:

Trường hợp kích động lực hoặc kích động qua lò xo:

Các hàm V1, V2, V3 là các hàm khuyếch đại (hay hệ số động lực)

Khi ta cố định độ cản D, các hàm V1, V2, V3 đạt cực đại tại các giá trị sau của n:

V1 đạt cực đại khi:  = √1 + 2𝐷2

V2 đạt cực đại khi:  ≈ √1 + 2𝐷2 nếu D≪1

V3 đạt cưc đại khi:  = (1+2D2)-1/2

Ví dụ minh họa: Sơ đồ một thiết bị đo dao động được biểu diễn trên hình a Vỏ ngoài thiết bị đo bị rung theo quy luật xm= x0cost Phải chọn các tham số khối lượng m và độ cứng c như thế nào để với hệ số cản tùy ý kim chỉ đúng biên độ x0 trong một dải tần số đo

đủ rộng

Ta chọn tọa độ x là dịch chuyển của khối lượng m so với nền cố định (hình b) dịch

chuyển,vận tốc của khối lượng m đối với vỏ ngoài thiết bị là:

x – xm , 𝑥̇ - 𝑥̇m

Phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m là :

m𝑥̈ = -c(x – xm) – b(𝑥̇ - 𝑥̇m)

Kim của thiết bị đo chỉ độ lệch tương đối xr = x – xm Từ đầu bài ta có

𝑥̈m = - x02cost Thế vào phương trình trên ta nhận được phương trình dao động

Câu 1: Hãy thiết lập phương trình dao động

của con lắc vậy lý như hình ?

_ Xác định tần số dao động riêng của hệ

Câu 2: Cho hệ dao động như hình 2.2, tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần số

dao động riêng của hệ ?

Tần số dao động riêng của hệ là:

Câu 3 : Một vật có khối lượng m= 0,8kg được treo vào một lò xo như hình 3 Khi không

có lực cản (b=0) vật dao động với chu kì T1=0.4 𝜋s Khi có lực cản tỉ lệ bậc nhất với vận

tốc (b#0) vật dao động với chu kì T2=0.5 𝜋𝑠 Lúc đầu cho vật lệch khỏi vị trí cân bằng

=>C= 𝜔12.m = 52.0,8 = 20 (N/m)

+, Với b#0 : có 𝜔2= 2𝜋

𝑇2 = 2𝜋0.5𝜋 = 4 (N/m)

Phương trình tổng quát của dao động :

Cho mô hình dao động cơ hệ ai bậc tự do như hình 4 Hãy thiết lập phương trình

vi phân dao động của cơ hệ?

 Xác định tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng của hệ dao động ?

 Biết m=20kg;c=104N/m;b=3.103 kg/s

Bài làm Gọi 𝑥1,𝑥2 là độ dời của vật so với vị trí cân bằng

x1

2c c

b 3b

m 2m

2c

∅ = 1

2.b1.ẋ12 + 1

2.b2.(ẋ2- ẋ1)2 = 2bẋ12+1

𝑥₁ 𝑥̇₂) + ( −𝑐 2𝑐 −𝑐 3𝑐 ) (

𝑥₁ 𝑥₂) = ( 0 0 ) Xét phương trình đặc trưng :

|C − M ω2| = 0

−𝑐 3𝑐 − 𝑚 𝜔2| = 0  (2𝑐 − 2𝑚 𝜔2).( 3𝑐 − 𝑚 𝜔2) – c2 = 0

Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình sau :

1 Hãy xác định phương trình vi phân dao động của cơ hệ ?

2 Xác định tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng của hệ

3 Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ chính ?

Bài giải

1 Gọi x1, x2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối

lượng m1 và m2 so với vị trí cân bằng tĩnh ban đầu

Hàm động năng T:

𝑇 = 1

2𝑚1𝑥̇12+ 1

2𝑚2𝑥̇22 Hàm thế năng Π:

𝛱 = 1

2𝑐1𝑥12+ 1

2𝑐2(𝑥2− 𝑥1)2 Hàm hao tán Ф:

Ф = 1

2𝑏1𝑥̇12 + 1

2𝑐2(𝑥̇2 − 𝑥̇1)2 Thay vào phương trình Lagrange loại (II):

{ 𝑚1𝑥̈1 + (𝑏1+ 𝑏2)𝑥̇1− 𝑏2𝑥̇2+ (𝑐1+ 𝑐2)𝑥1 − 𝑐2𝑥2 = 0

𝑚2𝑥̈2− 𝑏2𝑥̇1+ 𝑏2𝑥̇2− 𝑐2𝑥1+ 𝑐2𝑥2 = 𝐹(𝑡) (2.5.2) Với m1 = m2 = m; c1 =c2 = 2c; b1 = b2 = 3b ta có :

(2.5.2) ⟺ { 𝑚𝑥̈1+ 6𝑏𝑥̇1− 3𝑏𝑥̇2 + 4𝑐𝑥1− 2𝑐𝑥2 = 0

𝑚𝑥̈2− 3𝑏𝑥̇1+ 3𝑏𝑥̇2 − 2𝑐𝑥1+ 2𝑐𝑥2 = 𝐹(𝑡) Đặt

𝑥̇1𝑥̇2] + [

2 Từ phương trình đặc trưng của cơ hệ :

−0,618 1,7 ] 3.Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ chính

Đặt x=Vp, với V là ma trận dạng riêng, p là vecto các tọa độ chính, ta đưa phương trình (2.5.3) về dạng: