BÀI TẬP LỚN MÔN: DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

Phần I: Lý thuyết Câu 1: Các dạng kích động và phương trình vi phân của dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động điều hòa a) Kích động lực. Trên hình 2.22 là mô hình dao động khối lượng – lò xo chịu kích động lực. Giả sử F(t)= FˆsinΩt , trong đó Fˆ là giá trị cực đại của hàm F(t). Đối với mô hình này ta có: T= 1 2 mẏ2 , ᴨ=1 2 cy2 , Φ= 1 2 bẏ2 , Q =F(t). Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại (II):

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠKHÍ BÀI TẬP LỚN MÔN:DAO ĐỘNG KỸ THUẬT GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY: TS Phạm Thị Minh Huệ SINH VIÊN THỰC HIỆN: Nguy n Duy Nh t MÃ SỐ SINH VIÊN: 0741020253 KHÓA HỌC: 07 Tháng 4/2014 Phần I: Lý thuyết Câu 1: Các dạng kích động phương trình vi phân dao động cưỡng hệ chịu kích động điều hòa a) Kích động lực Trên hình 2.22 mô hình dao động khối lượng – lò xo chịu kích động lực Giả sử F(t)= FˆsinΩt , Fˆ giá trị cực đại hàm F(t) Đối với mô hình ta có: 1 2 T= mẏ2 , ᴨ= cy2 , Φ= bẏ2 , Q* =F(t) Thế biểu thức vào phương trình Lagrange loại (II): 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕ᴨ 𝑑𝑡 𝜕ẏ 𝜕y 𝜕y ( ) −( )=− − 𝜕Φ 𝑚ÿ+ bẏ+ cy =𝐹̂ sinΩt 𝜕y + Q* Ta : (3.1) Chia hai vế (3.1) cho m đưa Vào kí hiệu 𝑦̂=𝐹̂ /c, ta biến đổi (3.1) dạng: ÿ+ 2δẏ+ω02y= ω02𝑦̂sin Ωt b) Kích động khối lượng lệch tâm Mô hình dao đọng hệ chịu kích động khối lượng lệch tâm cho hình 2.22b Roto có khối lượng lệch tâm m1, quay với vận tốc góc Ω Biểu thức động hệ có dạng : 1 2 T = m0ẏ2 + m1v12 Do x1=ecos Ωt, ẋ1=−eΩsinΩt, y1=y+ esinΩt, ẏ1=ẏ+eΩcos Ωt nên ta có: v12 = ẋ12 +ẏ12 = ẏ2+ 2ẏeΩcos Ωt + e2Ω2 Từ suy ra: 1 2 T = mẏ2 + m1ẏeΩcos Ωt + m1e2Ω2 Trong m = m0+ m1 Các biểu thức ᴨvà hàm hao tán Φcó dạng thí dụ trước 1 2 ᴨ= cy2 , Φ = bẏ2 Thế biểu thức T, ᴨ , Φvào phương trình lagrange loại 2, ta được: 𝑚ÿ+ bẏ+ cy = m1eΩ2sinΩt (3.2) Biến đổi tương tự ta được: ÿ+ 2δẏ+ω02y = ω02𝑦̂sin Ωt (3.2a) Trong đó: 𝑦̂= m1 e m0+ m1 c) Kích động lực đàn hồi Trên hình 2.22c mô hình hệ chịu kích động lực đàn hồi tuyến tính Bỏ qua ma sát trượt động (µ=0) Cho biết u(t)=𝑢̂sinΩt x u(t) c1 c0 b Hình 2.22c Phương trình vi phân dao động hệ có dạng : mẍ+ bẋ+ c1x+ c0[x- u(t)]=0 Do u(t) = 𝑢̂sinΩt nên ta có mẍ+ bẋ+ cx= c0𝑢̂sinΩt (3.3) Trong c= c1+ c0 Nếu sử dụng kí hiệu 𝑥̂= c0 c0+c1 𝑢̂ phương trình (3.3) biến đổi dạng ẍ+ 2δẋ +ω02x = ω02𝑥̂sinΩt d) Kích động động học Trên hình bên mô hình hệ chịu kích động động học Giả sử điểm chân lò xo cản nhớt chuyển động theo quy luật điều hòa u(t)=𝑢̂sinΩt Phương trình vi phân dao động hệ có dạng : mÿ+ b(ẏ-𝑢̇ )+ c(y- u)= Thế u(t)=𝑢̂sinΩt, 𝑢̇ (t)= 𝑢̂ΩcosΩt vào phương trình ta : 𝑚ÿ+ bẏ+ cy= 𝑢̂(csinΩt+ bΩcosΩt) (3.4) chia hai vế phương trình (3.4) cho m ta : Ω ÿ+ 2δẏ+ω02y= ω0yˆ(ω0sinΩt+ 2δ cosΩt) ω0 (3.4a) Trong 𝑦̂= 𝑢̂ e) Kích động lực cản nhớt Trên hình 2.22e mô hình hệ chịu kích động lực cản nhớt Mặt trượt nhẵn tuyệt đối (µ= 0) Phương trình vi phân dao động hệ có dạng : mẍ+ b1ẋ+ cx+ b0[ẋ- 𝑢̇ (t)]= Cho biết u(t)= 𝑢̂sinΩt, 𝑢̇ (t)= 𝑢̂ΩcosΩt, phương trình có dạng : mẍ+ bẋ+ cx= b0𝑢̂ΩcosΩt (3.5) với b= b1+ b Chia hai vế (3.5) cho m ta : ẍ+ 2δẋ + ω02x = 2δΩ𝑥̂cosΩt (3.5a) 𝑥̂= b0 b 𝑢̂ Qua thí dị ta thấy : Phương trình vi phân dao động tuyến tính hệ bặc tự chịu kích động điều hòa có dạng: m𝑞̈ + b𝑞̇ + cq= H1sinΩt+ H2cosΩt (3.6) 𝑞̈ + 2δ𝑞̇ + ω02q= h1sinΩt + h2cosΩt (3.7) Chú ý ta sử dụng độ cản LehrD phương trình (3.1a) có dạng sau ω02𝑦̂sinΩt (3.8) Trong ω02= 𝑐 𝑚 , D= δ ω0 = 𝑏 2√𝑐𝑚 𝑦̈ + 2Dω0𝑦̇ + ω02y= Ta biến đổi phương trình (3.2a), (3.3a), (3.4a), (3.5) dạng tương ứng Câu : Tính toán dao động cưỡng không cản ví dụ minh họa Phương trình vi phân dao động cưỡng không cản hệ bậc tự có dạng: m𝑞̈ + cq = Hsint (2.1) Nếu ta đưa vào kí hiệu 02 = c , m h= H m Thì phương trình có dạng: 𝑞̈ + 02 q = hsint (2.2) Nghiệm tổng quát phương trình có dạng: q(t) = C1cos0t + C2sin0t + h sint 0 -2 (2.3) Các số C1, C2 xác định từ điều kiện đầu.Giả sử t=0 q(0)=q0 ;𝑞̇ (0)=𝑞̇ Thế điều kiện vào biểu thức đạo hàm ta có: C1 =q0 ; C2 = q0 h 0 0(02-2) Như biểu thức nghiệm có dạng : q(t) = q0cos0t + q0 h h sin0t sint (2.4) 2 sin0t + 0 0(0 - ) 0 -2 Nghiệm gồm hai thành phần : Ba số hạng đầu biểu thị dao động tự với tần số tần số riêng hệ, số hạng thứ tư biểu thị dao động cưỡng với tàn số tần số lực kích động Chú ý q0 = 𝑞̇ =0 nghiệm có dạng : q(t) = - h h sint 2 sin0t + 0(0 - ) 0 -2 (2.5) Số hạng thứ (2.5) gọi thành phần dao động tự kéo theo Sau khoảng thời gian đó, ảnh hưởng lực cản nên thành phần mô tả dao động tự hệ đi→ hệ thực dao động cưỡng với tần số tần số lực cưỡng Giai đoạn đầu tồn dao động tự dao động cưỡng gọi giai đoạn chuyển tiếp Giai đoạn tồn dao động cưỡng hệ gọi giai đoạn bình ổn Đối với giai đoạn bình ổn, quy luật dao động hệ là: q(t) = h H sint sint = 0 - c(1-2) Trong  = (2.6)  0 Chú ý: Thừa số H\c dịch chuyển gây lực tĩnh H đặt vàovật dao động Đại lương V() = 1-2 →biểu thị tác dụng động lực lực kích động, gọi hàm khuyếch đại (hệ số động lực) Ta thấy: tỷ số  dần đến V dao động cưỡng tăng lên nhanh chóng 0 tiến tới vô Ω= ω0 Hiện tượng gọi tượng Cộng hưởng Như vậy,hiện tượng cộng hưởng tượng biên độ dao động cưỡng tăng lên lớn tần số lực kích động trùng với tần số dao động riêng hệ Xét nghiệm (2.5) với giả thiết  ≈ 0 Q(t) = - h h sint 2 sin0t + 0(0 - ) 0 -2 (2.5) Đặt  - 0 = 2 Trong  đại lượng vô bé Sau số phép biến đổi nghiệm (2.5)đưa dạng : q(t) ≈ − hsint cost 2 (2.7) Do ε vô bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, chu kỳ 2п/ε lớn Hiện tượng dao động cho (2.7) gọi tượng phách Xét trường hợp →0 ( →0) Khi thay sinεt εt nghiệm (2.7), ta có: q(t) = Biên độ ht cos0t 20 (2.8) ht tăng lên vô hạn thời gian t tăng 20 Như thế, phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính không cản, tăng biên độ lên vô hạn vùng cộng hưởng đòi hỏi phải có thời gian Đối với máy thiết kế làm việc vùng cộng hưởng, tăng vận tốc máy qua vùng cộng hưởng cần phải khẩn trương cho vượt qua đủ nhanh Kết luận: Khi tính toán dao động cưỡng không cản ta cần phân trường hợp: Trường hợp xa cộng hưởng (≠0) Trường hợp gần cộng hưởng (≈ 0) Trong trường hợp =0+2 ta có tượng phách Khi =0 ta có tượng cộng hưởng Ví dụ minh họa: bánh xe lăn không trượt mặt đường gồ ghề lượn sóng vận tốc tâm o bánh xe khonng đổi v = 60km/h.Mặt đường lượn sóng có phương trình s = πx 𝑠̂ sin( với 𝑠̂ =2cm, L =100cm.Xác định biên độ dao động cưỡng thẳng đứng L vật thể M có khối lượng m,nối với trục bánh xe lò xo có độ cứng c Biết biến dạng tĩnh lò xo tác dụng vật thể 0 = 10 cm Lời giải: Từ điều kiện cân tĩnh M y c 0 =mg ta suy c=- mg 0 Phương trình vi phân chuyển động vật thể M có dạng s x L Nếu đưa vào kí hiệu c , phương trình vi phân dao động m đưa dạng 𝑦̈ + 02y = 02 ̂ 𝑠 sin( s(t) : m𝑦̈ +c(y-s) = 02 = v πx ) L Biến đổi 02 = ( c mg g = = = 98,1 m m  ( 1/s2) πx πvt πv =( = t , với  =( = 16,6𝜋) L L L Khi nghiệm riêng phương trình : Y = Asint, với A =0,075cm Câu : Cách tính toán dao động cưỡng có ma sát nhớt ví dụ minh họa Phương trình vi phân dao động trường hợp này: 𝑞̈ + 2𝑞̇ + 02q = h1sint + h2cost (3.1) Nghiệm riêng phương trình (3.1) tìm dạng: q = Msint + Ncost (3.2) Thay (3.2) vào (3.1) ta : M= (02-2)h1+2h2 , (02-2)2+422 N= -2h1+(02-2) (02-2)+422 (3.3) Nghiệm tổng quát phương trình (3.1): q(t) = Ae-tsin(t + ) + Msint + Ncost (3.4) Số hạng thứ (3.4) biểu diễn thành phần dao động tự tắt dần Hai số hạng sau có tần số Ω ngoại lực biểu diễn thành phần dao động cưỡng hệ.Thành phần dao động cưỡng (3.2) biểu diễn dạng: q(t) = 𝑞̂sin(t + ) Trong 𝑞̂ = √𝑀2 + 𝑁 , tg = (3.5) N   , = , D= M 0 0 Các trường hợp cụ thể: 10 Trường hợp kích động lực kích động qua lò xo: 𝑞̂ = V1(,D)𝑦̂ ; V1 = (1-2)2 +4D22-1/2 (3.6)  Trường hợpkíchđộngđộng học: 𝑞̂ = V2(,D)𝑦̂ ; V2 = (1+4D22)1/2V1 (3.7)  Trường hợp kích động khối lượng lệch tâm: ̂𝑞 = V3(,D)𝑦̂ ; V3 = 2V1 (3.8) Các hàm V1, V2, V3 hàm khuyếch đại (hay hệ số động lực) Khi ta cố định độ cản D, hàm V1, V2, V3 đạt cực đại giá trị sau n: V1 đạt cực đại khi:  = √1 + 2𝐷 V2 đạt cực đại khi:  ≈ √1 + 2𝐷 D≪1 V3 đạt cưc đại khi:  = (1+2D2)-1/2 Ví dụ minh họa: Sơ đồ thiết bị đo dao động biểu diễn hình a Vỏ thiết bị đo bị rung theo quy luật xm= x0cost Phải chọn tham số khối lượng m độ cứng c để với hệ số cản tùy ý kim biên độ x0 dải tần số đo đủ rộng 11 Lời giải: m c x X m= x0cost m b c(x-xm) Hình a b(𝑥̇ -𝑥̇ m) Hình b Ta chọn tọa độ x dịch chuyển khối lượng m so với cố định (hình b) dịch chuyển,vận tốc khối lượng m vỏ thiết bị là: x – xm , 𝑥̇ - 𝑥̇ m Phương trình vi phân chuyển động khối lượng m : m𝑥̈ = -c(x – xm) – b(𝑥̇ - 𝑥̇ m) Kim thiết bị đo độ lệch tương đối xr = x – xm Từ đầu ta có 𝑥̈ m = - x02cost Thế vào phương trình ta nhận phương trình dao động m𝑥̈ r + b𝑥̇ r + cxr = m 2 x0 cost Chia hai vế phương trình cho m sử dụng kí hiệu quen biết ta 𝑥̈ r + 2𝑥̇ r + 02xr = 2 x0 cost Nghiệm riêng phương trình có dạng : 12 Xr = x0V3cos(t - ) Biên độ đo biên đọ kích động trùng V3 = Nên 02 ≪ 2 c ≪ 2 m → Như phải chọn c m cho tần số riêng hệ dao động không cản bé nhiều tần số kích động Phần II: Bài tập Câu 1: Hãy thiết lập phương trình dao động lắc lý hình ? _ Xác định tần số dao động riêng hệ Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ : Ta có 𝑇 = 𝐽0 𝜑̇ X= a 𝑠𝑖𝑛𝜑 ; y=a 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑥̇ =a 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ; ẏ =- a 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑥̈ = -a 𝜑2 𝑠𝑖𝑛𝜑 ; Ϋ =-a 𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑 => T = 𝐽0 ( 𝑥̇ + ẏ2 ) = 𝐽 𝜑̇ 2 𝛱 = 𝑚𝑔𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑) = 𝑚𝑔𝑎 − 𝑚𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑐 Thay vào biểu thức langrange (II) : 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝛱 =− ( )− 𝑑𝑡 𝜕𝜑̇ 𝜕𝜑 𝜕𝜑  𝐽0 𝜑̈ + 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛 𝜑 = (vì 𝜑 cos 𝜑 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝜑 ) 𝑚𝑔𝑎𝜑  𝜑̈ + 𝐽 =0 13 Câu 2: Cho hệ dao động hình 2.2, tìm độ cứng tương đương hệ lò xo tần số dao động riêng hệ ? Biết C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C =10 N/m; C6 = C7 = 2C ; C8 = C9 = 1,5C; C10 = 3C; m = 20 kg c1 c5 c2 c6 c8 c3 c9 c10 c7 c4 Hình 2.2 Bài làm: Theo công thức tính độ cứng tương đương hệ lò xo mắc song song nối tiếp ta có: C14 = C1 + C2 + C3 + C4 = 4C C56 = C5.C6 = C C5+C6 C57 = C56 + C7 = C89 = C19 = 𝐶8 𝐶9 𝐶8 + 𝐶9 C + 2C = C 3 = 0,75𝐶 C14.C57.C89 24 = C C14.C57+C57.C89+C89.C14 47 Vậy độ cứng tương đương hệ là: C* = C19 + C10 = 24 165 C +3C = C = 35,1 ( N/m) 47 47 14 Tần số dao động riêng hệ là: C* 35,1 35.1 ω0 = √ = √ 20x9,81 20 = 1,324 (rad/s) m 9,81 Câu : Một vật có khối lượng m= 0,8kg treo vào lò xo hình Khi lực cản (b=0) vật dao động với chu kì T1=0.4 𝜋s Khi có lực cản tỉ lệ bậc với vận tốc (b#0) vật dao động với chu kì T2=0.5 𝜋𝑠 Lúc đầu cho vật lệch khỏi vị trí cân 5cm tự dao động Hãy tìm giá trị lực cản lúc vận tốc 1cm/s xác định dao động vật? Bài làm b c +,Với b=0 => δ = 𝑏 2𝑚 => 𝜔1 = 𝜔0 =√ Mà 𝜔1 = 2𝜋 𝑇1 m =0 = 𝑐 𝑚 2𝜋 0,4𝜋 Hình = (1/s) =>C= 𝜔1 m = 52.0,8 = 20 (N/m) +, Với b#0 : có 𝜔2 = 2𝜋 𝑇2 = 2𝜋 0.5𝜋 = (N/m) Mà 𝜔2 = √𝜔0 − 𝛿 𝜔2 = 𝜔0 − δ2 => δ2 = 𝜔0 - 𝜔2 với 𝜔0 = (1/s), 𝜔2 = (1/s) => δ2 = 52 – 42 => δ = Ta có δ = 𝑏 2𝑚 => b = 2.δ.m = 2.3.0,8=4,8 (kg/s) Fc = b.v = 4,8.10-3=0,0048 (N) 15 Phương trình tổng quát dao động : x= A.𝑒 −𝛿𝑡 sin(𝜔t + 𝜑) (cm) với A=5cm , δ= 3(1/s) , 𝜔=4(1/s) tan 𝜑 = 2.δ.Ω 𝜔0 −Ω2 = 2.3.4 52 −42 với Ω = 4(1/s) = Vậy giá trị lực cản lúc v=1cm/s Fc= 0,0048(N) với phương trình dao động là: x= 𝑒 −3𝑡 sin(4t + arctan ) (cm) Câu : x2 x1 3b b 2m c m 2c 2c Hình Cho mô hình dao động hệ bậc tự hình Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động hệ?  Xác định tần số dao động riêng ma trận dạng riêng hệ dao động ?  Biết m=20kg;c=104 N/m;b=3.103 kg/s Bài làm Gọi 𝑥1 ,𝑥2 độ dời vật so với vị trí cân Biểu thức động năng: 1 2 T= 2m 𝑥̇ + 2m ẋ22 Hàm hệ: 16 1 2 π = c.x12 + c.(x2-x1) + 2c.x22  Π=c.x12 + c x22 –c.𝑥1 𝑥2 Biểu thức hàm hao tán : 1 2 ∅ = b1.ẋ 12 + b2.(ẋ 2- ẋ 1)2 = 2bẋ 12+ bẋ 22-bẋ 2ẋ Thay vào phương trình lagrang loại : d ∂T ∂T ∂π ∂∅ dt ∂ẋ ∂x ∂x ( )- =- - ∂ẋ Nhận hệ phương trình dao động: 𝑥̈ ₁ + 4𝑏 𝑥̇ ₁– 𝑏 𝑥̇ ₂ + 2𝑐 𝑥₁ – 𝑐 𝑥₂ = { 𝑚 𝑥̈ ₂ − 𝑏 𝑥̇ ₁ + 𝑏 𝑥̇ ₂ – 𝑐 𝑥₁ + 3𝑐 𝑥₂ = 2𝑚 ( 0 𝑥̈ ₁ 4𝑏 ).( ) + ( 𝑚 𝑥̈ ₂ −𝑏 2𝑐 −𝑏 𝑥₁ ).(𝑥̇ ₂) + ( −𝑐 𝑏 Xét phương trình đặc trưng : |C − M ω2 | =  |2𝑐 − 2𝑚 𝜔 −𝑐 −𝑐 | =0 3𝑐 − 𝑚 𝜔2  (2𝑐 − 2𝑚 𝜔2 ).( 3𝑐 − 𝑚 𝜔2 ) – c2 = Đặt λ = 𝑚.𝜔2 𝐶 (*)Thành :  2λ2 -8 λ +5 = 4+√6 λ₁ = =>[ 4−√6 λ₂ = (với m=20kg ; c=104 𝑁/𝑚) 17 −𝑐 𝑥₁ ) (𝑥₂) = ( ) 3𝑐 w₁ = √( => 4+√6 𝐶 ) 𝑚 √ [ w₂ = ( 4−√6 𝐶 ) 𝑚 w₁ = 40,15( ) s =>=> [ w₂ = 19,69( ) s Xác định ma trận riêng : ta có V=[𝑉 21 ] 𝑉22 𝑎1 −c Có [2c − 2𝑤 m ] [ a2 ]=0 −c 3c − 𝑤 𝑚 𝑎21 𝑉21 = (2c − 2m𝑤 )𝑎11 − 𝑐𝑎21 = 𝑎11 { =>{ => 𝑎 −𝑐𝑎21 + (3𝑐 − 𝑤 𝑚)𝑎22 = 𝑉22 = 22 𝑎21 =>{ 𝑉21 = −2 − √6 𝑉22 = + √6 =>ma trận riêng : V=[ Câu −2 − √6 ] −2 + √6 : Cho mô hình dao động hệ hai bậc tự hình sau : Hãy xác định phương trình vi phân dao động hệ ? Xác định tần số dao động riêng ma trận dạng riêng hệ Thiết lập phương trình vi phân dạng tọa độ ? Bài giải 18 Gọi x1, x2 độ dịch chuyển vật có khối lượng m1 m2 so với vị trí cân tĩnh ban đầu Hàm động T: 𝑇= 𝑚1 𝑥̇ + 𝑚2 𝑥̇ 2 Hàm Π: 𝛱= 𝑐1 𝑥1 + 𝑐 (𝑥 2 − 𝑥1 )2 − 𝑥̇ )2 Hàm hao tán Ф: Ф= 𝑏1 𝑥̇ + 𝑐 (𝑥̇ 2 Thay vào phương trình Lagrange loại (II): 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑖 𝜕𝑥𝑖 ( )+ 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ = − 𝜕𝛱 𝜕𝑥𝑖 − 𝜕Ф (2.5.1) 𝜕𝑥̇ 𝑖 Ta có: 𝑑 𝜕𝑇 ( ) = 𝑚1 𝑥̈ ; 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝛱 𝜕𝑥1 𝜕Ф 𝜕𝑥̇ 𝑑 𝜕𝑇 ( ) = 𝑚2 𝑥̈ ; 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 − 𝑐2 𝑥2 ; 𝜕𝛱 𝜕𝑥2 𝜕𝑥̇ =0 = 𝑏2 𝑥̇ − 𝑏1 𝑥̇ Thay vào (2.5.1) ta có hệ phương trình dao động: 19 𝜕𝑥𝑖 = 𝑐2 𝑥2 − 𝑐2 𝑥1 ; 𝜕Ф = 𝑏1 𝑥̇ − 𝑏2 𝑥̇ − 𝑏2 𝑥̇ ; 𝜕𝑇 𝑚 𝑥̈ + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑥̇ − 𝑏2 𝑥̇ + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑥1 − 𝑐2 𝑥2 = { 1 𝑚2 𝑥̈ − 𝑏2 𝑥̇ + 𝑏2 𝑥̇ − 𝑐2 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 = 𝐹(𝑡) (2.5.2) Với m1 = m2 = m; c1 =c2 = 2c; b1 = b2 = 3b ta có : 𝑚𝑥̈ + 6𝑏𝑥̇ − 3𝑏𝑥̇ + 4𝑐𝑥1 − 2𝑐𝑥2 = 𝑚𝑥̈ − 3𝑏𝑥̇ + 3𝑏𝑥̇ − 2𝑐𝑥1 + 2𝑐𝑥2 = 𝐹(𝑡) (2.5.2) ⟺ { Đặt 𝑚 4𝑐 −2𝑐 6𝑏 −3𝑏 𝑀= [ ]; 𝐵= [ ]; 𝐶= [ ] 𝑚 −2𝑐 2𝑐 −3𝑏 3𝑏 Khi phương trình dao động có dạng: 𝑚 𝑥̈ 4𝑐 −2𝑐 𝑥1 6𝑏 −3𝑏 𝑥̇ [ ][ ] + [ ][ ] + [ ] [𝑥 ] = [ ] (2.5.3) 𝐹(𝑡) 𝑚 𝑥̈ −2𝑐 2𝑐 −3𝑏 3𝑏 𝑥̇ 2 Từ phương trình đặc trưng hệ : |𝑐 − 𝜔2 𝑀| = −2𝑐 | = ⟺ |4𝑐 − 𝜔 𝑚 −2𝑐 2𝑐 − 𝜔2 𝑚 ⟺ (4𝑐 − 𝜔2 𝑚)(2𝑐 − 𝜔2 𝑚) − 4𝑐 = ⟺ 𝜔4 𝑚2 − 6𝑐𝜔2 𝑚 + 4𝑐 = Đặt 𝜆 = 𝜔2 𝑚 𝑐 2 ta có : 𝜆 𝑐 − 6𝜆𝑐 + = ⟺ 𝜆2 − 6𝜆 + = 𝜆 = 5,236 ⟺[ 𝜆2 = 0,764 Tần số dao động riêng : 𝑐 𝑐 𝜔1 = √5,236√ = 2,288√ ; 𝑚 𝑚 Tìm ma trận dạng riêng Ta có phương trình: (𝑐11 − 𝜔𝑖2 𝑚11 ) + 𝑣𝑖 (𝑐21 − 𝜔𝑖2 𝑚21 ) = ⟺ 𝑣𝑖 = −(𝑐11 − 𝜔𝑖2 𝑚11 ) (𝑐21 − 𝜔𝑖2 𝑚21 ) Suy : 20 𝑐 𝑐 𝜔2 = √0.764√ = 0,874√ 𝑚 𝑚 𝑣1 = 𝑣2 = −(𝑐11 − 𝜔12 𝑚11 ) (𝑐21 − 𝜔12 𝑚21 ) −(𝑐11 − 𝜔22 𝑚11 ) (𝑐21 − 𝜔22 𝑚21 ) = − = − 4𝑐− 𝜔12 𝑚 −2𝑐 = −0,618 4𝑐− 𝜔22 𝑚 −2𝑐 = 1,7 Vậy ma trận dạng riêng : 1 𝑉= [ ] −0,618 1,7 3.Thiết lập phương trình vi phân dạng tọa độ Đặt x=Vp, với V ma trận dạng riêng, p vecto tọa độ chính, ta đưa phương trình (2.5.3) dạng: 𝑀𝑉𝑝̈ + 𝐵𝑉𝑝̇ + 𝐶𝑉𝑝 = 𝑓 Nhân hai vế phương trình với ma trận chuyển vị VT ma trận dạng riêng ta được: 𝑉 𝑇 𝑀𝑉𝑝̈ + 𝑉 𝑇 𝐵𝑉𝑝̇ + 𝑉 𝑇 𝐶𝑉𝑝 = 𝑉 𝑇 𝑓 Ta tính được: 1,38 10,85 ]; 𝑉 𝑇 𝐵𝑉 = 𝑏 [ ] 3,89 4,47 7,23 −0,618 𝑉 𝑇 𝐶𝑉 = 𝑐 [ ]; 𝑉 𝑇 𝑓 = 𝐹(𝑡) [ ] 2,98 1,7 Phương trình vi phân dạng tọa độ là: 𝑉 𝑇 𝑀𝑉 = 𝑚 [ 1,38𝑚𝑝̈1 + 10,85𝑏 𝑝̇1 + 7,23𝑐𝑝1 = −0,618𝐹(𝑡) { 3,89𝑚𝑝̈2 + 4,47𝑏 𝑝̇2 + 2,98𝑐𝑝2 = 1,7𝐹(𝑡) Hay: 𝐹(𝑡) 𝑝̈1 + 2𝜔1 𝐷1 𝑝̇1 + 𝜔1 𝑝1 = −0,448 𝑚 { 𝐹(𝑡) 𝑝̈2 + 2𝜔2 𝐷2 𝑝̇2 + 𝜔2 𝑝2 = 0,437 𝑚 Với 𝐷1 = 7,862 𝐷2 = 1,149 𝑏 2𝑚𝜔1 𝑏 2𝑚𝜔2 ; 𝜔1 = 5,239 ; 𝜔2 = 0,766 𝑐 𝑚 𝑐 𝑚 21 22 [...]... có dạng : 12 Xr = x0V3cos(t - ) Biên độ đo được và biên đọ kích động sẽ trùng nhau khi V3 = 1 Nên 02 ≪ 2 c ≪ 2 m → Như vậy phải chọn c và m sao cho tần số riêng của hệ dao động không cản bé hơn nhiều tần số của kích động Phần II: Bài tập Câu 1: Hãy thiết lập phương trình dao động của con lắc vậy lý như hình ? _ Xác định tần số dao động riêng của hệ Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : 1 Ta có... ( N/m) 47 47 14 Tần số dao động riêng của hệ là: C* 35,1 35.1 ω0 = √ = √ 20x9,81 20 = 1,324 (rad/s) m 9,81 Câu 3 : Một vật có khối lượng m= 0,8kg được treo vào một lò xo như hình 3 Khi không có lực cản (b=0) vật dao động với chu kì T1=0.4 𝜋s Khi có lực cản tỉ lệ bậc nhất với vận tốc (b#0) vật dao động với chu kì T2=0.5 𝜋𝑠 Lúc đầu cho vật lệch khỏi vị trí cân bằng 5cm và tự dao động Hãy tìm giá trị lực... tổng quát của dao động : x= A.𝑒 −𝛿𝑡 sin(𝜔t + 𝜑) (cm) với A=5cm , δ= 3(1/s) , 𝜔=4(1/s) tan 𝜑 = 2.δ.Ω 𝜔0 2 −Ω2 = 2.3.4 52 −42 với Ω = 4(1/s) = 8 3 Vậy giá trị lực cản lúc v=1cm/s là Fc= 0,0048(N) với phương trình dao động là: 8 x= 5 𝑒 −3𝑡 sin(4t + arctan ) (cm) 3 Câu 4 : x2 x1 3b b 2m c m 2c 2c Hình 4 Cho mô hình dao động cơ hệ ai bậc tự do như hình 4 Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động của cơ... − √6 1 ] −2 + √6 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình sau : 1 Hãy xác định phương trình vi phân dao động của cơ hệ ? 2 Xác định tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng của hệ 3 Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ chính ? Bài giải 18 1 Gọi x1, x2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối lượng m1 và m2 so với vị trí cân bằng tĩnh ban đầu Hàm động năng T: 𝑇= 1 2 𝑚1 𝑥̇ 1 2... mô hình dao động cơ hệ ai bậc tự do như hình 4 Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động của cơ hệ?  Xác định tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng của hệ dao động ?  Biết m=20kg;c=104 N/m;b=3.103 kg/s Bài làm Gọi 𝑥1 ,𝑥2 là độ dời của vật so với vị trí cân bằng Biểu thức động năng: 1 1 2 2 T= 2m 𝑥̇ 2 + 2m ẋ22 Hàm thế năng của hệ: 16 1 1 1 2 2 2 π = c.x12 + c.(x2-x1) 2 + 2c.x22 3  Π=c.x12...Trường hợp kích động lực hoặc kích động qua lò xo: 𝑞̂ = V1(,D)𝑦̂ ; V1 = (1-2)2 +4D22-1/2 (3.6)  Trường hợpkíchđộngđộng học: 𝑞̂ = V2(,D)𝑦̂ ; V2 = (1+4D22)1/2V1 (3.7)  Trường hợp kích động bởi khối lượng lệch tâm: ̂𝑞 = V3(,D)𝑦̂ ; V3 = 2V1 (3.8) Các hàm V1, V2, V3 là các hàm khuyếch đại (hay hệ số động lực) Khi ta cố định độ cản D, các hàm V1, V2, V3 đạt... 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0 (vì 𝜑 cos 𝜑 = 1 hoặc 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝜑 ) 𝑚𝑔𝑎𝜑  𝜑̈ + 𝐽 =0 0 13 Câu 2: Cho hệ dao động như hình 2.2, tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần số dao động riêng của hệ ? Biết C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C =10 N/m; C6 = C7 = 2C ; C8 = C9 = 1,5C; C10 = 3C; m = 20 kg c1 c5 c2 c6 c8 c3 c9 c10 c7 c4 Hình 2.2 Bài làm: Theo công thức tính độ cứng tương đương của hệ lò xo mắc song song và nối tiếp... tốc của khối lượng m đối với vỏ ngoài thiết bị là: x – xm , 𝑥̇ - 𝑥̇ m Phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m là : m𝑥̈ = -c(x – xm) – b(𝑥̇ - 𝑥̇ m) Kim của thiết bị đo chỉ độ lệch tương đối xr = x – xm Từ đầu bài ta có 𝑥̈ m = - x02cost Thế vào phương trình trên ta nhận được phương trình dao động m𝑥̈ r + b𝑥̇ r + cxr = m 2 x0 cost Chia cả hai vế phương trình trên cho m và sử dụng các kí... phương trình dao động có dạng: 0 𝑚 0 𝑥̈ 1 4𝑐 −2𝑐 𝑥1 6𝑏 −3𝑏 𝑥̇ 1 [ ][ ] + [ ][ ] + [ ] [𝑥 ] = [ ] (2.5.3) 𝐹(𝑡) 0 𝑚 𝑥̈ 2 −2𝑐 2𝑐 −3𝑏 3𝑏 𝑥̇ 2 2 2 Từ phương trình đặc trưng của cơ hệ : |𝑐 − 𝜔2 𝑀| = 0 2 −2𝑐 | = 0 ⟺ |4𝑐 − 𝜔 𝑚 −2𝑐 2𝑐 − 𝜔2 𝑚 ⟺ (4𝑐 − 𝜔2 𝑚)(2𝑐 − 𝜔2 𝑚) − 4𝑐 2 = 0 ⟺ 𝜔4 𝑚2 − 6𝑐𝜔2 𝑚 + 4𝑐 2 = 0 Đặt 𝜆 = 𝜔2 𝑚 𝑐 2 2 ta có : 𝜆 𝑐 − 6𝜆𝑐 2 + 4 = 0 ⟺ 𝜆2 − 6𝜆 + 4 = 0 𝜆 = 5,236 ⟺[ 1 𝜆2 = 0,764 Tần số dao động riêng... cản tỉ lệ bậc nhất với vận tốc (b#0) vật dao động với chu kì T2=0.5 𝜋𝑠 Lúc đầu cho vật lệch khỏi vị trí cân bằng 5cm và tự dao động Hãy tìm giá trị lực cản lúc vận tốc bằng 1cm/s và xác định dao động của vật? Bài làm b c +,Với b=0 => δ = 𝑏 2𝑚 => 𝜔1 = 𝜔0 =√ Mà 𝜔1 = 2𝜋 𝑇1 2 m =0 = 𝑐 𝑚 2𝜋 0,4𝜋 Hình 3 = 5 (1/s) =>C= 𝜔1 m = 52.0,8 = 20 (N/m) +, Với b#0 : có 𝜔2 = 2𝜋 𝑇2 = 2𝜋 0.5𝜋 = 4 (N/m) Mà 𝜔2 = √𝜔0 2 −