Đề cương bài giảng kỹ thuật điều khiển tự động

KT điều khiển tự động Mục lục Chương Xây dựng, phân tích đối tượng miền phức 1.1 Công cụ toán học 1.1.1 Phép biến đổi Laplace thuận 11 1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược 16 1.2 Xây dựng mô hình đối tượng 23 1.2.1 Mô hình đối tượng miền phức 23 1.2.2 Hàm truyền đạt, hàm trọng lượng hàm độ 26 1.2.3 Phép biến đổi sơ đồ khối 33 1.2.4 Xây dựng mô hình đối tượng sở hàm độ 43 1.3 Phân tích hệ thống 58 1.3.1 Các đường đặc tính tần 61 1.3.2 Tính ổn định hệ thống 69 1.3.3 Đánh giá chất lượng hệ thống 83 Chương Thiết kế điều khiển miền phức 94 2.1 Mô hình hệ thống điều khiển 94 2.2 Phương pháp tối ưu độ lớn 103 2.3 Phương pháp tối ưu đối xứng 109 2.4 Phương pháp cân mô hình 117 2.5 Phương pháp điều khiển dự báo Smith 121 Chương Xây dựng, phân tích đối tượng không gian trạng thái 122 3.1 Xây dựng mô hình đối tượng 122 3.1.1 Mô hình đối tượng không gian trạng thái 122 3.1.2 Chuyển đổi mô hình đối tượng dạng SS TF 126 3.1.3 Quỹ đạo trạng thái 132 3.2 Phân tích hệ thống 132 3.2.1 Tính ổn định hệ thống 133 Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động 3.2.2 Tính điều khiển 141 3.2.3 Tính quan sát 144 Chương Thiết kế điều khiển không gian trạng thái 146 4.1 Mô hình hệ thống điều khiển 146 4.2 Phương pháp gán điểm cực Ackermann 150 4.3 Phương pháp Roppenecker 156 4.4 Điều khiển phản hồi trạng thái dùng quan sát trạng thái 161 4.5 Điều khiển tách kênh 162 4.6 Điều khiển bám 167 Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động Chương Xây dựng, phân tích đối tượng miền phức 1.1 Công cụ toán học Lý thuyết hàm biến phức Định nghĩa, khái niệm hàm liên tục, hàm giải tích Hàm số f (s) biến đổi số phức s    j hai biến số thực , j   thành số phức khác : f (s)  u( , )  jw( , ), kí hiệu u( ,  ) phần thực w( ,  ) phần ảo , gội hàm biến phức hay gọn hàm phức Với kí hiểu tên rõ rõ ràng hàm biến phức f (s) đựoc biểu diễn thành hai hàm thực hai biến u( ,  ) w( ,  ) Hình 1.1 minh hoạ hàm phức f (s) ánh xạ từ mặt phẳng phức s mặt phẳng phức z  f (s) j s =  + j j z = f(s)= u + j   S Z u Hinh1.1: Hàm biến phức ánh xạ từ mặt phẳng vào mặt phẳng phức Một hàm phức f (s) gội biến liên tục s0 có z  f (s0 ) với lân cận Z đủ nhỏ cho trước z , chẳng hạn mặt tròn có bán kính đử nhỏ tâ z tồn lân cận S tương ứng với s , cho miền ảnh f (s) nằm chọn  , tức (hình 1.1): f (S )   (1.2) Khi người ta viết: lim f ( s)  f (s0 )  z s  s0 Hàm phức f (s) liên tục điểm s0 thuộc miền  Xét hàm f (s) liên tục  tồn s   tồn giới hạn : Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động lim s 0 f ( s  s)  f ( s)  s (1.3) giới hạn không phụ thuộc vào kiểu s  , hàm f (s) gọi khả vi s Khi giá trị hạn (1.3) gọi đạo hàm f (s) s vàkí hiệu df ( s ) ds Chú ý phải có điều kiện giới hạn (1.3) không phụ thuộc hình thức tiến s Ví dụ 1.1: Hàm biến phức không khả i Xét hàm phức : f (s)  Re( s) hàm lấy phần thực biến phức s Hàm không khả I , cho s  dọc theo trục thực  giới hạn (4.23) có giá trị 1, cho s  dọc theo trục ảo j lại có giá trị Nếu hàm f (s) khả vi điểm s thuộc miền  gọi giải tích  Theo Cauchy Riemann cần đủ để f (s) giải tích  phải có : u ( ,  )  ( ,  ) u ( ,  )  ( ,  )       (1.4) tức phần thực u( ,  ) phần ảo  ( ,  ) hàm f (s) phải thoả mãn phương trình vi phân Laplace:  2u  2u      2  2  0   Phép tính lấy đạo hàm hàm phức thực giống hàm thực Ví dụ: f ( s)  s n  df ( s)  ns n1 ds f ( s)  sin( s)  df ( s)  cos(s) ds Tích phân phức nguyên lý cực đại modulus Xrts hàm phức z  f (s) liên tục điểm s thuộc miền S mặt phẳng phức s    j hình (1.2) gọi AB đường cong S Ta chia đường AB thành n đoạn điểm phức s1  A, s2 , , sn1  B tuỳ ý gọi : sk  sk  sk 1 Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động tồn giá trị giới hạn : n lim  f ( s k )s k giá trị giới hạn không phụ n  k 1 thuộc cách chon điểm sk đoạn AB , gọi giá trị tích phân hà số z  f (s) tính dọc theo đoạn AB kí hiệu : B  A n f ( s)ds  lim  f ( s k )s k n  (1.5) j s =  + j k 1 C sn sn+ = B s1=A S Hình 1.2 : Giải thích khái niệm tích phân thức Theo công thức định nghĩa (1.5) tích phân ta thấy giá trị tích phân phụ thuộc vào dạng đường cong AB miền S Về phép tích phân phức ta có kết luận Cauchy: 1) (Định lý tích phân Cauchy) hàm z  f (s) hông liên tục mà giải thích S với ký hiệu C đường biên củ0a S , ta có: 1.6) Nói cách khác ,giá trị tích phân hàm z  f (s) tính dọc theo đoạn đường cong khép kín C biên S mà f (s) giải thích , có giá trị B 2) Định lý tích phân Cauchy giá trị tích phân :  f (s)ds hàm A z  f (s) tính dọc theo đoạn AB không phụ thuộc vào dạng đường cong AB đoạn AB nằm miền S mà f (s) giải thích 3) (Công thức tính tích phân Cauchy ) Gọi S miền z  f (s) giải thích C biên miền S có chiều ngược kim đồng hồ (miền S nằm phía bên trái dọc C theo chiều ) Khi điểm s thuọcc S có : f ( ) f (s)  d (1.7) 2j C   s d k f ( s) f ( )  d k  2j C (  s) n1 ds (1.8) Ngoài , phép tính lấy tích phân hàm phức thực hàm thực Ví dụ : f (s)  sin( s)   f (s)  cos (s)  k (k số ) f (s)  e x   f (s)ds  e k  k Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK (k số ) KT điều khiển tự động Từ công thức tính tích phân(1.7) (1.8) Cauchy ta dễ dàng tính nghuyên lý cực đại modulus, phát biểu sau : Định lý 1.1 (nguyên lý cực đại modulú): Nếu hàm biến phức z  f (s) xách định liên tục miền kín S, giải tích bên miền có giá trị cực đại biên S Hàm bảo giác (conform) gọi l s1 l s2 hai đường cong tạo ới ột góc  hai mặt phẳng phức s, l 1z l z2 hai đường ảnh mặt phẳng phức z  f (s) , tức : l 1z  f ( l s1 ), l z2  f (l s2 ) hai đường ảnh l s1 , l s2 tạo với góc  mặt phẳng phức z  f (s) - hình(1.3) s =  + j j z = f(s)= u + j    l1 z l1 z l2z l2z  u Hình 1.3: Giải thích khái niệm hàm bảo giác  d  Xét điểm s cụ thể vector ds    tiếp tuyến với đường cong ls  d  Khi đó, mặt phẳng phức z  f (s) hàm bảo giác f (s) , vector ds  du  u u u     d   Z  cos  sin  w  d       sin   d    cos   d  (1.9) w w dược biến đổi thành dz    với : du  d  d dw  d  d      dw  kết hợp thê công thức (1.4) Cauchy Riemann :  u  ds         Trong df ( s) df(s) df ( s)  Ze j hay Z    arc ds ds ds  du    dw  Công thức (1.9) cho thấy hàm bảo giác z  f (s) tạo dz   từ df(s)  du  kéo dài độ lớn thêm ds    cách xoay vector ds góc   arc ds  d  Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động hệ số nhân Z  df ( s) Đặc biệt , gọi lz ảnh ls mặt phẳng phức ds z  f (s) tức lz=f(ls) dz véc tơ tiếp tuyến lz giống ds vector tiép tuyến ls Í dụ 1.2: Một hàm bảo giác đơn giản 1) hàm tuyến tính z  f (s)  as  b , với a,b hai số phức lọt ánh xạ tuyến tính , biến đổi ột vector s sang mặt phẳng z cách xoay góc   arc(a) , kéo dài hệ số a dịch chuyển song song khoảng cách b Như ậy , hàm bảo toàn dạng đường cong bất kỳcủa mặt phẳng chưa s sang mặt phảng chưa z (hình 1.4a) 2) Hàm nghịch đảo z  Hàm biến đổi vector s thành vector z cách s lấy đối sứng qua dường tròn đơn vị sau lại lấy dối xứng tiếp qua trục thực (hình 1.4b) Như , hàm biến đổi toàn phần bên đường tròn đơn vị mặt phẳng s thành phần phía đường tròn đơn vị mặt phẳng z 3) Hàm bình phương z=s2 , tức s    j có : z  f (s)  u  jw      j biến đổi ột đường hyperbol uông góc với mặt phẳng s    j     số k1 2  hàm số k2 thành đường thẳng song song ới hai trục tọa độ mặt phẳng z  f (s)  u  jw u=k1 w = k2 tức chúng vuông góc với a) b)  Hình 1.4: minh hàm họa ví dụ 1.2 4) Hàm lấy bậc hai z  s 5) Hàm phân thức z  as  b với a,b,c,d số phức thỏa mãn ab  bc  cs  d Hàm tạo thành từ ba hàm bảo giác : z1  cs  d , z  z z1 a bc  ad  z nên hàm bảo giác c c Phép biến đổi Fourier Ảnh Fourier tín hiệu tuần hoàn Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động Xét tín hiệu: x(t )  A cos(0 t   ) ới tần số giao động  Áp dụng công thức Cauchy e ja  cos a  j sin a tín hiệu x(t ) biểu diễn c x(t )  ce j0t  ce  j0t , A  j c kí hiệu số phức liên hàm hợp c e Mở rộng cách biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn x(t ) bất ỳ ta được: tín hiệu x(t ) thỏa mãn : a) x(t )  x(t  T ) với t, (tuần hoàn với chu kỳ T) b) x(t ) liên tục khúc khoảng  t  T , c) điểm không liên tục t  0, T  thỏa mãn x(t )  x(t  0)  x(t  0) , d) x(t ) khoảng 0, T  có hữu hạn điểm cực trị , tín hiệu x(t ) biểu diễn dạng chuỗi Fourier sau:  x(t )   Ak cos(k0 t   k )  k 0  c e n   jn0t (1.10) n với T cn   x(t )e  jn0t dt , n=…,-1,0,1, T (1.11) cn  cn x(t ) tín hiệu c n giá trị phức liên hợp c n Phép biến đổi x(t )  cn  theo (1.11) dơn ánh ( tuyến tính nội xạ) Ảnh Fourier tín hiệu không tuần hoàn Nếu tín hiệu x(t ) không tuần hoàn thoả mãn :  a)   x(t ) dt   , tức tích phân   x(t ) dt hội tụ  b) x(t ) khoảng hữu hạn liên tục khúc , c) điểm không liên tục t thỏa mãn x(t )  x(t  0)  x(t  0) , d) x(t ) khoảng hữu hạn có hữu hạn điểm cực trị , x(t ) biểu diễn dạng tích phân Fourier sau: X ( j )  F x(t )    x(t )e  jt dt (1.12)  Và x(t )  F 1 x(t )  2   X ( j )e jt d (1.13)  Hàm phức X ( j ) gọi ảnh Fourier (hay phổ) x(t ) Khi x(t ) tín hiệu thực ( có miền giá trị thuộc R ) phức x(t )  x(t ) X ( j ) thỏa mãn: X ( j )  X ( j ) toán tử Fourier F : x(t )  X ( j) có tính chất sau Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động 1) Toán tử Fourier nội xạ (injective), tức x(t )  y(t ) X ( j)  Y ( j) , X ( j ) ảnh Fourier x(t ) Y ( j ) ảnh Fourier y (t ) 2) Toán tử Fourier tuyến tính Nếu x(t ) có ảnh Fourier X ( j ) y (t ) có ảnh Y ( j ) tổng tuyến tính z(t )  ã (t )  by(t ) chúng có ảnh Z ( j ) Z ( j)  F ax(t )  by(t )  aX ( j)  bY ( j) 3) Nếu x(t ) hà chẵn ,tức x(t )  x(t ) ảnh Fourier X ( j ) hàm thực (phần ảo 0) 4) Nếu X ( j ) hàm lẽ tức x(t )   x(t ) ảnh Fourier X ( j ) hàm ảo (phần thực 0) 5) Nếu X ( j ) ảnh Fourier ảnh x(t ) y(t )  x(t  T ) Y ( j)  F x(t  T )  X ( j)e  jT 6) Nêu X ( j ) , Y ( j ) ảnh Fourier x(t ) , y (t ) tích chập  x(t ) * y (t )   x( ) y (t   )d Có ảnh Fourier anhr  F x(t ) * y(t )  X ( j)Y ( j) 7) tích z(t )  x(t ) y(t ) x(t ) có ảnh Fourier X ( j ) với y (t ) có ảnh Y ( j ) có ảnh Z ( j ) là: Z ( j )  X ( j ) * Y ( j )  2   X ( j )Y  j(   )d  8) Công thức parseval gọi X ( j ) ảnh Fourier x(t ) Vậy thì:   xt    dt  X  j  d 2  (1.14) Ví dụ 1.3: ảnh Fourier tín hiệu hông tuần hoàn Xét tín hiệu 1 t  T x(t )   0 t   T , T  T Tín hiệu có ảnh Fourier X ( j )   e  jT dt  T thỏa mãn : lim X ( )  lim   x x sin T  0 sin T ảnh (e jT  e  jT )  j  x ( j ) (1.15)   g Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK g KT điều khiển tự động Hình 1.5: Minh họa ví dụ 1.3 Tính chất (1.15) thành phần dao đọng với tần số cao x(t ) nhỏ bỏ qua    g  g tần số giới hàmạn đủ lớn (hình1.5) x(t ) có lẫn nhiẽu n(t ) tần số cao ta lọc x(t ) khỏi ~ x (t ) ~ x (t )  x(t )  n(t ) ~ cách tính ảnh Fourier X ( j ) ~ x (t ) , bỏ tất ~ thành phần có tần số cao  g X ( j ) theo công thức : 1    g chuyển ngược lại miền thời W ( )   0    g ~ X ( j )  X ( j ) W ( ) với gian với phép biến đổi ngược (1.13) để có x(t ) Hàm mở rộng dixac,hàm trích mẫu ảnh Fourier Khái niệm "hàm mở rộng"  (t ) xuất phát từ chất "không hàm số" nó, chẳng hàmạn không định nghĩa toán hàmọc kinh điển ánh xạ từ R vào R Thực chất ột phiếm hàm (functional) chuyển đổi hàm liên tục x(t ) thành số     x(kTa )    (t  kTa ) x(t )dt    (t ) x(t  kTa )dt (1.16) thực : với định nghĩa mở rộng (1.16) hàm dirac :         (t   ) x(t )dt    (t ) x(t   )dt 1) 2) d (t ) dx(t ) dx(0)   dt x(t )dt   (t ) dt dt   dt  3)   (at ) x(t )dt  a  4)  (t )  2  t   (t ) x( a )dt (đạo hàm hàm dirac) a hay  (at )   (t )    cos(t )d  sin(at ) a  t 5)  (t )  lim Công thức định nghĩa (1.16) hàm mở rộng dirac công thức trích mẫu tín hiệu x(t ) thời điểm t  kTa Nhằm thống ý nghĩa kí hiệu trích mẫu tín hiệu x(kTa ) cho hai cách viết với hàm dirac  (t ) với hàm Kronecker k(t): 1 t  k (t )   0 t  sau công tức : xk  x(kTa )  k (t  kTa ) x(t )  k (t  kTa ) x(kTa ) Từ thức định nghĩa viết thành : xk  x(kTa )   (t  kTa ) x(t )   (t  kTa ) x(kTa ) (1.17) phép "nhân" hàm Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 10 KT điều khiển tự động      0      dx  =       x +  u   dt   0    1  a  a  a   a   n 1  0 b    (3.66) A Như vậy, đối tượng có công thức đặc tính theo công thức (3.42) là: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn với nghiệm điểm cực đối tượng Tương ứng với đối tượng (3.66), điều khiển trạng thái R phải là: R = (r1, r2, … , rn) (3.67) Khi hệ kín có mô hình: dx = (A - b R) x + b w dt    = [     a  =      0   a1  a2    0 0         -   (r1, r2, … , rn)] x +   w   0      1    an 1      0       0    (a  r )  (a  r )  (a  r ) 1 2  Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK         x     (a n 1  rn )  + 0    0 w   1   157 KT điều khiển tự động với đa thức đặc tính: det(sI – A + b R) = (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn phương trình (3.64) trở thành: (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = (s – s1) (s – s2) … (s – sn) (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn  Suy ra: r1 = a~ i-1 – ai-1 , i = 1, 2, … ,n Vậy thuật toán xác định điều khiển R gán điểm cực si , i = 1, 2, … ,n theo nguyên tắc phản hồi trạng thái cho đối tượng (3.66) đầu vào dạng chuẩn điều khiển, gồm bước sau: - Tính hệ số a~ i , i = 1,2 , … ,n-1 phương trình đặc tính cần phải có hệ kín từ giá trị điểm cực si , i = 1, 2, … ,n cho theo: - (s – s1) (s – s2) … (s – sn) = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn Tính phần tử ri, , i = 1, 2, … ,n điều khiển (3.67) theo: ri = a~ i-1 – Ví dụ 3.26: Gán điểm cực cho đối tượng chuẩn điều khiển Xét đối tượng SISO có mô hình trạng thái:  0 0     dx =  0 1 x +  0 u dt 1   3     tức có a0 =1, a1 =-2, a2 =-3 Giả sử chất lượng mong muốn hệ kín chọn với mhững điểm cực s1 = -3, s2 = -4, s3 = -5 cần phải có Vậy với: (s – s1) (s – s2) (s – s3) = (s + 3) (s + 4) (s + 5) = s3 + 12s2 + 47s + 60 ta có a~ = 60, a~ = 47, a~ = 12 Suy điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (60 – 47 + 12 + 3) = (59 49 15) Tiếp theo ta bàn tới vấn đề đối tượng cho mô hình ban đầu có không gian dạng chuẩn điều khiển: dx =Ax + bu dt Rất tự nhiên, ta nghĩ tới việc tìm phép đổi biến z =Sx  x = S-1 z cho với nó, đối tượng ban đầu chuyển dạng chuẩn điều khiển Định lý 3.32: Nếu hệ (3.68) điều khiển phép đổi biến z = S x với: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 158 KT điều khiển tự động T    s   TA   S=  s     T n 1  s A  s T véc tơ hang cuối ma trận: ( b A b … An-1 b ) -1 chuyển dạng chuẩn điều khiển:    dz -1 = SAS z + S b u =    dt   a       0   a1  a2    0       x +  u     1    an 1  với ao, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn Chứng minh: Trước hết ta thấy được: T s s   s T T = (0  0.1)( b , A b ,  , An-1 b )-1 ( b , A b ,  , An-1 b ) = (0  0.1) Ak b = nếu  k  n-2 k = n-1 Nên: T T      s   s b    T  TA   Ab     s s b =   =   Sb =         T n 1   T n 1 b    s A  s A    Ngoài theo định lý Cayley-Hamilton (định lí 3.8) có: T    s   TA  A = SA =  s     T n 1  s A  T  TA   A s  s   2  T   T A s A  =  s       T n  T T T  s A    a0 s  a1 s A    an 1 s         n 1  A  với a0, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính như: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 159 KT điều khiển tự động         a       0   a1  a2      S =    an 1          a       0   a1  a2  T    s   T A     s      T n 1   A    an 1   s T  sA   T A s =    T T   a0 s  a1 s A    an 1 sT     SA =      a  Vậy:      0   a1  a2       n 1  A      S    an 1  Ví dụ 3.27: Minh hoạ định lí 3.32 Cho đói tượng:  0 0     dx = 0 1  x + 0 u dt 1  0  2     Đối tượng có:  0       0 0           A b =   1    =   , A b =   1    =   3  0  2     2  0  2   2             1     0  -1 ( b , A b , A b ) =  3  =    2    s T s T s T   10  1    0  0   = (1 , , 0)  0   A = (1 , , 0)   1  = (0 , , 0)  0  2    0   A = (0 , , 0)   1  = (0 , -1 , 1)  0  2   Vậy: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 160 KT điều khiển tự động 1 0 1 0 1 0       S =  0  z = S x =  0 x  x = 0 0 z 0 1 1 0 1 1 0 1       Ta được: dz = SAS-1 z + S b u = dt  1 0 1 0 0 1 0  0         0 0 1  0 0 z +  0  0 u  1 1  0  2  1 0 1 1 1         0 0      z + 0 u = 0 1    3      u - z Sb z  S 1 x SAS-1 Rz S R Hình 3.11: Minh hoạ phương pháp Ackermann cho hệ có mô hình trạng thái không dạng chuẩn điều khiển 4.4 Điều khiển phản hồi trạng thái dùng quan sát trạng thái Xét đối tượng hợp thức chặt với mô hình trạng thái d x  A x  Bu   dt  y  C x  Du  Ý tưởng phương pháp thiết kế quan sát trạng thái Luenberger sử dụng khâu có mô hình: x d ~  A~ x  Bu  L ( y  ~ y  Du )   dt ~ ~ y  Cx Làm quan sát trạng thái để có xấp xỉ ~x  x sau khoảng thời gian T đủ ngắn, nói cách khác có Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 161 KT điều khiển tự động e(t )   x(t )  ~ x (t )   t T Nhiệm vụ thiết kế xác định L công thức để có yêu e(t) Trước tiên ta lập sai lệch từ hai mô hình: e(t )  x(t )  ~ x (t ) d e d (x  ~ x)   ( A  LC)e dt dt Như vậy, rõ ràng để e(t) tiến tới không A-LC phải ma trận bền Sai lệch e(t) tiến nhanh 0, tức thời gian T cần thiết để quan sát trạng thái tín hiệu vào nhỏ, giá trị riêng A-LC nằm xa trục ảo phía âm Do ta chủ động chọn L cho A-LC có giá trị riêng phù hợp với tốc độ tiến chọn trước Ta đến thuật toán tìm L quan sát trạng thái Luenberger cho đối tượng quan sát hoàn toàn gồm hai bước: Bước Chọn trước n giá trị s1, s2, … , sn có phần thực âm ứng với thời gian T mong muốn để quan sát tín hiệu vào Các giá trị s1, s2, … , sn chọn nằm xa trục ảo phía âm so với giá trị riêng A, thời gian T ngắn sai lệch e(t) tiến nhanh Bước 2: Sử dụng phương pháp biết Roppenecker, modal,… để tìm điều khiển LT phản hồi trạng thái gán điểm cực s1, s2, … , sn cho đối tượng dx  AT x  C T u dt Một điều cần ý quan sát trạng thái thường sử dụng kèm với điều khiển phản hồi trạng thái Nói cách khác, trạng thái ~x (t ) tìm tín hiệu đầu vào điều khiển Bởi vậy, thời gian xác định trạng thái xấp xỉ ~x (t ) đối tượng chậm thời gian thay đổi trạng thái x(t ) thân đối tượng Từ suy điều kiện tiên để chọn giá trị s1, s2, … , sn chúng phải nằm bên trái điểm cực đối tượng (các giá trị riêng ma trận A) mà phải nằm bên trái điểm cực hệ kín (giá trị riêng A-BR) 4.5 Điều khiển tách kênh Trước hết, ta xét đối tượng có đầu vào u mô tả mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển ( xem them định lý 3.2)      0      dx  =       x +  u   dt   0    1  a  a  a   a   n 1  0 b    (3.66) A Như vậy, đối tượng có công thức đặc tính theo công thức (3.42) là: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 162 KT điều khiển tự động với nghiệm điểm cực đối tượng Tương ứng với đối tượng (3.66), điều khiển trạng thái R phải là: R = (r1, r2, … , rn) (3.67) Khi hệ kín có mô hình: dx = (A - b R) x + b w dt    = [     a  =      0   a1  a2    0 0         -   (r1, r2, … , rn)] x +   w   0        1  an 1      0       0    (a  r )  (a  r )  (a  r ) 1 2  Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK         x     (a n 1  rn )  + 0    0 w   1   163 KT điều khiển tự động với đa thức đặc tính: det(sI – A + b R) = (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn phương trình (3.64) trở thành: (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = (s – s1) (s – s2) … (s – sn) (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn  Suy ra: r1 = a~ i-1 – ai-1 , i = 1, 2, … ,n Vậy thuật toán xác định điều khiển R gán điểm cực si , i = 1, 2, … ,n theo nguyên tắc phản hồi trạng thái cho đối tượng (3.66) đầu vào dạng chuẩn điều khiển, gồm bước sau: - Tính hệ số a~ i , i = 1,2 , … ,n-1 phương trình đặc tính cần phải có hệ kín từ giá trị điểm cực si , i = 1, 2, … ,n cho theo: - (s – s1) (s – s2) … (s – sn) = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn Tính phần tử ri, , i = 1, 2, … ,n điều khiển (3.67) theo: ri = a~ i-1 – Ví dụ 3.26: Gán điểm cực cho đối tượng chuẩn điều khiển Xét đối tượng SISO có mô hình trạng thái:  0 0     dx =  0 1 x +  0 u dt 1   3     tức có a0 =1, a1 =-2, a2 =-3 Giả sử chất lượng mong muốn hệ kín chọn với mhững điểm cực s1 = -3, s2 = -4, s3 = -5 cần phải có Vậy với: (s – s1) (s – s2) (s – s3) = (s + 3) (s + 4) (s + 5) = s3 + 12s2 + 47s + 60 ta có a~ = 60, a~ = 47, a~ = 12 Suy điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (60 – 47 + 12 + 3) = (59 49 15) Tiếp theo ta bàn tới vấn đề đối tượng cho mô hình ban đầu có không gian dạng chuẩn điều khiển: dx =Ax + bu dt Rất tự nhiên, ta nghĩ tới việc tìm phép đổi biến z =Sx  x = S-1 z cho với nó, đối tượng ban đầu chuyển dạng chuẩn điều khiển Định lý 3.32: Nếu hệ (3.68) điều khiển phép đổi biến z = S x với: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 164 KT điều khiển tự động T    s   TA   S=  s     T n 1  s A  s T véc tơ hang cuối ma trận: ( b A b … An-1 b ) -1 chuyển dạng chuẩn điều khiển:    dz -1 = SAS z + S b u =    dt   a       0   a1  a2    0       x +  u     1    an 1  với ao, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn Chứng minh: Trước hết ta thấy được: T s s   s T T = (0  0.1)( b , A b ,  , An-1 b )-1 ( b , A b ,  , An-1 b ) = (0  0.1) Ak b = nếu  k  n-2 k = n-1 Nên: T T      s   s b    T  TA   Ab     s s b =   =   Sb =         T n 1   T n 1 b    s A  s A    Ngoài theo định lý Cayley-Hamilton (định lí 3.8) có: T    s   TA  A = SA =  s     T n 1  s A  T  TA   A s  s   2  T   T A s A  =  s       T n  T T T  s A    a0 s  a1 s A    an 1 s         n 1  A  với a0, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính như: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 165 KT điều khiển tự động         a       0   a1  a2      S =    an 1          a       0   a1  a2  T    s   T A     s      T n 1   A    an 1   s T  sA   T A s =    T T   a0 s  a1 s A    an 1 sT     SA =      a  Vậy:      0   a1  a2       n 1  A      S    an 1  Ví dụ 3.27: Minh hoạ định lí 3.32 Cho đói tượng:  0 0     dx = 0 1  x + 0 u dt 1  0  2     Đối tượng có:  0       0 0           A b =   1    =   , A b =   1    =   3  0  2     2  0  2   2             1     0  -1 ( b , A b , A b ) =  3  =    2    s T s T s T   10  1    0  0   = (1 , , 0)  0   A = (1 , , 0)   1  = (0 , , 0)  0  2    0   A = (0 , , 0)   1  = (0 , -1 , 1)  0  2   Vậy: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 166 KT điều khiển tự động 1 0 1 0 1 0       S =  0  z = S x =  0 x  x = 0 0 z 0 1 1 0 1 1 0 1       Ta được: dz = SAS-1 z + S b u = dt  1 0 1 0 0 1 0  0         0 0 1  0 0 z +  0  0 u  1 1  0  2  1 0 1 1 1         0 0      z + 0 u = 0 1    3      u - z Sb z  S 1 x SAS-1 Rz S R 4.6 Điều khiển bám Trước hết, ta xét đối tượng có đầu vào u mô tả mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển ( xem them định lý 3.2)      0      dx    =  x +  u       dt   0    1  a  a  a   a   1  0 b   n  (3.66) A Như vậy, đối tượng có công thức đặc tính theo công thức (3.42) là: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn với nghiệm điểm cực đối tượng Tương ứng với đối tượng (3.66), điều khiển trạng thái R phải là: R = (r1, r2, … , rn) (3.67) Khi hệ kín có mô hình: dx = (A - b R) x + b w dt Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 167 KT điều khiển tự động    = [     a  =      0   a1  a2    0 0            -   (r1, r2, … , rn)] x +   w  0      1 1    an 1    0       0    (a  r )  (a  r )  (a  r ) 1 2  Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK         x     (a n 1  rn )  + 0    0 w   1   168 KT điều khiển tự động với đa thức đặc tính: det(sI – A + b R) = (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn phương trình (3.64) trở thành: (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = (s – s1) (s – s2) … (s – sn) (a0 + r1) + (a1 + r2)s + … +(an-1 + rn)sn-1 + sn = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn  Suy ra: r1 = a~ i-1 – ai-1 , i = 1, 2, … ,n Vậy thuật toán xác định điều khiển R gán điểm cực si , i = 1, 2, … ,n theo nguyên tắc phản hồi trạng thái cho đối tượng (3.66) đầu vào dạng chuẩn điều khiển, gồm bước sau: - Tính hệ số a~ i , i = 1,2 , … ,n-1 phương trình đặc tính cần phải có hệ kín từ giá trị điểm cực si , i = 1, 2, … ,n cho theo: - (s – s1) (s – s2) … (s – sn) = a~ + a~ 1s + … + a~ n-1sn-1 + sn Tính phần tử ri, , i = 1, 2, … ,n điều khiển (3.67) theo: ri = a~ i-1 – Ví dụ 3.26: Gán điểm cực cho đối tượng chuẩn điều khiển Xét đối tượng SISO có mô hình trạng thái:  0 0     dx =  0 1 x +  0 u dt 1   3     tức có a0 =1, a1 =-2, a2 =-3 Giả sử chất lượng mong muốn hệ kín chọn với mhững điểm cực s1 = -3, s2 = -4, s3 = -5 cần phải có Vậy với: (s – s1) (s – s2) (s – s3) = (s + 3) (s + 4) (s + 5) = s3 + 12s2 + 47s + 60 ta có a~ = 60, a~ = 47, a~ = 12 Suy điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (60 – 47 + 12 + 3) = (59 49 15) Tiếp theo ta bàn tới vấn đề đối tượng cho mô hình ban đầu có không gian dạng chuẩn điều khiển: dx =Ax + bu dt Rất tự nhiên, ta nghĩ tới việc tìm phép đổi biến z =Sx  x = S-1 z cho với nó, đối tượng ban đầu chuyển dạng chuẩn điều khiển Định lý 3.32: Nếu hệ (3.68) điều khiển phép đổi biến z = S x với: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 169 KT điều khiển tự động T    s   TA   S=  s     T n 1  s A  s T véc tơ hang cuối ma trận: ( b A b … An-1 b ) -1 chuyển dạng chuẩn điều khiển:    dz -1 = SAS z + S b u =    dt   a       0   a1  a2    0       x +  u     1    an 1  với ao, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính: det(sI - A) = a0 + a1s + ….+ an-1sn-1 + sn Chứng minh: Trước hết ta thấy được: T s s   s T T = (0  0.1)( b , A b ,  , An-1 b )-1 ( b , A b ,  , An-1 b ) = (0  0.1) Ak b = nếu  k  n-2 k = n-1 Nên: T T      s   s b    T  TA   Ab     s s b =   =   Sb =         T n 1   T n 1 b    s A  s A    Ngoài theo định lý Cayley-Hamilton (định lí 3.8) có: T    s   TA  A = SA =  s     T n 1  s A  T  TA   A s  s   2  T   T A s A  =  s       T n  T T T  s A    a0 s  a1 s A    an 1 s         n 1  A  với a0, a1, … , an-1 hệ số đa thức đặc tính như: Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 170 KT điều khiển tự động         a       0   a1  a2      S =    an 1          a       0   a1  a2  T    s   T A     s      T n 1   A    an 1   s T  sA   T A s =    T T   a0 s  a1 s A    an 1 sT     SA =      a  Vậy:      0   a1  a2       n 1  A      S    an 1  Ví dụ 3.27: Minh hoạ định lí 3.32 Cho đói tượng:  0 0     dx = 0 1  x + 0 u dt 1  0  2     Đối tượng có:  0       0 0           A b =   1    =   , A b =   1    =   3  0  2     2  0  2   2             1     0  -1 ( b , A b , A b ) =  3  =    2    s T s T s T   10  1    0  0   = (1 , , 0)  0   A = (1 , , 0)   1  = (0 , , 0)  0  2    0   A = (0 , , 0)   1  = (0 , -1 , 1)  0  2   Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 171 ...KT điều khiển tự động 3.2.2 Tính điều khiển 141 3.2.3 Tính quan sát 144 Chương Thiết kế điều khiển không gian trạng thái 146 4.1 Mô hình hệ thống điều khiển ... 4.4 Điều khiển phản hồi trạng thái dùng quan sát trạng thái 161 4.5 Điều khiển tách kênh 162 4.6 Điều khiển bám 167 Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK KT điều khiển tự động. ..  đủ lớn cho Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK 11 KT điều khiển tự động  x(t )  e t x(t ) thoả mãn điều kiện khăt khe (2.21) điều ta tìm  dương đủ lớn để hàm e t tiến nhanh x(t) cách