đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của singer

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM K THUT THNH PH H CH MINH BO CO TNG KT TI KH&CN CP TRNG NG CU CHUYN I S TH CA SINGER S K C 0 9 M S: T2011- 109 S KC 0 3 Tp H Chớ Minh, 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM K THUT THNH PH H CH MINH BO CO TNG KT TI KH&CN CP TRNG NG CU CHUYN I S TH CA SINGER Mó s: T2011- 109 Ch nhim ti: NGUYN KHC TN TP HCM, 2011 TRNG I HC S PHM K THUT THNH PH H CH MINH KHOA XY DNG VA C HOC NG DUNG BO CO TNG KT TI KH&CN CP TRNG NG CU CHUYN I S TH CA SINGER Mó s: T2011- 109 Ch nhim ti: NGUYN KHC TN TP HCM, 2011 Mục lục Lời nói đầu Ch-ơng số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số 1.2 Đại số tenxơ 1.3 Đại số đối xứng 1.4 Đại số 1.5 Đại số Steenrod 1.6 Cấu trúc mô đun đại số đa thức đại số Steenrod 1.7 Nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng F2 11 1.8 Tác động nhóm tuyến tính tổng quát đại số đa thức 11 1.9 Các hàm số học 12 Ch-ơng Đồng cấu chuyển đại số 2.1 Một số tính chất đơn thức chấp nhận đ-ợc 14 2.2 Toán tử bình ph-ơng Kameko 20 2.3 Đồng cấu chuyển đại số thứ Singer 23 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời nói đầu Ký hiệu Pk := F2 [x1, x2 , , xk ] đại số đa thức tr-ờng nguyên tố F2 có hai phần tử với k biến x1, x2, , xk , biến có bậc Đại số môđun đại số Steenrod A Tác động A Pk đ-ợc xác định t-ờng minh công thức xj , Sq i(xj ) = x2j , 0, i = 0, i = 1, i > công thức Cartan n n Sq i (f )Sq ni (g), Sq (fg) = i=0 với f, g Pk (xem Steenrod-Epstein [13]) Một toán quan trọng Tôpô đại số xác định tập sinh cực tiểu Pk đ-ợc xét nh- môđun đại số Steenrod A Bài toán đ-ợc gọi toán hit đại số Steenrod Nếu xét F2 nh- A-môđun tầm th-ờng toán hit t-ơng đ-ơng với việc xác định sở không gian véc tơ F2 A Pk F2 Bài toán đ-ợc nghiên cứu Peterson [8], Singer [11], Wood [19], ng-ời mối liên hệ toán hit với số toán cổ điển lý thuyết đồng biên đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu Một ứng dụng quan trọng toán hit sử dụng việc nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số Singer [11] định nghĩa đồng cấu GLk trk : TorA , k,n+k (F2 , F2 ) (F2 A Pk )n nhóm tuyến tính tổng quát GLk = GLk (F2 ) tác động F2 A Pk theo cách thông th-ờng Singer [11] chứng tỏ trk đẳng cấu với k = 1, tr5 không đẳng cấu bậc Boardman [1] chứng minh tr3 đẳng cấu Gần đây, H-ng [4] chứng minh với k 4, trk không đẳng cấu vô số bậc Mặc dù không đẳng cấu, đồng cấu chuyển đại số trk công cụ quan trọng việc nghiên cứu đồng điều đại số Steenrod, TorAk,n+k (F2 , F2 ) Trong nghiên cứu này, trình bày tổng quan số kết toán hit đại số Steenrod A Đồng thời, khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ Singer bậc 16.2r 5, với r số nguyên không âm Kết đối ngẫu với kết tr-ờng hợp r = đ-ợc chứng minh Quynh [9] Nội dung nghiên cứu đ-ợc chia thành ch-ơng Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số; đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử tác động đại số đa thức Các hàm số học Ch-ơng Đồng cấu chuyển đại số Trong ch-ơng nhắc lại số kết cần thiết toán hit, tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ-ợc Pk Tiếp theo, tổng quát kết Quynh [9] rằng: Với r r 0, phần tử khác không gr Ext5,16.2 (F2 , F2 ) không nằm ảnh A T r5 Nội dung chi tiết ch-ơng trình bày chi tiết cách chứng minh khác kết [9] tổng quát kết Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng trình thực đề tài nh-ng không tránh khỏi sai lầm thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc góp ý quý báu quý thầy, cô giáo bạn đọc quan tâm Nhân đây, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Sum h-ớng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học bản; Tr-ờng Đại học S- Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình thực đề tài Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2011 Tác giả Nguyễn Khắc Tín Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng này, trình bày tổng quan số kiến thức đại số tr-ờng, đại số Steenrod tr-ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử tác động đại số đa thức 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 Một đại số tr-ờng K tập hợp không rỗng A với ba phép toán, gồm : (a) Phép cộng + : A ì A A, (x, y) x + y, (b) Phép nhân : A ì A A, (x, y) xy, (c) Phép nhân với vô h-ớng K : K ì A A, (, x) x thoả mãn điều kiện sau đây: (i) A với hai phép toán cộng nhân lập thành vành (ii) A với hai phép toán cộng nhân với vô h-ớng lập thành không gian véc tơ K (iii) Hai cấu trúc vành không gian véc tơ ràng buộc điều kiện (xy) = (x)y = x(y), với K, x, y A Nói cách khác, A đại số K, vừa vành vừa không gian véc tơ, phép cộng vành A trùng với phép cộng không gian véctơ A, phép nhân vành A liên hệ với phép nhân với vô h-ớng không gian véc tơ A công thức (xy) = (x)y = x(y), với K, x, y A 1.2 Đại số tenxơ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử V không gian véc tơ tr-ờng K Ta đặt T r (V ) = V V V , với quy -ớc T 0(V ) = K Nếu dim V = k r {v1, v2 , , vk } sở V tập hợp {vi1 vir /1 i1 , , ir k} sở T r (V ) r Ta đặt T (V ) = r=0 T (V ) Xét ánh xạ song tuyến tính T r (V ) ì T s (V ) T r+s (V ) (u, v) u v Theo tính chất tích tenxơ, ánh xạ song tuyến tính nói cảm sinh phép nhân T (V ) T (V ) ì T (V ) T (V ) Khi T (V ) đại số K đ-ợc gọi đại số tenxơ V Mệnh đề 1.2.2 Giả sử {v1, v2 , , vk } sở K-không gian véc tơ V Khi tập hợp {vi1 vir | i1, , ir k, r < } sở T (V ) 1.3 Đại số đối xứng Định nghĩa 1.3.1 Cho r N V không gian véc tơ tr-ờng K Ta có không gian véc tơ T r (V ) K Ký hiệu Ar không gian véc tơ T r (V ) sinh tất phần tử có dạng xi1 xi2 xir xi(1) xi(2) xi(r) , xi1 , xi2 , xir V , r (nhóm đối xứng r phần tử) Khi A = r=0 Ar iđêan T (V ) r Đặt S r (V ) = T r (V )/Ar S(V ) = r=0 S (V ), với quy -ớc S (V ) = K Khi ta có đại số th-ơng r r r T (V )/A = r=0 T (V )/r=0 Ar = r=0 T (V )/Ar = r=0 S (V ) = S(V ), S(V ) đ-ợc gọi đại số đối xứng V Đặt xi1 xi2 xir = p(xi1 xi2 xir ), p : T (V ) S(V ) phép chiếu tự nhiên Ta có 28 Bổ đề 2.3.9 P45 = Chứng minh Theo Định lý 2.3.6, P4 không gian véc tơ 20 chiều với sở gồm lớp đ-ợc biểu diễn đơn thức sau: a1 = x33x34 x55 a2 = x33x54x35 a3 = x32 x34x55 a4 = x32x54 x35 a5 = x32x33x55 a6 = x32x33 x54 a7 = x32x53x35 a8 = x32 x53x34 a9 = x31x34 x55 a10 = x31 x54x35 a11 = x31 x33x55 a12 = x31 x33x54 a13 = x31x53 x35 a14 = x31x53x34 a15 = x31 x32x55 a16 = x31 x32x54 a17 = x31 x32x53 a18 = x31x52 x35 a19 = x31x52x34 a20 = x31 x52x33 Giả sử p đa thức cho [p] P45 Khi p i ai, (3.1) 1i20 i F2 , i 20 Tính toán trực tiếp ta có (a2j1) = a2j , j = 1, 2, , 8, 1(a17) = a17, 1(a18) = 1(a19), 1(a2 ) = a20 Do hệ thức (p) p t-ơng đ-ơng với 2j1 = 2j , j = 1, 2, , 8, 18 = 19 (3.2) T-ơng tự, ta có 2(ai ) = aj với i, j khác (a2) a1 + a2 nên từ hệ thức 2(p) p (3.2), ta thu đ-ơc = = 0, = = = = = , = 10 = 11 = 12 = 13 = 14 , 15 = 16 = 17 , 18 = 19 = 20 (3.3) Ta có (ai ) = aj với i, j khác 7, (a7) a5 +a7 , (a8) a6 +a8 nên từ hệ thức (p) p (3.3), ta thu đ-ơc 29 j = 0, j = 1, 2, 8, j = , j = 9, 10, , 20 (3.4) Do (a9) = a3, 4(a18) a15 + a18, 4(a19) a16 + a18, 4(a20) a17 + a20 (ai) aj với i > j > Do từ hệ thức 4(p) p (3.4) ta thu đ-ợc = Vì i = với i Bổ đề đ-ợc chứng minh Bổ đề 2.3.10 P55 = Chứng minh Xét đơn thức sau P4 t1 = x1x2x23 x74 t2 = x1 x2x73x24 t3 = x1x22x3 x74 t4 = x1 x22x73x4 t5 = x1x72x3 x24 t6 = x1 x72x23x4 t7 = x71x2x3 x24 t8 = x71 x2x23x4 Theo Định lý 2.3.6, P4 không gian véc tơ 40 chiều với sở gồm lớp đ-ợc biểu diễn đơn thức fi (tj ), i 5, j Giả sử p đa thức cho [p] P55 Khi pi , với pi = p 1i5 i,j fi (tj ), (3.5) 1j8 i,j F2 , i 5, j Giả sử hoán vị cho (i) = i Khi (fi (tj )) Span{fi (t ), 8} (fi (tj )) / Span{fi (t ), 8} với i = i Vì hệ thức i(p) p kéo theo i (pi ) pi Xét i = Vì 2(5) = nên 2(p5 ) p5 Ta có 2(f5 (t2j1)) = f5(t2j ), j = 1, 2, 3, Do hệ thức (p5 ) p5 kéo theo 5,2j1 = 5,2j , j = 1, 2, 3, (3.6) 30 Xét = Ta có 3(f5 (t3)) = f5 (t1), (f5 (t5)) = f5 (t2), 3(f5 (t4)) = f5 (t6), (f5(t7 )) = f5 (t7), 3(f5 (t8)) f5 (t7) + f5 (t8) Do từ hệ thức hệ thức (p5 ) = f5(t1 ) p5 (3.6) ta đ-ợc 5,7 = 5,8 = 0, 5,j = 5,1 , j = 1, 2, , (3.7) Ta lại có (f5 (t6)) = f5 (t8), 4(f5 (t5)) = f5(t7 ), (f5(t1 )) = f5 (t1), 4(f5 (t2)) = f5 (t5), (f5(t3 )) f5 (t1) + f5 (t3), (f5 (t4)) f5(t2 ) + f5(t4 ) Sử dụng hệ thức hệ thức (p5 ) p5 ta đ-ợc 5,1 = Do p5 = Chứng minh t-ơng tự ta có p1 = p2 = p3 = p4 = nên p = Bổ đề đ-ợc chứng minh Từ Định lý 2.3.6, ta biết P6 không gian véc tơ 120 chiều với sở fi (sj ), i 5, j 24, sj , j 24, đơn thức chấp nhận đ-ợc sau P4 : s1 = x1x2 x33x64 s2 = x1 x2x63 x34 s3 = x1x32 x3x64 s4 = x1 x32x63 x4 s5 = x1x62 x3x34 s6 = x1 x62x33 x4 s7 = x31x2 x3x64 s8 = x31 x2x63 x4 s9 = x1x22 x33x54 s10 = x1 x22x53x34 s11 = x1x32x23 x54 s12 = x1 x32x53x24 s13 = x31x2x23 x54 s14 = x31 x2x53x24 s15 = x31x52x3 x24 s16 = x31 x52x23x4 s17 = x1x32x33 x44 s18 = x1 x32x43x34 s19 = x31x2x33 x44 s20 = x31 x2x43x34 s21 = x31x32x3 x44 s22 = x31 x32x43x4 s23 = x31x42x3 x34 s24 = x31 x42x33x4 Đặt qi = fi (sj ) + 1j6 fi (sj ), i = 1, 2, 3, 4, 19j24 Ta có Bổ đề 2.3.11 Ta có P65 = {0, [q]}, q = q1 + q2 + q3 + q4 + q5 Chứng minh Giả sử p đa thức cho [p] P65 Khi pi , với pi = p 1i5 i,j fi (sj ) + 1j6 i,j fi (sj ), 19j24 (3.8) 31 i,j F2 , i 5, j 24 Lập luận t-ơng tự nh- phép chứng minh Bổ đề 2.3.10 ta thấy hệ thức i (p) p kéo theo i (pi ) pi hoán vị cho (i) = i Xét i = = Ta có (f5 (s2j1)) = s2j , j = 1, 2, , 12 Nh- từ hệ thức 2(p5 ) p5 suy 5,2j1 = 2j , j = 1, 2, , 12 (3.9) Cho = Ta có 3(f5 (s1 )) = f5 (s3 ), 3(f5 (s2 )) = f5 (s5 ), 3(f5 (s4 )) = f5 (s6 ), 3(f5 (s7 )) = f5 (s7 ), 3(f5 (s8 )) f5 (s15) + f5 (s16), (f5(s9 )) = f5(s11 ), 3(f5 (s10)) f5(s11 ) + f5(s18 ), 3(f5 (s12)) f5 (s12) + f5 (s17), 3(f5 (s13)) f5(s7 ) + f5 (s13), (f5(s14 )) = f5 (s15), 3(f5 (s17)) = f5(s17 ), 3(f5 (s16)) f5(s8 ) + f5 (s14), (f5(s18 )) f5 (s9 ) + f5(s10 ), 3(f5 (s19)) = f5 (s21), 3(f5 (s20 )) = f5 (s23), (f5(s22 )) = f5 (s24) Từ hệ thức hệ thức 2(p5 ) p5 (3.9) ta thu đ-ợc 11 = 12 = 13 = 14 = 0, = = 15 = 16, = 10 = 17 = 18 , = , i = 2, 3, 4, 5, 6, = , i = 20, , 24 i i 19 (3.10) Bây cho = Tính toán t-ơng tự nh- dùng hệ thức (p5 ) p5 (3.10) ta đ-ợc = = 0, 19 = Do p5 = c5 q5 với c5 F2 Chứng minh t-ơng tự ta đ-ợc pi = ci qi với ci F2 , i = 1, 2, 3, (qj ) qj với cho (j) = j Nh- p = c1 q1 + c2 q2 + c3 q3 + c4q4 + c5 q5 32 Tính toán trực tiếp ta thấy (q5) = q4, (q4) = q5 1(qj ) qj với j = 1, 2, Do hệ thức 1(p) p kéo theo c4 = c5 Ta có (q4) = q3, (q3) = q4 (qj ) qj với j = 1, 2, Nh- từ hệ thức 2(p) p suy c3 = c4 Lập luận t-ơng tự, từ hệ thức (p) p (p) p suy c2 = c3 c1 = c2 Do p = cq với c = c1 = c2 = c3 = c4 = c5 Bổ đề đ-ợc chứng minh Sử dụng Định lý 2.3.6, ta thấy không gian véc tơ P7 có số chiều 60 với sở vi , i = 1, 2, , 60 Bổ đề 2.3.12 P75 = {0, [p]}, p v9 + v10 + v29 + v30 + vi + 1i6 vi + 21i26 vi 33i50 Chứng minh Cho p P75 Giả sử p= ci vi , (3.11) 1i60 Xét không gian véc tơ th-ơng P7 /Q, Q = Span{[vi] | i 40} Khi P7/Q có số chiều 20 với sở lớp đ-ợc biểu diễn vi với 41 i 60 Trong P7/Q, ta có 1(v42) = v43, 1(v44) = v45, 1(v47) = v48, 1(vi ) = vi , i = 41, 46, 49, 50, 1(v51) = v41 + v51, 1(v52) = v53, 1(v54) = v55, 1(v57) = v58, 1(vi ) = vi , i = 56, 59, 60 Từ hệ thức hệ thức 1(p) = p ta có c42 = c43, c44 = c45, c47 = c48 , c51 = 0, c52 = c53 , c54 = c55, c57 = c58 (3.12) 33 Tính toán t-ơng tự nh- hệ thức 2(p) = p P7/Q sử dụng (3.12) ta đ-ợc c41 = c42, c45 = c46 , c48 = c49, c52 = 0, c55 = c56, c58 = c59 (3.13) Sử dụng hệ thức (p) = p P7 /Q hệ thức (3.12), (3.13) ta đ-ợc c41 = c44, c47 = c50 , c54 = 0, c57 = c60 (3.14) Bây sử dụng hệ thức (p) = p P7/Q hệ thức (3.12), (3.13), (3.14) ta có c41 = c47 , c57 = (3.15) Kết hợp hệ thức (3.12), (3.13), (3.14), (3.15) ta đ-ợc ci = c41, i = 42, 43, , 50 ci = 0, i = 51, 52, , 60 Nh- p = 1i40 ci vi + c41p0 với p0 = 41i50 vi Ta có 1(v2j1 ) = v2j , j 20, 1(p0 ) = p0 nên hệ thức 1(p) p kéo theo c2j1 = c2j , j 20 Tính toán trực tiếp ta đ-ợc 2(v1 ) = v3, 2(v2) = v5, (v4) = v6, (v7) = v7 , 2(v9 ) = v9 , 2(v8 ) v5 + v6 + v15 + v16 + v19 + v20, 2(v12) v19 + v20, 2(v10) v9 + v10 + v27 + v28 + v29 + v30 + v31 + v32, 2(v13) v1 + v3 + v7 + v11 + v13, 2(v16) v2 + v4 + v8 + v12 + v14, 2(v14) = v15, 2(v17) = v19, 2(v18) v11 + v18, 2(v20) v12 + v17, (3.16) 34 2(v21) = v23, 2(v22) = v25, 2(v24) = v26, 2(v27) = v29, 2(v28) = v31, 2(v30) = v32, 2(v33) = v35, 2(v34) = v37, 2(v36) = v38, 2(v39) = v39, 2(v40) v39 + v40, 2(p0 ) p0 + v9 + v28 + v31 + v39 Các hệ thức này, hệ thức (p) p (3.16) kéo theo c13 = c17 = 0, c1 + c5 + c7 = 0, c7 + c11 + c19 = 0, c1 = c3 , c7 = c15 , c9 + c27 + c29 = 0, c9 = c39 = c41, c = c = c , c + c = 0, c = c = c 21 23 25 27 31 33 35 37 (3.17) Tính toán trực tiếp 3(vi ), i 50, ta có 3(v1) = v1, (v2) = v2, (v3) = v7, 3(v4 ) = v8 , 3(v5 ) = v9, 3(v6) = v10, (v11) = v13, (v12) = v14, (v15) v29 + v31, 3(v16) v30 + v32, 3(v17) = v21, 3(v18) = v22, 3(v19) = v27, 3(v20) = v28, 3(v23) = v29, 3(v25) v1 + v3 + v7 + v11 + v13 + v25, 3(v24) = v30, 3(v26) v2 + v4 + v8 + v12 + v14 + v26, 3(v31) v15 + v23, 3(v32) v16 + v24, 3(v33) = v33, 3(v34) = v34, 3(v35) v33 + v35, 3(v36) v34 + v36, 3(v37) = v39, 3(v38) = v40, 3(p0 ) p0 + v1 + v2 + v11 + v12 + v13 + v14 + v17 + v18 + v21 + v22 + v33 + v34 Từ đại l-ợng hệ thức (p) p, (3.16), (3.17) ta đ-ợc c1 + c5 + c7 = 0, c5 + c7 + c29 = 0, c5 = c21 = c33 , c7 = c19 = c27 (3.18) 35 Bây tính toán (vi), i 50, ta có (vi) = vi , i = 1, 2, , 6, 11, 12, 17, 18, 19, 20, (v7) v1 + v3 + v7 , (v8) v2 + v4 + v8 , 4(v9) v34 + v37 + v39, 4(v10) v33 + v38 + v40, (v13) v1 + v11 + v13, 4(v14) v2 + v12 + v14, 4(v15) v5 + v15 + v19 + v20, (v16) v6 + v16 + v19 + v20, 4(v21) v17 + v21, 4(v22) v18 + v22, (v23) v19 + v23, (v24) v20 + v24, (v25) v11 + v18 + v25, (v26) v12 + v17 + v26, (v27) = v33, (v28) = v34, (v29) = v35, (v30) = v36, (v31) = v37, 4(v32) = v38, 4(v39) v9 + v28 + v31, (v40) v10 + v27 + v32, (p0 ) p0 + v11 + v12 + v19 + v20 Kết hợp đại l-ợng này, hệ thức (3.16), (3.17), (3.18) hệ thức (p) p ta đ-ợc ci = 0, i = 7, 8, 11, 12, , 20, ci = c1 , i = 1, 2, , 6, 9, 10, 21, 22, , 26, 29, 30, 33, 34, , 49, 50 Bổ đề đ-ợc chứng minh Chứng minh Mệnh đề 2.3.4 Đặt z1 = x1 x32x73, z2 = x1 x2x3x4 x75, z3 = x1x2 x33x34 x35 5 (F2 A P5 ) Cho [] (F2 A P5 )GL 11 11 Khi theo Bổ đề 2.3.7 - 2.3.12 ta có c1 (z1) + c2 (z2) + c3 (z3 ) + c4q + c5p, với ci F2 , i = 1, 2, 3, 4, 5, (zi ), q, p đ-ợc xác định nh- Bổ đề 2.3.7, 2.3.11, 2.3.12 Ta thấy spike x71 x32x3 hạng tử (z1 ) c1 x31 x72x3 hạng tử đa thức () + Vì [] (F2 A P5 )GL nên 11 () + Do c1 = T-ơng tự, spike x71 x2x3 x4x5 hạng tử 36 (z2 ) c2 x1x72 x3x4 x5 hạng tử đa thức () + nên c2 = Lập lại lập luận spike x31 x2x33 x34x5 hạng tử (z3 ) ta đ-ợc c3 = Đơn thức x31 x42x33 x4 hạng tử q spike x72 x33x4 hạng tử 5(x31 x42x33 x4) + x31x42 x33x4 Vì c1 = c2 = c3 = nên c4x72 x33x4 hạng tử 5() + nên ta đ-ợc c4 = Vì v44 = x1x32x23 x24x35 hạng tử biểu diễn đa thức (p) + p theo sở chấp nhận đ-ợc (F2 A P5 )11 nên hệ thức (c5 p) + c5p kéo theo c5 = Nh- ta đ-ợc Mệnh đề 2.3.4 đ-ợc chứng minh 2.3.2 Phép chứng minh mệnh đề 2.3.5 Bổ đề 2.3.13 Số nguyên d-ơng m k -spike à(m) = k Chứng minh Cho số nguyên d-ơng m k -spike m = (2n1 1) + (2n2 1) + + (2nk 1), với n1 , , nk > Khi (m + k) k Do à(m) Giả sử à(m) = s < k (m + s) = k s Do ta có m = 2u1 + 2u2 + + 2u s, u1 > u2 > > u Nếu u Do à(m) s (m+s1) = (m = 2u1 +2u2 + .+2u 1) = 1+u s1 s Điều mâu thuẫn với à(m) = s Nh- ta phải có u > s Khi m đ-ợc biểu diễn d-ới dạng tổng s số hạng có dạng 2u với u > nh- sau Nếu = s m = (2u1 1) + + (2us 1) Nếu < s m = (2u1 1) + + (2u 1) + (2u 1) + + (2u s+ 1) + (2u s+ 1) 37 Vì s < k nên điều mâu thuẫn với m k -spike Vậy à(m) = k Ng-ợc lại, giả thiết à(m) = k Theo phép chứng minh phần trên, m đ-ợc biểu diễn d-ới dạng tổng k số hạng có dạng 2n với n > Nếu số m biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng s số hạng có dạng 2n với n > s < k (m + s) s Do à(m) s < k Điều mâu thuẫn với à(m) = k Vậy m k -spike Chứng minh Mệnh đề 2.3.5 Nhận xét số m = 16.2i 5-spike với i > Do đó, theo Định lý 2.2.2, đồng cấu Sq : (F2 A P5 )16.2i5 (F2 A P5 )16.2i15 đẳng cấu với i = 1, 2, , r Mệnh đề đ-ợc chứng minh Từ kết mệnh đề 2.3.4 mệnh đề 2.3.5 ta có phếp chứng minh định lý 2.3.3 Nh- vậy, định lý 2.3.2 đ-ợc chứng minh *Chẳng hạn, theo MC Tangora R.R Bruner ta thấy phần tử g0 = P (h2 ) khác không Ext5,16 A (F2 , F2 ) nên g0 không nằm ảnh T r5 38 Kết luận Trong đề tài này, trình bày vấn đề sau: Chứng minh chi tiết số kết đơn thức chấp nhận đ-ợc đơn thức hit đại số đa thức đ-ợc xét nh- môđun đại số Steenrod Xác định bất biến F2 không gian véc tơ (F2 A P5 )16.2r d-ới tác động nhóm tuyến tính tổng quát GL5 (F2 ) Kết tr-ờng hợp r = đ-ợc Quynh [9] Khảo sát chứng minh đ-ợc đồng cấu chuyển đại số thứ Singer không đẳng cấu số bậc Tuy nhiên, kết phần ủng hộ giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số Do đó, h-ớng nghiên cứu thời gian tới là: i1)Tiếp tục khảo sát giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số i2)Với kết trên, đến phủ định giả thuyết Minami, dự đoán đồng cấu chuyển đại số trở thành đẳng cấu sau địa ph-ơng hóa cách khả nghịch toán tử bình ph-ơng Tức là: Địa ph-ơng hóa đồng cấu chuyển đại số thứ (Sq 0)1 T r5 : Sq F2 P Hk (BV5) Sq GL5 Ext5.5+k A cách khả nghịch Sq 0, không toàn cấu Giả thuyết tr-ờng hợp k = đ-ợc phủ định N.H.V.H-ng Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2011 Tác giả: Nguyễn Khắc Tín 39 Tài liệu tham khảo [1] J M Boardman (1993), Modular representations on the homology of power of real projective space, Algebraic topology: Oaxtepec 1991, M C Tangora (ed.) Contemp Math Amer Math Soc Providence RI, (146), 49-70 [2] R R Bruner, L M Hà and N H V H-ng (2005), On behavior of the algebraic transfer, Trans Amer Math Soc (357), 473-487 [3] L M Hà (2007), Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 85-105 [4] N H V H-ng (2005), The cohomology of the Steenrod algebra and representations of the general linear groups, Trans Amer Math Soc (357), 4065-4089 [5] T N Nam (2004), A-ge ne rateurs ge ne riquess pour l algebre polynomiale, Adv Math (186), 334-362 [6] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Stennrod modules, Ph D Thesis, Johns Hopkins University [7] M Kameko (2003), Generators of the cohomology of BV4 , Preprint [8] F P Peterson (1987), Generators of H (RP ì RP ) as a module over the Steenrod algebra, Abstracts Amer Math Soc No (833) 40 [9] V T N Quynh (2007), On behavior of the fifth algebraic transfer, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 309326 [10] J H Silverman (1995), Hit polynomials and the canonical antimonomorphism of the Steenrod algebra, Proc Amer Math Soc (123), 627-637 [11] W M Singer (1989), The transfer in homological algebra, Math Zeit (202), 493-523 [12] W M Singer (1991), On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras, Proc Amer Math Soc (111), 577-583 [13] N E Steenrod and D B A Epstein (1962), Cohomology operations, Ann of Math No (50), Princeton University Press [14] N Sum (2007), The hit problem for the polynomial algebra of four variables, Preprint, 240 pages [15] N Sum (2010), The negative answer to Kameko s conjecture on the hit problem Adv Math.225, no.5,23652390 MR2680169 [16] N Sum (2010), The negative answer to Kameko s conjecture on the hit problem C.R.Math.Acad.Sci.Paris348, no11-12, 669672, MR2652495 [17] N K Tín (2011), The polynomial algebra as a Steenrod module, Preprint, 11 pages [18] N K Tín (2011), The fifth algebraic transfer of Singer, Preprint, 12 pages 41 [19] R M W Wood (1989), Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture, Math Proc Cambriges Phil Soc (105), 307-309 [...]... x 55 v52 = x1x2 x33x4x 55 v53 = x1x2 x33x54x5 v54 = x1 x32x3 x4x 55 v 55 = x1 x32x3x54 x5 v56 = x1x32 x53x4x5 v57 = x31x2 x3x4x 55 v58 = x31 x2x3 x54x5 v59 = x31 x2x53x4 x5 v60 = x31x52 x3x4x5 10) 50 đơn thức vi, i = 1, 2, , 50 , cụ thể là 10.1) 10 đơn thức là các hoán vị của đơn thức x1 x2x3x24 x 65: v1 = x1 x2x3 x24x 65 v2 = x1 x2x3 x64x 25 v3 = x1 x2x23 x4x 65 v4 = x1 x2x23 x64x5 v5 = x1 x2x63 x4x 25 v6... vậy hệ thức i(p) p kéo theo i (pi ) pi Xét i = 5 Vì 2 (5) = 5 nên 2(p5 ) p5 Ta có 2(f5 (t2j1)) = f5(t2j ), j = 1, 2, 3, 4 Do đó hệ thức 2 (p5 ) p5 kéo theo 5, 2j1 = 5, 2j , j = 1, 2, 3, 4 (3.6) 30 Xét = 3 Ta có 3(f5 (t3)) = f5 (t1), 3 (f5 (t5)) = f5 (t2), 3(f5 (t4)) = f5 (t6), 3 (f5(t7 )) = f5 (t7), 3(f5 (t8)) f5 (t7) + f5 (t8) Do đó từ các hệ thức này và các hệ thức 3 (p5 ) = f5(t1 ) p5 và (3.6)... i = 5 và = 2 Ta có 2 (f5 (s2j1)) = s2j , j = 1, 2, , 12 Nh- vậy từ hệ thức 2(p5 ) p5 suy ra 5, 2j1 = 2j , j = 1, 2, , 12 (3.9) Cho = 3 Ta có 3(f5 (s1 )) = f5 (s3 ), 3(f5 (s2 )) = f5 (s5 ), 3(f5 (s4 )) = f5 (s6 ), 3(f5 (s7 )) = f5 (s7 ), 3(f5 (s8 )) f5 (s 15) + f5 (s16), 3 (f5(s9 )) = f5(s11 ), 3(f5 (s10)) f5(s11 ) + f5(s18 ), 3(f5 (s12)) f5 (s12) + f5 (s17), 3(f5 (s13)) f5(s7 ) + f5 (s13),... x2x63 x24x5 v7 = x1 x22x3 x4x 65 v8 = x1 x22x3 x64x5 v9 = x1 x62x3 x4x 25 v10 = x1x62 x3x24 x5 10.2) 6 đơn thức là các hoán vị của đơn thức x1 x2x23x24 x 55: v11 = x1x2x23 x24x 55 v12 = x1 x2x23x54 x 25 v 15 = x1x22x53 x4x 25 v16 = x1 x22x53x24 x5 v13 = x1 x22x3 x24x 55 v14 = x1x22 x3x54 x 25 10.3) 24 đơn thức là các hoán vị của đơn thức x1 x2x23x34 x 45: 26 v17 = x1x2x23 x34x 45 v18 = x1 x2x23x44 x 35 v19 = x1x2... thức này và các hệ thức 3 (p5 ) = f5(t1 ) p5 và (3.6) ta đ-ợc 5, 7 = 5, 8 = 0, 5, j = 5, 1 , j = 1, 2, , 6 (3.7) Ta lại có 4 (f5 (t6)) = f5 (t8), 4(f5 (t5)) = f5(t7 ), 4 (f5(t1 )) = f5 (t1), 4(f5 (t2)) = f5 (t5), 4 (f5(t3 )) f5 (t1) + f5 (t3), 4 (f5 (t4)) f5(t2 ) + f5(t4 ) Sử dụng các hệ thức này và hệ thức 4 (p5 ) p5 ta đ-ợc 5, 1 = 0 Do đó p5 = 0 Chứng minh t-ơng tự ta có p1 = p2 = p3 = p4 = 0 nên p... véc tơ con 5 chiều của P5 sinh bởi xi , i = 1, 2, 3, 4, 5 Ta biết rằng nhóm tuyến tính tổng quát GL5 đ-ợc sinh bởi các đồng cấu i : V5 V5 với i = 1, 2, 3, 4, 5, đ-ợc xác định bởi x x1 x2 x3 x4 x5 1 (x) x1 x2 x3 x5 x4 2 (x) x1 x2 x4 x3 x5 3 (x) x1 x3 x2 x4 x5 4 (x) x2 x1 x3 x4 x5 x2 x3 x4 x5 5 (x) x1 + x2 Các đồng cấu 1, 2 , 3, 4 là các phần tử sinh của nhóm đối xứng 5 GL5 Cho x là một đơn thức bậc... (s13)) f5(s7 ) + f5 (s13), 3 (f5(s14 )) = f5 (s 15) , 3(f5 (s17)) = f5(s17 ), 3(f5 (s16)) f5(s8 ) + f5 (s14), 3 (f5(s18 )) f5 (s9 ) + f5(s10 ), 3(f5 (s19)) = f5 (s21), 3(f5 (s20 )) = f5 (s23), 3 (f5(s22 )) = f5 (s24) Từ các hệ thức này và các hệ thức 2(p5 ) p5 và (3.9) ta thu đ-ợc 11 = 12 = 13 = 14 = 0, 7 = 8 = 15 = 16, 9 = 10 = 17 = 18 , = , i = 2, 3, 4, 5, 6, = , i = 20, , 24 i... c43, c44 = c 45, c47 = c48 , c51 = 0, c52 = c53 , c54 = c 55, c57 = c58 (3.12) 33 Tính toán t-ơng tự nh- trên đối với hệ thức 2(p) = p trong P7/Q và sử dụng (3.12) ta đ-ợc c41 = c42, c 45 = c46 , c48 = c49, c52 = 0, c 55 = c56, c58 = c59 (3.13) Sử dụng hệ thức 3 (p) = p trong P7 /Q và các hệ thức (3.12), (3.13) ta đ-ợc c41 = c44, c47 = c50 , c54 = 0, c57 = c60 (3.14) Bây giờ sử dụng hệ thức 4 (p) = p... x34x 55 a4 = x32x54 x 35 a5 = x32x33x 55 a6 = x32x33 x54 a7 = x32x53x 35 a8 = x32 x53x34 a9 = x31x34 x 55 a10 = x31 x54x 35 a11 = x31 x33x 55 a12 = x31 x33x54 a13 = x31x53 x 35 a14 = x31x53x34 a 15 = x31 x32x 55 a16 = x31 x32x54 a17 = x31 x32x53 a18 = x31x52 x 35 a19 = x31x52x34 a20 = x31 x52x33 Giả sử p là đa thức sao cho [p] P 45 Khi đó p i ai, (3.1) 1i20 trong đó i F2 , 1 i 20 Tính toán trực tiếp ta có... tiếp các 5 -môđun (F2 A P5 )11 = Pi 1i7 Nh- vậy (F2 A P5 )1 15 = 1i7 Pi5 Các không gian véc tơ Pi5 , i = 1, 2, 3, đ-ợc xác định theo Bổ đề 2.3.7 28 Bổ đề 2.3.9 P 45 = 0 Chứng minh Theo Định lý 2.3.6, P4 là không gian véc tơ 20 chiều với cơ sở gồm các lớp đ-ợc biểu diễn bởi các đơn thức sau: a1 = x33x34 x 55 a2 = x33x54x 35 a3 = x32 x34x 55 a4 = x32x54 x 35 a5 = x32x33x 55 a6 = x32x33 x54 a7 = x32x53x 35 a8 =