Đồng cấu chuyển singer qua ngôn ngữ đại số lambda và dẫy phổ may

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HOÀNG CHƠN ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA VÀ DÃY PHỔ MAY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 Mục lục Mục lục v Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 12 1.1. Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Giải thức bar và cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Dãy phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số 30 2.1. Giới thiệu về đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Đại số lambda dưới lăng kính của lý thuyết bất biến modular . . . . 33 2.3. Cấu trúc A -môđun của đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda . . . . . . 44 2.5. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chương 3. Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số 63 3.1. Dãy phổ May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3. Hai bài toán “hit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 v 3.5. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6. Chứng minh Bổ đề 3.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Kết luận 92 Dự kiến về những nghiên cứu tiếp theo 93 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 Phụ lục A. Cơ sở đơn thức của đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof 104 A.1. Giới thiệu về đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . 104 A.2. Cơ sở của đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . . . 106 A.3. Kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 vi Mở đầu Bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là một vấn đề trọng tâm trong Tôpô đại số. Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị là các bất biến đồng luân thường được sử dụng, tuy nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải quyết bài toán này. Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với mỗi k ≥ 0, một toán tử đối đồng điều (được gọi là toán tử Steenrod) Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X), tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) của không gian tôpô X. Đại số sinh bởi các Sq i (i ≥ 0) gọi là đại số Steenrod. Đại số này thường được ký hiệu là A . Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) của không gian tôpô X có cấu trúc của một A -đại số không ổn định. Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bổ sung này cho phép nhận biết sự khác biệt kiểu đồng luân của các không gian tôpô mà đồng điều và đối đồng điều không nhận biết được. Cấu trúc của đại số Steenrod đã được Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50] nghiên cứu một cách sâu sắc. Bên cạnh các cơ sở cộng tính cổ điển đã biết (xem Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), những năm gần đây, nhiều cơ sở cộng tính khác của đại số Steenrod đã được các tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86], Palmieri-Wang [57] xây dựng và nghiên cứu. Một bài toán quan trọng trong chương trình phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là xác định nhóm đồng luân, đặc biệt là nhóm đồng luân ổn định, của mặt cầu. Năm 1958, Adams [1] xây dựng một dãy phổ hội tụ về thành phần 2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu. Trang E 2 của dãy phổ này (được gọi là dãy phổ Adams) chính là đối đồng điều của đại số Steenrod, Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ). Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều của đại số Steenrod trở thành một bài toán quan trọng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước, đáng chú ý nhất là các công trình của Adams [2], Wang 1 [80], May [46, 47], Tangora [74], Lin [37, 38], Lin-Mahowald [39], Bruner [11]. Tuy nhiên, đây là một bài toán rất khó. Cho đến nay Ext s,∗ A (F 2 , F 2 ) chỉ mới được xác định hoàn toàn với s ≤ 5 (xem [80], [37, 38], [15]). Từ các nghiên cứu của Adams [2], Mahowald-Tangora [44], đã có một vài đại số con vô hạn của Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ) được xây dựng như đại số Adams, được sinh bởi các h i ∈ Ext 1,2 i A (F 2 , F 2 ) (xem [2]), đại số wedge (xem [44],[45]); tuy nhiên, các quan hệ trên đại số Adams vẫn chưa được xác định hết. Khi s > 5, người ta chỉ mới biết được một số thông tin rời rạc về Ext s,∗ A (F 2 , F 2 ) (xem [11]). Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều của đại số Steenrod là đại số vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem [46, 47], [74], [37]) và giải thức cực tiểu của A (xem [11]). Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod bằng công cụ lý thuyết bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số, gọi là đồng cấu chuyển đại số (hay còn gọi là đồng cấu chuyển Singer): T r s : F 2 ⊗ GL s P A H ∗ (BV s ) // Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ). Ở đây, BV s là không gian phân loại của nhóm cộng của không gian véctơ s chiều V s trên trường F 2 ; ký hiệu P A H ∗ (BV s ) dùng để chỉ không gian con của H ∗ (BV s ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương. Nhóm tuyến tính tổng quát GL s tác động trên V s , do đó nó tác động trên đồng điều và đối đồng điều của BV s . Vì các tác động của GL s và của đại số Steenrod giao hoán với nhau nên có một tác động cảm sinh của GL s trên P A H ∗ (BV s ). Đồng cấu Tr s có thể được xem như một phiên bản đại số của đồng cấu chuyển hình học π S ∗ ((BV s ) + ) → π S ∗ (S 0 ) trên trang E 2 của dãy phổ Adams (xem [52]). Singer cũng đã chứng minh rằng Tr s là đẳng cấu với s ≤ 2; và ông đưa ra giả thuyết rằng T r s là đơn cấu với mọi s ≥ 1 [63]. Sau đó, đồng cấu chuyển đại số đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Năm 1993, sử dụng một số tính toán của Kameko [34], Boardman [7] chứng minh rằng T r 3 cũng là một đẳng cấu. Ảnh của Tr 4 được xác định hoàn toàn bởi các tác giả: Bruner-Hà-Hưng [13], N. H. V. Hưng [28], L. M. Hà [25], T. N. Nam [91], N. H. V. Hưng-V. T. N. Quỳnh [33]. Vì T r = ⊕ s T r s là một đồng cấu đại số và Tr 1 là một đẳng cấu (xem [63]), nên ảnh của đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh bởi các h i . Sự kiện này cùng với các tính toán nói trên cho đồng cấu chuyển đại số ở hạng thấp chứng tỏ 2 rằng đồng cấu chuyển đại số có khả năng phát hiện được nhiều phần tử không tầm thường của Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ). Đồng cấu T r s , với s ≥ 5, đã bước đầu được nghiên cứu bởi Singer [63] và V. T. N. Quỳnh [61]. Bên cạnh đó, dùng tính giao hoán của toán tử Kameko (xem [34]) và toán tử Sq 0 cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N. H. V. Hưng [28] chứng minh rằng, khi s ≥ 5, T r s không là đẳng cấu tại vô hạn bậc. Tuy nhiên, tại những bậc đang xét, việc T r s không là đơn cấu hay không là toàn cấu vẫn chưa được biết đến nên giả thuyết của Singer vẫn còn mở. Dựa vào các tính toán trên F 2 ⊗ A H ∗ (BV s ), N. H. V. Hưng và Kuhn đã đưa ra một số giả thuyết thú vị về cấu trúc của đối đồng điều của đại số Steenrod (xem [28], [9]). Cụ thể, trong [58], Peterson đưa ra giả thuyết rằng F 2 ⊗ A H d (BV s ) = 0 nếu α(d + s) > s, trong đó α(n) là số các chữ số 1 trong khai tr iển nhị phân của n. Giả thuyết này, sau đó, đã được Wood [84] chứng minh năm 1989. Từ quan sát này, Kuhn [9] đã đưa ra giả thuyết rằng Ext s,t A (F 2 , F 2 ) = 0 nếu α(t) > s. Giả thuyết của Kuhn đã được Bruner kiểm chứng và xác nhận tại các bậc mà ở đó nhóm Ext s,t A (F 2 , F 2 ) đã được xác định. Mặt khác, khi nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N. H. V. Hưng [28] chứng minh rằng khi tác động toán tử Kameko lên F 2 ⊗ GL s P A H ∗ (BV s ) lặp lại nhiều nhất s − 2 lần thì ta nhận được một đẳng cấu lên ảnh của nó. Một giả thuyết tương tự được N. H. V. Hưng [28], [9] đưa ra là tồn tại một số r, phụ thuộc vào s, sao cho (Sq 0 ) i−r : Im(Sq 0 ) r → Im(Sq 0 ) i là một đẳng cấu, trong đó ký hiệu Im(Sq 0 ) i là ảnh của (Sq 0 ) i trên Ext s A (F 2 , F 2 ). Những giả thuyết này, nếu đúng, cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa cấu trúc của F 2 ⊗ GL s P A H ∗ (BV s ) và Ext s,∗ A (F 2 , F 2 ) thông qua đồng cấu chuyển của Singer. Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số được kỳ vọng là một công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod. Các tính toán của Singer [63] được thực hiện chủ yếu trên đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số sau T r ∗ s : Tor A s,s+t (F 2 , F 2 ) // (F 2 ⊗ A H t (BV s )) GL s . Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu chuyển đại số có liên quan mật thiết đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của H ∗ (BV s ), xem như môđun trên đại số Steenrod. Bài toán này được gọi là bài toán “hit”, được khởi xướng gần như đồng thời bởi Peterson [58, 59] và Singer [63] từ 3 những khía cạnh khác nhau. Sau đó, các khía cạnh khác nhau của bài toán và các ứng dụng của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Wood [84, 86], Kameko [34], Singer [64], Crabb-Hubbuck [22], N. H. V. Hưng-T. N. Nam [31, 32], T. N. Nam [90], N. Sum [69, 70, 71], v.v. Tuy nhiên cho đến nay, người ta chỉ mới hoàn thành việc giải bài toán này cho đến trường hợp s = 4 (xem [69]). Khi s ≥ 5, việc giải bài toán “hit” là một vấn đề khó, ngay cả với sự hỗ trợ của máy tính (xem [12]). Đây là trở ngại chính khi dùng đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ). Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số dưới lăng kính của đại số lambda và dãy phổ May. Đại số lambda, Λ, được xây dựng năm 1966 bởi sáu tác giả Bousfield, Curtis, Kan, Quillen, Rector và Schlesinger [8], là đại số vi phân kết hợp trên trường F 2 , có đồng điều H s,t (Λ) ∼ = Ext s,t A (F 2 , F 2 ). Do đó, Λ có thể được xem như trang E 1 của dãy phổ Adams. Ngày nay, Λ là một trong những công cụ hữu hiệu nhất để tính đối đồng điều của đại số Steenrod, và được sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]). Năm 1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh rằng đại số lambda đẳng cấu với thương của đối phức cobar của đại số Steenrod. Một cách thuần túy đại số, Λ là đại số vi phân kết hợp trên trường F 2 sinh bởi các phần tử λ i , i ≥ 0, có song bậc (1, i), và thỏa mãn các quan hệ Adem: λ s λ t =  j  j − t − 1 2j − s  λ s+t−j λ j , s > 2t. Hơn nữa, vi phân của Λ được cho bởi công thức: δ(λ s ) =  j  s − j − 1 j + 1  λ j λ s−j−1 . Năm 1982, Wellington [81, Định nghĩa 7.9], dùng quan hệ Nishida trên đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof, xây dựng một tác động hình thức của đại số Steenrod lên đại số lambda. Tác động này không giao hoán với vi phân, nhưng giữa chúng có mối liên hệ thú vị (xem [81, Định lý 7.11]). Năm 1983, Singer [62] xây dựng lại đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết bất biến. Gọi Γ s là địa phương hóa của đại số Dickson bằng cách làm nghịch đảo Q s,0 (xem [23]). Singer [62] chứng minh rằng đối ngẫu của đại số lambda đẳng cấu với một phức dây chuyền, tại mỗi bậc đồng điều s, là không gian con của Γ s sinh bởi các phần tử thỏa mãn điều kiện chiều. Với cách xây dựng này, đối ngẫu của đại 4 số lambda có cấu trúc tự nhiên của một A -môđun vi phân; tuy nhiên, mối liên hệ giữa cấu trúc A -môđun của Λ và quan hệ Nishida vẫn chưa được hiểu rõ (xem bình luận của Wilkerson trong [83, trang 10]). Sau đó, N. H. V. Hưng [27] dùng phức dây chuyền của Singer để xây dựng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số. Dựa trên ý tưởng của Singer [62], chúng tôi xây dựng lại đại số lambda (chứ không phải đối ngẫu của lambda như trong [62]) theo lý thuyết bất biến. Từ đó, cấu trúc A -môđun của đại số lambda được xác định một cách tường minh (xem Mệnh đề 1, so sánh với công thức (5.1) trong [62]). Với kết quả này, chúng tôi có thể chỉ rõ mối liên hệ giữa quan hệ Nishida và cấu trúc A -môđun của đại số Λ. Gọi Λ s là không gian con của Λ sinh bởi các đơn thức có độ dài s. Với mỗi s ≥ 1, chúng tôi xây dựng một đồng cấu ψ s : H ∗ (BV s ) // Λ s , ánh xạ các phần tử trong P A H ∗ (BV s ) thành các chu trình trong Λ s , và chứng minh rằng ψ s cảm sinh đồng cấu chuyển đại số. Dùng ψ s , chúng tôi kiểm tra lại các kết quả của L. M. Hà [25] rằng d 0 ∈ Ext 4,18 A (F 2 , F 2 ) và e 0 ∈ Ext 4,21 A (F 2 , F 2 ) nằm trong ảnh của T r 4 . Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra một chứng minh khác cho việc f 0 ∈ Ext 4,22 A (F 2 , F 2 ) nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số, kết quả này đã được chứng minh bởi T. N. Nam [91]. Một công cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều của đại số Steenrod là dãy phổ được xây dựng bởi May [46] năm 1964. Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu một vài thuật ngữ và ký hiệu. Gọi A là iđêan của A sinh bởi tất cả các phần tử bậc dương, được gọi là iđêan bổ sung của A . Lọc bổ sung của A được định nghĩa bằng cách đặt F p A = A nếu p ≥ 0 và F p = (A ) −p nếu p < 0. Lọc bổ sung của A cảm sinh một lọc trên giải thức bar, và do đó ta thu được một dãy phổ (gọi là dãy phổ May) hội tụ về đồng điều của đại số Steenrod và có trang E 2 đẳng cấu với đồng điều của đại số phân bậc liên kết E 0 A . Vì E 0 A là đại số Hopf sinh nguyên thủy, nên từ công trình của Priddy [60], phức để tính đồng điều H ∗ (E 0 A ) được xác định một cách tường minh. Do đó, dãy phổ này hoàn toàn có thể tiếp cận được. Các tính toán của May [46, 47], và sau đó là Tangora [74], Lin [37], Bruner [11], sử dụng dãy phổ May, đã xác định được cấu trúc cộng tính cho Ext s,t A (F 2 , F 2 ) với s ≤ 4, t bất kỳ và với 5 ≤ s < 40, t − s < 141. Chúng tôi nhận thấy rằng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số trên giải thức bar có thể nâng lên thành đồng cấu dây chuyền và đồng cấu này tương thích 5 với lọc của May. Nên nó cảm sinh một đồng cấu dãy phổ mà ở trang E 2 là một phiên bản tương tự như đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số: E 2 ψ s : Tor E 0 A s,s+t (F 2 , F 2 ) // F 2 ⊗ E 0 A E 0 H t (BV s ) = Tor E 0 A 0,t (F 2 , E 0 P s ). Chúng tôi mô tả một cách tường minh đồng cấu E 2 ψ s và sử dụng nó để tính ảnh của đồng cấu chuyển đại số tại một số bậc. Ngoài việc tìm lại được hầu hết các kết quả đã biết về ảnh của Tr 4 (xem Mệnh đề 3 và Mệnh đề 4), phương pháp của chúng tôi còn cho phép nhận được một số kết quả mới về ảnh của đồng cấu chuyển đại số ở hạng cao hơn. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng các phần tử h n 0 i ∈ Ext 7+n,30+n A (F 2 , F 2 ) (0 ≤ n ≤ 5) và h n 0 j ∈ Ext 7+n,33+n A (F 2 , F 2 ) (0 ≤ n ≤ 2) không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số (xem Định lý 5). Lưu ý rằng vì h 6 0 i = h 3 0 j = 0 (xem [11]) nên kết quả trên cho chúng ta đầy đủ thông tin về các h 0 -tháp của i và j. Trong phần phụ lục của luận án, chúng tôi nghiên cứu một đại số thương quan trọng của đại số lambda là đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Đại số này đầu tiên được xây dựng bởi Araki và Kudo [5] trên trường F 2 , sau đó được Dyer và Lashof [24] mở rộng lên trường F p , với p lẻ. Cho một đơn thức λ I = λ i 1 . . . λ i s ∈ Λ, số e(λ I ) = i 1 − · · · − i s được gọi là trội (excess) của λ I . Theo Curtis [21], đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof R, trên trường F 2 , là thương của đại số lambda trên iđêan hai phía sinh bởi các đơn thức có trội âm. Gọi Q i ∈ R là ảnh của λ i ∈ Λ qua ánh xạ thương. Các quan hệ Adem trên đại số lambda cảm sinh các quan hệ Adem trên R. Cụ thể, các toán tử Q i thỏa mãn các quan hệ Adem sau: Q s Q t =  j  j − t − 1 2j − s  Q s+t−j Q j , s > 2t. Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof được dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) của không gian các vòng lặp, đặc biệt là không gian các vòng lặp vô hạn (xem [5], [49], [43]). Mặt khác, các công trình của Madsen [42], H. Mùi [54], cho thấy không gian con của R sinh bởi các đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu của đại số Dickson. Kết quả này mở ra một con đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-Dyer- Lashof bằng công cụ của lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43], 6 H. Mùi [54], Campbell [14], N. H. V. Hưng [26], N. H. V. Hưng-P. A. Minh [30], N. H. V. Hưng [29]). Kết của chính của phần phụ lục là xây dựng một cơ sở mới cho đại số Araki- Kudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) cũng như chỉ ra liên hệ giữa cơ sở mới với cơ sở chấp nhận được và cơ sở Turner (xem Mệnh đề 7 và Mệnh đề 8). Ngoài ra, dựa vào phương pháp của Arnon [6], chúng tôi tìm được các kết quả liên quan đến tính cực tiểu và cực đại của cơ sở mới (xem Mệnh đề 9). Luận án được chia thành ba chương và một phụ lục. Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản được dùng trong hai chương chính của luận án, bao gồm đại số Steenrod, các giải thức bar và cobar, dãy phổ và một cách tổng quan về đồng cấu chuyển đại số. Các kết quả chính của luận án được trình bày trong Chương 2, Chương 3. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả cho hướng nghiên cứu thứ nhất. Cụ thể, chúng tôi trình bày cách xây dựng đại số lambda theo lý thuyết bất biến. Tác động của A lên đại số lambda được mô tả một cách tường minh bởi mệnh đề sau đây (mệnh đề này còn được đánh số là Mệnh đề 2.3.3). Mệnh đề 1. Với mọi a, s ≥ 0 và λ I bất kỳ trong Λ, tác động phải của đại số Steenrod lên đại số lambda được xác định bởi công thức (λ s λ I )Sq a =  t  s − a a − 2t  λ s−a+t (λ I Sq t ). Với tác động này, đại số lambda trở thành một môđun trên đại số Steenrod, nó đối ngẫu với cấu trúc A -môđun của phức dây chuyền được định nghĩa bởi Singer trong [62] (xem Mệnh đề 2.3.8). Lưu ý rằng hệ số nhị thức  n k  trong Mệnh đề 1 xác định với mọi số nguyên n và với mọi số nguyên k ≥ 0, trong khi quan hệ Nishida cũng có công thức tương tự nhưng hệ số nhị thức chỉ được định nghĩa cho trường hợp n và k đều không âm. Do đó, tác động được mô tả trong mệnh đề trên làm sáng tỏ hơn một số kết quả trong Wellington [81] về mối liên hệ giữa vi phân và cấu trúc A -môđun của đại số Λ. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số, ψ s (xem Định lý 2.4.2), và ứng dụng vào việc khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số. Trong [25], L. M. Hà xây dựng các phần tử  d 0 ∈ P A H 14 (BV 4 ), e 0 ∈ P A H 17 (BV 4 ) và chứng minh một cách gián tiếp rằng các phần tử này tương ứng là nghịch ảnh của 7 [...]... 2 Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của đại số lambda, Λ, được định nghĩa trong [8], [60], [62] Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda Dựa vào biểu diễn này, ngoài việc chứng minh lại một số kết quả đã biết về ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 4, chúng tôi cũng đã bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu. .. sinh bởi một đồng cấu Λn ⊗ H∗ (BVs ) /Λ n+s Mục tiêu của chương này là xây dựng, với mỗi s > 0, một F2 -đồng cấu ψs : H∗ (BVs ) /Λ s, là biểu diễn trên trang E1 của đồng cấu chuyển đại số, và dùng ψs trong nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số 32 2.2 Đại số lambda dưới lăng kính của lý thuyết bất biến modular Trong [62], Singer đã mô tả đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết bất biến, và đối ngẫu... hàm f (u) tại u = 0 Đại số lambda là một trong những đại số toán tử quan trọng bậc nhất trong Tôpô đại số vì nó có thể được dùng để tính đối đồng điều của đại số Steenrod, trang E2 của dãy phổ Adams hội tụ về nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu Bên cạnh đó, như ta sẽ thấy trong phần sau, đại số lambda chứa thông tin về đại số Araki-KudoDyer-Lashof, là đại số các toán tử tác động lên đồng điều (modulo... của A và của GLs giao hoán với nhau nên F2 ⊗A Ps và PA H∗ (BVs ) cũng là các GLs -môđun 24 Trong [63], Singer xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số, với mỗi s ≥ 1, T rs : F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) → Exts,s+∗ (F2 , F2 ) A Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng đồng cấu chuyển đại số và một số tính chất liên quan đến các toán tử Sq 0 cổ điển và toán tử Kameko Xây dựng đồng cấu chuyển đại số Trong... bổ sung, đối giao hoán, liên thông, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức Theo May [48] và Smith [65], ta có thể định nghĩa đại số Steenrod một cách thuần túy đại số Cấu trúc của đại số Steenrod Đại số Steenrod, A , là đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trên trường F2 sinh bởi các toán tử Sq i , i ≥ 0, bậc i, Sq 0 = 1 và thỏa mãn các quan hệ sau, được gọi là các quan hệ Adem, [a/2] a b Sq Sq = i=0... trang thứ r của dãy phổ Trang E 0 được gọi là trang đầu của dãy phổ Định nghĩa 1.3.2 Cho E và E là hai dãy phổ Một đồng cấu dãy phổ f : E → E là một họ các đồng cấu f r : Er → E r sao cho f r là đồng cấu song bậc (0, 0) và giao hoán với vi phân dr Như vậy f r+1 được cảm sinh từ f r qua đồng điều Để định nghĩa trang giới hạn của dãy phổ, ta đồng nhất E r+1 với H(E r ), r ≥ 0 0 bởi đẳng cấu trong định nghĩa... bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 2.1 Giới thiệu về đại số lambda Cho Λ+ là đại số phân bậc trên trường F2 sinh bởi các phần tử λi bậc i, i ≥ −1, thỏa mãn các quan hệ Adem: λs λt − với s, t ≥ −1 Ký hiệu n k j j−t−1 λs+t−j λj , 2j − s (2.1) là hệ số của xk trong khai triển của (1 + x)n , với mọi số nguyên n và với mọi số nguyên không âm k Đại số lambda, Λ, được định nghĩa trong... ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 tại một số bậc Kết quả chính nhận được là định lý sau đây (định lý này cũng được đánh số là Định lý 2.6.1) Định lý 2 Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod (i) h0 P h2 ∈ Ext6,17 (F2 , F2 ), A (ii) h2 P h2 ∈ Ext7,18 (F2 , F2 ), và 0 A (iii) hn P h1 ∈ Ext5+n,14+2n (F2 , F2 ), 0 ≤ n ≤ 2, 1 A không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số Vì h3... T r = s≥1 s≥0 F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) T rs Khi đó, T r là một đồng cấu đại số với tích ở vế phải là tích Yoneda Toán tử Sq 0 Toán tử Sq 0 cổ điển và toán tử Kameko đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số Các toán tử này đã được sử dụng rất có hiệu quả trong nghiên cứu bài toán “hit” và đồng cấu chuyển đại số (xem [34], [13], [28], [25]) Theo [40], [48], tồn tại các... Định lý 1.3.3 và Định lý 1.3.4 Định lý 1.3.5 ([66]) Cho C và C là các phức dây chuyền có lọc hội tụ và bị chặn dưới, f : C → C là đồng cấu dây chuyền bảo toàn lọc Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu dãy phổ f r : E r → E r Hơn nữa, nếu tồn tại r sao cho f r là đẳng cấu thì f cảm sinh một đẳng cấu f∗ : H∗ (C) → H∗ (C ) 1.4 Đồng cấu chuyển đại số Cho Vs là F2 -không gian véctơ s chiều Đối đồng điều của . đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ). Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số dưới lăng kính của đại số lambda và dãy phổ May. Đại số lambda, . một đồng cấu đại số và Tr 1 là một đẳng cấu (xem [63]), nên ảnh của đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh bởi các h i . Sự kiện này cùng với các tính toán nói trên cho đồng cấu chuyển đại. . . . . . . 19 1.4. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số 30 2.1. Giới thiệu về đại số lambda . . . . . .