ChoVs làF2-không gian véctơschiều. Đối đồng điều của không gian phân loại
H∗(BVs)đẳng cấu với
Ps = F2[x1, . . . , xs],
là đại số đa thứcsbiến trên trườngF2 sinh bởi cácxi, mỗixiđều có bậc 1.
GọiPAH∗(BVs) = (F2 ⊗A Ps)∗ là không gian con của H∗(BVs)sinh bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi tất cả các toán tử Steenrod bậc dương. Nhóm tuyến tính tổng quátGLs = GL(Vs) tác động tự nhiên lênVs và do đó có tác động cảm sinh của
GLs trên đồng điều và đối đồng điều của BVs. Vì hai tác động củaA và của GLs
Trong [63], Singer xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số, với mỗis≥ 1,
T rs : F2⊗GLs PAH∗(BVs)→Exts,sA +∗(F2,F2).
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng đồng cấu chuyển đại số và một số tính chất liên quan đến các toán tửSq0 cổ điển và toán tử Kameko.
Xây dựng đồng cấu chuyển đại số
Trong mục này, chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng cấu chuyển đại số của Singer trong [63]. Để tiếp cận với cách xây dựng này, ta cần các khái niệm sau đây.
Cho N là một B-môđun, ta ký hiệu F(N) là giải thức tự do của N. Khi đó, với s ≥ 0cố định, TorB
s(M, N)và ExtsB(N, P)là các không gian véctơ phân bậc.
ExtsB(N, P) là nhóm đồng điều thứ s của đối phức dây chuyền HomB(F(N), P), nó còn được hiểu như là nhóm các lớp tương đương của các dãy khớp cácB-môđun xuất phát từP, kết thúc ởN và đi quas B-môđun trung gian (xem [87]).
Vớif ∈ ExtrB(N, P)và g ∈ ExtsB(Q, N)ta viết g ◦f ∈ ExtrB+s(Q, P)là phép hợp thành, hay còn được gọi làtích Yoneda, của gvới f.
Giả sửB là một đại số Hopf. NếuN, P là cácB-môđun thìN ⊗P cũng làB- môđun với tác động đường chéo. Nếu F(N) và F(P)là các giải thức tự do tương ứng củaN và P thì F(N)⊗F(P)với tác động đường chéo là giải thức tự do của
N ⊗ P (xem [4], Mệnh đề 2.1). Khi đó với f ∈ ExtrB(N, P)và g ∈ ExtsB(Q, R), tích chéo củaf và g được định nghĩa làf ×g ∈ ExtBr+s(N ⊗Q, P ⊗R). Đặc biệt, nếu f ∈ ExtsB(N, P)được đại diện bởi dãy khớp từ P đến N, ký hiệuQ là ánh xạ đồng nhất trongExt0B(Q, Q) thìf ×Q ∈ ExtsB(N ⊗Q, P ⊗Q)được đại diện bởi dãy khớp nhận được từ dãy khớp ban đầu bằng cách tenxơ vớiQ.
Mối quan hệ giữa tích chéo và tích hợp thành được cho như sau: Nếu f ∈
ExtrB(N, P)vàg ∈ ExtsB(Q, R)thì (xem [41], trang 229)
f ×g = (f ×R)◦(N ×g). (1.13)
Tiếp theo ta định nghĩa khái niệmtích cap
ExtrB(N, P)⊗TorB
s(M, N)→TorB
s−r(M, P).
Cho f ∈ ExtrB(N, P) được đại diện bởi đồng cấu dây chuyền fe : F(N) →
F(P) với bậc đồng điều −r. Khi đó nếu x ∈ TorB
M ⊗B F(N), thì tích cap f ∩x được đại diện bởi ảnh của xbqua ánh xạ M ⊗ fe: (M ⊗B F(N))s → (M ⊗B F(P))s−r. Tích cap và tích Yoneda có quan hệ bởi luật kết hợp sau (g◦f)∩x= g∩(f ∩x), (1.14) vớix∈ TorB s(M, N),f ∈ExtrB(N, P),g ∈ ExttB(P, Q). Cho dãy khớp ngắn 0→ N1 →N2 →N3 →0
là đại diện của lớpf ∈ Ext1B(N3, N1). Đặt ∆(f) : TorB
s(M, N3)→ TorB
s−1(M, N1)
là đồng cấu nối của dãy khớp ngắn trên, với mộtB-môđunM bất kỳ. Khi đó, ta có
∆(f)(x) =f ∩x, (1.15)
trong đóx∈ TorB
s(M, N3).
Bây giờ ta tiến hành xây dựng đồng cấu chuyển đại số. Đặt P1 = F2[x1] là đại số đa thức một biến trên trườngF2 sinh bởix1 có bậc 1, với cấu trúc của A-môđun thông thường.Pˆ1 = x−11 P1là không gian véctơ trên trườngF2sinh bởi tất cả các lũy thừa xp1 với p ≥ −1. Pˆ1 cũng là một A-môđun với A-tác động được thác triển từ A-tác động củaP1thỏa mãnSqn(x−11 ) = xn1−1. Khi đó, ta có dãy khớp ngắn
0→P1 −→i Pˆ1 −→π F2 →0
được ký hiệu bởie1, trong đóilà phép nhúng, vàπ(x−11 ) = 1, π(xp1) = 0với p≥ 0.
e1 tương ứng với một phần tử trongExt1A(F2, P1). Một cách tổng quát, vớis≥ 1bất kỳ, ta định nghĩaes ∈ ExtsA(F2, Ps)bởi
es = (e1×Ps−1)◦ · · · ◦(e1×P1)◦e1 = e1× · · · ×e1 (slần). (1.16) Định nghĩa đồng cấu ϕs(M) : TorAs (M,F2)−→M ⊗A Ps xác định bởi ϕs(M)(x) = es∩x, (1.17) vìTorA0(M, Ps) =M ⊗A Ps.
Vì phép chiếuπ làm giảm bậc trong một đơn vị nên ϕs(M)làm giảm bậc trong
Do đó, ta có đồng cấu
ϕs(M) : TorAs,s+t(M,F2)→ (M ⊗A Ps)t.
Đồng cấuϕs(M)có thể được biểu diễn bởi hợp thành của các đồng cấu nối. Do (1.15), (1.16) và (1.17) ta có
ϕs(M) = ∆(e1×Ps−1)◦ · · · ◦∆(e1×P1)◦∆(e1).
VớiM là mộtA-môđun phải, và choGLs tác động lênM ⊗A Ps thông qua tác động của nó lênPs.Khi đó, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.4.1([63]). Ảnh củaϕs nằm trong không gian các bất biến(M⊗APs)GLs, và do đó ta có một đồng cấuT rs∗ : TorAs (M,F2)→(M ⊗A Ps)GLs.
Đối ngẫu lại, khi M = F2, ta nhận được một đồng cấu, được gọi là đồng cấu chuyển đại số,
T rs : F2⊗GLs PAH∗(BVs)→Exts,sA +∗(F2,F2).
Với các số nguyên không âmp, q sao cho p+q = s, xét đẳng cấuA-tuyến tính
M ⊗ Ps → M ⊗ Pp ⊗ Pq (với P0 = F2). Đẳng cấu này cảm sinh một đồng cấu
F2-tuyến tính
Γp,q(M) : M ⊗A Ps →[M ⊗A Pp]⊗[F2⊗A Pq]. (1.18) Hạn chế (1.18) lên không gian bất biến[M ⊗A Ps]GLs và lấy tổng trên tất cả các cặp(p, q), ta nhận được Γs(M) : [M ⊗A Ps]GLs →M p,q [M ⊗A Pp]GLp ⊗[F2⊗A Pq]GLq. (1.19) Đặt P∗(M) = M s≥0 [M ⊗A Ps]GLs.
Mệnh đề 1.4.2 ([63]). Ánh xạ Γs(F2), với s ≥ 0, choP∗(F2) một cấu trúc đối đại số song bậc kết hợp, giao hoán. Ánh xạΓs(M)choP∗(M)một cấu trúc đối môđun phải song bậc trênP∗(F2).
Đối ngẫu lại,Γs(F2)∗cho ta một cấu trúc tích trên
F2⊗GLPAH∗(BV) = M
s≥0
F2⊗GLs PAH∗(BVs).
ĐặtT r =L
s≥1T rs. Khi đó,T rlà một đồng cấu đại số với tích ở vế phải là tích Yoneda.
Toán tửSq0
Toán tửSq0cổ điển vàtoán tử Kamekođóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số. Các toán tử này đã được sử dụng rất có hiệu quả trong nghiên cứu bài toán “hit” và đồng cấu chuyển đại số (xem [34], [13], [28], [25]).
Theo [40], [48], tồn tại các toán tử Steenrod tác động lênExt∗A,∗(F2,F2)tương tự như tác động lên đối đồng điều của không gian tôpô; tuy nhiên, toán tửSq0 không phải là toán tử đồng nhất. Cụ thể, toán tửSq0 : Exts,tA (F2,F2)→ Exts,A2t(F2,F2)có biểu diễn dây chuyền trên giải thức cobar là đồng cấu
λ : C(A,A)→C(A,A), λ({α1|. . .|αn}) ={α12|. . .|α2n}.
Toán tử này được gọi là toán tửSq0 cổ điển.
Trong khi tìm tập sinh cực tiểu choP3 xem như môđun trênA, Kameko [34] đã định nghĩa một toán tử (cũng được ký hiệu là Sq0) trên F2 ⊗GLs PAH∗(BVs) như sau:
Nhắc lại rằngH∗(BVs)là đại số lũy thừa bị chia
H∗(BVs) = Γ(a1, . . . , as),
trong đóailà đối ngẫu củaxi ∈H1(BV1).
LấySqg0 : H∗(BVs)→ H∗(BVs)là đồng cấu cho bởi
g
Sq0(a(i1)
1 . . . a(sis)) =a(2i1+1)
1 . . . a(2s is+1),
trong đóa(i1)
1 . . . a(sis)là đối ngẫu của đơn thứcxi1
1 . . . xiss theo cơ sở đơn thức trongPs.
Hơn nữa, vìSqg0 ánh xạ PAH∗(BVs)vào chính nó (xem [13], [22], [34]) nên ta có đồng cấu
Sq0 = 1⊗GLs gSq0 : F2⊗GLs PAH∗(BVs)→F2⊗GLs PAH∗(BVs),
được gọi là toán tử Kameko.
Toán tử Kameko và toán tử Sq0 cổ điển giao hoán với nhau thông qua đồng cấu chuyển đại số (xem [51]). Nói cách khác, ta có biểu đồ giao hoán sau:
F2⊗GLs PAHd(BVs) T rs // Sq0 Exts,sA +d(F2,F2) Sq0 F2⊗GLs PAH2d+s(BVs) T rs //Exts,2(s+d) A (F2,F2). (1.20)
Chương 2
Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của đại số lambda, Λ, được định nghĩa trong [8], [60], [62]. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda. Dựa vào biểu diễn này, ngoài việc chứng minh lại một số kết quả đã biết về ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 4, chúng tôi cũng đã bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7.
2.1. Giới thiệu về đại số lambda
ChoΛ+ là đại số phân bậc trên trườngF2sinh bởi các phần tử λi bậci,i≥ −1, thỏa mãn các quan hệ Adem:
λsλt−X j j −t−1 2j−s λs+t−jλj, (2.1)
với s, t ≥ −1. Ký hiệu nk là hệ số của xk trong khai triển của (1 +x)n, với mọi số nguyênnvà với mọi số nguyên không âmk. Đại số lambda,Λ, được định nghĩa trong [8] là thương củaΛ+trên iđêan phải sinh bởiλ−1(xem thêm [10]). Ký hiệuΛs
là không gian véctơ con củaΛ sinh bởi các đơn thức của λi độ dài s.Λs có một cơ sở gồm tất cả các đơn thứcchấp nhận được, là các đơn thức có dạngλI = λi1. . . λis
trong đóij ≤ 2ij+1 với mọi1≤ j < s.
Chú ý rằng định nghĩa của chúng tôi về đại số lambda dựa theo Singer [62], nó ngược thứ tự với định nghĩa gốc trong [8] và định nghĩa được sử dụng trong Wellington [81].
Các quan hệ Adem ở trên nhìn rất phức tạp, nhưng chúng có thể được mô tả một cách đơn giản qua chuỗi lũy thừa hình thức như sau
trong đó ký hiệuλ[a1, . . . , as]là tổng hình thứcP
i1,...,is≥0λi1. . . λisai1
1 . . . aiss . Biểu thức (2.2) chứng tỏ rằng thứ tự của các biếnu, v là không quan trọng.
Trong [73], Steiner nhận xét rằng các quan hệ Adem trong đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof có thể biểu diễn qua chuỗi lũy thừa hình thức tương tự như công thức (2.2). Chúng tôi nhận thấy trong đại số lambda điều này cũng đúng. Để cho đầy đủ, chúng tôi trình bày chứng minh dưới đây.
Ta viết w = (u+v)vu−1 và chú ý rằng dw = dv (mod 2) khi xem u như một hằng. Khi đó λsλt = res u=0 res w=0 λ[u]λ[w] wt+1 dw du us+1 = res u=0 res v=0 λ[v]λ[(u+v)uv−1] us((u+v)vu−1)t+1dv du u = res u=0 res v=0 X k,` λ`λkv`−k−tuk−s+t+1(u+v)k−t−1dv v du u = res u=0 X k,` k−t−1 k+t−` λ`λku(k−s+t+1)+(k−t−1)−(k+t−`)du u = res u=0 X k,` k−t−1 k+t−` λ`λkuk+`−t−sdu u = X k k−t−1 2k−s λt+s−kλk,
trong đó, ký hiệuresu=0(f(u)du)là thặng dư của hàmf(u)tạiu = 0.
Đại số lambda là một trong những đại số toán tử quan trọng bậc nhất trong Tôpô đại số vì nó có thể được dùng để tính đối đồng điều của đại số Steenrod, trang E2
của dãy phổ Adams hội tụ về nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu. Bên cạnh đó, như ta sẽ thấy trong phần sau, đại số lambda chứa thông tin về đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof, là đại số các toán tử tác động lên đồng điều (modulo 2) của không gian các vòng lặp.
ChoM là một A-môđun phải phân bậc, liên thông. Khi đó, ta có một phức dây chuyềnΛ⊗M với (Λ⊗M)s = Λs ⊗M và vi phânδs : Λs ⊗M //Λs+1⊗M,là mộtΛ-ánh xạ, cho bởi
δ(1⊗x) = X
i≥−1
Nếux ∈ M sao cho xSqk = 0, với mọik > 0, thì δ(λI ⊗x) = λIλ−1⊗x là một chu trình nếuλI cũng là một chu trình.
KhiM = F2,δ chính là ánh xạ cảm sinh bởi phép nhân bên phải với λ−1 trong
Λ+. Các quan hệ Adem (2.1) chứng tỏ rằngδlà một đạo hàm, và
δ(λs) =X i i 2i−s λs−i−1λi. (2.4)
Hai sự kiện này xác định hoàn toàn vi phânδ.
Chú ý rằng khi thays−i−1 = jthì công thức (2.4) trùng với công thức vi phân nói đến trong phần mở đầu.
Theo [8], ta có kết quả sau:
Định lý 2.1.1([8]). Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên
θs : ExtsA(F2, M) //Hs
(Λ⊗M).
Đặc biệt, khiM =H∗(X), trong đóX là một phổ (2-đầy đủ), định lý trên cho ta một đối phức dây chuyền để tính trangE2,
Exts,tA (F2, H∗(X)),
của dãy phổ Adams hội tụ vềπS
∗(X).
Do tính tự nhiên nên đồng cấu chuyển hình họcπ∗S((BVs)+) //πS
∗(S0)cảm sinh một ánh xạ giữa các trangE2 của dãy phổ Adams tương ứng, ánh xạ này lại được cảm sinh bởi một đồng cấu
Λn ⊗H∗(BVs) //Λn+s.
Mục tiêu của chương này là xây dựng, với mỗis >0, mộtF2-đồng cấu
ψs : H∗(BVs) //Λs,
là biểu diễn trên trangE1 của đồng cấu chuyển đại số, và dùngψs trong nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số.