modular
Trong [62], Singer đã mô tả đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết bất biến, và đối ngẫu này đã được N. H. V. Hưng [27] sử dụng để xây dựng một biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số. Trong mục này, chúng tôi đưa ra một cách xây dựng trực tiếp đại số lambda bằng lý thuyết bất biến modular. Cách xây dựng này có thể đã được biết đến bởi các chuyên gia, nhưng chúng tôi chưa tìm thấy một mô tả tường minh nào trong các tài liệu đã xuất bản.
GọiVs là không gian véctơ s chiều trên trường F2. Đối đồng điều H∗(BVs)là đại số đa thứcPs = F2[x1, . . . , xs] trêns phần tử sinh x1, . . . , xs, mỗi phần tử đều có bậc1. Như ta đã biết,Ps là mộtA[GLs]-đại số. Vành bất biến dưới tác động của
GLs và của nhóm con Us ≤ GLs gồm các ma trận tam giác trên, được xác định bởi Dickson [23] và H. Mùi [53] tương ứng là
Ds = F2[Qs,0, Qs,1, . . . , Qs,s−1], Ms = F2[V1, . . . , Vs],
ở đó các phần tử sinh H. MùiVk và Dickson Qs,k được xác định như sau:
Vk = Y
λi∈F2
(λ1x1+· · ·+λk−1xk−1+xk), Qs,k =Q2s−1,k−1+VsQs−1,k, 0≤ k < s,
với quy ướcQk,k = 1 vàQs,k = 0,s < k.
GọiΦs là vành địa phương hóa củaPs bằng cách làm khả nghịch tất cả các phần tử không tầm thường trongH1(BVs). Khi đó, theo Wilkerson [82],Φs cũng là một A[GLs]-đại số. Theo Singer [62], ta có
∆s = ΦUss ∼= F2[v±1
1 , . . . , vs±1].
trong đóvk =Vk/(V1. . . Vk−1). Hơn nữa,∆ = ⊕∆s là một đại số với tích
vi1 1 . . . vpip ⊗vip+1 1 . . . vip+q q 7→vi1 1 . . . vipp vip+1 p+1 . . . vip+q p+q. (2.5)
Hàm hữu tỷvn = vn(x1, . . . , xn)được cho bởi
vn = Y
v
(v+xn)/Y v6=0
trong đó tích được lấy trên tất cả các phần tử v của không gian véctơ sinh bởi
x1, . . . , xn−1.
Trường hợp s = 2 đặc biệt quan trọng. Chú ý rằng đại số Dickson D2 sinh bởi hai phần tử Q2,0 = v21v2 và Q2,1 = v12 +v1v2. Theo Singer [62], ΦGL2
2 nằm trong nhân củaF2-đồng cấu∆2 // A ánh xạv1av2b 7→Sqa+1Sqb+1.
Do đó, thương∆2/ΦGL2
2 có mộtF2-cơ sở chứa các đơn thức “chấp nhận được”, tức là các đơn thức có dạngvi1
1 vi2
2 , vớii1, i2 ∈ Z, vài1 >2i2. Nói cách khác, tập hợp các đơn thức chấp nhận được độc lập tuyến tính trong∆2/ΦGL2
2 .
Trong trường hợp tổng quát, đặtL1 = Φ1. Khis ≥2, đặt Ls = ∆s/X
i
∆i⊗ΦGL2
2 ⊗∆s−i−2.
Không gianLs là một A-môđun thương của∆s vì iđêan hai phíaP
i∆i⊗ΦGL2
2 ⊗
∆s−i−2 sinh bởi ΦGL2
2 là một A-môđun con của∆s.L = ⊕sLs cũng là một đại số, với cấu trúc đại số cảm sinh từ∆. Hơn nữa, dễ dàng thấy rằng Ls có một F2-cơ sở chứa các đơn thức “chấp nhận được”,vi1
1 . . . viss trong đói1 > 2i2, . . . , is−1 >2is. Xét vành nhómF2[GLn], ta đặt en = ( P σ∈Snσ)(P g∈Ung) [GLn : Un] ,
trong đó, nhóm đối xứngSn được xem như nhóm con các ma trận hoán vị củaGLn. Theo Steinberg [72], en là phần tử lũy đẳng (e2 = e), được gọi là phần tử lũy đẳng Steinberg. MôđunSt = enF2[GLn] được gọi là môđun Steinberg. Nếu M là một F2[GLn]-môđun, thì M St là một F2[GLn]-môđun con của M và được gọi là môđun Steinberg củaM.
Ta nhận được kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.1. Tồn tại một đẳng cấu giữa các A-môđun Ls → ΦsSt, trong đó
ΦsStlà môđun Steinberg củaΦs.
Chứng minh. Từ kết quả của Kuhn [35, Định lý 4.18], ta nhận được một đẳng cấu giữa cácGLs-môđun ΦsSt ∼= ΦUs
s /P
ΦGi
s , trong đó Gi, 1 ≤ i ≤ s− 1, là s− 1
nhóm con parabolic cực tiểu củaGLs. Vì ΦGi
s ∼= ∆i−1 ⊗ΦGL2
2 ⊗∆s−i−1 nên ta có một đẳng cấu giữa cácGLs-môđun Ls ∼= ΦsSt. Vì tác động của A giao hoán với tác động củaGLs nên ta có đẳng cấuA-môđun.
Nhắc lại rằng Λs có một cơ sở chấp nhận được gồm các đơn thức có dạng
λj1. . . λjs, với 2j2 ≥ j1, . . . ,2js ≥ js−1. Với mỗi s ≥ 1, xét ánh xạF2-tuyến tính sau Ls fs −→Λs vi1 1 . . . vsis 7→λ−i1−1. . . λ−is−1,
trong đó vế phải được hiểu là tầm thường nếu có một chỉ sốk sao choik ≥ 0.
Một bộ chỉ sốI = (i1, i2, . . . , is)được gọi là hoàn toàn âmnếu ik < 0với mọi
k. Nếuik > 2ik+1, thì−ik−1≤ 2(−ik+1−1). Do đó,fs ánh xạ một đơn thức chấp nhận đượcvI vào một đơn thức chấp nhận đượcλ−I−1 trongΛs. Như vậy, fs là một toàn ánh.
GọiKs là không gian véctơ sinh bởi các đơn thức chấp nhận đượcvI với I hoàn toàn âm; khi đó, ta nhận được kết quả sau đây.
Mệnh đề 2.2.2. Ks là mộtA-môđun thương của∆s. Hạn chế củafs lênKs là một song ánh. Do đó,Λs là mộtA-môđun thương của∆s.
Chứng minh. Nhận thấy rằngvk = vk(x1, . . . xk)là tích của các hàm tuyến tính (với số mũ1hoặc −1) của x1, x2, . . . xk. Đặc biệt,vk chứa xk như một nhân tử. Ngược lại, nếu một phần tử trong∆s có thể được viết thành dạng
xi1
1 . . . xiss ×các phần tử khác,
thì lập tức nó chứavi1
1 . . . vsis như một nhân tử.
Cho nên ảnh củavI, với I không hoàn toàn âm, dưới tác động của toán tử Steen- rod là một tổ hợp củavI`, với I` không hoàn toàn âm. Nói cách khác, nhân củafs là mộtA-môđun con củaLs.
Nhận xét 2.2.3. Λs có thể được đồng nhất, qua fs, với môđun con của Ls chứa tất cả các đơn thứcvI trong đóI < 0(nghĩa là, mỗiik < 0). Vi phânδ : Λs //Λs+1,
là phép nhân bên phải vớiλ−1, tương ứng với phép nhúng tự nhiênΦs //Φs+1.
Nhận xét 2.2.4. Phép thế sơ cấp (i, i+ 1), tác động giữ nguyênxk, k 6= i, i+ 1và hoán vị xi và xi+1, nằm trong nhóm con parabolic tối tiểu Gi. Vì vậy, mặc dù có nhiều phép nhúng của Φs vào Φs+1, nhưng chúng đẳng cấu với nhau khi hạn chế xuống môđun Steinberg.