Trong chương này, chúng tôi xây dựng lại một cách trực tiếp đại số lambda thông qua lý thuyết bất biến modular. Từ đó, cấu trúcA-môđun trên đại số lambda và liên hệ giữa cấu trúc này với tác động hình thức của đại số Steenrod lên đại số lambda được định nghĩa bởi Wellington [81] được giải thích cụ thể hơn.
Chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên giải thức lambda. Dùng biểu diễn này, chúng tôi nhận lại được một số kết quả về ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 4 (xem Mệnh đề 2.5.2).
Chúng tôi cũng đã bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 tại một số bậc và nhận được một số kết quả (xem Định lý 2.6.1).
Chương 3
Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số
Trong chương này, chúng tôi xây dựng biểu diễn của (đối ngẫu của) đồng cấu chuyển đại số trên trang E2 của dãy phổ May. Dùng xây dựng này, chúng tôi nhận được một số kết quả mới về ảnh của đồng cấu chuyển tại một số bậc ở bậc đồng điều cao.
3.1. Dãy phổ May
Trong luận án của mình, May [46, 47] đã xây dựng một dãy phổ, được gọi là dãy phổ May, để tính đối đồng điều của đại số Lie hạn chế và đại số Hopf. Ngay lập tức dãy phổ này trở thành một trong những công cụ quan trọng nhất để tính đối đồng điều của đại số Steenrod. Công cụ này đã được Tangora [74] và Lin [37] sử dụng rất hiệu quả trong các tính toán của mình. Trong [74], Tangora đã chỉ ra một danh sách các phần tử sinh củaExts,tA (F2,F2)(s ≤ 17, t−s≤ 67) và các đại diện của chúng.
Đại số phân bậc liên kết
Đại số Steenrod, A, là đại số Hopf phân bậc, liên thông, có đơn vị, có bổ sung
: A →F2. GọiA là nhân của,A được gọi là iđêan bổ sung củaA. Đại số SteenrodA có một lọc, được gọi làlọc bổ sungcủaA, như sau:
FpA =
(
A nếu p≥ 0,
(A)−p nếu p < 0.
Vớip < 0, phần tử θ ∈ FpA nếu nó phân tích được thành tích của−pnhân tử bậc dương. Dễ thấyF∗A là lọc tăng, hội tụ và bị chặn dưới.
Đặt
Ep,q0 A = (FpA /Fp−1A)p+q.
Đại số phân bậc liên kết của A ứng với lọc trên, E0A = L
p,qEp,q0 A, cũng là một đại số Hopf. Với mỗi phần tửR= (r1, . . . , rs), ta đặt v(R) = s X i=1 iα(ri),
trong đóα(ri)là số các chữ số 1 trong khai triển nhị phân củari.
Công thức tính bậc lọc cho các phần tử sinh Milnor sau đây là một kết quả trong luận án của May [46] tuy chưa được công bố nhưng được sử dụng rộng rãi.
Mệnh đề 3.1.1([46]). Bậc lọc của phần tửSq(R)là −v(R), nghĩa làSq(R) nằm trongF−v(R)A nhưng không nằm trongF−v(R)−1A.
Đặc biệt, bậc lọc củaPts là−t.
Do đó, Pts ∈ E0A là phần tử nguyên thủy trong E0A. Hơn nữa, cấu trúc của đại số phân bậc liên kết củaA được cho trong định lý sau đây.
Định lý 3.1.2([46]). E0A là đại số Hopf sinh nguyên thủy trên trườngF2. Nó đẳng cấu với đại số bao phổ dụng của đại số Lie hạn chế của các phần tử nguyên thủy
{Pts|t ≥1, s≥ 0}. Hơn nữa, tích Lie và ánh xạ hạn chế được cho bởi:
(i) [Pji, P`k] =δi,k+`Pjk+`,vớii≥ k;
(ii) ξ(Pji) = 0, trong đóξ là ánh xạ hạn chế (của cấu trúc đại số Lie hạn chế của nó).
Ở đây,δij là ký hiệu Kronecker thông thường. Tâp hợp các phần tử nguyên thủy
R = {Pkj |j ≥ 0, k ≥ 1}có một thứ tự tự nhiên, được xác định như sau: Pi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
j < Pk `
nếui < khoặci= k, j < `. Do đó ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.1.3([46]). E0A có một cơ sở cộng tính gồm các đơn thức
(P10)a1,0(P20)a2,0. . .(P11)a1,1(P21)a2,1. . .
Định lý 3.1.2 và lý thuyết về giải thức Koszul của Priddy [60] chứng tỏ rằng
E0A là một đại số Koszul với tập sinh Koszul{Pkj|j ≥0, k ≥ 1}và các quan hệ
PjiP`k = P`kPji nếu i6=k+`, PjiP`i−`+P`i−`Pji+Pji+−`` = 0, PjiPji = 0.
Đối phức Koszul để tính đối đồng điều củaE0A được xác định một cách tường minh.
Định lý 3.1.4([46], [74], [60]). Đối đồng điều của E0A,H∗(E0A), là đồng điều của phứcR, trong đóRlà đại số đa thức trên trườngF2sinh bởi cácRi,j, i ≥0, j ≥
1, bậc2i(2j−1), và vi phân của nó là một đạo hàm được cho bởi
δ(Ri,j) =
j−1 X
k=1
Ri,kRi+k,j−k.
Tích cup trongH∗(E0A)tương ứng với tích của các chu trình đại diện trongR.
Đối phức Koszul R là thương của phức cobar của E0A, và Ri,j là ảnh của {(Pji)∗} qua phép lấy thương. Đại số H∗(E0A) là trang E2 của dãy phổ May (sẽ được trình bày trong phần tiếp theo).
Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi làm việc trên đồng điều. Phức đối ngẫu của R, được ký hiệu bởi X¯ như trong [47], là đại số lũy thừa bị chia với các phần tử sinhPji. Khi đó,X¯ được nhúng vào giải thức bar củaE0A bởi phép nhúng biếnγn(Pji)thành
{Pji|Pji|. . .|Pji} (nnhân tử)
và tích trong X¯ tương ứng thành tích ken. Kỹ thuật nhúng này được khai thác rất thành công bởi Tangora [74, Chương 5] để tính đối đồng điều của đại số Steenrod, cho đến hạng nhất định.
Dãy phổ May
ChoM là mộtA-môđun trái có kiểu hữu hạn và bị chặn dưới, khi đóM có một lọc, cảm sinh từ lọc củaA, được cho bởi công thức
FpM = FpA ·M.
Dễ dàng nhận thấy rằngFpM = A ·M = M nếu p≥ 0, vàT
−7 32 −6 24 28 −5 16 20 26 −4 12 18 22 25 30 −3 8 10 14 17 21 29 −2 4 6 9 13 19 27 −1 2 5 11 23 0 1 3 7 15 31
Hình 3.1: Lọc củaP1 tại một số bậc nhỏ, trong đóxm1 được ký hiệu đơn giản làm.
Đặt
Ep,q0 M = (FpM/Fp−1M)p+q; E0M =M
p,q
Ep,q0 M.
Khi đó,E0M là mộtE0A-môđun song bậc, gọi là môđun phân bậc liên kết của (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M.
Ví dụ 3.1.5. Cho M = P1 = F2[x1]. Khi đó, lọcFpP1 với ptừ 0 đến −7được cho trong Hình 3.1.
Cột bên trái của Hình 3.1 là bậc lọc của xm1 tương ứng trên cùng một hàng. Đường thẳng nối từxm1 của hàng dưới lên xn1 của hàng trên nghĩa là tồn tại P1t sao choxn1 = P1t(xm1 ).
Việc xác định bậc lọc của xn1 với ntùy ý cũng là một bài toán không đơn giản. Vakil [76] đã đưa ra một thuật toán đệ quy để tính bậc lọc củaxn1, nhưng vẫn còn nhiều câu hỏi mở có liên quan chẳng hạn như việc tìm một công thức tường minh cho bậc lọc củaxn1 xem như một hàm củan.
trên tích tenxơ, được cho như sau:
FpP2 = X
p1+p2≤p
Fp1P1⊗Fp2P1.
Do đó, các phần tử x21d1−1x22d2−1 nằm trong F0P2. Đơn thức x51x82 nằm trong
F−4P2vì, theo Ví dụ 3.1.5, x51nằm trongF−1P1 vàx82nằm trongF−3P1.
Như vậy, việc xác định bậc lọc của một đơn thức trongPs được quy về việc xác định bậc lọc của các đơn thức trongP1.
Gọi B∗(A;M) là giải thức bar thông thường. B∗(A, M) có lọc cảm sinh như sau:
FpB∗(A;M) =XFp1A ⊗ · · · ⊗FpnA ⊗Fp0M,
tổng được lấy trên tất cả các bộ{p0, . . . , pn}thỏa mãnn+Pn
i=0pi ≤ p.
Vì lọc của A là hội tụ, bị chặn dưới và M có kiểu hữu hạn, bị chặn dưới, nên lọc trên giải thức bar cũng hội tụ, bị chặn dưới. Lọc này tương thích với vi phân. Vì
∂(FpB∗(A;M)) ⊆ Fp−1B∗−1(A;M) nên, trong dãy phổ cảm sinh từ lọc trên, có
E1 = E0, và
Ep,q,t1 (M) = FpBp+q(A;M)Fp−1Bp+q(A;M)t,
trong đóplà bậc lọc,p+q là bậc đồng điều vàtlà bậc trong.
Vi phând1 của dãy phổ là đồng cấu nối của dãy khớp ngắn (xem Định lý 1.3.4)
0→ Fp−1B∗(A;M)
Fp−2B∗(A;M) → FpB∗(A;M)
Fp−2B∗(A;M) → FpB∗(A;M)
Fp−1B∗(A;M) →0.
Mặt khác, Ep,q,t1 (M) đẳng cấu với Bp+q(E0A;E0M)−q,q+t như các F2-không gian véctơ ba bậc. Dưới phép đồng nhất này, ta dễ dàng thấy rằng d1 trùng với vi phân định nghĩa trên giải thức barB∗(E0A;E0M)củaE0M.
Do đó, ta cóE2
p,q,t(M) =Hp+q(E0A;E0M)−q,q+t.
Ta có thể tóm tắt kết quả này qua định lý sau đây.
Định lý 3.1.7([46, 47], [74]). ChoM là mộtA-môđun có kiểu hữu hạn và bị chặn dưới. Tồn tại một dãy phổ hội tụ vềH∗(A;M), có trangE2 là đồng điều của E0A (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hệ số trongE0M,
Ep,q,t2 =Hp+q(E0A;E0M)−q,q+t.
Vi phân của dãy phổ này là các ánh xạF2-tuyến tính:
3.2. Đồng cấu chuyển đại số
Nhắc lại rằng đối đồng điều củaBVs là một đại số đa thức, và được ký hiệu là
Ps =F2[x1, . . . , xs] trong đó cácxiđều có bậc 1. Đồng cấu chuyển hình họcπ∗S((BVs)+) //πS
∗(S0)cảm sinh một phiên bản đại số trên trangE2của dãy phổ Adams:
ϕs: TorAs,s+t(F2,F2) // TorA
0,t(F2, Ps)∼= (F2⊗A Ps)t.
Ánh xạ này được xây dựng đầu tiên bởi Singer trong [63] và những nghiên cứu sau đó (xem [7, 51, 13, 25, 28, 91, 33]) chứng tỏ rằng nó có khả năng phát hiện một số lượng tương đối lớn các phần tử trongExt∗A,∗(F2,F2). Trong phần này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu phiên bản đại số này bằng cách xây dựng một ánh xạ giữa các dãy phổ May:
Erψs: Ep,q,tr (F2) //Er
p,q−s,t−s(Ps),
“hội tụ” về đồng cấu chuyển đại số. Chính xác hơn, E∞ψs trong bậc đồng điều
p+ q = s trùng với ánh xạ cảm sinh của đồng cấu chuyển đại số trên các môđun phân bậc liên kết tương ứng.
Đồng cấu chuyển đại số và giải thức bar
Trong các nghiên cứu trước đó về đồng cấu chuyển đại số, đã có một số cách xây dựng đồng cấu chuyển Singer được biết đến (xem [63, 89, 7, 91, 18]). Chúng tôi dùng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trong [91] để xây dựng một nâng tường minh trên giải thức bar.
ChoPˆ1 là mộtA-môđun mở rộng của P1 = F2[x1]bằng cách thêm phần tử sinh
x−11 bậc−1.Pˆ1cũng là mộtA-môđun vớiA-tác động được thác triển từA-tác động củaP1 thỏa mãn Sqn(x−11 ) = x1n−1. Đặtu : A → Pˆ1 là một A-đồng cấu, ánh xạ θ
vàoθ(x−11 ), và đặt ψ1 là hạn chế của ulên iđêan bổ sung A của A. Rõ ràngψ1 là toàn ánh lênP1.
Ta định nghĩaψs : A⊗s →Ps bằng công thức quy nạp sau:
ψs({θs|. . .|θ1}) = X
|θ0 s|>0
θ0s(x−1s )θs00(ψs−1({θs−1|. . .|θ1})), (3.1) trong đó đối tích được ký hiệu là
Trong [91], T. N. Nam đã chứng minh rằng ψs là biểu diễn của (đối ngẫu của) đồng cấu chuyển đại số trên giải thức bar.
Định lý 3.2.1([91]). Vớis≥ 1,ψs cảm sinh đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số
ϕs : TorAs,s+t(F2,F2)→Tor0A,t(F2, Ps) = (F2⊗A Ps)t.
Singer [63] chứng minh rằng ảnh củaϕs nằm trong không gian con bất biến của
F2⊗A Ps dưới tác động củaGLs.
Ta sẽ dùngψs để xây dựng một đồng cấu dây chuyền giữa hai giải thức bar. Xét
˜ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ψs : B∗(A;F2)→B∗−s(A;Ps)cho bởi biểu thức
˜
ψs({θn|. . .|θ1}) ={θn|. . .|θs+1} ⊗ψs({θs|. . .|θ1}).
Mệnh đề 3.2.2. Ánh xạ ψs˜ là một đồng cấu dây chuyền.
Chứng minh. Ta có ˜ ψs(∂({θn|. . .|θ1})) = n−1 X i=s+1 {θn|. . .|θi+1θi|. . .|θs+1}ψs({θs|. . .|θ1}) + s X j=1 {θn|. . .|θs+2}ψs({θs+1|. . .|θj+1θj|. . .|θ1}). (3.2) Vì ψs({θs+1|. . .|θj+1θj|. . .|θ1}) =θs+1(x−1s . . . θj+1θj(x−1j . . . θ1(x−11 ). . .). . .) =θs+1(x−1s . . . θj+1(x−1j θj(θj−1(x−1j−1. . . θ1(x−11 ). . .))). . .) +θs+1(x−1s . . . θj+1(θj(x−1j . . . θ1(x−11 ). . .)). . .),
trong đó tác động củaθ lên x−1k y được hiểu như trong (3.1), do đó hạng tử thứ hai trong vế phải của (3.2) trở thành
{θn|. . .|θs+2}θs+1(ψs({θs|. . .|θ1})).
Vì vậy cho nên,
˜
ψs(∂({θn|. . .|θ1})) =∂( ˜ψs({θn|. . .|θ1})).
Ta có,ψ˜s tương thích với lọc của May.
Mệnh đề 3.2.3. Với mỗip∈ Z, tồn tại một đồng cấu dây chuyền cảm sinh
Fpψ˜s : FpB∗(A;F2)→FpB∗−s(A;Ps).
Do đó, tồn tại một đồng cấu dãy phổ
Erψs : Ep,q,tr (F2)→Ep,qr −s,t−s(Ps).
Chứng minh. Vì đối tích bảo toàn bậc lọc, nên trường hợp tổng quát dễ dàng suy ra được từ trường hợps = 1. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp s = 1,
˜
ψ1 : ¯B∗(A;F2)→B¯∗−1(A;P1)tương thích với lọc của May. Thật vậy, nếu
Sq2i1. . . Sq2ik ∈ F−k+1B1(A;F2),
thì ta cần chứng minh
Sq2i1 . . . Sq2ik(x−11 )∈ F−k+1B0(A;P1).
Vì
Sq2i1. . . Sq2ik(x−11 ) =Sq2i1 . . . Sq2ik−1x21ik−1;
và vìx21ik−1 ∈ F0P1 trong khiSq2i1 . . . Sq2ik−1 ∈ F−k+1A nên ta có kết luận.
Xác định đồng cấuE2ψs
Để có thể sử dụng được Mệnh đề 3.2.3 ta cần một công thức tường minh trên trangE2:
E2ψs : TorE0A
u,v (F2,F2)→TorE0A
u−s,v−s(F2, E0Ps).
Từ dãy khớp ngắn của cácA-môđun (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0 //PP11 ι1 //PPˆˆ11 π1 //FF22 //0, trong đóι1là phép nhúng và π1(xi1) = ( 1 nếu i=−1, 0 nếu i≥ 0,
ta nhận được dãy khớp ngắn của cácE0A-môđun
0 //EE00PP11 E0Pˆ1
Dãy khớp ngắn này cảm sinh một dãy khớp ngắn trên giải thức bar của cácE0A- môđun
0 →B∗(E0A;E0P1)→ B∗(E0A;E0Pˆ1)→B∗(E0A;F2)→ 0.
Tenxơ vớiE0M, trong đóM là mộtA-môđun, ta nhận được
0 →B∗(E0M;E0P1)→ B∗(E0M;E0Pˆ1)→B∗(E0M;F2)→ 0.
Đồng cấu nối của dãy khớp ngắn này là
E2ψ1(M) : TorE0A n,n+∗(E0M ,F2)→TorE0A n−1,n−1+∗(E0M , E0P1). Một cách tổng quát, ta nhận được E2(ψ1×Ps−1)(M) : TorE0A n,n+∗(E0M , E0Ps−1)→TorE0A n−1,n−1+∗(E0M , E0Ps). Đặt E2ψs(M) =E2(ψ1×Ps−1)(M)◦ · · · ◦E2ψ1(M), khi đó E2ψs(M) : TorE0A n,n+∗(E0M ,F2)→TorE0A n−s,n−s+∗(E0M , E0Ps).
Khi n = s, ta nhận được phiên bản trên trang E2 của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số. E2ψs(M) : TorE0A s,s+∗(E0M ,F2)→TorE0A 0,∗ (E0M , E0Ps) = E0M ⊗E0A E0Ps. Đặt E2ψs = E2ψs(F2) : TorE0A s,s+t(F2,F2)→(F2 ⊗E0A E0Ps)t.
Mệnh đề 3.2.4. Đồng cấuE2ψs(M)được cảm sinh bởi đồng cấu
E1ψs(M) :E0M ⊗E0As →E0M ⊗ E0Ps
được cho một cách quy nạp bởi
E1ψs(M)(m{θs|. . .|θ1}) = X
|θ00s|>0
Chứng minh. Để có kết luận của mệnh đề ta chỉ cần chứng minhE1(ψ1×Ps−1)(M)
được cho bởi
m{θs}(xi1 1 . . . xis−1 s−1)7→ X |θ00 s|>0 m⊗θs0(xi1 1 . . . xis−1 s−1)θs00(x−1s ).
Thật vậy, với một chu trình bất kỳx =m{θs}(xi1
1 . . . xis−1 s−1)∈B¯(E0M, E0Ps−1), ∂(x) =θs(m)⊗xi1 1 . . . xis−1 s−1 +m⊗θs(xi1 1 . . . xis−1 s−1) = 0.
Khi đó nghịch ảnh củaxdướiE0πs là
x0 =m{θs}(xi1 1 . . . xis−1 s−1x−1s ). Do đó, ∂(x0) =θs(m)⊗xi1 1 . . . xis−1 s−1x−1s +m⊗θs(xi1 1 . . . xis−1 s−1)x−1s + X |θs00|>0 m⊗θs0(xi1 1 . . . xis−1 s−1)θ00s(x−1s ) = X |θ00 s|>0 m⊗θ0s(xi1 1 . . . xis−1 s−1)θs00(x−1s ). (3.3) Mệnh đề đã được chứng minh.
Ví dụ 3.2.5. Với s = 1, biểu diễn của E2ψ1, E1ψ1 : E0
−p,qA → E−0p,q−1P1, với
p≥ 0, q > p, biến
{Ppi+1} 7→ Ppi+1(x−11 ) = x21i(2p+1−1)−1 = Sq2i. . . Sq2i+p−1x12i+p−1 ∈E−0p,q−1P1.
Các chu trình không tầm thường trong E0A có dạng {P1i} ∈ E0
0,2i. Như vậy
E2ψ1({P1i}) =x21i−1 ∈ E00,∗P1 = P1. Do đó,E2ψ1là một đẳng cấu.
Ví dụ 3.2.6. Vớis = 2, biểu diễn củaE2ψ2,E1ψ2 : E0A2 →E0P2, biến {Pi2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
j2|Pi1
j1} 7→E1ψ1({Pi1 j1})Pi2
j2(x−12 ) =x12i1(2j1−1)−1x22i2(2j2−1)−1. (3.4) Các chu trình không tầm thường trongE0A2có dạng{P1i|P1j}+{P1j|P1i},j > i+ 1và {Pji|Pji}.E1ψ2biến
{P1i|P1j}+{P1j|P1i} 7→ x12i−1x22j−1+x12j−1x22i−1,