TÍCH PHÂN BỘI BA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG VẬT LÝ

Do vậy,chúng ta nên tìm hiểu sâu hơn các khái niệm, cách tính tích phân bội ba trongcác hệ tọa độ và tìm hiểu về một số ứng dụng của nó.. Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoaToán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học,

các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, người đã

định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động viên tôi có thêm nghị lựchoàn thành khóa luận này

Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53ĐHSP Toán

Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạođiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận

Sơn la, tháng 5 năm 2016

Người thực hiện

Sinh viên: Trương Bá Hiệp

Mục lục

1.1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba 7

1.2 Định nghĩa tích phân bội ba 8

1.3 Điều kiện khả tích 9

1.4 Tính chất của tích phân bội ba 10

1.5 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes 13

1.5.1 Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật [a1 ; b 1] × [a 2 ; b 2] × [a 3 ; b 3] 13

1.5.2 Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong 14

1.6 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu 18

1.6.1 Công thức đổi biến số tổng quát 18

1.6.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ 20

1.6.3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu 22

2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ 25

2.1 Khối lượng vật thể 252.2 Trọng tâm vật thể 292.3 Mô men quán tính 33

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn khóa luận

Tích phân bội ba là một kiến thức quan trọng của Giải tích Toán học Nó cónhiều ứng dụng trong các môn khoa học tự nhiên, kể cả trong Vật lý Do vậy,chúng ta nên tìm hiểu sâu hơn các khái niệm, cách tính tích phân bội ba trongcác hệ tọa độ và tìm hiểu về một số ứng dụng của nó Xuất phát từ những lí

do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào tìm hiểu "Tích phân bội ba và một số ứng

dụng của nó trong Vật lý"

2 Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm

vi nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu đạt được những mục đích sau:

- Nghiên cứu tích phân bội ba và cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa

độ Đề các, hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Trình bày những ứng dụng cơ bản của tích phân bội ba trong Vật lý

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là Tích phân bội ba và một số ứngdụng của nó trong Vật lý

2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm đọc tài liệu và trình bày lạicác vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic Từ đó trình

bày một cách chi tiết về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vậtlý.

2.4 Phương pháp nghiên cứu

Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, tôi chọn phương phápsưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn Từ đó hệ thốnglại kiến thức theo nội dung của khóa luận

2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tích phân bội ba và một số ứng dụngcủa nó trong Vật lý, cụ thể trong việc: Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vậtthể, mô men quán tính

3 Cấu trúc khóa luận

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của khóa luận được sắp xếp nhưsau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nộidung khóa luận gồm hai chương

Chương 1 TÍCH PHÂN BỘI BA

Trình bày bài toán dẫn tới tích phân bội ba, định nghĩa tích phân bội ba,một số điều kiện khả tích của tích phân bội ba và cách tính tích phân bội batrong các hệ tọa độ: Đề các, trụ, cầu

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ

Trình bày một số ứng dụng của tích phân bội ba trong Vật lý: Dựa vàođịnh nghĩa tích phân bội ba đưa ra công thức tính khối lượng của vật thể,

trọng tâm của vật thể, mô men quán tính Bên cạnh đó có ví dụ minh họa chonhững ứng dụng đó.

4 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiếtkiến thức về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý Khóaluận là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán và cũng là tàiliệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc tạithư viện của nhà trường

Chương 1

TÍCH PHÂN BỘI BA

Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết mật độ(khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là ρ =ρ(P) = ρ(x, y, z) Ta chia V một cáchtùy ý thành n miếng nhỏ không dẫm lên nhau có thể tích là∆V1,∆V2,· · ·,∆Vn.Trong mỗi miếng thứ i lấy tùy ý một điểm Pi(xi, yi, zi), và gọi đường kính củamiếng là di

Ta có khối lượng xấp xỉ của vật thể là

Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn như vậy, nên ta đã dẫnđến định nghĩa toán học của tích phân bội ba.

Giả sử V ⊂R3 là một tập đóng, bị chặn và đo được giới nội trong khônggian Oxyz, f(x, y, z)là một hàm xác định trên V Ta thực hiện một phép phânhoạch T tùy ý, chia V ra thành hữu hạn các tập con V1, V2,· · ·, Vn sao chochúng không có điểm trong chung và có thể tích tương ứng∆V1,∆V2,· · ·,∆Vn.Trong mỗi một tập con đóng, ta lấy một điểm tùy ý Pi ∈ Vi và lập tổng tíchphân

của các tập con đó dần về không (λ(T) →0), mà tổng σn(f , T, Pi)dần tới mộtgiới hạn I∈ R duy nhất, không phụ thuộc vào các phép phân hoạch T, cũng

như không phụ thuộc vào cách chọn các điểm Pi ∈ Vi, thì I được gọi là tíchphân ba lớp của hàm f(x, y, z)lấy trên miền V, được ký hiệu là

ZZZ V

f(x, y, z)dV,

trong đó f là hàm số dưới dấu tích phân, dV là yếu tố thể tích, tức là

Định lý 1.3.3 Nếu hàm f(x, y, z)xác định, bị chặn trong miền đóng, đo được V và chỉ gián đoạn tại hữu hạn mặt nằm trong V, có diện tích bằng không thì nó khả tích trên miền đó.

Chia miền V bởi ba họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ, khi

đó dV=dxdydz và

ZZZ V

f(x, y, z)dV =

ZZZ V

f(x, y, z)dxdydz (1.3)

Định lý 1.4.1 Nếu f(x, y, z) ≡1 trên V thìRRR

Vdxdydz=V(V), V(V) là thể tích của V.

Định lý 1.4.2 Nếu chia miền V thành hai miền V1 và V2 bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa độ nào đó, thì

y=ρ1(x); y=ρ2(x); x=a; x=b

Một mặt phẳng song song với Oy,Oz có phương trình

x−c=0 hay x=c(a<c<b),

chia miền V thành hai miền V1, V2 ta có

#dx

#

dx+

b Z c

#dx

Vậy IV= IV1 +IV2

Định lý 1.4.3 Nếu các hàm f(x, y, z), g(x, y, z)liên tục trên V thì hàm f(x, y, z) +

g(x, y, z)}khả tích trên V và

ZZZ V

h

f(x, y, z) +g(x, y, z)idxdydz

=ZZZ V

f(x, y, z)dxdydz+

ZZZ V

g(x, y, z)dxdydz (1.5)

Chứng minh.Giả sử F(x, y, z) và G(x, y, z) lần lượt là nguyên hàm của hàm

f(x, y, z) và g(x, y, z) ( Cố định (x, y) ∈ D là hình chiếu của V trên Oxy) Taước lượng tích phân trong tích phân bội ba

IV=ZZ D



[F(x, y, z) +G(x, y, z)]

ψ2 ( x,y )

ψ1 ( x,y )



dxdy

D

[F(ψ2(x, y)) −F(ψ1(x, y))]dxdy+

D[G(ψ2(x, y)) −G(ψ1(x, y))]dxdy



G(x, y, z)

1 4

0

= 12

f(x, y, z)dxdydz,

trong đó hàm số f(x, y, z)liên tục trên V.

Ta muốn tính tích phân trong hệ tọa độ mới(u, v, w), qua phép đổi biến

trong V0

Khi đó ta có công thức

ZZZ V

D(x, y, z)

D(u, v, w)

dudvdw (1.12)

1.6.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

cosϕ −rsinϕ 0 sinϕ rcosϕ 0

=