Số học và tổ hợp trong cac kì thi

Lưu Giang Nam –1– c ⃝Diễn đàn Toán học TỔNG HỢP CÁC BÀI SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP TRONG CÁC KÌ OLYMPIC THI NĂM 2013-2014 Lưu Giang Nam Chuyên Toán, k20, Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau Lời nói đầu Trong kì thi Olympic Toán Việt Nam giớ Số học Tổ hợp phần quan trọng định giải cho hầu hết học sinh dự thi.Nếu hoc giỏi phần học sinh đạt thành tích cao kì thi Tuy nhiên phần khó học khó lấy điểm, nhiên sử dụng lại ý tưởng nhiều qua kì thi.Đây lợi cho học sinh học không tốt phần Bài viết tổng hợp Số học Tổ hợp qua kì thi HSG cấp năm 20132014 Phần giải lấy lại từ thành viên VMF đăng diễn đàn số tự giải Một số khó giải không không tìm thấy giải mạng nên để Tự làm Do làm thời gian ngắn nên có sai sót, hy vọng bạn tìm thấy tự sửa dùm Hy vọng viết giúp ích nhiều cho bạn trình học Số học, Tổ hợp thi HSG cấp Chúc bạn có kì thi học sinh giỏi tốt năm 2015 năm sau, đặc biệt xử lí gọn câu Số học câu Tổ hợp Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Ngày 24 tháng năm 2014 Mục lục Lời nói đầu Đề thi 2.1 Đề thi cấp tỉnh, thành phố kì thi phong trào 2.2 Đề thi quốc qia, quốc tế 14 Gợi ý giải 18 3.1 Gợi ý giải đề thi cấp tỉnh, thành phố kì thi phong trào 18 3.2 Gợi ý giải đề thi quốc qia, quốc tế 34 Phụ lục 45 4.1 Số học 45 4.2 Tổ hợp 45 Lưu Giang Nam 2.1 –3– c ⃝Diễn đàn Toán học Đề thi Đề thi cấp tỉnh, thành phố kì thi phong trào Bài Ta xếp hoán vị (1, 2, 3, , 2014) lên vòng tròn kí hiệu số a1 , a2 , a3 , , a2014 theo chiều kim đồng hồ Quy ước a1 = a2015 a0 = a2014 Gọi N số số ≤ i ≤ 2014 cho ai−1 > > ai+1 Tìm tất giá trị có N Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên, vòng Bài Cho 100 số nguyên dương không lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số chọn số có tổng 100 (Đề đề nghị duyên hải ĐBBB thpt chuyên Hưng Yên năm 2014 ) Bài Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013n − chia hết cho 22014 (Đề đề nghị duyên hải ĐBBB thpt chuyên Hưng Yên năm 2014 ) Bài Cho 10 số nguyên dương a1 , a2 , , ∑a1010 Chứng minh tồng số ci ∈ −1, 0, không đồng thời cho j=1 ci aj chia hết cho 1023 (Đề đề nghị duyên hải đbbb thpt chuyên bắc giang năm 2014 ) Bài Chứng minh từ 19 số tự nhiên tùy ý, tìm số cho hiệu bình phương chúng chia hết cho 36 (Đề chọn đội tuyển thi Trại hè Hùng Vương 2014 - Chuyên Yên Bái ) Bài Trên mặt phẳng có 25 điểm, điểm chúng thẳng hàng Tìm số màu k nhỏ cho ta tô màu tất đoạn thẳng nối hai điểm mặt phẳng k màu (mỗi đoạn thẳng tô màu) cạnh tam giác tạo điểm chúng tô hai màu (Đề đề nghị chọn HSG khu vực duyên hải ĐBBB chuyên Biên Hòa - Hà Nam) Bài Cho tập hợp S = 1, 2, 3, , 2014 Tìm số cách chọn từ tập S m số chẵn n số lẻ cho số vừa chọn, hai số đơn vị (Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên, Câu ngày 1) Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –4– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Bài Có tồn hay không tập hữu hạn điểm xanh đỏ mặt phẳng cho với đường tròn đơn vị có tâm điểm xanh có 10 điểm đỏ, số điểm xanh nhiều số điểm đỏ (Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên, Câu ngày 1) Bài Tìm số nguyên m, n thỏa mãn điều kiện 2n2 + 3|m2 − (Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên, Câu ngày 2) Bài 10 Tìm số nguyên dương k cho phương trình x2 + y + x + y = kxy có nghiệm nguyên dương (x, y) Đề thi thức Olympic 30-4 toán 10 lần thứ XX năm 2014, câu Bài 11 Cho trước số nguyên dương n ≥ Trong giải đấu cờ vua có 2n vận động viên tham gia, người đấu với người khác ván Tại thời điểm giải, người ta thấy có n2 + ván đấu diễn Chứng minh chọn ba vận động viên cho hai người ba người chọn thi đấu với Đề thi thức Olympic 30-4 toán 10 lần thứ XX năm 2014, câu Bài 12 Có n bạn nam n bạn nữ xếp thành hàng thẳng Chứng minh tổng khoảng cách hai bạn giới nhỏ tổng khoảng cách hai bạn khác giới Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014, câu Bài 13 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có 2011 chữ số có dạng a2011 a2010 a2 a1 thỏa mãn điều kiện ≡ i (mod 2) với i = 1, 2, , 2011 Tính số tất cặp số (x, y) với x, y ∈ Z, x < y chox + y chia hết cho 52011 Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013,trong GGTH 2013, câu 3, khối 11 Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –5– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Bài 14 Trong chương trình Gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng 673 tựa sách định tổ chức đăng ký mua sách cho thành viên tham gia Sau thu phiếu đăng ký, ban tổ chức phát điều thú vị sau: 1) Tất bạn đăng ký mua ba tựa sách 2) Hai bạn đăng ký mua giống tựa sách 3) Không có tựa sách tất thành viên đăng ký mua 4) Không có ba bạn mua ba tựa sách giống Chứng minh kỳ Gặp gỡ Toán học lần có nhiều 2011 bạn tham gia giao lưu học tập Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013,trong GGTH 2013, câu 4, khối 11 Bài 15 Tìm tất số nguyên dương n chẵn cho đặt an = 1 + + + 1!.(n − 1)! 3!.(n − 3)! (n − 1)!.1! phương trình 2xn = an (2yn + 1) có nghiệm nguyên dương (xn , yn ) Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013,trong GGTH 2013, câu 3, khối 12 Bài 16 Trong đất nước có 54 thành phố, thành phố có sân bay Giữa hai thành phố có đường bay nối trực tiếp chúng đường bay thuộc sỡ hữu hãng hàng không Biết có hãng hàng không hoạt động nước Chứng minh tồn hành trình bay vòng quanh số thành phố (lớn 2) cho tất đường bay hành trình thuộc sở hữu hãng hàng không Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013,trong GGTH 2013, câu 4, khối 12 Bài 17 a) CMR với số nguyên tố p p3 + p−1 tích số tự nhiên liên tiếp b) Cho số nguyên dương a, b cho ab số phương Chứng minh đa thức xa + xb + không chia hết cho đa thức x2 + x + Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển THPT Chuyên Hà Tĩnh 2013-2014, câu Bài 18 a) Tồn hay không số thực aij ∈ [0; 1] ∀i = 1, 2013, j = 1, 2014 thỏa mãn điều m ∑ m ∑ √ kiện 2014 aij = ∀m = 1, 2013, n = 1, 2014 ? mn i=1 i=1 b) Trên bàn cờ vua có số quân cờ Biết ô trống tổng số lượng quân cờ đứng hàng cột với ô không nhỏ Chứng minh bàn cờ có 32 quân cờ Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –6– c ⃝Diễn đàn Toán học Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển THPT Chuyên Hà Tĩnh 2013-2014, câu Bài 19 Tìm tất ba số (x, n, p) với x, n số nguyên dương p số nguyên tố thỏa mãn: x3 + 2x = 3(pn − 1) Đề thi Olympic chuyên KHTN 2014 Bài 20 Trong phòng thi có n ≥ thí sinh, xếp xung quanh bàn tròn Trong ngân hàng đề có loại đề khác , loại có nhiều n Một cách phát đề gọi hợp lệ thí sinh nhận đề hai thí sinh ngồi cạnh nhận loại đề khác Hỏi có nhiều thí sinh? Biết số cách phát đề hợp lệ không vượt 2013 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014, câu ngày Bài 21 Cho a, b ∈ N thỏa mãn ≤ a ≤ b đặt M = ⌊ a+b ⌋ Giả sử f : Z → Z hàm số cho f (n) = n + a n < M f (n) = n − b n ≥ M, ∀ n ∈ Z Đặt f (n) = f (n), f i+1 (n) = f (f i (n)) ∀ i > Tìm số k nhỏ cho f k (0) = Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014, câu ngày Bài 22 Cho p nguyên tố p ≡ (mod 4) Hãy tìm số dư phép chia (12 + 1)(22 + 1) · · · ((p − 1)2 + 1) cho p Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014, câu ngày Bài 23 Trong ô bảng 2013 × 2013 ta điền số thực đoạn [−1, 1] cho tổng số hình vuông × Tìm giá trị lớn tổng tất số bảng 2013 × 2013 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014, câu ngày Bài 24 Cho hai số tự nhiên m n cho m > n ≥ Biết hai chữ số tần 2014m với hai chữ số tận 2014n theo thứ tự Tìm số m n cho tổng m + n có giá trị nhỏ Đề thi thức Olympic 30-4 toán 11 lần thứ XX năm 2014, câu Bài 25 Cho đa giác đỉnh A1 A2 A9 Mỗi đỉnh đa giác có màu đỏ có màu xanh Chứng minh tồn hai tam giác phân biết có tất đỉnh đỉnh đa giác màu Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –7– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Đề thi thức Olympic 30-4 toán 11 lần thứ XX năm 2014, câu { n | m2 + Bài 26 Cho hai số nguyên dương lẻ m, n thỏa mãn m | n2 + 1) Tìm cặp gồm hai số nguyên dương (m, n) thỏa mãn điều kiện mà m, n > 10 m, n lẻ 2) Chứng minh 4mn | m2 + n2 + Đề thi HSG toán 10 tỉnh Đồng Nai 2013-2014, câu Bài 27 Với số nguyên dương n, xác định theo n số tất cặp thứ tự hai số nguyên dương (x, y) cho x2 − y = 100.302n Đồng thời chứng minh số cặp số phương CĐT Olympic toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM 2014,lần 3, câu Bài 28 Cho tập X gồm n phần tử Hỏi có thứ tự (A, B, C) với A, B, C tập X cho X = A ∪ B ∪ C CĐT Olympic toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM 2014,lần 3, câu Bài 29 Cho p số nguyên tố, n số nguyên dương a, b, c số nguyên thỏa mãn : an + pb = bn + pc = cn + pa Chứng minh a = b = c Đề thi đề nghị chọn HSG toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TPHCM 2013-2014, câu Bài 30 Giả sử S tập hợp có 2011 điểm mặt phẳng, hai điểm S cách đơn vị độ dài Chứng minh S có √ chứa tập T gồm 250 điểm mà hai điểm cách đoạn Đề thi đề nghị chọn HSG toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TPHCM 2013-2014, câu Bài 31 Trên mặt phẳng cho 2014 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện : với điểm ta tìm điểm thứ thẳng hàng với điểm chứng minh 2014 điểm cho thẳng hàng Chọn đội dự tuyển THPT Chuyên Quốc Học ngày ,năm 2013-2014, câu Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –8– c ⃝Diễn đàn Toán học Bài 32 Cơ sở liệu tạp chí thư viện Quốc Gia có 2016 loại khác Thư viện cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để khai thác sở liệu tạp chí Biết thư viện địa phương phép khai thác 1008 loại tạp chí khác thư viện địa phương có tối đa 504 loại tạp chí mà thư viện địa phương đc phép khai thác Chứng minh loại tạp chí sở liệu thư viện Quốc Gia mà 2013 thư viện địa phương khai thác Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014, câu vòng Bài 33 Với số nguyên dương k ta đặt f (k) = 6k + 9k + 10k + 15k Một cặp số nguyên dương (m; n) gọi cặp đôi hạnh phúc f (m) f (n) chia hết cho mn 1) Cho số nguyên lẻ m, n > (m, n) cặp đôi hạnh phúc Chứng minh 25|mn 125 ̸ |mn 2) Chứng minh tồn số nguyên dương k để (k, k) cặp đôi hạnh phúc phân tích k = pα1 pαr r α1 + + αn = 1911103 Ở p1 , p2 , , pr số nguyên tố đôi phân biệt α1 , αr số nguyên không âm Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014, câu vòng Bài 34 Cho đường gấp khúc khép kín không tự cắt, đường có 2013 cạnh Biết đường thẳng chứa cạnh đường gấp khúc nói đường đồng quy Chứng minh ta chọn từ đường gấp khúc cạnh cho đầu mút chúng đỉnh tứ giác lồi Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014, câu vòng Bài 35 Với x a hai số thực, ta nói số y số tương ứng với x để a nếu: y + x = a Cho tập hợp X = {x ∈ Z, −10 ≤ x ≤ 5} Gỉa sử x1 , x2 , x3 ba số thuộc tập X lập thành cấp số cộng với công sai d = đặt S = x1 + x2 + x3 Ký hiệu yi số tương ứng với xi để 9S, với i = 1, 2, Ký hiệu zi số tương ứng với yi để S , với i = 1, 2, Ký hiệu F = z1 +z2 +z3 , tìm giá trị lớn F KÌ THI CHỌN ĐỔI TUYỂN QUỐC GIA TỈNH CÀ MAU NĂM 2013 - 2014, câu Bài 36 Cho dãy số tự nhiện 1, 2, 3, , 2013(∗) có 2013 số B1 , B2 , , Bn bảng hình vuông kẻ ô, bảng Bk có k dòng k cột (k = 1, 2, , n) Viết số tự nhiên dãy (*) vào ô bảng nói thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) Mỗi số dãy (*) viết ô nhất; 2) Viết số vào ô B1 , viết số 2, 3, 4, vào ô B2 Sau viết đầy ô bảng Bk viết số dãy vào (*) vào ô bảng Bk+1 với k = 1, 2, , n − bảng Bn dừng lại sau ô viết số 2013 Tìm n tổng tất số viết bảng Bn Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –9– c ⃝Diễn đàn Toán học KÌ THI CHỌN ĐỔI TUYỂN QUỐC GIA TỈNH CÀ MAU NĂM 2013 - 2014, câu Bài 37 Cho số nguyên dương n, k, p với k ≥ k (p + 1) ≤ n Cho n điểm phân biệt nằm đường thẳng Tô n điểm màu xanh, đỏ (mỗi điểm tô màu) Tìm số cách tô màu khác nhau, cho đk đồng thời xảy ra: 1) Có k điểm tô màu xanh 2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có p điểm tô màu đỏ 3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối có p điểm tô màu đỏ (Hai cách tô màu gọi khác có điểm tô màu khác hai cách đó) Đề chọn đội tuyển Quảng Bình 2013-2014, câu Bài 38 Số nguyên dương x gọi số thú vị hai chữ số tận x x2 giống Ví dụ số 1, 25, 100 số thú vị Hỏi có số thú vị tập hợp tất số nguyên dương không lớn 2013? Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Đồng Tháp năm học 2013-2014, câu ngày Bài 39 CLB du khảo có n thành viên Năm ngoái CLB tổ chức chuyến du khảo, chuyến có thành viên tham dự Một thành viên CLB nhận xét hai chuyến du khảo có không hai thành viên chung Hỏi CLB có thành viên? Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Đồng Tháp năm học 2013-2014, câu ngày Bài 40 Có hoán vị dãy (2; 4; 1; 0; 2; 0; 1; 3) thỏa mãn chữ số giống không đứng kề Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Quảng Ninh năm học 2013-2014, câu Bài 41 Trong hội nghị khoa học có 5000 đại biểu tham dự, đại biểu biết thứ tiếng Một uỷ ban gồm số đại biểu gọi uỷ ban làm việc tất thành viên uỷ ban biết chung thứ tiếng gọi uỷ ban thách thức hai thành viên uỷ ban biết chung thứ tiếng (uỷ ban gồm thành viên; uỷ ban gọi làm việc được, thách thức được) Chứng minh chia đại biểu thành 100 uỷ ban rời (mỗi đại biểu thuộc uỷ ban) cho uỷ ban uỷ ban làm việc uỷ ban thách thức Đề thi chọn đội tuyển toán trường PTNK năm 2013-2014, ngày , câu Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –10– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Bài 42 Cho n số nguyên dương A tập khác rỗng X = {1, 2, , n} Tính giá ∑ |E∪A| (−1) , E lấy tất tập X (kể trị tổng S(A) = E⊂X tập rỗng) Cho m ∈ N∗ , xét m tập khác rỗng X A1 , A2 , , Am m số nguyên khác a1 , a2 , , am + a2 + · · · + am < Chứng minh tồn ∑ cho a|E∪A| tập E X cho (−1) > (Ký hiệu |A| số phần tử E⊂X tập hợp A, số phần tử tập rỗng 0) Đề thi chọn đội tuyển toán trường PTNK năm 2013-2014, ngày , câu Bài 43 Cho 10 số nguyên dương a1 , a2 , , a10 Chứng minh tồn số xi ∈ {−1; 0; 1} ∑10 không đồng thời với i = 1, 2, , 10 cho số i=1 xi chia hết cho 1023 Yên Bái TST, ngày Bài 44 a) Cho dãy số: 1, 101, 10101, 1010101, Tìm số hạng dãy số nguyên tố b) Hoàng tử muốn cứu công chúa khỏi rồng có 100 đầu Hoàng tử có kiếm Nếu dùng kiếm thứ lần chặt 21 đầu Nếu dùng kiếm thứ hai lần chặt đầu rồng lại mọc lên 2014 đầu khác Hoàng tử cứu công chúa toàn số đầu rồng bị chặt hết Hỏi với hai kiếm hoàng tử cứu công chúa hay không? Vì sao? Yên Bái TST, ngày Bài 45 Tìm tất số nguyên dương n có 12 ước nguyên dương d1 , d2 , , d12 thoả mãn điều kiện sau: i)1 = d1 < d2 < < d11 < d12 = n, ii)dd4 −1 = d8 (d1 + d2 + d4 ) Bài 46 Người ta xếp 2014 bóng đèn bật sáng thành hàng dài, từ trái sang phải Hai người thực trò chơi sau: Lần lượt người chọn tuỳ ý bóng đèn liên tiếp, bóng đèn bên trái bóng đèn chọn phải sáng thay đổi trạng thái bóng đèn (từ sáng thành tắt từ tắt thành sáng) Ai thực thua Chứng minh đến lúc trò chơi phải kết thúc có chơi người thua Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014, câu Bài 47 Tìm số thực p, q cho phương trình x2 + px + = x2 + qx + = có nghiệm chunng A = 2|p| + 3|q| nhỏ Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –31– c ⃝Diễn đàn Toán học Vậy có viên bi thoả yêu cầu đề Đến ta phản chứng Giả sử có s (t, k) >∑ Vì cột có it viên bi s (i, j) > nên ta suy at > m (vô lí) Suy đpcm Bài 51 Hiển nhiên x = thỏa mãn y = Nếu x = −1 với y Kết luận (x, y) = (0, 0), (−1, n) với n nguyên dương tùy ý Bài 52 Bạn đầu, đặt P nằm 2014 giác Ta xét thuật toán sau: Mỗi lần thực cho P "nhảy" qua cạnh (hoặc đường chéo) đa giác Ta thấy qua số bước thực thuật toán, ta có điểm P xác định Xét bước P "nhảy" qua AB Gọi k số tam giác có điểm A,B chứa P Khi đó, sau thực bước này, số tam giác chứa P tăng lên 2012 − k − k = 2012 − 2k Suy tính chẵn lẻ số tam giác chứa P không đổi Mặt khác, số tam giác lúc chưa thực thuật toán 0, số tam giác chứa P chẵn Bài 53 Xét luỹ thừa số 2: Ta có: max {v2 (a) , v2 (b) , v2 (c)} = Áp dụng nguyên lí bao hàm loại trừ ta kết là:3.42 − 3.4 + = 43 − 33 Làm tương tự với lũy thừa số 3, 5, ta (43 − 33 ) (63 − 53 ) (83 − 73 ) (123 − 113 ) (a, b, c) có tính thứ tự Bài 54 Ta chia TH: *) x = y , TH ta nghiệm x = y = *) x ̸= y Đặt d = (x, y) => x = dx1 , y = dy1 Chú ý x3 + y = (x + y)(x + y)2 − 3xy(x + y) nên x3 + y − x2 y (x + y)2 xy(3x + 3y + xy) ∈ N (x + y)2 dx1 y2 (3x1 + 3y1 + dx1 y1 ) Hay ∈ N (x1 + y1 )2 Gọi p ước nguyên tố d Nếu số mũ p (x1 + y1 )2 lớn d vô lí (x1 , x1 + y1 ) = (y1 , x1 + y1 ) = 1, dẫn đến số mũ p mẫu lớn tử biểu thức (*) Cụ thể vp (dx1 y1 (3x1 + 3y1 + dx1 y1 )) = vp (d) + vp (d) < vp (x + y)2 Từ suy (x1 + y1 ) | d Ta có x3 + y − x2 y = d3 (x31 + y13 − dx21 y12 ) Mà x31 + y13 = (x1 + y1 )(x21 + y12 − x1 y1 ) < dx21 y12 hay nói cách khác x3 + y − x2 y < 0, không thỏa mãn Vậy TH gt thỏa Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –32– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Vậy cặp (x, y) thỏa mãn (2, 2) ( ) ( ) 1 Bài 55 Xét tích: A = + +1 2013 Sau thực phép biến đổi, ta có tích không đổi Vậy số cuối sau 2012 lần biến đổi là: ( ) ( ) 1 + + − = 2013 2013 Bài 56 Bổ đề: số cách tô màu cho đa giác 12 cạnh cho mẫu đơn sắc 906 Xét đa giác 12 cạnh: Ta cần đếm số cách tô màu tam giác tứ giác màu (có tam giác tứ giác đều) Có 64 cách tô cho tam giác màu Xét cách tô cho có tứ giác màu: Có × × 34 cách tô Xét cách tô cho có tứ giác màu: Có × (2 + × 24 ) cách tô Xét cách tô cho có tứ giác màu: Có cách tô Theo nguyên lí bù trừ ta có tổng cộng 906 cách tô Quay lại toán: Ta nhận thấy số cách tô màu 24-giác cho mẫu đơn sắc cungx số cách tô màu 12-giác mẫu đơn sắc tạo 24 đỉnh trên: 9062 cách tô (áp dụng bổ đề trên) Bài 57 Ta CM k ≤ n (n + 1) Xét k ≤ n (n + 1) Ta tô màu sau: Ở hàng ta tô ô thứ 1, 3, 5, , 2n + Ở hàng ta tô ô thứ 1, 3, 5, , 2n + Ở hàng 2n-1 ta tô ô thứ 1, 3, 5, , 2n + Ta CM k < n2 + n + quy nạp Xét n = 1: dễ dàng suy đpcm Giả sử BĐT với n = i Xét n = i + 1: Ta chia bảng thành phần: 2i × (2i + 1), × 2i, × (2i + 1), × Dễ dàng thấy bảng 2i × (2i + 1) số ô tô màu bé i2 + i + 1, bảng × 2i số ô tô màu bé i,bảng × (2i + 1) số ô tô màu bé i + 1, bảng × số ô tô màu bé Suy k < (i + 1)2 + (i + 1) + Suy đpcm Vậy maxk = n (n + 1) Bài 58 Giả sử số a1 < a2 < < a3 Xét 20 số hạng tồn số có chữ số tận có Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –33– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học số có chữ số hàng chục khác Gọi số n Xét 19 số n + 1, n + 2, , n + 19, ta có: S (n + i) = S (n) + i với i = 1, , Và S (n + 19) = S (n) + 10 Ta có dãy số S (n) + 1, , S (n) + 10 Theo nguyên tắc Dirichlet số sau phải chia hết cho 11, suy đpcm Bài 59 Gọi tập ∩ hợp người đọc ngày thứ i Ai Bổ đề: 30 i=1 Ai = Xét tập A1 : Gọi a phần tử A1 thuộc nhiều tập Số tập hợp mà a thuộc lớn Gọi tập hợp chứa a A′1 , , A′m (m ≥ 6) Giả sử tồn tập B phần tử a Mà |B| = nên theo nguyên tắc Dirichlet, có tập A′i , A′j cho B ∩ A′i ∩ A′j = Mà A′i ∩ A′j = a nên a ∈ B(vô lí) ∩ Suy 30 i=1 Ai = {a} (đpcm) Quay lại ∩30 toán: ∪ Vì i=1 Ai = nên dễ dàng thấy 30 i=1 Ai = 30.4 + = 121 Bài 60 Gọi a1 , a2 , số bảng Xét tích sau: A = (a1 + 1) (a2 + 1) (an + 1) Nhận xét: Mọi số + có dạng 2k Mặt khác, 2509 + 20132014 + dạng nên xuất hiện, suy đpcm Bài 61 Chuyển toán dạng hình học, 18 người biểu diễn thành 18 điểm, nối điểm lại với Đoạn thẳng tô màu xanh người hai đầu mút quen mau đỏ họ không quen Ta chứng minh tồn từ giác mà cạnh đường chéo tô màu Chứng minh: Một điểm M nối với 17 điểm lại tạo thành 17 đoạn thẳng, theo nguyên lí đi-rích-lê, tồn cạnh màu, giả sử màu xanh Xét điểm khác M đầu mút đoạn thẳng xanh kẻ từ M Nếu tồn tam giác có cạnh màu xanh tam giác tạo với đỉnh M tứ giác thỏa ycđb Nếu tam giác có cạnh mau xanh: Nếu tồn điểm A cho từ điểm xuất phát đoạn thẳng màu xanh (giả sử AB, AC, AD, AE) toán chứng minh Nếu điểm điểm đầu mút nhiều đoạn xanh, ta thấy xảy trường hợp điểm đầu mút đoạn xanh 9×3 không số nguyên số đoạn thẳng xanh Như tồn điểm cho đầu mút nhiều đoạn thẳng Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –34– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học xanh, đồng nghĩa với đầu mút đoạn đỏ Giả sử đoạn AB,AC,AD,AE,AF,AG Theo toán quen thuộc ta có tam giác có cạnh màu, giả sử BCD mà tam giác phải có đoạn đỏ nên BCD có cạnh màu từ suy ABCD tứ giác thỏa ycđb Bài 62 Tự làm Bài 63 Ta đếm số (x1 , x2 , , xi ) thỏa x1 = a Với xi , i = 2, n có cách chọn nên số có 2n−1 Đặt an số dãy thỏa x1 = xn = a; bn số dãy thỏa xn = b x1 = 1, cn số dãy thỏa xn = c x1 = Khi dễ có ctth: an+1 = bn + cn an + bn + cn = 2n−1 (n ≥ 3) Từ đây, ta ctth:an + an+1 = 2n−1 với an số dãy thỏa ycđb, n ≥ 3.2 Gợi ý giải đề thi quốc qia, quốc tế Bài Ta cần CM tồn n cho: Với n ≥ đặt bn = n−1 ∑ n−1 ∑ n ∑ i=0 i=0 (an −ai )−an < (an+1 −ai )−an+1 ≥ (an − ) − an , ta có b1 = −a0 < nên cần CM (bn ) i=0 tăng không bị chặn xong Ta thấy bn+1 − bn = n(an+1 − an ) ≥ n ∈ Z+ nên ta có đpcm √ Bài k tốt n − √ Với k = n − để chứng minh tồn hình kxk ô vuông cần dùng Dirichlet cho hcn đứng nxk Khi có k cột nên có k ô nhỏ đc đánh dấu Theo dirichlet có ô có hiệu tọa độ đứng √ không nhỏ k + Suy tồn hình kxk không chứa ô Với k = n − + ta cách đánh dấu ô vuông nhỏ cho không thỏa mãn Đánh số tọa độ ô từ đến n Giả sử n = k.m + t Khi ta đánh số ô ntn (i; (i − 1)k + 1) với i chạy từ đến m ((i − 1)k + 1; i) Tức ta chia hình nxn thành hình kxk, sau đánh dấu hình kxk chứa hình (k − m)x(k − m) mà hàng cột lớn chứa ô hình chưa có ô đánh dấu Ta lại dùng đánh dấu tương tự trên, làm bước đánh dấu k.m ô cuối hình txt góc phải ta đánh dấu theo đường chéo hv để có thêm t ô đánh dấu hoàn thành n ô Có thể bạn vẽ thấy ý tưởng đánh dấu nêu ý tưởng đánh dấu vậy, có sai sót không, mong có bạn thể cách rõ ràng Và dựa theo cách đánh số với ô (x, y) không đánh dấu tồn ô (x1 , y1 ) mà |x − x1 | < k |y − y1 | < k Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –35– c ⃝Diễn đàn Toán học Bài Giả sử n số nhỏ mà mệnh đề không đúng, tức tồn số đồng tiền có tổng mệnh giá không n-1/2 không chia thành n nhóm, nhóm có tổng mệnh giá không Khi tất phản ví dụ với giá trị n này, ta chọn phản ví dụ với số lượng tiền nhỏ Gọi m đồng tiền nhẹ Theo tính nhỏ nhất, ta chia đồng tiền lại thành n nhóm, nhóm không vượt lại lớn 1-m (vì có nhóm n(1-m) + m, suy m > 1/(2n-2) Tiếp theo, có đồng tiền mệnh giá 1/2k ta thay đồng tiền mệnh giá 1/k trái với tính nhỏ số đồng tiền Tương tự, có p đồng tiền mệnh giá 1/p ta bỏ p đồng tiền Nhóm lại chia thành n-1 nhóm, nhóm có tổng mệnh giá không vượt (nếu chia đồng tiền cũ chia được) Mâu thuẫn với tính nhỏ n Vậy tổng mệnh giá đồng tiền nhỏ hơn: 1 1 1 1 1 1 2n − 3 + + + + + + + + ++ + + < + + + + = n− 3 5 5 2n − 2 2n − phản ví dụ cho n − 1, mâu thuẫn Bài Tham khảo giải ( Có thể vào artofproblemsolving.com/Forum/ xem đáp án) Bài Trong toán cho, ta thấy hoành độ tung độ hoàn toàn độc lập với nên để dễ hình dung, xét riêng thành phần hoành độ Trước hết, ta viết số từ −20 đến 20 (bỏ số ra) thành dãy mà liền sau số x số 2x theo mod 41 Khi đó, ta dãy bên dưới: A : 1, 2, 4, 8, 16, −9, −18, 5, 10, 20, −1, −2, −4, −8, −16, 9, 18, −5, −10, −20, B : 3, 6, 12, −17, 7, 14, −13, 15, −11, 19, −3, −6, −12, 17, −7, −14, 13, −15, 11, −19, Tô màu số dãy cho số đối có số tô màu Ta quan tâm đến số lượng cặp số liên tiếp tô màu dãy Do có lặp lại dãy nên để dễ hình dung, ta chuyển thành vòng tròn phát biểu lại toán sau: Cho 20 điểm chia đường tròn cho điểm đối xứng qua tâm có đỉnh tô màu Tính số cặp đỉnh liên tiếp tô màu có Xét trường hợp số đỉnh chẵn nhỏ hơn: - Đa giác đỉnh: cặp - Đa giác đỉnh: 0-2 cặp - Đa giác đỉnh: 1-3 cặp - Đa giác 10 đỉnh: 0-2-4 cặp Như thế, dự đoán tổng quát là: Với n số chẵn, gọi Sn tập hợp số cặp kề tô màu có đa giác có n đỉnh thì:S4n = {2k + 1|0 ≤ k ≤ n − 1} S4n−2 = {2k|0 ≤ k ≤ n − 1} Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –36– c ⃝Diễn đàn Toán học Điều chứng minh quy nạp sau: - Với n = nhận xét - Giả sử đến n Xét đa giác có 4n + đỉnh Đa giác tạo thành cách thêm đỉnh A vào hai đỉnh thứ 2n, 2n+1 thêm đỉnh B vào hai đỉnh thứ 4n, Ta xét trường hợp: - Nếu đỉnh 2n 2n + tô A không tô tương ứng: đỉnh 4n, không tô B tô Số cặp kề tô giảm - Nếu đỉnh 2n 2n + tô A tô tương ứng: đỉnh 4n, không tô B không tô Số cặp kề tăng lên - Nếu hai đỉnh 2n 2n + 1, có đỉnh tô A tô tương ứng: hai đỉnh 4n, có đỉnh tô B không tô Số cặp kề tăng lên - Nếu hai đỉnh 2n 2n + 1, có đỉnh tô A không tô tương ứng: hai đỉnh 4n, có đỉnh tô B tô Số cặp kề tăng lên Do đó, S4n+2 = {x ± 1|x ∈ S4n } hay S4n+2 = {2k|0 ≤ k ≤ n} Tương tự, ta có S4n+4 = {x ± 1|x ∈ S4n+2 } Tất nhiên không xảy trường hợp S4n+4 có chứa số −1 để có trường hợp cặp số 4n + 2, đỉnh phải tô xen kẽ trường hợp giảm số không xảy ra, suy S4n+4 = {2k + 1|0 ≤ k ≤ n} Nhận xét chứng minh Từ suy S20 = {1, 3, 5, 7, 9} Do đó, kết cho toán phụ 2S20 với định nghĩa 2S = S+S = {a+b|a, b ∈ S} Quay trở lại toán ban đầu, để chuyển từ thành phần x thành thành phần (x, y), ta hình dung sau: Ứng với vòng tròn chứa số thuộc dãy A, ta lấy vòng tròn gồm số thuộc dãy A đặt lên cho số thuộc đường tròn cũ khớp với số thuộc đường tròn Viết cặp số khớp thành dãy, dãy dãy tọa độ điểm mà liền sau (x1 , y1 ) (2x1 , 2y1 ) theo mod 41 Dễ thấy có tất 20 cách ghép (cố định vòng tròn cũ xoay vòng tròn mới) Tương tự với việc ghép dãy A − B, B − A B − B nên có tổng cộng 80 cách ghép tạo thành 80 dãy Tuy nhiên, ta xét thêm dãy đặc biệt, tương ứng với điểm nằm trục tung trục hoành Cụ thể xét thêm dãy C gồm 20 số xét cách ghép: A − C, C − A, B − C, C − B Do đó, tổng cộng có 84 dãy tọa độ Theo chứng minh dãy, số cặp có S20 nên đáp số toán 84S20 , số chẵn từ 84 đến · 84 Bài toán đến kết thúc Ta thử đặt vấn đề trường hợp thay 20 41 số khác Chẳng hạn thay 41 11 thay có 84 dãy mà dãy độ dài 20, ta có đến 168 dãy mà dãy có độ dài 10 Đáp số 168S10 Bài Hướng dẫn: 1) Trong hình kích thước 2m + 1, 2n + 1, 2p + ô góc ô trung tâm có số 2) Hai ô thuộc "mặt phẳng", cách 2m ô có số (vì chúng đỉnh hình kích thước 2m + 1, 2n + 1, 2p + 1) Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –37– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học 3, Như hai ô thuộc "mặt phẳng", cách 2d = 2gcd(m, n, p) ô có số Bài a Ta định nghĩa nhóm đỉnh xanh dãy đỉnh xanh liên tiếp đường tròn bị chặn hai đầu màu đỏ Tương tự với nhóm đỉnh đỏ Rõ ràng số nhóm đỉnh xanh phải số nhóm đỉnh đỏ Đặt nhóm lượng đỉnh đỏ r1 , r2 , , rk số lượng đỉnh nhóm xanh b1 , b2 , , bk Hơn nữa, nhóm có kích thước t số cặp đỉnh màu t − k k ∑ ∑ Khi đó, ta có A = (ri − 1) B = (bi − 1) i=1 Ngoài ra, ta có: k ∑ i=1 ri = 79, k ∑ i=1 bi = 24 i=1 Từ suy A = 79 − k B = 24 − k Ta cần có ≤ k ≤ 24 dễ dàng suy có 24 cặp cặp (A, B) có dạng (A, B) = (79 − k, 24 − k) với k = 1, 2, 3, , 24 b Theo câu a với B = 14, ta tìm số nhóm k = 24 − 14 = 10 Khi đó, ta có b1 + b2 + + b10 = 24 r1 + r2 + + r10 = 79 Ta thấy ứng với (b1 , b2 , , b10 ) (r1 , r2 , , r10 ) nghiệm nguyên dương hai phương trình có cách tô thỏa mãn đề 9 Do đó, theo toán chia kẹo Euler, số cách tô cần tìm C23 C78 Bài Xét trường hợp : Trường hợp 1: có số Ta suy ra: i) Có số ii) Có số Suy nghiệm Trường hợp 2: số Ta đưa Toán số nguyên , tiếp tục Gọi số∏đó x1 , , x2014 Đặt P = 2014 i=1 xi (1) (1) P Ta thấy xi số lập phương , thế: ∃n1 ∈ N, xk : xi = n1 [xk ]3 Tiếp theo lùi vô hạn Dễ thấy việc lùi vô hạn dừng lại tất số đều mang giá trị −1 Bài Có thể dễ dàng nhận thấy dạng sử dụng quy nạp, ta quy nạp the0 k Ta có khẳng định đề với k = n ∈ N∗ (Chọn m1 = n) Giả sử khẳng định đến k ∀n ∈ N∗ Ta chứng minh khẳng định với k + Thật để có điều ta chứng minh điều : Nếu đề với (k; n) với (k + 1; 2n) với (k + 1; 2n − 1) +) Cm Nếu đề với (k; n) với (k + 1; 2n) : ( )( ) ( ) 1 2k − = 1+ 1+ + 1+ n m1 m2 mk Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –38– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học )( ) ( ) ( 1 2k+1 − 1 ⇔1+ − = 1+ 1+ + 2n 2n m1 m2 mk ( ) ( ) ( ) 2k+1 − 1 1 ⇔1+ = 1+ 1+ + + 2n m1 m2 mk 2n Mặt khác : ( )( ) ( ) 1 1+ 1+ + m1 m2 mk ( )( ) ( ) 1 1 ⇒ = 1+ 1+ + 2n 2(2k + n − 1) m1 m2 mk 2k + n − = n Vậy nên: )( ) ( ) )( ) ( ( ( 1 1 1 1+ + + k 1+ 1+ + 1+ m1 m2 mk 2(2 + n − 1) m1 m2 )( ) ( )( ) ( 1 1 = 1+ 1+ + 1+ m1 m2 mk 2(2k + n − 1) 2k+1 − 1+ = 2n Chọn mk+1 = 2(2k + n − 1) ta có đpcm +) Cm Nếu đề với (k; n) với (k + 1; 2n − 1) : ( )( ) ( ) 2k − 1 1 1+ = 1+ 1+ + n m1 m2 mk ( )( ) ( ) 2k+1 − n + 2k − 1 1 ⇔1+ − = 1+ 1+ + 2n − n(2n − 1) m1 m2 mk ( ) ( ) ( ) 2k+1 − 1 1 n + 2k − ⇔1+ = 1+ 1+ + + 2n − m1 m2 mk n(2n − 1) Mà: ( )( ) ( ) n + 2k − 1 1 = 1+ 1+ + n(2n − 1) 2n − m1 m2 mk Suy : 2k+1 − 1+ = 2n − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1+ 1+ + + 1+ 1+ + m1 m2 mk 2n − m1 m2 mk )( ) ( ) ( ( ) 1 1 1+ + 1+ = 1+ m1 m2 mk 2n − Chọn mk+1 = 2n − ta có đpcm Vậy lời giải hoàn tất (the0 nguyên lý quy nạp) ⌊ ⌋ 2013 + 2014 Bài 10 Dự đoán , cần cm thỏa mãn, quy nạp, ⌋ ⌊ 2013 + 2014 nhỏ cm Thật xét cấu hình 2013 + 2014 đỉnh sau: Cho tất 2013 + 2013 đỉnh Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –39– c ⃝Diễn đàn Toán học đỏ xanh lên đường tròn , cách nhau, cho điểm xanh lại có điểm đỏ đối xứng với qua tâm, xanh đỏ xen kẽ Như lấp đủ 2013 + 2013 đỉnh, thừa đỉnh xanh ta cho tùy ý vào vị trí hai đỉnh kề ⌋ dễ thấy ba điểm ⌊ cấu hình trên, 2013 + 2014 thẳng hàng, số đường , cm số thỏa mãn xong Bài 11 Bổ đề: Giả sử có cách đánh số cho a0 = 0, a1 = a, an = n ta phải có (a, n) = ak ≡ ka (mod n) cách đánh số Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k ak ≡ ka (mod n) Ta có a1 = a, nên khẳng định với k = Ta chứng minh với k + Giả sử ak+1 = x ̸= (k + 1)a (mod n) ta xét trường hợp sau: Th1: x > a, ta phải có x−a phải thuộc tập {a1 , , ak } hay x−a ≡ la (mod n) với ≤ l ≤ k, mà ak+1 ̸= la (mod n) với ≤ l ≤ k nên vô lý Th2: x < a, ta có n − a + x < n dễ thấy (n − a + x + a) = x + n nên ta phải có n − a + x xuất trước x, hay n − a + x = la(modn) với ≤ l ≤ n, suy x ≡ (l + 1)(modn) (mâu thuẫn) Từ điều ta dễ thấy phải có (a, n) = Vậy bổ đề chứng minh Trở lại toán: Với cách đánh số thỏa mãn toán đặt a0 = 0, a1 = a, an = b Giả sử a < b (trường hợp a > b tương tự) Nếu b = n theo bổ đề ta có (a, n) = với cặp (a, n) = có cách đánh số thỏa mãn Nếu b < n, dễ thấy ta phải có a + b > n Do gs b > a nên ta có L = n − b < a Ta bỏ L < a số b + 1, n, ta thu cách đánh số thỏa mãn với cặp đỉnh kề a b max b Theo bổ đề ta có cách đánh số thỏa mản với (a, b) = 0, a (mod b), 2a (mod b), , b − a (mod b), b Bây ta chèn lại số b + 1, n vào cách đánh số Dễ thấy số 1, 2, , L liền sau số b − a + 1, b − a + 2, , b − a + L (chú ý l ≤ n − b = L < a hiệu hai số liền cách đánh số cho (a, b) = a a − b) Đến ta phải chèn số b + vào b − a + l Cách chèn Mặt khác chứng minh cách chèn lại số b + 1, , n thu cách đánh số thỏa mãn với n số Tổng hợp ta có số cách đánh số thỏa mãn số (a, b) = mà a + b > n ∑ n, ≤ a, b ≤ n Dễ dàng chứng minh số = + φ(k) ĐPCM k=2 Bài 12 Ta chứng minh 2013 đường thẳng đủ Nhìn vào kiện toán nghĩ đến chứng minh quy nạp với N điểm đỏ N + điểm xanh Với N + dễ thấy đường thẳng đủ Ta xét với N Nếu N chẵn N đường thẳng đủ (xét cặp đường thẳng song song chứa điểm đỏ) Với N lẻ, xét bao lồi 2N + điểm đa giác ≥ cạnh Nếu bao lồi có chứa điểm đỏ, ta dùng đường thẳng chia đôi mặt phẳng, phần chứa điểm đỏ phần lại chứa N − đỏ N + xanh Ta thấy với N − đường thẳng đủ cho phần mp Vậy ta có N đường Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –40– c ⃝Diễn đàn Toán học thẳng đủ Nếu bao lồi không chứa điểm đỏ nào, có hai điểm xanh mà với đường thẳng ta chia thành hai phần, phần chứa điểm xanh phần chứa N − điểm xanh N điểm đỏ Đến dùng giả thiết quy nạp ta N − đường thẳng đủ cho phần mặt phẳng Do N đường thẳng đủ Vậy ta kết luận N đường thẳng đủ Bây ta cần trường hợp mà N đường thẳng cần Thật với bao lồi gồm N điểm xanh N điểm đỏ xen kẽ Khi cạnh có hai đỉnh khác màu bao lồi phải bị cắt đường thẳng Vì có 2N cạnh đường thẳng cắt không cạnh nên phải cần N đường thẳng ĐPCM Bài 13 Bổ đề: Giả sử có cách đánh số cho a0 = 0, a1 = a, an = n ta phải có (a, n) = vàak ≡ ka (mod n) cách đánh số Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k ak ≡ ka (mod n) Ta có a1 = a, nên khẳng định với k = Ta chứng minh với k + Giả sử ak+1 = x ̸= (k + 1)a (mod n) ta xét trường hợp sau: Th1: x > a, ta phải có x−a phải thuộc tập {a1 , , ak } hay x−a ≡ la (mod n) với ≤ l ≤ k, mà ak+1 ̸= la (mod n) với ≤ l ≤ k nên vô lý Th2: x < a, ta có n − a + x < n dể thấy (n − a + x + a) = x + nnên ta phải có n − a + x xuất trước x, hay n − a + x = la (mod n) với ≤ l ≤ n, suy x ≡ (l + 1) (mod n) (mâu thuẫn) Từ điều ta dễ thấy phải có (a, n) = Vậy bổ đề chứng minh Trở lại toán: Với cách đánh số thỏa mãn toán đặt a0 = 0, a1 = a, an = b Giả sử a < b (trường hợp a > b tương tự) Nếu b = n theo bổ đề ta có (a, n) = với cặp (a, n) = có cách đánh số thỏa mãn Nếu b < n,dễ thấy ta phải có a + b > n Do giả sử b > a nên ta có L = n − b < a Ta bỏ L < a số b + 1, n,khi thu cách đánh số thỏa mãn với cặp đỉnh kề a b] max b Theo bổ đề ta có cách đánh số thỏa mãn với (a, b) = 0, a (mod b), 2a (mod b), , b − a (mod b), b Bây ta chèn lại số b + 1, n vào cách đánh số Dễ thấy số 1, 2, , L liền sau số b − a + 1, b − a + 2, , b − a + L (chú ý l ≤ n − b = L < a hiệu hai số liền cách đánh số cho (a, b) = a a − b) Đến ta phải chèn số b + vào b − a + l Cách chèn Mặt khác chứng minh cách chèn lại số b + 1, , n thu cách đánh số thỏa mãn với n số Tổng hợp ta có số cách đánh số thỏa mãn số (a, b) = mà a + b > n ∑ n, ≤ a, b ≤ n Dễ dàng chứng minh số = + φ(k) ĐPCM k=2 Bài 14 ĐK1: a2 b + a a2 + b ⇔ b(a2 + b) − b2 + a a2 + b ⇔ a − b2 a2 + b ĐK2: Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –41– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học ab2 + b b2 − a ⇔ a(b2 − a) + a2 + b b2 − a ⇔ a2 + b b2 − a Ta có TH: TH1: a2 + b = b2 − a ⇔ a2 + a = b2 − b ⇔ 4a2 + 4a + = 4b2 − 4b + ⇔ (2a + 1)2 = (2b − 1)2 ⇔ a + = bhoca = −b TH2: a2 +b = a−b2 ⇔ a2 −a = −b2 −b ⇔ 4a2 −4a+1 = −4b2 −4b−1+2 ⇔ (2a−1)2 = −(2b+1)2 +2 Đoạn lại người làm Bài 15 Ta thấy 5q ≡ 0(mod5) ⇒ 3p4 − 4r2 ≡ 26 ≡ 1(mod5) +)Nếu p, r không chia hết cho 3p4 ≡ 3(mod5), 4r2 ≡ 4; 1(mod5) ⇒ 3p4 − 4r2 ≡ −1; 2(mod5) Suy phải có số chia hết cho mà p, q, r số nguyên tố nên p, r có số +)Nếu p = ⇒ 5q + 4r2 = 1849 ⇒ q = 3, r = 19 +)Nếu r = ⇒ 3p4 −5q = 126 ⇒ 3p4 = 5q +126 loại 3q ≡ 3(mod5), 126+5r4 ≡ 1(mod5) Vậy p = 5, q = 3, r = 19 Bài 16 Thực chất yêu cầu toán tìm số trung điểm n điểm mặt phẳng Thoạt đầu ta nghĩ điểm cho ta trung điểm,nhưng lại có hình bình hành(2 đoạn chung giao điểm).Điểm mấu chốt toán Vì có n điểm nên theo nguyên tắc cực hạn tồn điểm có khoảng cách cực đại.Giả sử AB max Ta chứng minh trung điểm sau phân biệt: +,trung điểm M AB +,trung điểm AX +,trung điểm BX +.trung điểm AY +,trung điểm BY (với X,Y điểm phân biệt khác A,B n-2 điểm lại) Hiển nhiên thấy trung điểm AX,AB,BX đôi phân biệt(vì trùng A,X,B trùng nhau) Tương tự trung điểm AB,BY,AY phân biệt Ta cần xét tới phân biệt trung điểm AX BY Gọi N trung điểm chung AX,BY⇒ ABY X hình bình hành AX = Y BhocXB = AY lớn AB vô lý ta giả sử AB max Do số trung điểm tạo thành + (n − 2) + (n − 2) = 2n − Bài 17 Nhận thấy k ≥ n2 ≡ (mod 8) điều vô lí Do việc thử với k = 0, 1, Ta cặp (k, n) = (0, 4) Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu –42– Lưu Giang Nam c ⃝Diễn đàn Toán học Bài 18 Dễ dàng kiểm tra cặp (0, 0), (2, 2) thỏa mãn Ta xét x, y > Viết lại phương trình :49(7x−2 − 1) = 50(5y−2 − 1) Ta có : 5y−2 ≡ (mod 49) ⇒ ord49 (5) | y − ⇒ 42 | y − Suy ra:31 | 53 − | 542 − | 5y−2 − Do mà : 7x−2 ≡ (mod 31) ⇒ ord31 (7) | x − ⇒ 30 | x − ⇒ 15 | x − (1) Thế lại dễ thấy : 7x−2 ≡ (mod 5) ⇒ ord5 (7) | x − ⇒ | x − (2) Từ (1)(2) ta suy : 60 | x − ⇒ 7x−2 − 760 − 125 Mà ta lại có 125 50(5y−2 − 1), đến ta gặp mâu thuẫn Đáp số toán (0, 0), (2, 2) Bài 19 Hướng dẫn giải: Ta chọn đỉnh để tạo tam giác => có Cn3 Sau ta trừ tam giác có cạnh thuộc cạnh đa giác { ⌊√ ⌋} Bài 20 Xét số có dạng x + ky với x, y ∈ 0, 1, p , Có > p giá trị nên tồn tại: x + ky ≡ u + kv (mod p) ⇔ a2 + 5b2 ≡ (mod p)(a, b > 0) Lại có a2 + 5b2 < 6p Ta xét 5TH: TH1:a2 + 5b2 = p Khi p2 = (a2 − 5b2 )2 + 5(2ab)2 a2 − 5b2 TH2:a2 + 5b2 = 2p Khi p2 = ( ) + 5.(ab)2 a + 5b a−b a − 5b ) + 5( ) =( ) + 5( a+b )2 Quay TH3:a2 + 5b2 = 3p Khi 2p = ( 3 3 trở TH a b TH4:a2 + 5b2 = 4p Khi p = ( )2 + 5( )2 ( TH1) 2 TH5:a2 + 5b2 = 5p Khi p = 5a21 + b2 (TH1) Bài 21 Bổ đề : Với số nguyên dương n số nguyên dương a Ta có : i) ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ n+1 n a n + = a a ii) ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ n+1 n + a | n + = a a Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –43– c ⃝Diễn đàn Toán học Chứng minh : Đặt n + = ka + r, t ∈ [0, a − 1] Nếu r = thì: ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ n ⌋ ⌊ ka − ⌋ −1 n+1 = =k+ =k−1= −1 a a a a Nếu r ̸=⌊ thì: ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊n⌋ ka + r − r−1 n+1 = =k+ =k= Bổ đề chứng minh a a a a Bổ⌊√ đề : Với ⌋ số√nguyên dương n, ta có : i) n + = ⌊ n⌋ n + không số phương ⌊√ ⌋ √ ii) n + = ⌊ n⌋ + n + số phương Chứng minh : ⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ Nếu n + phương, đặt n + = a n+1 = a2 = a √ √ √ √ √ Còn a −⌋ = a2 − 2a + < n = a2 − < a2 = a ⇒ ⌊ n⌋ = a − = ⌊√ n + − ⌊√ ⌋ √ Nếu n + không phương Gỉa sử n + = a, ⌊ n⌋ = b ⇒ a ≥ b Ta có √ a ≤ n + ⇒ a2 ≤ n + dấu √ không xảy (vì n + không 2 phương) nên a < n + ⇒ a ≤ n ⇒ a ≤ n ⇒ a ≤ ⌊n⌋ = b Kéo theo a = b Bổ đề chứng minh Quay trở lại toán : Ta chứng minh quy nạp Kiểm tra dễ dàng với giá trị Gỉa sử : ⌊n⌋ ⌊n⌋ ⌊ n ⌋ ⌊√ ⌋ A= + + + + n = 2m n Ta xét với n + : Gỉa sử n + có k ước nguyên dương, hiển nhiên ước thuộc tập {1, 2, 3, , n + 1} Khi : ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ n ⌋) ⌊√ ⌋ (⌊ n ⌋ ⌊ n ⌋ n+1 n+1 n+1 n + ⌊√ B= + + + +k+ + + + + + n+1 = n n+1 n Nếu n + không số phương phân tích tiêu chuẩn n + có thừa số nguyên tố có số mũ lẻ Gỉa sử n + = pt11 pt22 ptii ptss với ti lẻ | k = (t1 + 1)(t2 + 1) (ts + 1) ti lẻ Tức trường hợp k chẵn, đặt k = 2k ′ ⌋ ⌊√ √ n + = ⌊ n⌋ Mặt khác theo bổ đề n + không phương Do ta có B = 2m + 2k ′ chẵn Nếu n + phương tất ước nguyên tố phân tích tiêu chuẩn ′ có số mũ chẵn Khi⌊√ số ước ⌋ √ n + lẻ, tức k = 2k + n + = ⌊ n⌋ + Theo bổ đề lại có Do ta có B = 2m + 2k ′ + chẵn Theo nguyên lí quy nạp toán chứng minh Bài 22 Ta giải tư tưởng xích đối xích Cho tập hợp U A B A B có quan hệ so sánh Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –44– c ⃝Diễn đàn Toán học |A∆B| ≥ Gọi họ tập lớn U cho với hai tập phân biệt A, |A∆B| ≥ K Khi theo định lí Dilworth, |K| số phân hoạch nhỏ đối xích hợp thành họ tập hợp U Gọi T số phân hoạch đối xích hợp thành họ tập hợp U Ta xây dựng số T cho T = 2n−1 Với n = tồn T Giả sử với n = k, tồn T = 2k−1 Xét n = k + Khi có 2n−1 tập U chứa phần tử n + ta bỏ phần tử n + đi, theo giả thiết quy nạp, ta lập thêm 2n−1 phân hoạch họ tập hợp U chứa n + Theo nguyên lý quy nạp, suy đpcm Vì |K| số phân hoạch nhỏ đối xích hợp thành họ tập hợp U nên |K| ≤ 2n−1 Vậy |F| ≤ 2n−1 ———Hết——– Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu Lưu Giang Nam –45– c ⃝Diễn đàn Toán học Phụ lục Thế Số học Tổ hợp? 4.1 Số học Số học phân nhánh toán học lâu đời sơ cấp nhất, hầu hết người thường xuyên sử dụng từ công việc thường nhật tính toán khoa học kinh doanh cao cấp, qua phép tính cộng, trừ, nhân, chia Người ta thường dùng thuật ngữ để phân nhánh toán học trọng đến thuộc tính sơ cấp số phép tính số Những nhà toán học dùng chữ số học (cao cấp) để nhắc đến môn lý thuyết số, không nên nhầm lý thuyết với số học sơ cấp 4.2 Tổ hợp Tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) ngành toán học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lí thống kê Toán học tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lý thuyết, nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh xây dựng, tập trung vào cuối kỉ 20 (xem trang Danh sách chủ đề toán học tổ hợp) Một mảng lâu đời toán học tổ hợp lý thuyết đồ thị Đến lúc đó, bạn làm toán bạn thích để chứng tỏ Giáo sư Ngô Bảo Châu [...]... 1023 tổng có dạng như trên thoả mãn đề bài Nếu trong 1023 tổng này có 1 tổng chia hết cho 1023 thì ta có đpcm Nếu trong 1023 tổng này không có tổng nào chia hết cho 1023 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 1023 1 ∑ Hiệu của hai tổng này là một tổng có dạng ci ai ci ∈ {−1; 0; 1} 10 Ta có đpcm Bài 5 Trong 19 số tự nhiên tùy ý, ta luôn tìm được 2 số có cùng số dư khi chia cho 18 Giả sử 2 số. .. điểm được đánh số a và d không cắt dây cung nối các điểm được đánh số b và c Gọi M là số cách đánh số đẹp và N là số các cặp số nguyên dương (x, y) được sắp thứ tự (nghĩa là: (x, y) và (y, x) là khác nhau, trừ khi x = y) sao cho x + y ≤ n và gcd(x, y) = 1 Chứng minh rằng M = N + 1 IMO 2013, P6 Bài 12 1 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương t sao cho 2012t + 1, 2013t + 1 đều là các số chính phương... giữa (ai , ai+1 ) và (ai−1 , ai ) cùng lúc thì chỉ số j lúc này sẽ thuộc tập hợp chứa chỉ số i vừa chuyển đi, còn chỉ số i + 1 và i − 1 sẽ cùng lúc chuyển sang tập hợp khác tập hợp ban đầu, tức hiệu của hai tập hợp bất biến mod 2 Nếu ta chỉ làm thay đổi dấu của một trong 2 cặp (ai , ai+1 ) và (ai−1 , ai ) , giả sử là của cặp (ai , ai+1 ), thì khi đó chỉ số i − 1 giữ nguyên, chỉ số i và i + 1 sẽ cùng... ⃝Diễn đàn Toán học Bài 60 Cho một bảng ô vuông không giới hạn số dòng và số cột Ban đầu người ta viết hai số 1 và 3 vào hai ô khác nhau của bảng Tiếp theo, người ta điền vào các ô trống các số nguyên dương theo quy tắc sau: Nếu trên bảng đã có 2 số a, b thì người ta có thể điều số c = a + b + ab vào một ô còn trống nào đó trên bảng Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số 2509 và 20132014... bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau VMO 2014, P6 Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k và n, tồn tại các số nguyên dương m1 , m2 , , mk sao cho: ( )( ) ( ) 1 1 1 2k − 1 = 1+ 1+ 1 + 1+ n m1 m2 mk IMO 2013, P1 Bài 10 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm... đàn Toán học Gợi ý giải Gợi ý giải đề thi cấp tỉnh, thành phố và các kì thi phong trào Bài 1 Gọi tập các chỉ số thỏa mãn là T , tập còn lại là S Xét khi ta đổi chỗ 2 số ai , aj bất kì thì ta xét bộ (ai−2 , ai−1 , ai , ai+1 , ai+2 ) và bộ (aj−2 , aj−1 , aj , aj+1 , aj+2 ) ,dễ thấy khi chuyển như vậy thì chỉ có các chỉ số i−1, i, i +1 và j − 1, j, j + 1 là có thể chuyển từ tập hợp này sang tập hợp khác... đỉnh A vào giữa hai đỉnh thứ 2n, 2n+1 và thêm đỉnh B vào giữa hai đỉnh thứ 4n, 1 Ta xét các trường hợp: - Nếu đỉnh 2n và 2n + 1 đều được tô và A không được tô thì tương ứng: đỉnh 4n, 1 không được tô và B được tô Số cặp kề nhau cùng được tô giảm đi 1 - Nếu đỉnh 2n và 2n + 1 đều được tô và A cũng được tô thì tương ứng: đỉnh 4n, 1 không được tô và B không được tô Số cặp kề nhau tăng lên 1 - Nếu trong hai... Toán học IMO 2013, P2 Bài 11 Cho số nguyên n ≥ 3 và xét n + 1 điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị 0, 1, , n, không nhất thi t theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số. .. 2 số a, b bất kỳ và thay bằng số a + b + ab Sau 1 lần biến đổi số các số hạng giảm đi 1 đơn vị so với dãy trước Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối sau 2012 lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và tìm giá trị đó Bài 55 Cho dãy các phân số: Đề chọn đội tuyển HSG Đồng tháp vòng 1 Bài 56 Cho (H) là một đa giác đều 24 cạnh Mỗi đỉnh của (H) sẽ được tô bởi chỉ một trong hai màu xanh và. .. được tô Số cặp kề nhau tăng lên 1 - Nếu trong hai đỉnh 2n và 2n + 1, có 1 đỉnh được tô và A cũng được tô thì tương ứng: trong hai đỉnh 4n, 1 có 1 đỉnh được tô và B không được tô Số cặp kề nhau tăng lên 1 - Nếu trong hai đỉnh 2n và 2n + 1, có 1 đỉnh được tô và A không được tô thì tương ứng: trong hai đỉnh 4n, 1 có 1 đỉnh được tô và B được tô Số cặp kề nhau tăng lên 1 Do đó, S4n+2 = {x ± 1|x ∈ S4n }