giới hạn dãy tổng

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A Một số kiến thức có liên quan Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số tăng với n ta có un  un 1 Dãy số  un  gọi dãy số giảm với n ta có un  un 1 Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un  M , n   * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho un  m, n   * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m  un  M , Định lý 1) Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ 2) Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí 1) Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới  2) Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới  Định lý 1) Nếu dãy  un  hội tụ đến a dãy trích từ  un  hội tụ đến a 2)  un  hội tụ đến a   u2 n   u2 n 1  hội tụ đến a Định lý  n  u n  n 2) Nếu lim un   un  0, n   lim 0 n  n  u n 1) Nếu lim un  un  0, n   lim n   * Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp B Các toán Bài toán u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1  un  un  1, n  1 1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u1 (1) Lời giải   Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n  Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy n   , un 1  un   un  1  ,  un  tăng  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1    un 1   un  un  1  un 1  un  un  1 un  un 1   (n  1, 2, )   un un  un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1      u1 u1 un un 1     Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a  a   a  2a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  un 1  1    Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim 1   1 n  u un  n  un 1    u1 1 1 Vậy lim        n  u un   u1 Bài toán  u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 u   un , n   n 1 2011  (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un2 n   , un 1  un   ,  un  tăng 2011 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  un  un2  2011 un 1  un  un 1  2011 u  u  u  n  2001 n 1 n un 1 un un 1      un   2011   un 1  un un 1   n  1, 2,  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1  u u1 u2      n  2011    20111   u2 u3 un 1  u1 un 1   un 1   (*) (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a2  a  a  (vô lý) 2011 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n   u u  u   Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim 20111    2011 n  u un 1  n  u3  un 1   u u u  Vậy lim     n   2011  n  u un 1   u3 Bài toán 3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2010un u , n    n 1 2011   u un  u Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u3  un 1    (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy   un  un  1  ,  un  tăng 2011 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  2010un un 1   un2  2010un  2011un 1 2011  un  un  1  2011 un 1  un  n   , un 1  un    u  1   un  1 un  2011 n 1 un 1   un1  1 un  1   un   2011   un 1   un  un 1    n  1, 2,  (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được:  un u1 u      20111   u2  u3  un 1   un 1    (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a(a  1)  a  a (a  1)   a   a  (vô lý) 2011 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un 1  1    lim n  n  n  un 1  0   u  un  u  Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim 20111     2011 n  u  u3  un 1   n   un 1     u un  u Vậy lim       2011  n  u  1   u u n 1   Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán  u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  un 1  4un 1  un 1 , n   n  1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u2 (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un  un 1  un21  xn 1  un 1  un 1  un21  xn 1  un 1  2un 1 un21  xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng  Tính tổng: un  un 1  2un 1 u n 1  xn 1  un 1  un2   un  1 un 1    1   un un 1 un (n  1, 2, ) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1         u1 u2 un u1 u1 un un (*) (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a  4a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n   n  0 un   1  1 Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim     n  u un  n  un   u2 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số   1  Vậy lim       n  u un   u2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp  Bài toán u1  2010 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un  2009un  2011un 1   0, n    1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010   (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2010 , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy      un  tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  2009un  un  2009un  2011un 1    un 1  2011 u  2009un   un 1   n 1 2011  u  1 un  2010   un 1   n 2011 1 (n=1,2, )    un  2010 un  un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1        u1  2010 u2  2010 un  2010 u  un 1  2009 un 1  un 1  un   u  1  n (*) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  2010 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2009a  2011a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  un 1  0    1 1  Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010  n  2009 un 1   2009  Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp   1 1 Vậy lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010  2009   Bài toán  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2009 u  2009u  u , n  n n  n 1 (1) u u u  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un 1  un  2009un2    un  tăng  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2009un2  un 1  un   2009un2 un 1  un u  1    n     unun 1 unun 1 un 1 2009  un un 1  (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được:  u u1 u2  1   1      n              u2 u3 un 1 2009  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2, )    2009   un 1  2009  Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2009a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n   n    u u u   2009  Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim     n  u un 1  n  2009  un 1    u3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  u u u  Vậy lim     n   n  u un 1   u3 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp  Bài toán  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  u  u , n  n n  n 1 (1)  1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u2  un 1    Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un 1  un  un2    un  tăng  Tính tổng: un 1  un2  un     un 1  1   un  un  1 un un  1 1   un  un un 1 (n  1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1     2 u1  u2  un 1  un 1 Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n     1   Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim    2 n  u  u2  un 1   n  un 1     1  Vậy lim     2 n  u  u2  un 1     Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1   u1u2 un , n  (1) 1 1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u2 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1   u1u2 un  un 1   un 1  u1u2 un 1  1  un 1   un  un  1   un 1   1   un  un  1 un  un 1   un un  un 1   n  1, 2,  1 1 1  1 1              2 u1 u2 un u1  u2 un  u1 u2  un 1  un 1  1  1  Do đó: lim       lim     lim  n  u n  u un  n  un 1   n 1   u2 Suy ra:   Vì un 1   u1u2 un  u1 1  u1   1 1 Vậy lim        lim 2 n  u n  un  un 1   u2 n 1  2n 1 nên lim  un 1  1   n   Bài toán u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1  un  un  1 un   un  3  1, n   1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u2  un    Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n  (1) Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1  u n  3un  1  un2  3un   un 1    un  1 un     Suy ra:   un 1    un  1 un   1  un  un   1   un  un  un 1  (n  1, 2, ) 1 1 1        u1  u2  un  u1  un 1  un 1   1 1   1 Do đó: lim       nlim      nlim n  u    u2  un   un 1    un 1   Vì un 1  u  3un   un 1  3un  3n 1  un 1   3n 1  nên lim  un 1  1   n   1  1 Vậy lim       lim   n  u  u2  un   n un 1   Bài toán 10   u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2007un   u , n   n 1 2010   u  u2  u 1  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u  u3  un 1    Lời giải u  2007un  (u  1)(un  2)  Biến đổi un 1  n  un 1  un  n 2010 2010 ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n  u n Do {u n } không bị chặn hay lim u n = +  hay lim  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2010(u n1 -un)  un  1 = 2010 ( ) (*) un  un 1  un 1   Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: Sn =  Vậy lim S n = 2010  n ui  1 = 2010 ( 1) un 1  i 1  u i 1 10 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Phạm Văn Nhâm Một số lớp toán dãy số Luận văn thạc sĩ khoa học 2011 [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010 11 ... Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm...    Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1)... u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 u   un , n   n 1 2011  (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u  Tìm giới hạn sau: lim