1. Trang chủ
  2. » Tất cả

giới hạn dãy tổng

11 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 263,63 KB

Nội dung

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A Một số kiến thức có liên quan Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số tăng với n ta có un  un 1 Dãy số  un  gọi dãy số giảm với n ta có un  un 1 Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un  M , n   * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho un  m, n   * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m  un  M , Định lý 1) Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ 2) Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí 1) Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới  2) Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới  Định lý 1) Nếu dãy  un  hội tụ đến a dãy trích từ  un  hội tụ đến a 2)  un  hội tụ đến a   u2 n   u2 n 1  hội tụ đến a Định lý  n  u n  n 2) Nếu lim un   un  0, n   lim 0 n  n  u n 1) Nếu lim un  un  0, n   lim n   * Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp B Các toán Bài toán u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1  un  un  1, n  1 1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u1 (1) Lời giải   Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n  Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy n   , un 1  un   un  1  ,  un  tăng  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1    un 1   un  un  1  un 1  un  un  1 un  un 1   (n  1, 2, )   un un  un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1      u1 u1 un un 1     Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a  a   a  2a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  un 1  1    Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim 1   1 n  u un  n  un 1    u1 1 1 Vậy lim        n  u un   u1 Bài toán  u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 u   un , n   n 1 2011  (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un2 n   , un 1  un   ,  un  tăng 2011 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  un  un2  2011 un 1  un  un 1  2011 u  u  u  n  2001 n 1 n un 1 un un 1      un   2011   un 1  un un 1   n  1, 2,  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1  u u1 u2      n  2011    20111   u2 u3 un 1  u1 un 1   un 1   (*) (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a2  a  a  (vô lý) 2011 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n   u u  u   Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim 20111    2011 n  u un 1  n  u3  un 1   u u u  Vậy lim     n   2011  n  u un 1   u3 Bài toán 3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2010un u , n    n 1 2011   u un  u Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u3  un 1    (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy   un  un  1  ,  un  tăng 2011 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  2010un un 1   un2  2010un  2011un 1 2011  un  un  1  2011 un 1  un  n   , un 1  un    u  1   un  1 un  2011 n 1 un 1   un1  1 un  1   un   2011   un 1   un  un 1    n  1, 2,  (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được:  un u1 u      20111   u2  u3  un 1   un 1    (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a(a  1)  a  a (a  1)   a   a  (vô lý) 2011 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un 1  1    lim n  n  n  un 1  0   u  un  u  Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim 20111     2011 n  u  u3  un 1   n   un 1     u un  u Vậy lim       2011  n  u  1   u u n 1   Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán  u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  un 1  4un 1  un 1 , n   n  1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u2 (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un  un 1  un21  xn 1  un 1  un 1  un21  xn 1  un 1  2un 1 un21  xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng  Tính tổng: un  un 1  2un 1 u n 1  xn 1  un 1  un2   un  1 un 1    1   un un 1 un (n  1, 2, ) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1         u1 u2 un u1 u1 un un (*) (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a  4a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n   n  0 un   1  1 Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim     n  u un  n  un   u2 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số   1  Vậy lim       n  u un   u2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp  Bài toán u1  2010 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un  2009un  2011un 1   0, n    1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010   (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2010 , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy      un  tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  2009un  un  2009un  2011un 1    un 1  2011 u  2009un   un 1   n 1 2011  u  1 un  2010   un 1   n 2011 1 (n=1,2, )    un  2010 un  un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1        u1  2010 u2  2010 un  2010 u  un 1  2009 un 1  un 1  un   u  1  n (*) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  2010 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2009a  2011a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  un 1  0    1 1  Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010  n  2009 un 1   2009  Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp   1 1 Vậy lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010  2009   Bài toán  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2009 u  2009u  u , n  n n  n 1 (1) u u u  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un 1  un  2009un2    un  tăng  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2009un2  un 1  un   2009un2 un 1  un u  1    n     unun 1 unun 1 un 1 2009  un un 1  (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được:  u u1 u2  1   1      n              u2 u3 un 1 2009  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2, )    2009   un 1  2009  Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2009a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n   n    u u u   2009  Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim     n  u un 1  n  2009  un 1    u3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  u u u  Vậy lim     n   n  u un 1   u3 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp  Bài toán  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  u  u , n  n n  n 1 (1)  1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u2  un 1    Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un 1  un  un2    un  tăng  Tính tổng: un 1  un2  un     un 1  1   un  un  1 un un  1 1   un  un un 1 (n  1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1     2 u1  u2  un 1  un 1 Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n     1   Vì từ (2) ta suy ra: lim      lim    2 n  u  u2  un 1   n  un 1     1  Vậy lim     2 n  u  u2  un 1     Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1   u1u2 un , n  (1) 1 1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u2 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1   u1u2 un  un 1   un 1  u1u2 un 1  1  un 1   un  un  1   un 1   1   un  un  1 un  un 1   un un  un 1   n  1, 2,  1 1 1  1 1              2 u1 u2 un u1  u2 un  u1 u2  un 1  un 1  1  1  Do đó: lim       lim     lim  n  u n  u un  n  un 1   n 1   u2 Suy ra:   Vì un 1   u1u2 un  u1 1  u1   1 1 Vậy lim        lim 2 n  u n  un  un 1   u2 n 1  2n 1 nên lim  un 1  1   n   Bài toán u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1  un  un  1 un   un  3  1, n   1  Tìm giới hạn sau: lim      n  u  u2  un    Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n  (1) Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1  u n  3un  1  un2  3un   un 1    un  1 un     Suy ra:   un 1    un  1 un   1  un  un   1   un  un  un 1  (n  1, 2, ) 1 1 1        u1  u2  un  u1  un 1  un 1   1 1   1 Do đó: lim       nlim      nlim n  u    u2  un   un 1    un 1   Vì un 1  u  3un   un 1  3un  3n 1  un 1   3n 1  nên lim  un 1  1   n   1  1 Vậy lim       lim   n  u  u2  un   n un 1   Bài toán 10   u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2007un   u , n   n 1 2010   u  u2  u 1  Tìm giới hạn sau: lim     n  n  u  u3  un 1    Lời giải u  2007un  (u  1)(un  2)  Biến đổi un 1  n  un 1  un  n 2010 2010 ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n  u n Do {u n } không bị chặn hay lim u n = +  hay lim  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2010(u n1 -un)  un  1 = 2010 ( ) (*) un  un 1  un 1   Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: Sn =  Vậy lim S n = 2010  n ui  1 = 2010 ( 1) un 1  i 1  u i 1 10 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Phạm Văn Nhâm Một số lớp toán dãy số Luận văn thạc sĩ khoa học 2011 [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010 11 ... Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm...    Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1)... u1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 u   un , n   n 1 2011  (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u  Tìm giới hạn sau: lim

Ngày đăng: 01/09/2016, 15:32

w