Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
263,63 KB
Nội dung
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A Một số kiến thức có liên quan Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số tăng với n ta có un un 1 Dãy số un gọi dãy số giảm với n ta có un un 1 Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un M , n * Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho un m, n * Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m un M , Định lý 1) Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ 2) Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí 1) Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới 2) Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới Định lý 1) Nếu dãy un hội tụ đến a dãy trích từ un hội tụ đến a 2) un hội tụ đến a u2 n u2 n 1 hội tụ đến a Định lý n u n n 2) Nếu lim un un 0, n lim 0 n n u n 1) Nếu lim un un 0, n lim n * Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp B Các toán Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 un un 1, n 1 1 Tìm giới hạn sau: lim n u un u1 (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy n , un 1 un un 1 , un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1 un 1 un un 1 un 1 un un 1 un un 1 (n 1, 2, ) un un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 u1 u1 un un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a a a 2a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un 1 1 lim n n n un 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim 1 1 n u un n un 1 u1 1 1 Vậy lim n u un u1 Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 u un , n n 1 2011 (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u Tìm giới hạn sau: lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un2 n , un 1 un , un tăng 2011 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2 un un2 2011 un 1 un un 1 2011 u u u n 2001 n 1 n un 1 un un 1 un 2011 un 1 un un 1 n 1, 2, Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2 n 2011 20111 u2 u3 un 1 u1 un 1 un 1 (*) (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a2 a a (vô lý) 2011 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un 0 n u n 1 lim un lim un 1 lim n n u u u Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim 20111 2011 n u un 1 n u3 un 1 u u u Vậy lim n 2011 n u un 1 u3 Bài toán 3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 2010un u , n n 1 2011 u un u Tìm giới hạn sau: lim n u u3 un 1 (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un un 1 , un tăng 2011 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2 2010un un 1 un2 2010un 2011un 1 2011 un un 1 2011 un 1 un n , un 1 un u 1 un 1 un 2011 n 1 un 1 un1 1 un 1 un 2011 un 1 un un 1 n 1, 2, (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: un u1 u 20111 u2 u3 un 1 un 1 (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a(a 1) a a (a 1) a a (vô lý) 2011 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim un 1 1 lim n n n un 1 0 u un u Vì từ (2) ta suy ra: lim lim 20111 2011 n u u3 un 1 n un 1 u un u Vậy lim 2011 n u 1 u u n 1 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: u un 1 4un 1 un 1 , n n 1 Tìm giới hạn sau: lim n u un u2 (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un un 1 un21 xn 1 un 1 un 1 un21 xn 1 un 1 2un 1 un21 xn 1 un 1 0 Suy ra: un tăng Tính tổng: un un 1 2un 1 u n 1 xn 1 un 1 un2 un 1 un 1 1 un un 1 un (n 1, 2, ) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 u1 u2 un u1 u1 un un (*) (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a 4a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim n n 0 un 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim n u un n un u2 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số 1 Vậy lim n u un u2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u1 2010 Cho dãy số thực un xác định bởi: un 2009un 2011un 1 0, n 1 Tìm giới hạn sau: lim n u 2010 u2 2010 un 2010 (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2010 , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2 2009un un 2009un 2011un 1 un 1 2011 u 2009un un 1 n 1 2011 u 1 un 2010 un 1 n 2011 1 (n=1,2, ) un 2010 un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 u1 2010 u2 2010 un 2010 u un 1 2009 un 1 un 1 un u 1 n (*) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a 2010 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a 2009a 2011a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un 1 1 lim n n n un 1 0 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim n u 2010 u2 2010 un 2010 n 2009 un 1 2009 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 1 Vậy lim n u 2010 u2 2010 un 2010 2009 Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: 2009 u 2009u u , n n n n 1 (1) u u u Tìm giới hạn sau: lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un 1 un 2009un2 un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2009un2 un 1 un 2009un2 un 1 un u 1 n unun 1 unun 1 un 1 2009 un un 1 (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: u u1 u2 1 1 n u2 u3 un 1 2009 u1 u2 u2 u3 un un 1 (n=1,2, ) 2009 un 1 2009 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a 2009a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un 1 lim n n u u u 2009 Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim n u un 1 n 2009 un 1 u3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số u u u Vậy lim n n u un 1 u3 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: u u u , n n n n 1 (1) 1 Tìm giới hạn sau: lim n u u2 un 1 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un 1 un un2 un tăng Tính tổng: un 1 un2 un un 1 1 un un 1 un un 1 1 un un un 1 (n 1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 2 u1 u2 un 1 un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un 1 lim n n 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim 2 n u u2 un 1 n un 1 1 Vậy lim 2 n u u2 un 1 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán u Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 u1u2 un , n (1) 1 1 Tìm giới hạn sau: lim n u un u2 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1 u1u2 un un 1 un 1 u1u2 un 1 1 un 1 un un 1 un 1 1 un un 1 un un 1 un un un 1 n 1, 2, 1 1 1 1 1 2 u1 u2 un u1 u2 un u1 u2 un 1 un 1 1 1 Do đó: lim lim lim n u n u un n un 1 n 1 u2 Suy ra: Vì un 1 u1u2 un u1 1 u1 1 1 Vậy lim lim 2 n u n un un 1 u2 n 1 2n 1 nên lim un 1 1 n Bài toán u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 un un 1 un un 3 1, n 1 Tìm giới hạn sau: lim n u u2 un Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n (1) Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1 u n 3un 1 un2 3un un 1 un 1 un Suy ra: un 1 un 1 un 1 un un 1 un un un 1 (n 1, 2, ) 1 1 1 u1 u2 un u1 un 1 un 1 1 1 1 Do đó: lim nlim nlim n u u2 un un 1 un 1 Vì un 1 u 3un un 1 3un 3n 1 un 1 3n 1 nên lim un 1 1 n 1 1 Vậy lim lim n u u2 un n un 1 Bài toán 10 u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 2007un u , n n 1 2010 u u2 u 1 Tìm giới hạn sau: lim n n u u3 un 1 Lời giải u 2007un (u 1)(un 2) Biến đổi un 1 n un 1 un n 2010 2010 ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n u n Do {u n } không bị chặn hay lim u n = + hay lim Biến đổi (1) (u n -1)(u n -2) = 2010(u n1 -un) un 1 = 2010 ( ) (*) un un 1 un 1 Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: Sn = Vậy lim S n = 2010 n ui 1 = 2010 ( 1) un 1 i 1 u i 1 10 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Phạm Văn Nhâm Một số lớp toán dãy số Luận văn thạc sĩ khoa học 2011 [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010 11 ... Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm... Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1)... u1 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 u un , n n 1 2011 (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u Tìm giới hạn sau: lim