Sử dụng công thức tổng quát trong tìm giói hạn dãy số - Lê Phúc Lữ

Trong các đề thi vừa qua, ta thấy nhiều bài toán yêu cầu tìm giới hạn dãy số nhưng bản chất chỉ cần xác định được công thức tổng quát và thông qua một số ước lượng nữa là đủ.. Trước hết[r]

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

7 PHẦN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỔNG QT TRONG TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Xét mặt đại số, việc tìm cơng thức tổng qt dạng bản, túy nhất Trong đề thi vừa qua, ta thấy nhiều toán yêu cầu tìm giới hạn dãy số chất cần xác định công thức tổng quát thông qua số ước lượng đủ Trước hết, ta xét hai tình ứng dụng dãy sai phân cấp hai

Bài 2.1 (Vũng Tàu) Cho dãy số (un) xác định

2

1 2

3

1, 2, n

n

n

u

u u u

u

 



   với n

Đặt 2 2 2

1

3 3

1 1

n

n

v

u u u

 

   

        

     

 , tính limvn

Lời giải Theo giả thiết

1

3 ,

n n n

u  u u   n Do

2

1 1

2 2

1

3 n n n

n

n n

u u u u u u u u

v

u u u u u

  



    

Mặt khác, 2

1

n n n n n n

u u u   u u u  nên u un( nun2)un1(un1un1) nên

2 1

1

4

n n n n

n n

u u u u u u

u u u

  



  

  

Suy dãy cho sai phân tuyến tính cấp hai có công thức tổng quát 1n 2n n

u  A x B x với x1x2 nghiệm

4

x  x 

Do

1

1

1

1

lim lim

n n

n

n n

n

u A x B x

x

u A x B x

 

   

   

   nên limvn 42

Bài 2.2 (Nghệ An) Cho dãy số (xn) xác định x11,xn13xnxn 5 với n Đặt dãy số

1

4k n n

k k k

y

x x

 

 với n Tính giới hạn

lim n , lim n n

x

y x



Lời giải Rõ ràng xn 1 xn 5 xn dãy xn   nên ta tính

1

lim n n

x x

  

Dự đoán dãy cho tương ứng với dãy sai phân cấp hai, từ ý tưởng trên, ta thấy cơng thức tổng qt dãy phải có dạng

(3 5)n (3 5)n n

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

8 Do đó, phương trình đặc trưng phải

6

x  x  hay xn2 6xn14xn Mặt khác, xn2 3xn1xn1 5 nên ta đưa chứng minh

1

3xn 4xn xn 5

  hay xn1 1 3xn14xn xn1

Mặt khác, từ công thức xác định dãy, ta có

1

5

n n n n

x  x   x  x

Suy (3 5)xn 1 xn1(3 5)xn, nhân vế cho 3 5, ta có

1

4xn(3 5)(3 5)xn 4xn hay xn1 1 3xn14xn xn1 Khẳng định chứng minh Tiếp theo, quy nạp, ta

2

1

n n n n

x  x x     nên

1

4 n

n n

n n n n

x x

x x x x

 

 

 

   

 

Do đó, 2

1

4 n 4(3 5) 4( 2) n

n

x x

y

x x

 

 

       

 

Tiếp theo, ta xét số dùng phép lượng giác để tìm cơng thức tổng qt Bài 2.3 (Đồng Nai) Cho số thực a(0;1) Xét hàm số f x( ) xác định bởi:

 f x( )0 x[0; ).a



( ) ( (1 )(1 ) )

f x   ax a x x[ ;1].a

Cho dãy số (un) xác định u1 1,un1  f u( n) Chứng minh tồn k để uk 0 Lời giải

Đặt

sin

a  với 0;

   

  Giả sử phản chứng khơng có số k để uk 0 Khi đó, ta ln có un1  1  aun  (1a)(1un2

Bằng quy nạp kết hợp với công thức lượng giác, ta chứng minh

 

2

cos ( 1) n

u  n  với n1 Để có un 0, n phải có un a hay 2 

cos (n1) sin ,  n 1, 2, 3, (*) Ta chứng minh điều vô lý cách số n để đánh giá sai Chú ý

2

cos ( ) sin

n   n

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

9 nên với số n, ln có số ngun k để 2

2

k  n k

    

      hay

1

( 1) ( 1)

4 n k n

 

 

       

Do  0 nên số có dạng ( 1)

4 n

 

   lớn tùy ý Khi đó, với số k nguyên dương đủ lớn, tồn n để ( 1)

4

k n 



    ; chọn số n nhỏ rõ ràng phải có

( 1)

4 n k

 

    hay khoảng ( 1) ; ( 1)

4 n n

 

 

 

     

 

  phải chứa số

nguyên dương Khẳng định (*) ta có đpcm

Bài 2.4 (Bình Định) Cho dãy số (un) xác định u1  2 ,un1 2u nn, 1 Tính giới hạn sau lim 2 n 2un

Gợi ý Chú ý cos3

4



  nên ta tính 1 cos3

u   nên quy nạp, ta chứng

minh cos 2

n n

u  

Suy

2

3 3

2 2 2 cos sin

2

n n n

n n n

u    

     

0

sin

lim

x

x x

 

Bài 2.5 (Hà Nội) Cho dãy số

2

1

1

,

n n

n

u

u u

u



 

  với n1 Chứng minh dãy số

(un) bị chặn 2020

1 2019

1 1

2

u u u 

Gợi ý Đặt 1 tan

u   , ta có

2

2

2

1 1

1 1 1 cos( / 3)

1 cot cot tan

3 sin( / 3) 12

u u

u u u

   



  

        

Do đó, tương tự quy nạp, ta chứng minh tan

n n

u  

 với n1 Từ đó, kết hợp với đánh giá tan , 0;

2

xx   x   

  nên

1

cot , 0;

2

x x

x



      

  kéo theo  2019 2020

1 2019

1 1

2 2

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

10 Cuối số tương tự dạng:

Bài 2.6 (Thanh Hóa) Cho dãy số (xn) xác định

1

1 2

,

1

1

1 ( 1) ( 1)

n n

x

x x

n n n

 



   

  

  

           

  





Tìm số hạng tổng qt dãy (xn), từ tìm  để dãy (xn) có giới hạn hữu hạn

Gợi ý Ta viết lại dãy số thành ( 1) 1 2

1 ( 1)

n n

n

n x nx

n n

 

   

  Tìm cách đặt dãy phụ thích hợp để khử biểu thức tự 2

(n1) suy công thức tổng quát (xn)

Bài 2.7 (Quảng Trị) Cho dãy số (an) thỏa mãn 1

a  1 24

4 256 16

n n

n

a a

a      với

n Đặt sn a1 a2  an Tính lim sn Gợi ý Đặt dãy phụ 24

256 n n

a