Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học Chuyên mục: Đại số Giải tích - Olympic Chuyên đề đa thức Minh Huyền Thứ tư, 18 Tháng 2013 07:35 Đa thức khái niệm trung tâm tốn học Trong chương trình phổ thơng, làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học sở, từ phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải phương trình đại số Bài giảng hệ thống hố lại kiến thức đa thức biến, dạng toán thường gặp đa thức Ở cuối đề cập cách sơ lược đa thức nhiều biến Đa thức phép toán đa thức 1.1 Định nghĩa Đa thức trường số thực biểu thức có dạng n P (x) = an x a1 n−1 + an−1 x + +a1 x + a0 , ∈ R an ≠ gọi hệ số đa thức, an gọi hệ số cao gọi bậc đa thức kí hiệu n x a0 ≠ a0 = n = deg(P ) a0 gọi hệ số tự Ta quy ước bậc đa thức P (x) = a0 với Để tiện lợi cho việc viết công thức, ta quy ước với đa thức chúng P (x) bậc n có hệ số ak với k > n, Tập hợp đa thức biến trường số thực kí hiệu R[x] Nếu hệ số lấy tập hợp số hữu tỷ, số nguyên ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên tương ứng tập hợp Q[x], Z [x] 1.2 Đa thức http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 1/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học m Hai đa thức n k k k=0 m = n và P (x) = ∑ ak x , Q(x) = ∑ bk x k=0 ak = bk ∀k = 0, 1, 2, , m $ 1.3 Phép cộng trừ đa thức m n k Cho hai đa thức k P (x) = ∑ ak x , Q(x) = ∑ bk x k=0 Khi phép cộng trừ hai đa thức P (x) Q(x) k=0 thực theo hệ số xk , tức max{ m,n } k ∑ P (x) ± Q(x) = (ak ± bk )x k=0 Ví dụ: (x + 3x − x + 2) + (x + x − 1) = x + 4x + 1.4 Phép nhân đa thức m Cho hai đa thức n k k P (x) = ∑ ak x , Q(x) = ∑ bk x k=0 Khi P (x) Q(x) đa thức có bậc m + n k=0 có hệ số xác định k ck = ∑ bk−i i=0 Ví dụ: (x + x + 3x + 2)(x + (1.1 + 3.3 + 2.1)x + 3x + 1) = (1.1)x + (1.3 + 1.1)x + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x + 4x + (1.1 + 1.3 + 3.1)x + 7x + 12x + 9x + 1.5 Bậc tổng, hiệu tích đa thức Từ định nghĩa đây, dễ dàng suy tính chất sau Đinh lý Cho P (x), Q(x) đa thức bậc a) m, n tương ứng Khi deg(P ) ≠ deg(Q) dấu xảy Trong trường hợp nhận giá trị ≤ m deg(P ± Q) ≤ max{ m, n } m = n deg(P b) deg(P Q) ± Q) = m + n http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 2/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học 1.6 Phép chia có dư Định lý Với hai đa thức P (x) Q(x) bất kỳ, R(x) thoả mãn đồng thời điều kiện: tồn đa thức deg(Q) ≥ 1, S (x) i) P (x) = Q(x) S (x) + R(x) ii) deg(R) < deg(Q) Chứng minh Tồn Ta chứng minh quy nạp theo m = deg(P ) Nếu deg(P ) < deg(Q) ta chọn S (x) ≡ 0) R(x) = P (x) thoả mãn đồng thời điều kiện i) ii) Giả sử m ≥ n định lý chứng minh với đa thức có bậc nhỏ m Ta chứng minh định lý với đa thức bậc m Giả sử m n k k P (x) = ∑ ak x , Q(x) = ∑ bk x k=0 k=0 Xét đa thức H(x) = P (x) − am m−n x Q(x) bn m = (am x m−1 + am−1 x = ( am−1 − m Do hệ số x am bn−1 S ∗ (x) m−n x bn m−1 )x n (bn x + +b0 ) + bn hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc Theo giả thiết quy nạp, tồn đa thức am + +a1 x + a0 ) − H(x) R ∗ (x) không vượt m − cho H(x) = S ∗ (x) Q(x) + R ∗ (x) Nhưng P (x) = H(x) + am m−n x Q(x) = ( bn Vậy đặt S (x) = am m−n x + S ∗ (x) am m−n x + S ∗ (x)) + R ∗ (x) bn R(x) = R ∗ (x) ta biểu diễn cần tìm cho P (x) bn Duy Giả sử ta có hai biểu diễn P (x) mãn điều kiện ii) Khi = S (x) Q(x) + R(x) P (x) = S ∗ (x) Q(x) + R ∗ (x) thoả Q(x) (S (x) − S ∗ (x)) = R ∗ (x) − R(x) ii) deg(R ∗ (x) − R(x)) < deg(Q) S (x) − S ∗ (x) 3/8 http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Tốn học Ta có, theo điều kiện ii) định lý khơng đồng thì Mặt khác, deg(R ∗ (x) − R(x)) < deg(Q) S (x) − S ∗ (x) deg(Q(x) (S (x) − S ∗ (x))) = deg(Q(x)) + deg(S (x) − S ∗ (x)) ≥ deg(Q) Mâu thuẫn hai vế Theo ký hiệu định lý S (x) gọi thương số R(x) gọi dư số phép chia P (x) cho Q(x) Phép chứng minh nói cho thuật tốn tìm thương số dư số phép chia hai đa thức, gọi phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner Ví dụ: Thực phép chia 3x − 2x + 4x + cho x + 2x , dư 3x − 20x + 1,7 Sự chia hết Ước bội Trong phép chia P (x) cho Q(x), dư số cho đa thức Q(x) Như vậy, chia hết cho Q(x) tồn đa thức nói Q(x) chia hết P (x), Q(x) P (x) ước P (x) P (x) bội Q(x) Cho P (x) Q(x) đa thức khác đồng thời điều kiện sau: i) D(x) đồng S (x) cho ước chung P (x) ta nói đa thức P (x) = Q(x) S (x) P (x) chia hết Trong trường hợp ta Ký hiệu tương ứng Q(x)|P (x) P (x)⋮Q(x) Ước chung lớn đa thức đơn khởi, tức có hệ số cao ii) D(x) iii) R(x) Q(x), tức ′ Nếu D (x) ước chung P (x) và Q(x) đa thức D(x) thoả mãn M (x) thoả mãn D(x)|P (x) Q(x) P (x) D(x)|Q(x) D(x) ước ′ D (x) Tương tự, ta có khái niệm bội chung nhỏ hai đa thức Cho P (x) Q(x) đa thức khác đồng thời điều kiện sau: iv) M (x) v) M (x) vi) Bội chung lớn P (x) Q(x) đa thức đa thức đơn khởi, tức có hệ số cao bội chung Nếu M ′ (x) P (x) Q(x), tức là bội chung P (x) P (x)|M (x) Q(x) M Ký hiệu U CLN BCN N hai đa thức P (x) , đơn giản (P (x), Q(x)), [P (x), Q(x)] Hai đa thức P (x), Q(x) Q(x) ′ (x) gọi nguyên tố Q(x)| M (x) bội M (x) GCD(P (x), Q(x)), LCM (P (x), Q(x)) hay (P (x), Q(x)) = http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 4/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Tốn học 1.8 Thuật tốn Euclide Để tìm ước chung lớn hai đa thức P (x), Q(x), Định lý Giả sử có hai đa thức P (x), Q(x), Q(x) thương số S (x) dư số R(x) Khi Nếu R(x) = (P (x), Q(x)) = q∗ − 1Q(x), Nếu R(x) ≠ (P (x), Q(x)) = (Q(x), R(x)) Chứng minh: Nếu R(x) điều kiện U CLN Nếu = P (x) đặt R(x) ≠ 0, ta có D(x) q ∗ ước D(x) Khi đa thức Mặt khác ′ D (x) Thực phép chia hệ số cao đa thức q ∗−1 Q(x) Ta ′ D ′ D có theo định D (x)|Q(x)S (x) + R(x) = P (x), Từ đây, cho rõ ràng thoả mãn tất ′ R(x), P (x) Q(x) D (x) = (Q(x), R(x)) suy ước chung Q(x), ′ D(x), = Q(x) S (x) nghĩa D (x), ta có D (x) ước ước chung P (x), Q(x), theo định nghĩa deg(P ) ≥ deg(Q) D(x) = (P (x), Q(x)), D(x)|P (x) − Q(x) S (x) = R(x), ′ ta sử dụng thuật toán Euclide sau đây: suy ′ D (x) đa thức đơn khởi, ta suy ′ D = D Định lý giải thích cho thuật tốn Euclide để tìm Ví dụ: Tìm ước chung lớn hai đa thức x U CLN hai đa thức theo ví dụ đây: − 5x + x − 3x + Ta thực phép chia x − 5x + cho x − 3x x – 3x + + cho 25x x + 3x + – 11x– 14 dư 25x − 11x − 14 25x– 64 , dư 625 25x – 11x– 14 Vậy (x – 5x + 4, x – 3x cho x − 354 (x − 1) 625 25x + 14 dư + 2) = x– Lưu ý, trình thực hiện, ta nhân đa thức với số khác cùng, thay chia 25x – 11x– 14 cho 354 (x − 1) Ví dụ phép chia cuối ta chia cho x– 625 1.9 Tính chất phép chia hết Nhắc lại, hai đa thức P (x), Q(x) gọi nguyên tố có nhiều ứng dụng sau đa thức nguyên tố nhau: (P (x), Q(x)) = Ta có định lý thú vị P (x) Q(x) U (x), http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 5/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học Định lý (Bezout) Hai đa thức P (x) Q(x) nguyên tố tồn đa thức V (x) cho P (x) U (x) + Q(x) V (x) = Chứng minh Giả sử tồn đa thức Đặt D(x) = (P (x), Q(x)) D(x) = Ngược lại, giả sử = (P (x), Q(x)) = Giả sử = 0, V (x) = q P (x) U (x) + Q(x) V (x) = D(x)|1 = P (x) U (x) + Q(x) V (x) Ta chứng minh tồn đa thức U (x) Ta chứng minh quy nạp theo m −1 V (x) cho = min{ deg(P ), deg(Q) } deg(Q) = Suy Q = q số ta P (x) U (x) + Q(x) V (x) = ta chứng minh min{ deg(P ), deg(Q) } = m định + Không tính tổng quát, giả sử m + S (x) dư R(x) Không thể xảy trường suy điều cần chứng minh hiển nhiên Chẳng hạn cần chọn U (x) ta V (x) thoả mãn điều kiện D(x)|P (x), D(x)|Q(x) P (x) U (x) + Q(x) V (x) = Nếu m U (x) U (x), hợp R(x) = lý đến = deg(Q) m Xét hai đa Thực phép chia = (P (x), Q(x)) = q thức P (x) ∗−1 cho Q(x) P (x), Q(x) có Q(x) thương Vì vậy, ta có = (P (x), Q(x)) = (Q(x), R(x)) Lúc này, min(deg(Q), deg(R)) = deg(R) < m + U ∗ (x), V ∗ (x) nên theo giả thiết quy nạp, tồn đa thức cho Q(x)V ∗ (x) + R(x)U ∗ (x) = Thay R(x) = P (x)– Q(x) S (x), ta Q(x)V ∗ (x) + (P (x)– Q(x)S (x))U ∗ (x) = Hay P (x)U ∗ (x) + Q(x)(V ∗ (x)– S (x)U ∗ (x)) = Đặt U (x) = U ∗ (x), V (x) = V ∗ (x)– S (x)U ∗ (x) ta đpcm Tính chất phép chia hết i) Q|P , Q|R ii) Q|P , P |R suy Q|P + R hay tổng quát Q|P U + R V với U, V đa thức suy Q|R (tính bắc cầu) iii) Q|P , P |Q http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 6/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học suy tồn số thực khác iii) Q|P , P |Q iv) v) Nếu Q|P , R|P = (ta gọi Q = aP P Q đa thức đồng dạng) i) − iv) Để chứng minh tính chất Từ giả thiết Q|R (Q, R) = Chứng minh Các tính chất v) a cho Nếu Q1 |P Q2 |P Q1 Q2 |P P Nếu Q|P R (P , Q) vi) v) Q|P R Q R|P hiển nhiên xuất phát từ định nghĩa Q|P tồn S cho P = Q S vi), ta áp dụng định lý Bezout (P , Q) = suy tồn cho S P R = Q S U, cho V P U + Q V = Khi R = (P U + Q V ) R = (P R)U + Q V R = Q S U + Q V R = Q (S U + V R) suy Q|R Từ giả thiết Q|P , R|P (Q, R) nên theo v) suy S chia hết cho R, vii) tức S = R S Vậy = suy Vì P P = Q S P = Q S = (Q R) S suy P = Q S chia hết cho R, mà (Q, R) = chia hết cho Q R 1.10 Các ví dụ có lời giải Bài tốn Tìm tất cặp số a, b cho x Giải: Nếu x + 4x + ax 4 ⇔ x + 4x + ax + ax + bx + bình phương đa thức bình phương đa thức đa thức phải có bậc + bx + x + 4x + 4x + ax + bx + = (Ax + bx + = A x + 2ABx Giả sử + Bx + C ) 2 + (2AC + B )x + 2BCx + C Đồng hệ số hai vế, ta A = 1, 2AB = 4, 2AC + B Khơng tính tổng qt, giả sử A = 1, suy a = 6, b = Nếu C = −1 a = 2, b = −4 = a, 2BC = b, C B = Vậy có hai cặp số (a, b) thoả mãn yêu cầu toán (6, 4) = C −1 Nếu C = (2, −4) Bài tốn Cho đa thức P (x) hai số a, b phân biệt Biết x − b dư B Hãy tìm dư phép chia P (x) cho (xa)(xb) P (x) chia cho x − a dư A, P (x) chia cho http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 7/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Giải: Giả sử Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học P (x) = (xa)(xb)Q(x) + Cx + D Lần lượt thay x = a, b, ta A = Ca + D, B = Cb + D Từ suy AB C = a , D = A– AB ab 100 Bài tốn Tìm dư phép chia x Giải: Giả sử 100 x cho ab (x − 1) = (x − 1) Q(x) + Ax + B Thay aB– bA = ab x = , ta = A + B Lấy đạo hàm hai vế cho x = , ta 100 = A Từ suy dư 100x– 99 Trần Nam Dũng Mời bạn thảo luận thêm http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 8/8 ... http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 2/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Tốn học 1.6 Phép chia có dư Định lý Với hai đa. .. http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học Ta có, theo... http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 4/8 Ngày 25 tháng năm 2014 Chuyên đề đa thức - Diễn đàn Toán học 1.8 Thuật tốn Euclide Để tìm ước chung lớn hai đa thức P (x),