Chuyen de Day so

Chuyên đề Giới hạn dÃy số Trong chơng DÃy số Giới hạn liên tục, đà trình bày số định nghĩa, tính chất định lý dÃy số giới hạn dÃy số Đây kiến thức chơng trình phổ thông, chủ yếu phục vụ cho việc xây dựng khái niệm giới hạn hàm số tiếp sau khái niệm đạo hàm Trong chuyên đề này, trình bày kiến thức chuyên sâu giới hạn dÃy số, phơng pháp để chứng minh hội tụ dÃy số tìm giới hạn dÃy số mức độ nâng cao Để độc giả dễ theo dõi nghiên cứu nội dung chuyên đề, lặp lại số định nghĩa kết (không chứng minh) đà nhắc tới chơng trớc Định nghĩa định lý Ta nhắc lại định nghĩa khái niệm dÃy số số đặc tính liên quan Định nghÜa D·y sè lµ mét hµm sè tõ ℕ vào tập hợp số ( , , , , hay tập tập hợp trên) Các số hạng dÃy số thờng đợc ký hiƯu lµ un , , xn , yn , thay v× u (n), v(n), x(n), y (n), Bản thân dÃy số đợc ký hiệu {xn } Vì dÃy số trờng hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa DÃy số {xn } đợc gọi dÃy tăng (giảm) víi mäi n ta cã xn +1 ≥ xn ( xn+1 xn ) DÃy số tăng dÃy số giảm đợc gọi chung dÃy đơn điệu DÃy số {xn } đợc gọi bị chặn tån t¹i sè thùc M cho víi mäi n ta cã xn ≤ M D·y sè {xn } đợc gọi bị chặn dới tồn số thùc m cho víi mäi n ta cã xn m Một dÃy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dới đợc gọi dÃy bị chặn DÃy số {xn } đợc gọi tuần hoàn với chu kú k nÕu xn + k = xn víi n DÃy số tuần hoàn với chu kỳ gọi dÃy Khái niệm giới hạn dÃy số đà đợc đa chơng
Ta nhắc lại định nghĩa hình thức cho khái niệm Định nghĩa Ta nói dÃy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dẫn ®Õn v« cïng nÕu víi mäi ε > , tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dÃy sè xn vµ ε) cho víi mäi n > N ta cã | xn − a | nhá h¬n ε lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : ∀n > N :| xn − a |< ε Ta nãi d·y sè {xn } dần đến vô n dần đến vô với số thực dơng M lớn tuỳ ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vµo d·y sè xn vµ M) cho víi mäi n > N , ta cã | xn | lín h¬n M lim xn = ∞ ⇔ ∀M > : ∃N ∈ ℕ : ∀n > N : xn > M D·y sè cã giíi h¹n hữu hạn đợc gọi dÃy hội tụ DÃy số giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dÃy phân kỳ §Ĩ tÝnh giíi h¹n d·y sè, ta cã thĨ dïng định nghĩa (nếu đà biết giá trị giới hạn) sử dụng định lý tính chất dới Định lý (Tổng, hiệu, tích, thơng dÃy hội tụ) Nếu {xn }, { yn } dÃy hội tụ có giới hạn tơng ứng a, b dÃy xn hội tụ có giới hạn tơng ứng y  n sè {xn − yn }, {xn + yn }, {xn yn },  a + b, a − b, a.b, a (Trong tr−êng hỵp d·y sè thơng, ta giả sử yn b 0) b Định lý (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho dÃy số {xn } có giới hạn hữu hạn , N : ∀n > N ta cã a ≤ xn b a b Định lý (Định lý kẹp) Cho ba dÃy số {xn }, { yn }, {zn } ®ã {xn } {zn } có giới hạn hữu hạn L, vµ ∃N ∈ ℕ : ∀n > N ta cã xn ≤ yn ≤ zn Khi ®ã { yn } có giới hạn L Các định lý đà đợc trình bày chơng trớc với ví dụ áp dụng Vì thế, chuyên đề sử dụng chúng lời giải toán ví dụ Việc tìm giới hạn dÃy số, đơng nhiên, không đơn giản dừng lại mức độ áp dụng định nghĩa định lý 1, 2, nói Trong nhiều trờng hợp, việc tìm giới hạn dÃy số đợc chia thành công ®o¹n: 1) Chøng minh d·y sè ®ã héi tơ; 2) Trên sở hội tụ đó, tìm giới hạn cđa d·y sè Chóng ta h·y cïng t×m hiĨu râ ®iỊu ®ã qua vÝ dơ thĨ sau: VÝ dơ Víi d·y sè x1 = 1, xn +1 = xn + (1), ta chứng minh đợc dÃy hội tụ có giới hạn L rõ ràng, cách chuyển đẳng thức (1) qua giới hạn, ta cã L = L + , tõ ®ã suy L = ViÖc chøng minh sù tån t¹i giíi h¹n tr−íc chun sang giíi h¹n cần thiết Ví dụ, với dÃy số x1 = 1, xn +1 = , n = 1, 2,3, NÕu ta bá qua b−íc chøng minh tån xn giới hạn lim xn = L mà hấp tấp chuyển công thức truy hồi qua giới hạn, ta đa kết luận sai lầm lim xn = Trên thực tế dÃy không hội tụ dÃy tuần hoàn dạng 1, 2, 1, 2, 1, 2,
Chính lý nói trên, việc tìm điều kiện để dÃy số hội tụ quan trọng Các định lý tiếp sau nên lên điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để dÃy hội tụ Trớc hết, ta có điều kiện cần đơn giản: Mệnh đề Nếu dÃy số {xn } hội tụ {xn } bị chặn Chứng minh Giả sư {xn } héi tơ vµ lim xn = L Theo định nghĩa, với = , tồn t¹i N0 cho víi mäi n > N th× −1 < xn − L < , suy L − < xn < L + Bây đặt M = max{x1 , x2 , , xN , L + 1}, m = min{x1 , x2 , , xN , L − 1} th× ta cã: 0 m ≤ xn ≤ M víi mäi n = 1, 2, 3, … Nh− vËy {xn } bị chặn Dễ thấy điều kiện đủ Chẳng hạn dÃy 1, 2, 1, 2, 1, 2,
vừa nói tới bị chặn nhng không hội tụ Tuy nhiên, bổ sung thêm điều kiện đơn điệu ta có dÃy hội tụ Đó nội dung định lý quan trọng sau Định lý (DÃy đơn điệu) Một dÃy tăng bị chặn hay dÃy giảm bị chặn dới hội tụ Nói ngắn gọn hơn, dÃy số đơn điệu bị chặn hội tụ Phép chứng minh định lý tảng nµy dùa vµo mét tÝnh chÊt quan träng cđa tËp số thực: Một tập bị chặn có chặn đúng, tập bị chặn dới có chặn dới Ta bỏ qua phép chứng minh định lý Chẳng hạn ta sử dụng định lý để chứng minh dÃy số ví dụ lµ héi tơ ThËt vËy, ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p r»ng: i) ii) xn+1 > xn víi mäi n = 0, 1, 2, 3, xn < víi mäi n = 0, 1, 2, 3, Câu hỏi HÃy thực chứng minh Nh thế, áp dụng định lý 5, ta suy {xn } hội tụ Và, cách chuyển qua giới hạn nh đà nêu trên, ta tìm đợc giới hạn dÃy số đà cho Định lý 5, ngợc lại, điều kiện đủ để dÃy số hội tụ Một dÃy số hội tụ thiết bị chặn nhng không thiết đơn điệu VÝ dô d·y sè x n = (−1) n héi tơ vỊ n → +∞ nh−ng kh«ng phải dÃy đơn điệu n Mệnh đề dới đơn giản nhng hữu ích toán tính giới hạn dÃy số Mệnh đề a) Nếu dÃy {xn } tăng có giới hạn n dần đến vô L ta cã xn ≤ L víi mäi n b) NÕu d·y {xn } giảm có giới hạn n dần đến vô L ta có xn L víi mäi n Chøng minh Ta chØ cÇn chøng minh a), b) hoàn toàn tơng tự Giả sử ngợc lại, tồn k cho xk > L Khi đó, dÃy số an tăng nên ta cã xn ≥ xk víi mäi n > k áp dụng định lý 2, ta có L = lim xn xk > L , mâu thuẫn Định lý dới kết quan trọng khác, xuất hiƯn nhiỊu viƯc chøng minh c¸c tÝnh chÊt cđa hàm số liên tục Định lý (Về dÃy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dÃy số thực {an }, {bn } cho: a) ∀n ∈ ℕ*: an ≤ bn ; b) ∀n ∈ ℕ*: [ an ; bn ] ⊂ [ an+1 ; bn +1 ] ; c) bn − an → n → +∞ Khi tồn số thực L cho ∩ [ a ; b ] = {L} n n n =1 Chøng minh Theo ®iỊu kiện b) an +1 an bn+1 bn suy {an } dÃy tăng, {bn } dÃy giảm Từ đây, kết hợp với a) ta cã an ≤ b1 víi mäi n vµ bn ≥ a1 víi mäi n Nh− vËy {an } lµ dÃy tăng bị chặn trên, {bn } dÃy giảm bị chặn dới Theo định lý 5, tồn lim an = A lim bn = B Do bn − an → n → +∞ nªn ∞ A = B = L Theo mệnh đề an L bn víi mäi n, suy L ∈ ∩ [ an ; bn ] n =1 TÝnh nhÊt L hiển nhiên Định lý (Bolzano-Weierstrass) Từ dÃy bị chặn trích d·y héi tô Chøng minh XÐt d·y {an } bị chặn, tức tồn m M cho đoạn [ m; M ] chứa tất số hạng {an } Ta xây dựng dÃy đoạn thẳng [ xn ; yn ] theo quy t¾c sau: x1 = m, y1 = M x1 + y1 V× [ x1; y1 ] chøa tÊt số hạng {an } nên hai đoạn [ x1 ; t ], [t ; y1 ] phải chứa vô số số hạng {an } Nếu đoạn [ x1 ; t ] chứa vô số số hạng {an } ta đặt x2 = x1 , y2 = t Nếu [ x1 ; t ] chứa hữu hạn số hạng {an } (khi [t; y1 ] chứa vô số số hạng {an } ) ta đặt x2 = t , y2 = y1 Đặt t = Tơng tự nh thế, ta đà xây dựng đợc đoạn [ xk ; yk ] chứa vô số số hạng {an } xây dựng đợc đoạn [ xk +1 ; yk +1 ] lµ mét hai nưa cđa [ xk ; yk ] chứa vô số số hạng {an } Nh thế, ta xây dựng đợc dÃy đoạn thẳng [ xk ; yk ] lồng nhau, có M m đoạn [ xk ; yk ] chứa vô số số hạng {an } Bây 2k ta chän d·y {ai j } cña {an } nh− sau ai1 = a1 Gi¶ sư ai1 , , j đà đợc chọn yk xk = ta sÏ chän chØ sè i j +1 cho: 1) i j +1 > i j ; 2) j +1 ∈ [ xk +1 ; y k +1 ] Việc chọn thực đợc [ xk +1 ; yk +1 ] chøa v« sè số hạng {an } Theo định lý dÃy đoạn thẳng lồng tồn số thực L giao tất đoạn thẳng [ xk ; yk ] dễ thấy theo cách chọn, L giới hạn dÃy {ai j } , tức ta đà trích đợc dÃy hội tụ từ {an } Định nghĩa DÃy {xn } đợc gọi lµ d·y Cauchy nÕu ∀ε > : ∃N ∈ ℕ : ∀m, n > N th× | xm − xn |< ε C©u hái Chøng minh r»ng {xn } dÃy Cauchy {xn } bị chặn Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) DÃy số {xn} có giới hạn hữu hạn nã lµ d·y Cauchy Chøng minh NÕu d·y {xn } hội tụ giới hạn hữu hạn L > : ∃N ∈ ℕ ε cho m > N ta cã | xm − L |< Khi ®ã víi mäi m, n > N , ta cã: xm − xn =| ( xm − L) − ( xn − L) |≤| ( xm − L) | + | ( xn − L) |< ε + ε =ε Suy {xn } dÃy Cauchy Ngợc lại, giả sử {xn } dÃy Cauchy Khi dÃy {xn } bị chặn Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dÃy {xik } {xn } có giới hạn hữu hạn L Ta chứng minh L giới hạn {xn } ThËt vËy, víi mäi ε > 0, tån t¹i ε k0 cho víi mäi k > k0 , ta cã | xi − L |< k Mặt khác, {xn } dÃy Cauchy nên tồn t¹i N0 cho víi mäi m, n > N , ta cã xm − xn < ε Do ik + nên tồn k > k0 cho ik > N B©y giê xÐt m > N bÊt kú, ta cã: ε ε xm − L = ( xm − xi ) + ( xi − L) ≤ xm − xi + xi − L < + = ε k k k k Suy lim xn = L Tiªu chuÈn Cauchy dùng để khảo sát hội tụ dÃy số mà ta không tính đợc (hoặc dự đoán đợc) giới hạn (và dùng định nghÜa) VÝ dô Chøng minh r»ng d·y sè xn xác định x n = + 1 + + héi tơ 2 n Gi¶i Ta cã víi m > n th× : 1 1 + + < + + (n + 1) (m − 1)m m n(n + 1) 1 1 1 1 = − + − + + − = − < n n +1 n +1 n + m −1 m n m n xm − xn = Do ®ã víi mäi ε > , nÕu chän N số nguyên lớn m, n > N , ta cã: xm − xn < 1 < x1 , chứng minh tơng tự ta đợc dÃy { xn } giảm 2) Nếu f hàm số giảm I fo f hàm số tăng I, { x2k } { x2 k +1} dÃy đơn điệu Ngoài ra, chẳng hạn x0 x2 th× ta cã f ( x0 ) ≥ f ( x2 ) , tøc lµ x1 ≥ x3 suy dÃy { x2 k +1} tăng dÃy { x2k } giảm 3) Hiển nhiên Ví dụ (Vô địch sinh viên Moskva, 1982) Cho dÃy số { xn } xác định x0 = 1982, xn +1 = , n = 0,1, 2, H·y t×m lim xn n →∞ − xn Gi¶i: TÝnh to¸n trùc tiÕp ta thÊy < x2 < 1, x3 > x2 V× f ( x) = hàm số 3x tăng từ [0,1] vào [0,1] nên từ đây, { xn }n dÃy số tăng bị chặn có giới hạn Giả sử giới hạn a ta có a = 1 a = (giá trị a = loại 3a dÃy tăng) Câu hỏi Với giá trị x0 dÃy số xác định với x có giới hạn? Khi giới hạn 1? Khi giới hạn ? VÝ dô Cho d·y số {xn } x¸c định x0 = xn+1 = ( 2) xn với n = 0,1, 2, Chứng minh d·y {xn } cã giới hạn hữu hạn v tìm gii hn Giải t f ( x) = ( ) x th× d·y số cã dạng x0 = xn +1 = f ( xn ) Ta thấy f ( x) n hàm số tăng x1 = ( 2) > = x0 Từ ®ã, f ( x) hàm số tăng nªn ta cã x2 = f ( x1 ) > f ( x0 ) = x1 , x3 = f ( x2 ) > f ( x1 ) = x2 , Suy {xn } d·y số tăng Tiếp theo, ta chứng minh quy nạp xn < với n ThËt vËy, ®iều đóng với n = Giả sử ta ®· cã xk < th× râ ràng xk +1 = ( 2) < ( 2) xk = Theo nguyªn lý quy nạp, ta cã xn < với n Vậy d·y {xn } tăng bị chặn trªn nªn d·y cã giới hạn hữu hn Gi a l gii hn chuyn ng thức truy håi: xn +1 = ( 2) xn sang giới hạn, ta ( ) Ngoài ta cã a ≤ ln x ln x Xét phơng trình x = ( ) ta thấy = ln( 2) Khảo s¸t hàm số y = x x a = a x phương trình có nghim bé e v nghiệm lớn e V× nghim ca phng trình nên rõ ràng ch có nghim nht ca phng trình tho mÃn điều kiện không vợt T suy a = Vậy giới hạn { xn } n dần đến v« cïng Trong tr−êng hợp f ( x) hàm giảm, ta chøng minh d·y héi tơ b»ng c¸ch chøng minh hai dÃy hội tụ giới hạn nh định lí Ví dụ Khảo sát hội tụ dÃy số {un } xác định u0 = a ≥ 0, un +1 = + un2 Giải Một phép quy nạp đơn giản chØ r»ng un ≥ víi mäi n hàm liên tục Ta có: 1+ x2 x [0; +∞), f ( x) = x ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = XÐt hµm sè f :[0; +∞) → [0; +∞) , f ( x) = Do ®ã, nÕu {un } héi tơ th× nã chØ cã thĨ héi tụ đến Hàm số f khả vi [0; +∞) vµ ∀x ∈ [0; +∞), f '( x) = − 4x ≤ , suy f gi¶m (1 + x ) TiÕp theo, ta sÏ chøng minh lim u2 k = vµ lim u2 k +1 = XÐt g = fo f :[0; +∞) → [0; +∞) , g ( x) = 2(1 + x ) g hàm tăng f giảm (1 + x ) + Ta tÝnh: x − x + x − x + 5x − ( x − 1) ( x + x + 2) g ( x) − x = − =− (1 + x ) + (1 + x ) + Ta xÐt trờng hợp sau: *Trờng hợp 1: u0 = a ∈ [0,1] Khi Êy víi mäi k ∈ ℕ , ( u2 k ∈ [0,1] vµ u2 k +1 ∈ [1; ∞] ) VËy víi mäi k ∈ ℕ , ta cã u2 k + − u2 k = g (u2 k ) − u2 k ≥ u2 k +3 − u2 k +1 = g (u2 k +1 ) − u2 k +1 ≤ Do {u2k } tăng {u2 k +1} giảm Hơn nữa, ( p , u2 k ≤ u2 k +1 ), nªn ta suy {u2k } hội tụ đến giới hạn L1 thuộc [0; ) {u2 k +1} hội tụ đến giới hạn L2 thuộc [0; ) Vì g liên tục [0; ) phơng trình g ( x) = x cã nghiÖm nhÊt x = trªn [0; ∞) nªn ta suy L1 = L2 = Cuối ta đợc lim un = Tr−êng hỵp 2: u0 = a ∈ [1, ∞] : V× u1 = f (u0 ) = f (a ) ∈ [0,1] ta quy vỊ tr−êng hỵp (bằng cách thay u0 u1) có mét kÕt luËn lim un = Trong mét số trờng hợp, hàm số đà cho không đơn điệu tập xác định mà đơn điệu miền giá trị mà số hạng dÃy nhận đợc Ta cần xác định miền hẹp tốt để đó, hàm số đà cho đơn điệu áp dụng phơng pháp đánh giá dÃy sè ®· cho u1 =  VÝ dơ Cho d·y sè (un ) tháa m·n:  un2 + 4un + u =  n +1 u + u + , n ≥ n n  Chøng minh d·y sè (un ) cã giíi h¹n hữu hạn Tìm giới hạn Giải: Ta thy un > 0, ∀n từ: un +1 = un2 + 4un + 3un (un − 1) 2 = + = − , un2 + un + un2 + un + un2 + un + ta cã: < un < 2, ∀n x2 + 4x + 3(1 − x ) , ∈ 1; ⇒ '( ) = f (u3 ) ⇒ u2 < u4 ⇒ f (u2 ) < f (u4 ) ⇒ u3 < u5 Tiến hành tương tự, suy ra: u1 < u3 < u5 < ⇒ D·y u2n +1 tăng bị chặn trªn nªn cã giới hạn, giả sử α ∈ [1; 2] u2 > u4 > u6 > ⇒ D·y u2 n giảm bị chặn nªn cã giới hạn, giả sử β ∈ [1; 2] u2 n +1 = f (u2 n ) Chuyển qua giới hạn, ta cã: u2 n + = f (u2 n +1 ) Ta cã:  ⇒ α − β = f ( β ) − f (α ) ⇔ α − β = α = f ( β )   β = f (α ) β + 4β + α + 4α + − β + β +1 α + α +1   β α 3(α − β )(αβ − 1) ⇔ α − β = 3 − ⇔α −β = (α + α + 1)( β + β + 1)  β + β +1 α + α +1  α − β = ⇔ 2 3(αβ − 1) = (α + α + 1)( β + β + 1) Ta thy phng trình th hai giá trị α , β ∈ [1; 2] thỏa m·n α = β = t Do đã, lim u2 n +1 = lim u2 n = t , hai d·y ®ã cã cïng giới hạn t n →+∞ n + 2.4 Bài tập áp dụng Bài Cho dÃy sè { xn } tháa m·n x0 = 2, xn+1 = Tính phần nguyên tổng n x k xn + , n = 0,1, 2, xn + k =1 n  k =1  Bµi 2: Chøng minh r»ng: lim an = ∑  +  k − 1 = n  n Bµi Cho d·y sè {an } tháa m·n: lim an ∑ ai2 = Chøng minh r»ng: lim 3n an = i =1 Bµi Cho d·y sè {an } tháa m·n: a1 ∈ (0,1) vµ an +1 = an − an2 , n = 1, 2, 3, Chøng minh r»ng: lim nan = Bµi Cho dÃy số thực { xn } xác định bëi : x0 = 0, x1 = 2, xn+ = 2− x + , n = 0,1, 2, n Chứng minh { xn } có giới hạn hữu hạn n + Tìm giới hạn Bµi XÐt tÝnh héi tơ cđa d·y sau tïy theo giá trị a : x1 = a ≠ −2  xn2 + +  x = , n = 1, 2,3,  n +1 x x + + 2 n n  ax + b  −d  a  , f : ℝ \   → ℝ \   vµ d·y cx + d  c  c  tháa : u0 = k ∈ ℝ, un +1 = f (un ), n = 0,1, 2, Bµi Cho a , b, c, d ∈ ℝ XÐt hµm sè f ( x) = {un } Chøng minh r»ng f ( x ) lµ song ánh dÃy {un } đà cho xác định k , n , {vn } đợc xác định : v0 = −d , +1 = f −1 (vn ), n = 0,1, 2, (l−u ý r»ng d·y {vn } không xác c định từ số thứ tự đó) Đặt = (d − a )2 + 4bc BiÖn luËn theo ∆ sù héi tơ cđa d·y {un } Một số phơng pháp đặc biệt tìm giới hạn dÃy số 3.1 Phơng pháp dÃy số phụ Khi khảo sát hội tụ dÃy số ta thờng định lý dÃy đơn điệu bị chặn Nếu dÃy không đơn điệu thử xét dÃy với số chẵn với số lẻ Tuy nhiên, có dÃy số có hành vi phức tạp nhiều Chúng tăng giảm bất thờng Trong số trờng hợp nh thế, ta xây dựng (hoặc 2) dÃy số phụ đơn điệu, chứng minh dÃy số phụ có giới hạn sau chứng minh dÃy số ban đầu có giới hạn Tất nhiên, dÃy số phụ phải đợc xây dựng từ dÃy số Ví dụ 1: DÃy số {an } đợc xác định a1 > , a2 > vµ an +1 = Chøng an + an −1 minh r»ng d·y sè {an } héi tơ vµ tìm giới hạn dÃy số Giải: Xét hai d·y M n = max {an , an +1 , an + , an +3} vµ mn = {an , an+1 , an+ , an+3 } Ta chứng minh M n dÃy số giảm mn dÃy số tăng Thật vậy, ta chứng minh an + ≤ max {an +1 , an + } Từ suy M n+1 = an+1 an +2 an +3 rõ ràng M n = max {an , an +1 , an + , an +3} ≥ M n +1 ThËt vËt nÕu an+ ≥ an +3 th× suy ≥ (an +3 + an + )an+3 Khi ®ã an+1 = an + − an + = an +3 − ≥ an + an +3 + an + 2 − an + + an + an + + an + an + − an + + an + ≥ an + suy ®pcm (an +3 + an + )an + Ta đà chứng minh đợc M n giảm Tơng tự mn tăng Hai dÃy số bị chặn = nên hội tụ Cuối cùng, ta cần chứng minh hai giới hạn b»ng Suy d·y {an } héi tơ vµ lim an = VÝ dô Cho {un } dÃy bị chặn thỏa mÃn: 2an + an + an +1 , ∀n Chøng minh r»ng dÃy {an } hội tụ Giải Đặt An = max{an , an +1} Ta sÏ chøng minh d·y nµy héi tơ ThËt vËy: an + an +1 ≤ An ⇒ An +1 = max{an +1 , an + } ≤ max{ An +1 , An } = An + Do d·y {an } bÞ chặn nên dÃy { An } bị chặn, đồng thời theo nhận xét an + dÃy { An } giảm nên hội tụ Đặt lim An = ℓ Víi mäi ε > , tồn N nguyên dơng cho với mọi: n > N th×: ε ε ℓ − < An < ℓ + 3 { An } , suy ra: Theo định nghĩa - Nếu an ≥ ℓ − - NÕu: an < ℓ − ε an ≤ An < ℓ + ε ε ε th× suy ra: ℓ − ≤ an < ℓ + , ∀ε > ⇒ lim an = 3 theo định nghĩa { An } , ta đợc an+1 > − Suy ra:  ε  ε an ≥ 2an +1 − an −1 ≥  ℓ +  −  ℓ −  = ℓ − ε , tøc lµ: 3  3  ℓ − ε < an < ℓ + ε , ∀ε > ⇒ lim an = ℓ VËy mäi trờng hợp, dÃy đà cho có giới hạn 3.2 Xây dựng dÃy hội tụ phơng trình Có thể x©y dùng d·y sè héi tơ vỊ mét sè α xuất phát từ phơng trình có nghiệm theo c¸ch sau: VÝ dơ 1: XÐt α = , nghiệm phơng trình = Ta viÕt l¹i d−íi d¹ng α= α ⇔ 2α = α + ⇔α = α+ ta thiết lập dÃy số x thoả mÃn x = a , n α 2 xn + xn xn +1 = NÕu d·y nµy héi tụ giới hạn Tơng tự nh vậy, ta xây dựng đợc dÃy số tiến bậc k m nh sau: m xn + k −1 xn x0 = a , xn +1 = Cũng với giới hạn cần đến cách nh vậy: , ta xây dùng mét d·y sè kh¸c theo “phong x0 = a , xn +1 = + xn − xn2 Tất nhiên, tất ví dụ trên, ta có đợc phơng trình với nghiệm theo ý muốn đà chứng minh đợc hội tụ dÃy số Vì vậy, cần cẩn thận với xn2 với x0 dÃy hội tụ, lúc giới hạn cách thiết lập toán kiểu Ví dụ, với d·y sè xn +1 = + xn − Mét cách tổng quát, ta dùng phơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ Newton để xây dựng dÃy số Để tìm nghiệm phơng trình F ( x ) = , phơng pháp Newton đề nghị chọn x0 tơng đối gần nghiệm xây dựng dÃy truy håi: xn +1 = xn − F ( xn ) F ' ( xn ) ®ã d·y xn sÏ dần đến nghiệm phơng trình F ( x ) = VÝ dơ 2: XÐt hµm sè F ( x ) = x − , th× XÐt hµm sè F ( x ) = x3 − x th× F ( x) F '( x) F ( x) F '( x) x ta đợc dÃy sè xn +1 = 2x = = xn + xn xn3 x3 − x x = ta đợc dÃy số n +1 3x2 3xn2 − 3.3 D·y sè lµ nghiƯm cđa mét họ phơng trình phụ thuộc biến n Xét họ phơng trình F ( n, x ) = Nếu với n, phơng trình F ( n, x ) = cã nghiƯm nhÊt trªn mét miỊn D dÃy số xn đà đợc xác định Từ mối liên hệ hàm F ( n, x ) = d·y sè nµy cã thĨ có tính chất thú vị Ví dụ 1: Chứng minh với n nguyên dơng, phơng trình 1 + + + =0 x x −1 x−n cã nghiƯm nhÊt xn thc kho¶ng (0, 1) T×m lim xn n →+∞ Lời giải: Do xn x¸c định víi hàm số f n ( x) = 1 + + + x x xn liên tục v đơn iu (0,1) Tuy nhiên, ta không th xác nh gi¸ trị thể cđa nã Rất may mắn, để chứng minh tÝnh hội tụ xn, ta kh«ng cần đến điều Ch cn chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tÝnh bị chặn, thứ ổn víi < xn < Với tÝnh đơn điệu, ta chó ý chót đến mối liªn hệ f n ( x) f n +1 ( x ) là: f n +1 ( x) = f n ( x) + x n Đây chìa khóa để chứng minh tính đơn điệu ca { xn } *Lêi gi¶i thĨ nh− sau: Râ ràng xn x¸c định c¸ch nhất, < xn < Ta cã: ... = 0,1, 2,3, 1) Nếu f hàm số tăng I { xn } dÃy đơn điệu DÃy số tăng hay giảm tuỳ theo vị trí x0 so với x1 2) Nếu f hàm giảm D dÃy { x2 k } , { x2 k +1} dÃy đơn điệu (và ngợc chiều nhau) 3) Giả... n = 0,1, 2, Bµi Cho a , b, c, d ∈ ℝ XÐt hµm sè f ( x) = {un } Chøng minh r»ng f ( x ) lµ mét song ánh dÃy {un } đà cho xác định vµ chØ k ≠ , ∀n , {vn } đợc xác định : v0 = −d , +1 = f −1 (vn