Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Một trong số những dạng toán khó trong các đề thi đại học là bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số.. Tuy

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một trong số những dạng toán khó trong các đề thi đại học là bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số Tuy nhiên, đối với những hàm số một biến thì việc tìm GTLN và GTNN khá dễ dàng, ta chỉ cần nắm được các phương pháp cơ bản là có thể tìm được Trong bài viết này, ta sẽ tìm hiểu thế nào là GTLN, GTNN và phương pháp tìm GTLN, GTNN của các hàm số một biến thường gặp.

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D

nếu f(x)≤M∀x∈D và ∃x0∈D sao cho f(x0)=M, ký hiệu: maxDy=M

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D

nếu f(x)≥m∀x∈D và ∃x0∈D sao cho f(x0)=m, ký hiệu: minDy=m

Ta có thể hiểu rằng: số lớn nhất trong tất cả các giá trị f(x) với x∈D gọi là GTLN và số nhỏ nhất trong tất cả các giá trị f(x) với x∈D gọi là GTNN

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số Đây là phương pháp chung cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Ta làm theo các bước sau:

• Tìm tập xác định của hàm số.

• Tìm y', cho y' = 0 giải nghiệm.

• Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x−x−4−−−−−√

Gi

ả i

Tập xác đinh: D=[4;+∞)

y′= 1−12x−4√

y′=0⇔1−12x−4√=0⇔x−4−−−−−√=12⇔x−4=14⇔x=174

Bảng biến thiên:

Nhận xét: dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 154 và không

có giá trị lớn nhất vì hàm số tặng lên +∞.

Vậy min[4;+∞)y=154 tại x=174

Hàm số không có giá trị lớn nhất

Xem thêm: Tính đ ơ n đi ệ u c ủ a hàm s ố và các d ạ ng toán th ườ ng g ặ p

Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a, b] Ta làm theo các bước sau:

• Tìm tập xác định của hàm số.

• Tìm y'

• Tìm các điểm x1,x2, xn thuộc khoảng (a,b) mà tại đó y' = 0 hoặc y' không xác định.

• Tính các giá trị f(a),f(b),f(x1),f(x2) f(xn)

luận: max[a,b]f(x)= max f(a),f(b),f(x { 1),f(x2) f(xn)} và mim[a,b]f(x)= min f(a) { , f(b),f(x1), f(x2) f(xn)}.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x+4x trên đoạn [1,3] (THPT Quốc gia 2015)

Gi

ả i

Tập xác định: D=R/{0}

f′(x)=1−4x 2

f′(x)=0⇔1−4x 2=0⇔[x=2∈(1;3)x=−2∉(1;3)

f(1)=5,f(2)=4,f(3)=133

Vậy max[1;3]f(x)=5 tại x = 1, min[1;3]f(x)=4 tại x = 2

Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là một đoạn thì ta vẫn có thể sử dụng phương pháp 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=12( x+4−x2−−−−−√)

Gi

ả i

Tập xác định: D=[−2;2]

y′=4−x 2 √−x24−x 2 √

y′=0⇔4−x2−−−−−√=x⇔{x≥04−x2=x2⇔x=2√∈(−2;2)

y(−2)=−1;y(2√)=2√;y(2)= 1

Vậy max[−2;2]y=y(2√)=2√;min[−2;2]y=y(−2)=− 1

Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

mà học sinh phải nắm vững Đây là cơ sở nền tảng để có thể làm được các bài toán phức tạp hơn