Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Một số dạng toán khó đề thi đại học toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Tuy nhiên, hàm số biến việc tìm GTLN GTNN dễ dàng, ta cần nắm phương pháp tìm Trong viết này, ta tìm hiểu GTLN, GTNN phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số biến thường gặp Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm số y = f(x) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số f(x) D f(x)≤M∀x∈D ∃x0∈D cho f(x0)=M, ký hiệu: maxDy=M • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D f(x)≥m∀x∈D ∃x0∈D cho f(x0)=m, ký hiệu: minDy=m Ta hiểu rằng: số lớn tất giá trị f(x) với x∈D gọi GTLN số nhỏ tất giá trị f(x) với x∈D gọi GTNN Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số Đây phương pháp chung cho toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ta làm theo bước sau: • Tìm tập xác định hàm số • Tìm y', cho y' = giải nghiệm • Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=x−x−4−−−−−√ Giải Tập xác đinh: D=[4;+∞) y′=1−12x−4√ y′=0⇔1−12x−4√=0⇔x−4−−−−−√=12⇔x−4=14⇔x=174 Bảng biến thiên: Nhận xét: dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ hàm số 154 giá trị lớn hàm số tặng lên +∞ Vậy min[4;+∞)y=154 x=174 Hàm số giá trị lớn Xem thêm: Tính đơn điệu hàm số dạng toán thường gặp Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) [a, b] Ta làm theo bước sau: • Tìm tập xác định hàm số • Tìm y' • Tìm điểm x1,x2, xn thuộc khoảng (a,b) mà y' = y' không xác định • Tính giá trị f(a),f(b),f(x1),f(x2) f(xn) • Kết luận: max[a,b]f(x)=max{f(a),f(b),f(x1),f(x2) f(xn)} mim[a,b]f(x)=min{f(a) ,f(b),f(x1),f(x2) f(xn)} Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x)=x+4x đoạn [1,3] (THPT Quốc gia 2015) Giải Tập xác định: D=R/{0} f′(x)=1−4x2 f′(x)=0⇔1−4x2=0⇔[x=2∈(1;3)x=−2∉(1;3) f(1)=5,f(2)=4,f(3)=133 Vậy max[1;3]f(x)=5 x = 1, min[1;3]f(x)=4 x = Lưu ý: số toán yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số mà không nói đoạn tập xác định hàm số đoạn ta sử dụng phương pháp Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=12(x+4−x2−−−−−√) Giải Tập xác định: D=[−2;2] y′=4−x2√−x24−x2√ y′=0⇔4−x2−−−−−√=x⇔{x≥04−x2=x2⇔x=2√∈(−2;2) y(−2)=−1;y(2√)=2√;y(2)=1 Vậy max[−2;2]y=y(2√)=2√;min[−2;2]y=y(−2)=−1 Trên hai phương pháp để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số mà học sinh phải nắm vững Đây sở tảng để làm toán phức tạp