Luận văn tính đối ngẫu và song trực giao của khung weyl heisenberg

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TR N NGC HO TN H I N G U V SONG T R C GIAO C A K H U N G W EYL - H EISEN BER G LUN VN TH C s TO N HC H Ni, 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TR N NGC HO TN H I N G U V SONG T R C GIAO C A K H U N G W EYL - H EISEN BER G C h u y n n g n h : T o ỏ n G i i T ớc h M ó s: 60 46 01 02 LUN VN TH C s TO N HC N g i h n g d n k h o a h c: TS N G U Y N Q U N H N G A H Ni, 2016 Li cm n Tụi xin c by t lũng bit n chõn th n h ti cụ giỏo TS Nguyn Qunh Nga ó tn tõm truyn th kin thc v hng dn tụi hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn th n h ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng H Ni, thỏng nm 2016 T ỏc g i T r n N g c H o Li cam oan Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s ch bo v hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon th n h lun vn, tụi ó k th a nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 T ỏc g i T rn N gc H o M uc luc M u 1 K i n th c c h u n b 1.1 Mt s khụng gian h m 1.2 Toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian H ilb e r t 1.3 Phộp bin i Fourier thi gian n g n 11 1.4 Khung tng quỏt khụng gian Hilbert 11 1.5 Phộp bin i Z a k 22 T ớn h i n g u v so n g t r c g iao c a k h u n g W e y l - H e is e n b e rg 29 2.1 Khung Weyl - H e ise n b e rg 29 2.2 T ớnh i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg 46 2.2.1 nh lý Wexler - R a z 46 2.2.2 Mi liờn h gia toỏn t khung s v m a tr n GG* 2.2.3 Hm i ngu cc tiu 54 2.2.4 Mt s vớ d 60 50 K t lu n 64 T i li u t h a m k h o 65 M u Lớ chn ti Do phộp bin i Fourier, m t cụng c c s dng rng rói toỏn hc, vt lý v k th u t, khụng cha nhng thụng tin a phng ca cỏc tớn hiu nờn nú khụng th s dng c vic phõn tớch cỏc tớn hiu m t chung thi gian v tn s Dennis Gabor, m t nh vt lý v k s ngi Hungary, ngi ó c nhn gii Nobel v vt lý ó sm nhn nhc im ny Nm 1946, ụng a phộp bin i G abor nhm khc phc cỏc yu im ca phộp bin i Fourier bng cỏch dựng m t hm ca s a phng húa thi gian g(t b) ly nhng thụng tin a phng ca phộp bin i Fourier ca tớn hiu, ú tham s b c dựng dch chuyn ca s ph ton b trc thi gian Nh ú gii tớch G abor ó c ng dng nhiu lnh vc ca khoa hc v k th u t nh nộn nh, nhn dng i tng, quang hc, Khung c R J Duffin v A c Schaeffer [6] a nm 1952 Tuy nhiờn phi n nm 1986, sau bi bỏo ca I Daubechies, A Grossm ann v Y Meyer [4] th ỡ khung mi c cỏc nh khoa hc quan tõm rng rói Khung cú nhiu ng dng x lý tớn hiu, lý thuyt m t mó, nộn d li u , Cng chớnh nh bi bỏo [4] m ln u tiờn gii tớch G abor ó kt hp vi lý thuyt khung v phỏt trin theo m t hng mi, cung cp mt cụng c phõn tớch v x lý cỏc tớn hiu nh ging núi v õm nhc Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v khung núi chung v khung G abor (hay cũn gi l khung Weyl - Heisenberg) núi riờng, c s ng ý hng dn ca TS.Nguyn Qunh Nga, tụi quyt nh chn T ớnh i ngõu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg lm ti lun cao hc ca mỡnh M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu tng quan v khung Weyl - Heisenberg v cỏc tớnh cht i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg N him v nghiờn cu Nm vng cỏc kin thc c bn v toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Hilbert, m t s khụng gian hm, lý thuyt khung tng quỏt khụng gian Hilbert, khung Weyl - Heisenberg, phộp bin i Zak, phộp bin i Fourier thi gian ngn Nghiờn cu tớnh i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg bao gm nh lý Wexler - Raz, mi liờn h gia toỏn t khung s v ma tr n GG*, hm i ngu cc tiu i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Tớnh i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo, ti liu v ngoi nc liờn quan n tớnh i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn Thu th p v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp ti úng gúp mi ca lun Lun hi vng l m t ti liu tng quan v tớnh i ngu v song trc giao ca khung Weyl - Heisenberg Chng K in th c chun b Trong chng ny, chỳng tụi s nhc li m t vi khỏi nim, kt qu c bn s dựng chng sau Cỏc kt qu ny c tham kho t cỏc ti liu [1], [2], [4], [9] 1.1 M t s khụng gian hm ( ỡ L 2(1R) = ^ / : M ằ (C I / o c v / /(:r)2ÊZ:r < + oo ^ ỡ K ) L 2(wt) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng xỏc nh bi (f,g) = {x) g{x) dx , / , ớ? g L 2(m) R v chun xỏc nh bi n h lý 1.1.1 ( B t n g th c C a u c h y - S c h w a r z cho tớc h p h õ n ) Vi mi f , g L 2( R ) ta cú J \ m {x)\dx < j \ f ( x ) \ 2d x \ R \R / J \ g ( x ) \ 2d x \ \R / Mt phiờn bn ri rc ca L 2(lR) l l2 ) vi I l m t ch s m c l2) = I {Xk}kÊi c c ^ \ x k \2 < + ^ kel ' l2 ) l khụng gian H ilbert vi tớch vụ hng 9k/b,i/a) {Uk',19, Uk,ig) ú k, l, k' , V G z 50 (2.44) n h lý 2 Gi s g e L 2(R) v cho A > 0, B < 00 Khi ú ta cú A I < s < B I & A I < GG* < B I , ab (2.45) ú I l ký hiu cỏc toỏn t ng nht ca L 2(R) v 2{7j2), theo ngha mt S : hoc GG* l hon ton xỏc nh nh mt toỏn t tuyn tớnh b chn ca L 2(R), /2( z 2) thỡ cỏi cũn li cng vy v ta cú (2.45) C h n g m in h Gi s rng A I < s < B I v cho h y to m t khung cht, \\h\\ = Khi ú h {u^h}ki l trc chun T h t vy, (V I,K Ui, h) = (c Do u _ t%-rh, e2" /* U-t,-,h) _ g ( 2iik'l'+2iikl)/ab _ g ( 2rik'l'+2rikl)/ab (U-k,-v h, U-k,-ih) (h, h) e2 ô-'')/1 l khung cht vi cn khung A nờn { h n a m b } n m Ê Z f ^ >(f ; hna,mb) na,mb n,m Theo (2.36), (/i, Uk,ih) = ab ụko io- T ú (h, Uk,ih) = A ab ụko ioNu k hoc / 7^ thỡ (h, Uki h) = Do ú nu k k hoc l1 thỡ (/j Uk'-k '-itỡ) = T ú (UÊ,,h, U l h ) = nu k ^ k f hoc l V Nu k = k hoc = V th ỡ (h, k-k V-I h) = (h, h) = \\h\\2 = Do ú h {UÊh}k I l trc chun Gi s c = {Cki}k ez l dóy s cú hu hn th n h phn khỏc t f = cki UÊ h Do {U ^ h } k i l trc chun nờn T ,(U k , S , h) {u,f, h) = Ê < s / , u;,h) {u;,h, k,l / ) = < s /, / ) k,l Theo (2.28), (Sf, f) = \ Ê (Vv ,.g, u t , g ) (uk, f , h) (,uk,,,f , h) (2.46) = (Uk',v9i Uk,ig) Cki ck'. k,l;k',l' 51 Hn na, A ll/ll2 < ( S f , ) < B ll/ll2 ; ll/ll2 = , M = ||c||2 k,l (2.47) Vỡ th v phi ca (2.46) l b chn gia ^4.|c|| v ^ I I c ||| Do (2.44) nờn ta cú th vit lai v phi ca (2.46) l (GG*c,g) T ú ab (2.48) A\\c\\2 < ( G G * c , c ) < B\\c\\2 ab vi mi c cú hu hn th n h phn khỏc Do cỏc c cú hu hn thnh phn khỏc trự m t z2(z2) nờn (2.48) cng ỳng vi mi c e z2(z2) T ú A I < ^GG* < B I nh yờu cu chng minh iu ngc lai, ta ab lu ý rng vi F f 5? ta cú cụng thc phõn gii ng nht thc 00 (F, ) = / 00 / (F, hx,y) (2.49) ỡ hXjy^) dx dy 00 00 / s ? , II/II = õy ta lu ý rng (F, h x y) tng nhiu nht l a thc theo X , y ( / , hx y) li gim nhanh hn ( + |a:| + |y| )~s, vi mi > Do (-^5 hx_ k/b, y l/a) (/5 hx_ k/b, y l/a) vi mi ;, / G z , v mi X , {kl F ' i h Jx , y ) ( G i f , blx,y) (2.50) y e M, ta cú th vit (2.49) nh sau 1/6 1/ a (F, ) = J J z 0 {Ukl ha;,/) {U]I f /x,2/) dy (2.51) k4 Bõy gi s dng (2.51) vi F S f ( theo Mnh 2.1.14 S f G s ^ 1) Khi ú t (2.28) v A I < GG* < B I ta suy ab 1/ 6l/o (Sf, / ) = ab Ê /0 /0 {Uvv , u kl g) (Uk / , /x,y) (t/fcT / , da: dy k,l; k,r (2.52) 52 nm gia A D f v B D f , ú 1/61/a D = J 0 00 ^ \{Ukii h x,y)\2 dx dy = ^ 00 J I Gi s { g na mb}m nez l dóy Bessel vi toỏn t khung s Khi ú S E mb Tna E mb Tna S, Vm, n Ê z C h n g m in h Cho / Ê L 2(R) tựy ý S dng cỏc B 1.2.6 - 1.2.8 ta c S E mh Tna f ^ = = (Emb Tna / , E m>b Tn/a g) E m>b Tn/a g ^2 ( / T*aE ^ b E m'b Tn'a g ) E m>b Tn>a g E b Tn>a g m' , n' Êh = E a = E T ~ E(m' m)b 'ợ n'a g ) E m'b T n ' a m ' + m n' > n' + n v s dng cỏc B 1.2.7, 1.2.8 mt ln na ta c S E mb Tna f ^ e 2ninamb E m,b Tn,a g ) E(ml+m)b T(n,+n)a g m' ,n'eZ E m',n'eZ i ợ i n a m ' b / f rp 771 \ \ / Jù-'m'b-L n'0 , / Emb T -1na ( / n in a m'b 7 rp 771 'T' J-Jrnb-LnaJ-Jm'b-- n ' a Em'b r^'n'a ) E m'b Tn'a \m',n'eZ ) ỡ = E mb Tna S f T ú ta cú s E mb Tna s = E mb Tna n h lý 2.2.6 Cho g E L 2(R) v a, b > Gi s {gna mb} m nez l khung Gabor Khi ú khung i ngu chớnh tc cng cú cu trỳc Gabor v c cho bi {7na,m&}m,nez, ú = S ~ 1g C h n g m in h Theo nh ngha khung i ngu chớnh tc ca khung {ụna,mụ}m,neZ {ằs (ụna,mụ) }m,iÊZ {s E mbTnag ^ m nỗ.jl Theo Bo e 2.2.5, S ~ 1E mbTnag = E mbTnaS ~ 1g = 7na,mb- T ú ta cú iu phi chng minh Theo Mnh 1.4.6, l cc tiu theo ngha rng i vi b t k / E L 2(M) v vi mi a E z2( z 2) cho (2.57) c tha m ón ta cú \ , 0lna,mb)\2 < 71 m \anm\2 (2.59) 71.m vi du bng xy v ch amn c cho bi (2.58) thng c gi l hm i ngu cc tiu Mt cỏch cú th tớnh t g v s l nh sau t V = - s, B + A s > A I nờn V k,l 59 u l hu hn Khi ú theo Mnh 2.1.13 ab k 'k" ừi>iằ è9k' / b , i ' / a i lk " /b ,i " /a ) = {Uvv s 7, umằ 7> = ( ^ ' ' #) (Ê4 j Uk",i" ) Do ú ab I = GG* T T * , ab hay núi cỏch khỏc ta cú (2.65) Tip theo chng minh (2.67), chỳng ta cn lu ý s~l toỏn t khung tng ng vi , vi / L 2(R) ^ ^(,f1 s v ta ỏp dng Mnh 2.1.13 vi rna, m b ) s~l , thay na, vỡ mb s, g Cui cựng chng m inh (2.68) ta cho / G L 2(R) Khi chỳng ta ly f g (2.67), thỡ 51-1/ = v ( lk > / b , l'/ a , h) = |(Ê4 / j /) |2 < oo , ta nhn thy rng ( r r *)fc,Z;fcV'^/M /a> vi mi k 1, V G z Do (2.65) v cỏc nh ngha ca G v ta suy T h = ab {(G G * )-1 G h v iu ny chng t (2.68) 2 M t s v d V d 2.2 Ta xõy dng ,7 G L 2(M) cho = (7 c g cng nh khụng to m t khung ú G nh ngha bi (2.43) v = {ab ko ^zo}fc ZZCho a , b h E L 2(w) to m t khung (xem [3, trang 981]) 60 v ch c A := ess in f{ (Z /i) (t,v) + \(Zh) (t + , v ) \ 2} > (2.69) { B := ess sup {I( Z h ) ( t , v ) |2 + \{Zh) (t + | , f ) | 2} < oo v cỏc cn khung di, trờn l A, B tng ng Do z l phộp bin i u n ita nờn O y = {(7 , k / b , l / a ) } k , l e Z = Z g k/ b l/ a) } kj li = { { Z i h Z g kớ2i)}k,iez ta tớnh toỏn e 2ninv9k,2i{t - n ) Z{g,2i) ( t ,v ) = ne z J e 27inve7il{t- n)g { t - n - k ) nh Ê D2ii{n' k)v Aiil{tn' +k)g{t - r ) n 'eZ Ee 2iin'v e 2'ùùikv e Airilt gf_L ( t - n )/\ n 'eZ g 2iikv ^A iilt \ ' 2K n'v , 'K e2lin'vg (t - ra') n'ez e - 27ikve7iUZ g ( t , v ) T ú {(Z , Z gk 2i)}fc,/ez 1 z { t , v ) Z g { t , v ) e 2*ikv- Mlt dt dv lừ ! J fc,/ez Do ú iu kin = ầT cú th biu din qua bin i Zak nh sau: 1 / / (Ê ) (M ) (Ê 0) (M ) 0 J h ù i k v A'ùùilt 61 d t d v = ^ J fc0 [...]... tng t ta cú th chng minh { E mbTnag } m nez l khung vi cỏc cn A , B khi v ch khi A < \Zag\2 < B hu khp T ú suy ra (Ui) do m t c s trc chun l khung vi cỏc cn A = B = 1 28 Chng 2 T ớnh i ngu v song trc giao ca khung W eyl - H eisen b erg Trong chng ny chỳng ta s i sõu vo nghiờn cu m t lp khung cú cu trỳc c bit, ú l khung Weyl - Heisenberg Khung Weyl - Heisenberg úng vai trũ quan trng trong vic x lý... gii tớch G abor vi lý thuyt khung n h n g h a 2.1.1 Khung Gabor( hay cũn c gi l khung Weyl Heisenberg) l mt khung trong L 2(R) cú dng {gnamb} eZ> trong ú 9namb{x ) := e2nimbxg(x na) vi a,b > 0 v g e L 2(R) l hm c nh Hm g c gi l hm ca s hay l phn t sinh Khi {gna m b } eZ l m t khung trong L 2(R) ta cng núi g to ra m t khung Chỳ ý khi núi v khung Weyl - Heisenberg, ta hm ý l khung cho ton b L 2(R), ngha... H c gi l mt khung nu tn ti hai hng S0 O < A < B < 0 0 sao cho 00 ^ l l / l l 2 < E K / , / i ) l 2 < - B | | / | | 2 , V / E H i= 1 Cỏc s A, B c gi l cỏc cn ca khung Chỳng khụng l duy nht Cn khung di ti u l suprem um trờn t t c cỏc cn khung di v cn khung trờn ti u l inớimum trờn t t c cỏc cn khung trờn Chỳ ý rng cỏc cn khung ti u l cỏc cn khung thc s Khung c gi l cht nu A = B v c gi l khung Parseval... 19 Lp lun tng t cho cn di ti u Khung { S _ fk}=i c gi l khung i ngu chớnh tc ca f K hai trin khung di õy l m t trong nhng kt qu v khung quan trng nht Nú ch ra rng nu {/fc} l m t khung ca H th ỡ mi phn t trong H cú th biu din nh m t t hp tuyn tớnh vụ hn ca cỏc phn t khung Do ú ta cú th xem khung nh m t dng c s suy rng n h lý 1.4 1 4 Gi s {fk}= l mt khung vi toỏn t khung l s Khi ú 00 / = E s _ 1A... khung cho cỏc khụng gian con Trc tiờn ta tỡm cõu tr li cho cõu hi lm th no cú c khung Weyl - Heisenberg {gna,mb}m neZ trong L 2(R) Mt trong nhng kt qu c bn nht núi rng tớch s ab quyt nh liu {gnamb} eZ cú th l mt khung trong L 2(R) hay khụng n h lý 2.1.2 Gi s g L 2(R) v cho a,b > 0 Khi ú, nu ab > 1 thỡ {gna,mb}mneIi khụng l khung trong L 2(R) nh lý trờn cho ta m t iu kin cn cú m t khung Weyl - Heisenberg. .. th vit li thụng qua toỏn t khung s nh sau II/II2 >1 ||/||; ( Ă / Ă [ 7 Mnh c chng minh H q u 1.4.4 Mt h cỏc phn t { f j } m=1 trong V l mt khung ca V khi v ch khi span { f j } m=l V H qu trờn ch ra m t khung cú th cú s phn t nhiu hn s phn t cn th it l c s V ớ d 1.4.5 Ly H = 1R2, ei = ( 0 ,1)T, &2 = V3 1 ~ 2 ~ 2 l m t khung cht vi cn khung l 2 13 \/ó -1 J e3 2 ) ) ( el5 e 2 , 63} T h t vy, vi = (X i X b t kỡ ta cú ,X2)T g h V3 Y,