tuyển tập đề thi và đáp án quốc gia môn toán

www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ Bài : Giải hệ phương trình :  x + y + x + y =   x + y + x − y = Bài : Trong mặt phẳng cho hai ñường tròn (O ) (O ) cắt hai ñiểm A, B P P tiếp tuyến chung hai ñường tròn ñó (P ∈ (O ), P ∈ (O )) Gọi M M tương ứng hình chiếu vuông góc P P ñường thẳng O O ðường thẳng AM cắt (O ) ñiểm thứ hai N , ñường thẳng AM cắt (O ) ñiểm thứ hai N Hãy chứng minh N ,B,N thẳng hàng Bài : Cho số thực a Cho dãy số {x n }, n ∈ N, ñược xác ñịnh : x = a x n+1 = x n + sinx n với n ∈ N Chứng minh dãy {x n } có giới hạn hữu hạn n → ∞ Hãy tính giới hạn ñó theo a ( N tập hợp số tự nhiên) www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài : Cho dãy số {x n }, n ∈ N * , ñược xác ñịnh sau : x1 = xn x n+1 = 2(2n + 1) xn+1 với n ∈ N * Hãy tính tổng 2001 số hạng ñầu tiên dãy {x n } ( N * tập hợp số nguyên dương) Bài : Xét số thực dương x, y, z thoả mãn hệ ñiều kiện sau : 2  ≤ z ≤ min{x, y}   xz ≥ 15    yz ≥  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức : P(x,y,z) = + + x y z Bài : Cho bảng ô vuông kích thước 2000 x 2001.(bảng gốm 2000 hàng 2002 cột) Hãy tìm số nguyên dương k lớn cho ta tô màu k ô vuông bảng thoả mãn ñiều kiện : hai ô vuông ñược tô màu ñỉnh chung www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ Bài : Cho c số thực dương Dãy số {x n }, n = 0,1,2,…., ñược xây dựng theo cách sau : x n+1 = c − c + xn (n=0,1,2,….) biểu thức không âm Tìm tất giá trị c ñề với giá trị ban ñầu x ∈ (0,c) dãy {x n } ñược xác ñịnh với giá trị n tồn giới hạn hữu hạn lim x n n → ∞ Bài : Trên mặt phẳng cho trước hai ñường tròn (O ,r ) (O ,r ) Trên ñường tròn (O 1,r ) lấy ñiểm M ñường tròn (O ,r ) lấy ñiểm M cho ñường thẳng O M cắt ñường thẳng O M ñiểm Q Cho M chuyển ñộng ñường tròn (O 1,r ) , M chuyển ñộng ñường tròn (O ,r ) theo chiều kim ñồng hồ với vận tốc góc 1/ Tìm quĩ tích trung ñiểm ñoạn thẳng M M 2/ Chứng minh ñường tròn ngoại tiếp tam giác M QM ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài : Cho ña thức : P(x) = x + 153x - 111x + 38 1/ Chứng minh ñoạn [1;3 2000 ] tồn số nguyên dương a cho P(a) chia hết cho 2000 2/ Hỏi ñoạn [1;3 2000 ] có tất số nguyên dương a mà P(a) chia hết cho 2000 ? www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài : Cho trước góc α với 02 ña thức P n (x) chia hết cho g(x) Bài : Tìm tất số tự nhiên n>3 cho tồn n ñiểm không gian thoả mãn ñồng thời các tính chất sau ñây : a/ Không có ba ñiểm chúng thẳng hàng b/ Không có bốn ñiểm chúng nằm ñường tròn c/ Tất các ñường ñi qua ba ñiểm chúng ñểu có bán kính Bài : Với ña thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A P tập hợp số thực x cho P(x) = Tìm số phần tử nhiều có A P P(x) thuộc tập hợp ña thức có hệ số thực với bậc thoả mãn ñẳng thức : P(x - 1) = P(x).P(-x) với giá trị thực x www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ Bài : Cho số thực c >2 Dãy số (x n ) , n=0,1,2,…, ñược xây dựng theo cách sau : x = c , x n+1 = c − c + xn (n=0,1,2,…) biểu thức không âm Chứng minh dãy (x n ) ñược xác ñịnh với giá trị n tồn giới hạn hữu hạn limx n n → ∞ Bài : Trên mặt phẳng cho trước hai ñường tròn (O ,r ) (O ,r ) Trên ñường tròn (O 1,r ) lấy ñiểm M ñường tròn (O ,r ) lấy ñiểm M cho ñường thẳng O M cắt ñường thẳng O M ñiểm Q Cho M chuyển ñộng ñường tròn (O 1,r ) , M chuyển ñộng ñường tròn (O ,r ) theo chiều kim ñồng hồ với vận tốc góc 1/ Tìm quĩ tích trung ñiểm ñoạn thẳng M M 2/ Chứng minh ñường tròn ngoại tiếp tam giác M QM ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài : Cho ña thức : P(x) = x - 9x + 24x – 27 Chứng minh với số nguyên dương n tồn số nguyên dương a n cho P(a n ) chia hết cho n - www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài : Cho trước góc α với 02 cho trước, tồn số thực a cho dãy {x n } tương ứng giới hạn hữu hạn n → ∞ ( N tập hợp số tự nhiên) - www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài : Xét số thực dương x, y, z thoả mãn ñiều kiện sau :   ≤ z < min{x , y 3}   x + z ≥   y + z 10 ≥  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức : P(x,y,z) = Bài : Cho hàm số g(x) = + + 2 x y z 2x Hãy tìm tất hàm số f(x) xác ñịnh , 1+ x2 liên tục khoảng (-1;1) thoả mãn hệ thức : (1 - x ).f(g(x)) = (1 + x ) f(x) với x ∈ (-1;1) Bài : Cho số nguyên n ≥ Xét hoán vị (a ,a ,…,a 2n ) 2n số nguyên dương ñầu tiên cho số |a i +1 - a i |, i = 1,2,….,2n – 1, ñôi khác Chứng minh a - a 2n = n ≤ a 2k ≤ n với k = 1,2,…,n - www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ Bài : Giải phương trình : − 10 − x = x – Bài : Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC cân A Xét ñường tròn (O) thay ñổi qua A, không tiếp xúc với ñường thẳng AB, AC có tâm O nằm ñường thẳng BC Gọi M , N tương ứng giao ñiểm thứ hai ñường tròn (O) với ñường thẳng AB, AC Hãy tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMN Bài : Cho số nguyên dương m, n với m < 2001, n < 2002 Cho 2001 x 2002 số thực ñôi khác ðiền số ñã cho vào ô vuông bảng ô vuông kích thước 2001 x 2002 (bảng gồm 2001 hàng 2002 cột) cho số ñược ñiền vào ô ô ñược ñiền số Ta gọi ô vuông bảng ô "xấu" số nằm ô ñó bé m số nằm cột với ñồng thời bé n số nằm hàng với Với cách ñiền số nói , gọi s số ô "xấu" bảng số nhận ñược Hãy tìm giá trị nhỏ s www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài : Giả sử a,b,c số thực cho ña thức : P(x) = x + ax + bx + c có ba nghiệm thực (các nghiệm không thiết ñôi khác nhau) Chứng minh : 12ab + 27c ≤ 6a + 10(a - 2b) Hỏi dấu ñẳng thức xảy ? 3 Bài : Hãy tìm tất số nguyên dương n cho phương trình : x + y + u + v = n xyuv có nghiệm nguyên dương x,y,u,v Bài : Xét phương trình : 1 1 + +…+ +…+ = x −1 4x − k x −1 n x −1 ñó n tham số nguyên dương 1/ Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm lớn 1; kí hiệu nghiệm ñó xn 2/ Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn n → +∞ www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 Bài (5,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh với số thực dương x, ta có bất đẳng thức: x n ( x n + + 1) ⎛ x + ⎞ ≤ ⎜ ⎟ xn + ⎝ ⎠ Hỏi đẳng thức xảy nào? 2n +1 Bài (5,0 điểm) Cho dãy số thực (xn) xác định 2n n − ∑ xi với n ≥ x1 = xn = (n −1) i =1 Với số nguyên dương n, đặt yn = xn + – xn Chứng minh dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn n → + ∞ Bài (5,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB Xét điểm P di động tiếp tuyến B (O) cho P không trùng với B Đường thẳng PA cắt (O) điểm thứ hai C Gọi D điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng PD cắt (O) điểm thứ hai E 1/ Chứng minh đường thẳng AE, BC PO qua điểm Gọi điểm M 2/ Hãy xác định vị trí điểm P cho tam giác AMB có diện tích lớn Tính giá trị lớn theo bán kính đường tròn (O) ((O ) kí hiệu đường tròn tâm O ) Bài (5,0 điểm) Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài cạnh độ dài đường chéo AC, AD không vượt Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm ngũ giác Chứng minh tồn hình tròn đơn vị có tâm nằm cạnh ngũ giác cho chứa 403 điểm số điểm lấy HẾT - • • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị không giải thích thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 12/01/2011 Bài (7,0 điểm) Cho dãy số nguyên (an) xác định a0 = 1, a1 = − an = 6an −1 + 5an − với n ≥ Chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 ABC , n ACB Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân A có góc n góc nhọn Xét điểm D di động cạnh BC cho D không trùng với B, C hình chiếu vuông góc A BC Đường thẳng d vuông góc với BC D cắt đường thẳng AB AC tương ứng E F Gọi M, N P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF, BDE CDF Chứng minh bốn điểm A, M, N, P nằm đường tròn đường thẳng d qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài (6,0 điểm) Cho n số nguyên dương Chứng minh đa thức P ( x, y ) = x n + xy + y n viết dạng P ( x, y ) = G ( x, y ).H ( x, y ) , G(x, y) H(x, y) đa thức với hệ số thực, khác đa thức HẾT - • • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị không giải thích thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi: 11 12/01/2011 (Gồm trang) Bài Xét số thực dương x tùy ý Ta chứng minh x n ( x n +1 + 1) ⎛ x + 1⎞ ≤ ⎜ ⎟ n x +1 ⎝ ⎠ phương pháp quy nạp theo n • Với n = 1, ta cần chứng minh x( x + 1) ⎛ x + 1⎞ ≤ ⎜ ⎟ x+ ⎝ ⎠ n +1 (1) (2) Ta có: (2) ⇔ ( x + 1) − x( x + 1) ≥ ⇔ ( x − 1) ≥ Từ suy (2) bất đẳng thức đẳng thức xảy x = • Giả sử có (1) n = k đẳng thức xảy x = Khi đó, ta có: 4 x k ( x k +1 + 1) ⎛ x + 1⎞ ≤ ⎜ ⎟ k x +1 ⎝ ⎠ k +1 2k + x k ( x k +1 + 1) ( x + 1) ⎛ x + 1⎞ Suy ra: ; đẳng thức xảy x = (3) ≤ ⎜ ⎟ xk + ⎝ ⎠ Ta chứng minh: x k +1 ( x k + + 1) x k ( x k +1 + 1) ( x + 1) ≤ x k +1 + xk + đẳng thức xảy x = Thật vậy, ta có: (4) ⇔ ( x k +1 + 1) ( x + 1) − x( x k + 1)( x k + + 1) ≥ (4) ⇔ ( x k +1 − 1) ( x − 1) ≥ Từ suy (4) bất đẳng thức đẳng thức xảy x = Kết hợp điều với (3) suy 2k + x k +1 ( x k + + 1) ⎛ x + 1⎞ ≤ ⎜ ; đẳng thức xảy x = ⎟ k +1 x +1 ⎝ ⎠ Điều chứng tỏ n = k + 1, (1) bất đẳng thức đẳng thức xảy x = Vậy, với n số nguyên dương tùy ý, (1) bất đẳng thức với số thực dương x đẳng thức xảy x = ■ Bài Với n ≥ 1, ta có ⎞ 2(n + 1) n 2(n + 1) ⎛ (n − 1) ( n + 1)( n + 1) + 1⎟⎟ xn = ∑ xi = xn +1 = xn ⎜ n2 n ⎜⎝ 2n n3 i =1 ⎠ Suy xn +1 1⎞ x ⎛ = ⎜1 + ⎟ n n +1 ⎝ n ⎠ n www.HOAHOC.edu.vn ∀n ≥ Do đó, với n ≥ ⎛ (n + 1)(n + 1) ⎞ n + n + xn n + n −1 yn = xn +1 − xn = ⎜⎜ x (1 ) (1 + ) (1) − = = + ⎟ n 2 ∏ ⎟ n n n n k =1 k ⎝ ⎠ Từ đó, với lưu ý y1 = x2 – x1 = 3, ta có yn > ∀n ≥ 1, y1 < y2 với n ≥ ⎞ yn n + n + (n − 1) ⎛ ⎜1 + = =1+ > 2 2⎟ y n −1 ( n − 1) + n ⎝ ( n − 1) ⎠ n n − n3 + n Suy (yn) dãy số tăng n −1 ⎛ ⎜ ∑ n −1 k =1 k ⎜ ∏ (1 + ) ≤ ⎜1 + n −1 k k =1 ⎜ ⎜ ⎝ Vì với n ≥ 2, ta có n + < n n −1 ⎛ ⎜ ∑ k2 k =1 yn < ⎜⎜1+ n −1 ⎜ ⎜ ⎝ n −1 Mà ∑ k2 < + k =1 n −1 ∑ k (k −1) = + k =2 ⎛ ⎞ nên từ (3) suy yn < ⎜1 + ⎟ n − 1⎠ ⎝ n −1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) n −1 nên từ (1) ta n −1 ⎛ ∀n ≥ 1⎞ (3) ∑ ⎜ k −1 − k ⎟ = − n −1 < k =2⎝ ⎠ ∀n ≥ n −1 < 2e ∀n ≥ Do (yn) dãy số bị chặn Kết hợp với (2) suy (yn) dãy hội tụ Bài 1/ Gọi F giao điểm hai đường thẳng AE BP n = 900 + FAB n = EFP n Suy EFP n + ECP n = 1800 Ta có n ACE = 900 + BCE n = CEP n = 900 Vì CF // AB Suy Do CEFP tứ giác nội tiếp Suy CFP ■ CP FP = CA FB CP OA FB OA = = −1 CA OB FP OB Vì thế, theo định lí Xê va, ba đường thẳng PO, AE BC đồng quy 2/ Đặt BP = x kí hiệu R bán kính (O) Từ đó, xét tam giác ABP, ta có Xét tam giác vuông ABP, ta có PA = Suy PC = PB = PA x2 x2 + 4R2 PB + AB = ■ x2 + 4R2 AC = PA − PC = 4R2 x2 + 4R2 www.HOAHOC.edu.vn Vì CF // AB (cmt) nên BC PC PC + PA MC CF PC = = = +1= Suy Do MB PA PA MB AB PA BM = Vì S AMB Rx x + R PA.BC PB AB = = PC + PA PC + PA x2 + 2R2 Rx x + R AC 1 R3 x n = AB.BM sin ABM = R = 2 2R x2 + 2R2 x2 + 2R2 R3 x R2 R2 S AMB = ⇔ x2 = 2R2 ⇔ x = 2R = 2 xR 2 Vậy, tam giác AMB có diện tích lớn P nằm cách B khoảng R2 ■ 2R (có hai vị trí vậy); S AMB = Bài Để chứng minh khẳng định toán, ta chứng minh phủ ngũ giác ABCDE hình tròn đơn vị có tâm nằm cạnh ngũ giác Ta có Nhận xét sau: Nhận xét: Có thể phủ tam giác XYZ có độ dài cạnh không vượt hình tròn đơn vị có tâm nằm đỉnh tam giác Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn điểm M thuộc tam giác XYZ mà M không thuộc hình tròn hình tròn đơn vị có tâm nằm đỉnh tam giác Khi đó, ta có MX > 1, MY > MZ > n ZMX n phải có góc có số đo lớn hay Dễ thấy, ba góc n XMY , YMZ 1200 Không tổng quát, giả sử n XMY ≥ 1200 Áp dụng định lí côsin cho tam giác XMY, ta 1 XY = MX + MY − 2MX MY cos n XMY > + + = (do cos n XMY ≤ − ) 2 Suy XY > , trái với giả thiết Mâu thuẫn nhận cho ta điều muốn chứng minh Suy S AMB ≤ Do tam giác ABC, ACD ADE có độ dài cạnh không vượt nên theo Nhận xét trên, chúng phủ ba hình tròn đơn vị ((A), (B), (C)), ((A), (C), (D)) ((A), (D), (E)) Do đó, ngũ giác ABCDE phủ hình tròn đơn vị có tâm nằm đỉnh ngũ giác Theo nguyên lí Dirichlet, hình tròn phải tồn hình tròn chứa 403 điểm số điểm lấy ■ Bài Cách 1: Xét dãy số nguyên (bn) xác định b0 = 1, b1 = –1 bn = 6bn −1 + 2016bn − với n ≥ Dễ thấy với n ≥ 0, ta có an ≡ bn (mod 2011) (∗) Phương trình đặc trưng dãy (bn): x − x − 2016 = , hay (x – 48)(x + 42) = Suy ra, số hạng tổng quát dãy (bn) có dạng: bn = C1.(−42) n + C2 48n ⎧C + C2 = Từ điều kiện ban đầu dãy (bn), ta ⎨ ⎩ 42C1 − 48C2 = www.HOAHOC.edu.vn 49 41 49.(−42) n + 41.48n C2 = Vì bn = 90 90 90 Vì 2011 số nguyên tố nên theo định lí Phecma nhỏ, ta có: ∀n ≥ Suy C1 = (−42) 2010 ≡ 482010 ≡ 1(mod 2011) Do 90b2012 ≡ 49.(−42)2012 + 41.482012 ≡ 49.(−42)2 + 41.482 ≡ 90b2 (mod 2011) Suy b2012 ≡ b2 (mod 2011) (vì (90, 2011) = 1) Mà b2 = 6b1 + 2016b0 = 2010 nên b2012 ≡ 2010(mod 2011) Vì a2012 ≡ 2010(mod 2011) (theo (∗)) ■ Cách 2: + Số hạng tổng quát dãy (an): ( ⎞ ⎛1 an = ⎜ − ⎟ + 14 14 ⎠ ⎝2 ) n ( ) ( ) n ⎞ ⎛1 − 14 +⎜ + ⎟ 14 ⎠ ⎝2 (1) + Đặt p = 2011, ta có: ( ⎞ ⎛1 a p +1 = ⎜ − ⎟ + 14 14 ⎠ ⎝2 Do (3 + 14 ) p +1 ) p +1 = Ap +1 + B p +1 14 Ap + = B p +1 = ( p +1) / ∑ i =0 (3 − i =1 14 ) p +1 C 2pi+1.32i.14 ( p +1) / ∑ ⎞ ⎛1 +⎜ + ⎟ − 14 14 ⎠ ⎝2 p +1 = Ap +1 − B p +1 14 , p +1 −i p +1 −i 2i −1 2i −1 C p +1 14 (2) , nên a p +1 = Ap +1 − B p +1 (3) (4) + Do p số nguyên tố nên C kp ≡ 0(mod p ) ∀k =1, p −1 Do đó, từ C pk +1 = C pk + C pk −1 suy C kp +1 ≡ 0(mod p ) ∀k = 2, p −1 Vì vậy, từ (2) (3), ta được: Ap +1 ≡ (14( p +1) / + p +1 ) (mod p ) B p +1 ≡ 3( p + 1)(14( p −1) / + p −1 ) ≡ 3(14( p −1) / + p −1 ) (mod p ) Do đó, từ (4) suy a p +1 ≡ (−3 p + 2.14( p −1) / ) (mod p ) (5) Để ý 452 ≡ 14 (mod p) (45 , p) = 1, theo định lí Phecma nhỏ ta có: p ≡ 3(mod p) 14( p −1) / ≡ 45 p −1 ≡ 1(mod p ) Do đó, từ (5) ta a2012 = a p +1 ≡ − + = − ≡ 2010(mod 2011) (Đpcm) Chú ý: Đối với làm thí sinh theo Cách 2, yêu cầu trình bày chi tiết bước tìm số hạng tổng quát an Bài Do n ABC n ACB góc nhọn nên E nằm tia đối tia AB nằm cạnh AB, đồng thời F nằm cạnh AC nằm tia đối tia AC Vì thế, từ định nghĩa điểm M, N, P suy E, M, N thẳng hàng M, F, P thẳng hàng ( ) 1n n=1 n AEF + n AFE = BAC Do NMP 2 www.HOAHOC.edu.vn n = BAC n Suy ra: A, M, N, P nằm đường tròn NAP (1) Tiếp theo, ta chứng minh n = BAC n d qua tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC (2) NAP Không tổng quát, giả sử AB < AC (3) • Điều kiện cần: Giả sử I ∈ d Khi đó, từ (3) suy E nằm tia đối tia AB F nằm cạnh AC Qua A, kẻ đường thẳng Ax (khác AC) tiếp xúc với (P) Ta chứng minh Ax tiếp xúc với (N) Thật vậy, gọi T, T1, T2, T3 tiếp điểm (P) Ax, CD, DF, FC Gọi S giao điểm Ax DF Ta có: AT = AT3 , CT3 = CT1 , DT1 = DT2 ST2 = ST Do AS – SD = (AT – ST) – (DT2 – ST2) = AT3 – DT1 = AC – CD (4) Vì I ∈ d nên D tiếp điểm (I) cạnh BC Suy AC – CD = AB – BD (5) Từ (4) (5) suy AS + BD = AB + SD Vì ABDS tứ giác ngoại tiếp Suy Ax tiếp xúc với (N) n = NAx n + xAP n = BAx n + xAC n = BAC n Từ đó, ta có NAP 2 n = BAC n Xét hai trường hợp sau: • Điều kiện đủ: Giả sử NAP - Trường hợp 1: E nằm tia đối tia AB F nằm cạnh AC Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax (khác AC) (P) cắt DF S Ta có n = NAP n − xAP n = BAC n − xAC n = BAx n NAx 2 Suy Ax tiếp xúc với (N) Do ABDS tứ giác ngoại tiếp Suy AS + BD = AB + SD Hơn nữa, theo chứng minh phần trên, ta có AS – SD = AC – CD (Xem (4)) Từ đó, ta BD = AB + CD – AC Suy 2BD = AB + BC – AC AB + BC + CA Do BD = p – b, p = b = AC Suy BD = BK, K tiếp điểm (I) cạnh BC Từ đó, D K nằm cạnh BC, suy D ≡ K Vì I ∈ d - Trường hợp 2: E nằm cạnh AB F nằm tia đối tia AC Khi đó, (3) nên CD > CK (∗) Mặt khác, dễ thấy, trường hợp B đóng vai trò C C đóng vai trò B, E đóng vai trò F F đóng vai trò E, (N) đóng vai trò (P) (P) đóng vai trò (N) trường hợp trước Vì thế, theo chứng minh trên, ta phải có CD = CK, mâu thuẫn với (∗) Mâu thuẫn nhận cho thấy trường hợp xảy Vậy, (2) chứng minh Từ (1) (2) hiển nhiên ta có điều phải chứng minh theo yêu cầu đề ■ Bài Ta chứng minh khẳng định phương pháp phản chứng Giả sử tồn đa thức với hệ số thực G(x, y) H(x, y), khác đa thức hằng, cho (1) P ( x, y ) = G ( x, y ).H ( x, y ) , www.HOAHOC.edu.vn P ( x, y ) = x n + xy + y n , n∈ N ∗ Viết G(x, y) H(x, y) dạng đa thức x: G ( x, y ) = g m ( y ).x m + g m −1 ( y ).x m −1 + + g1 ( y ).x + g ( y ) , m∈ N ; H ( x, y ) = hk ( y ).x k + hk −1 ( y ).x k −1 + + h1 ( y ).x + h0 ( y ) , k ∈ N ; gi ( y ), i = 0, m , h j ( y ), j = 0, k , đa thức với hệ số thực y Từ (1) suy ra: + m + k = n, (2) + Với n ≥ 2, g m ( y ), hk ( y ) đa thức chúng không bội y (3) Từ (3), G(x, y) H(x, y) khác đa thức nên n ≥ m, k ≥ (4) • Xét n = Khi đó, theo (2), ta có m + k = Suy m = k = 1, m = k = Giả sử m = k = (Trường hợp m = k = xét tương tự) Khi đó, ta có ( y + 1) x + y = g ( y ).h1 ( y ) x + g ( y ).h0 ( y ) Suy g ( y )(h1 ( y ) − h0 ( y )) = Vì thế, g ( y ) đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiết G(x, y) khác đa thức • Xét n ≥ Gọi i0 j0 số bé cho gi0 ( y ) h j0 ( y ) đa thức không bội y Dễ thấy, hệ số xi0 + j0 khai triển G(x, y) H(x, y) g ( y ).hi0 + j0 ( y ) + g1 ( y ).hi0 + j0 −1 ( y ) + + gi0 ( y ).h j0 ( y ) + gi0 +1 ( y ).h j0 −1 ( y ) + + gi0 + j0 ( y ).h0 ( y ) Từ định nghĩa i0 j0 suy hệ số không chia hết cho y Vì thế, từ (1), với lưu ý P có hệ số xn không chia hết cho y, suy i0 + j0 = n Do i0 = m j0 = k Kết hợp với (4) suy phải có m = k = 1, trái lại, m, k > 1, từ việc cân hệ số x hai vế (1) ta có y = g ( y ).h1 ( y ) + g1 ( y ).h0 ( y ) # y , điều vô lí Giả sử m = (Trường hợp k = xét tương tự) Khi đó, ta có x n + xy + y n = ( ax + g ( y ))(bx n −1 + hn − ( y ).x n − + + h1 ( y ).x + h0 ( y )) , (5) a, b số thực, với ab = Từ (5) ta y n = g ( y ).h0 ( y ) Suy g ( y ) = a ' y s , s ∈ N ∗ , s ≤ n a ' số thực khác a' Đặt c = − , ta có c ≠ Thế x = cy s vào (5), ta a c n y sn + cy s +1 + y n ≡ (6) + Nếu s = n = từ (6) ta (c + c + 1) y ≡ Suy c + c + = , điều vô lí + Nếu s = n > từ (6) ta (c n + 1) y n + cy ≡ , điều vô lí (vì c ≠ 0) + Nếu s ≥ n ≥ sn > n sn > s + Do (6) điều vô lí, c ≠ • Vậy, tóm lại, điều giả sử ban đầu sai ta có điều đề yêu cầu chứng minh ■ www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai : 12/01/2013 Bài (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn : f (0) = , f (1) = 2013 ( x − y )( f ( f ( x)) − f ( f ( y ))) = ( f ( x) − f ( y ))( f ( x) − f ( y )) với x, y ∈ R , f ( x) = ( f ( x)) Bài (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M N (M ≠ H , N ≠ H ) a) Xác định vị trí đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn b) Ký hiệu d1 đường thẳng qua M vuông góc với DB, d đường thẳng qua N vuông góc với DC Chứng minh giao điểm P d1 d thuộc đường tròn cố định Bài (6,0 điểm) Tìm số thứ tự (a, b, c, a ', b ', c ') thỏa mãn: ab + a ' b ' ≡ 1(mod15)   ac + a ' c ' ≡ 1(mod15)   bc + b ' c ' ≡ 1(mod15) với a, b, c, a ', b ', c ' ∈ {0,1, ,14} HẾT • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Giám thị không giải thích thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi thứ nhất: 03/01/2014 Bài (5.0 ñiểm) Cho hai dãy số dương ( xn ) , ( yn ) xác ñịnh x 1= , y1 =  xn+1 yn +1 − xn =   xn+1 + yn = với n = 1, 2, Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng Bài (5.0 ñiểm) Cho ña thức P ( x ) = ( x − x + ) + 13 với n số nguyên dương Chứng minh 2n P ( x ) biểu diễn ñược dạng tích n + 1ña thức khác số với hệ số nguyên Bài (5.0 ñiểm) Cho ña giác ñều có 103 cạnh Tô màu ñỏ 79 ñỉnh ña giác tô màu xanh ñỉnh lại Gọi A số cặp ñỉnh ñỏ kề B số cặp ñỉnh xanh kề Tìm tất giá trị nhận ñược cặp ( A, B ) Xác ñịnh số cách tô màu ñỉnh ña giác ñể B = 14 Biết rằng, hai cách tô màu ñược xem chúng nhận ñược từ qua phép quay quanh tâm ñường tròn ngoại tiếp ña giác Bài (5.0 ñiểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ñường tròn ( O ) với AB < AC Gọi I trung ñiểm cung BC không chứa A Trên AC lấy ñiểm K khác C cho IK = IC ðường thẳng BK cắt ( O ) D ( D ≠ B ) cắt ñường thẳng AI E ðường thẳng DI cắt ñường thẳng AC F BC Chứng minh EF = 2 Trên DI lấy ñiểm M cho CM song song với AD ðường thẳng KM cắt ñường thẳng BC N ðường tròn ngoại tiếp tam giác BNK cắt ( O ) P ( P ≠ B ) Chứng minh ñường thẳng PK ñi qua trung ñiểm ñoạn thẳng AD HẾT • • Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi thứ hai: 04/01/2014 Bài (7.0 ñiểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ñường tròn ( O ) , ñó B, C cố ñịnh A thay ñổi ( O ) Trên tia AB AC lấy ñiểm M N cho MA = MC NA = NB Các ñường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P ( P ≠ A ) ðường thẳng MN cắt ñường thẳng BC Q Chứng minh ba ñiểm A, P, Q thẳng hàng Gọi D trung ñiểm BC Các ñường tròn có tâm M, N ñi qua A cắt K ( K ≠ A ) ðường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC E ðường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt ( O ) F ( F ≠ A ) Chứng minh ñường thẳng AF ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài (7.0 ñiểm) Tìm giá trị lớn biểu thức x3 y z y z x3 z3 x4 y3 T= + + 3 ( x + y )( xy + z ) ( y + z )( yz + x ) ( z + x )( zx + y ) với x, y, z số thực dương Bài (6.0 ñiểm) Tìm tất số gồm 2014 số hữu tỉ không thiết phân biệt, thỏa mãn ñiều kiện: bỏ ñi số số ñó 2013 số lại chia thành nhóm rời cho nhóm gồm 671 số tích tất số nhóm HẾT -• • Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm [...]... là sai và vì thế ta có điều đề bài yêu cầu chứng minh ■ 6 www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai : 12/01/2013 Bài 5 (7,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn : f (0) = 0 , f (1) = 2013 và ( x... Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị không giải thích gì thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 12/01/2011 Bài 5 (7,0 điểm) Cho dãy số nguyên (an) xác định bởi a0 = 1, a1 = − 1 và an = 6an −1 + 5an − 2 với mọi n ≥... www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi thứ hai: 04/01/2014 Bài 5 (7.0 ñiểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ñường tròn ( O ) , trong ñó B, C cố ñịnh và A thay ñổi trên ( O ) Trên các tia AB và AC lần lượt lấy các ñiểm M và N sao cho MA = MC và NA = NB Các ñường tròn... có : f(x) ≥ α với mọi số thực dương x ( R + kí hiệu tập hợp các số thực dương) www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 Bài 1 (5,0 điểm) Cho số nguyên... y ).H ( x, y ) , trong đó G(x, y) và H(x, y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng HẾT - • • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị không giải thích gì thêm www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi: 11 và 12/01/2011 (Gồm 6 trang) Bài 1... www.HOAHOC.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi thứ nhất: 03/01/2014 Bài 1 (5.0 ñiểm) Cho hai dãy số dương ( xn ) , ( yn ) xác ñịnh bởi x 1= 1 , y1 = 3 và  xn+1 yn +1 − xn = 0  2  xn+1 + yn = 2 với mọi n = 1, 2, Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng...www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai ñường tròn cố ñịnh (O,R 1 ) và (O,R 2 ) có R 1 >R 2 Một hình thang ABCD (AB//CD) thay ñổi sao cho bốn ñỉnh A,B,C,D nằm trên ñường tròn (O,R 1 ) và giao ñiểm của hai ñường chéo AC,BD nằm trên ñường tron (O,R 2 ) Tìm quỹ tích giao ñiểm P của hai ñường thẳng AD và BC Bài 2 : Hãy tìm... n2n (C n2n kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử) www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác ñịnh trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn ñiều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0; π ) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x)... (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại ñiểm M , và bán kính của ñường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của ñường tròn (O 1 ) Xét ñiểm A nằm trên ñường tròn (O 2 ) sao cho 3 ñiểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC ñến ñường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp ñiểm) Các ñường thẳng MB và MC cắt lại ñường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F Gọi D là giao ñiểm của ñường thẳng EF và tiếp... tất cả các số thuộc X ðặt : m= ∑ m( X ) |T | ở ñây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T Hãy tính giá trị của m (|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T) www.HOAHOC.edu.vn ðỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 6(a + b + c)(a + b + c )≤ 27abc + 10(a + b + c ) Hỏi dấu ñẳng thức