tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi toán 11 các tỉnh

WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 THPT NM HC 2012- 2013 Mụn thi: Toỏn THI CHNH THC (Khúa ngy 27 thỏng nm 2013) S BO DANH: Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ủ) Cõu 1:(3.0 ủim) x x + + = 10 y y a) Gii h phng trỡnh: x + + x = 12 y2 b) Gii phng trỡnh: ( cos x cos x ) = + 2sin x Cõu 2:(2.5 ủim) a) Tớnh gii hn dóy s: lim ( n + n + n6 + ) u1 = 2013 b) Cho dóy s ( un ) xỏc ủnh nh sau: n (n 1) un +1 = n+1 un + 2013n Tỡm cụng thc s hng tng quỏt v gii hn dóy s ( un ) ? Cõu 3:(2.5 ủim) Cho hỡnh chúp S.ABCD, cú ủỏy ABCD l hỡnh thang cõn (AD//BC) v BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mt bờn SBC l tam giỏc ủu Gi O l giao ủim ca AC v BD Bit SD vuụng gúc vi AC a) Tớnh SD b) Mt phng ( ) qua ủim M thuc ủon OD (M khỏc O, D) v song song vi hai ủng thng SD v AC Xỏc ủnh thit din ca hỡnh chúp S.ABCD ct bi mt phng ( ) Bit MD = x Tỡm x ủ din tớch thit din ln nht Cõu 4:(2.0 ủim) Cho phng trỡnh: x + ax3 + bx + cx + d = a) Vi d = 2013 , chng minh rng phng trỡnh cú ớt nht hai nghim phõn bit b) Vi d = , gi s phng trỡnh cú nghim, chng minh a + b + c HT S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 THPT NM HC 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn (Khúa ngy 27 thỏng nm 2013) HNG DN CHM (ỏp ỏn, hng dn ny cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi Trong bi lm ca hc sinh yờu cu phi lp lun lụ gic cht ch, ủy ủ, chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho ủim ủi vi nhng bc gii sau cú liờn quan cõu nu hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai thỡ cho ủim * im thnh phn ca mi bi núi chung phõn chia ủn 0,25 ủim i vi ủim thnh phn l 0,5 ủim thỡ tu t giỏm kho thng nht ủ chit thnh tng 0,25 ủim * Hc sinh cú li gii khỏc ủỏp ỏn (nu ủỳng) cho ủim ti tu theo mc ủim ca tng bi * im ca ton bi l tng (khụng lm trũn s) ca ủim tt c cỏc bi Cõu Ni dung im 1,5 ủim 1 a) K: y t a = x + 1; b = y Ta cú h phng trỡnh tr thnh a + b + ab = 11 a + b = a + b = a = a = ( VN ) ab = ab = 18 b = a + b = 13 b = a = TH1: ( x; y ) = 1; b = a = TH2: ( x; y ) = 2; b = Trang: - ỏp ỏn Toỏn 11 0,25 0,75 0,25 0,25 1,5 ủim b) ( cos x cos x ) = + 2sin x 4sin x sin 3x = + 2sin 3x 4(1 sin x sin x) + 2(1 + sin 3x ) = 0,5 sin x (1 sin 3x) + cos x + 2(1 + sin 3x) = 4(sin x cos x + cos x) + 2(1 + sin 3x) = 0,5 sin 3x = sin 3x = sin x cos 3x = x = + k (k Z ) cos x = cos x = 0,5 a) lim ( ) n + n + n6 + = lim ( n4 + n2 + n2 ( n6 + n2 ) ) 1,0 ủim 0,25 Ta cú: 1 + n +1 n2 = lim n + n + n = lim = lim 2 1 n + n +1 + n 1+ + +1 n n lim( n6 + n ) = lim =0 (n + 1) + n ( n6 + 1) + n Do ủú lim n + n + n6 + = ( ) ) ( b) un > 0, n N 0,25 0,25 0,25 1,5 ủim 0,25 * 1 unn++11 unn = n 2013 2013n Do ủú: u22 u11 = 20131 u33 u22 = 20132 unn++11 = unn + unn unn11 = Suy ra: unn u11 = 2013n 0,5 1 + + + 2013 2013 2013n n 2013 un = 2013 + 2012 2013 = 2012 n n Trang: - ỏp ỏn Toỏn 11 0,25 n n + + + + 2014 2013 2013 < un = 2013 + < n 2014 < = 1+ (Cụ si) n n 2012 2013 Mt khỏc lim + = Vy lim un = n 0,25 0,25 2,5 ủim S K Q B C J P O M A N D Trang: - ỏp ỏn Toỏn 11 T 0,25 a) D thy ủỏy ABCD l na hỡnh lc giỏc ủu cnh a K DT//AC (T thuc BC) Suy CT=AD=a v DT vuụng gúc SD Ta cú: DT=AC= a Xột tam giỏc SCT cú SC=2a, CT=a, SCT = 1200 ST = a Xột tam giỏc vuụng SDT cú DT= a , ST = a SD = 2a b) Qua M k ủng thng song song vi AC ct AD, DC ln lt ti N,P Qua M, N, P k cỏc ủng thng song song vi SD ct SB, SA, SC ln lt ti K, J, Q Thit din l ng giỏc NPQKJ Ta cú: NJ, MK, PQ cựng vuụng gúc vi NP 2 0,25 0,25 0,25 0,25 dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ + MK ) MN + ( MK + PQ) MP = ( NJ + MK ).NP (do NJ=PQ) NP MD AC.MD x.a Ta cú: = NP = = = 3x a AC OD OD a 2a x NJ AN OM SD.OM = 2(a x 3) = = NJ = = a SD AD OD OD ( ) KM BM SD.BM 2a a x = KM = = = (a x) SD BD BD a 3 Suy ra: dt(NPQKJ)= 2(a x 3) + (a x) 3x = 2(3a 3x) x = 1 3 (3a 3x)2 x (3a x) + x = a 4 Din tớch NPQKJ ln nht bng 3 a x = a 4 0,25 0,5 0,25 0,25 1.0 ủim a) d= -2013 t f ( x) = x + ax3 + bx + cx 2013 liờn tc trờn R Ta cú: f ( ) = 2013 < Mt khỏc lim f ( x) = + , nờn tn ti s < 0; > cho 0,25 x f ( ) > 0; f ( ) > Do ủú f (0) f ( ) < 0; f (0) f ( ) < Vy phng trỡnh cú ớt nht hai nghim phõn bit thuc hai khong ( , 0) Trang: - ỏp ỏn Toỏn 11 0,5 0,25 v (0, ) 1.0 ủim b) d=1: Gi x0 l nghim ca phng trỡnh ( x0 ) 1 x04 + ax03 + bx02 + cx0 + = b = x02 + ax0 c x0 x0 0,25 1 2 Ta cú: ( a + b + c ) ( x + + 1) = a + c + x0 + ax0 c ( x0 + + 1) x0 x0 x0 x0 2 2 1 ax0 + c x02 + ax0 c = x02 + x0 x0 x0 x0 0,25 x0 + x0 t2 2 Suy ra: ( a + b + c ) vi t = x02 + = x0 x02 + + t + x0 t2 Mt khỏc: 3t 4t (t 2)(3t + 2) (ủỳng t ) t +1 Vy a + b + c Du bng xy a = b = c = (ng vi x0 = ) 2 a = c = , b = (ng vi x0 = ) 3 Trang: - ỏp ỏn Toỏn 11 0,25 0,25 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN S GD&T VNH PHC K THI CHN HSG LP 11 THPT NM HC 2009-2010 THI MễN: TON CHNH THC Dnh cho hc sinh THPT khụng chuyờn Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao ủ x y(1 + y ) + x y (2 + y ) + xy 30 = Cõu (2,5 ủim) Gii h phng trỡnh: 2 x y + x (1 + y + y ) + y 11 = x (2 3)cos x 2sin = Cõu (2,5 ủim) Gii phng trỡnh: 2cos x Cõu (1,0 ủim) Trong mt phng cho giỏc ủu 2n ủnh A1 A2 A2 n (vi n l s nguyờn ln hn 1) Hi cú tt c bao nhiờu hỡnh ch nht vi cỏc ủnh l ủnh ca giỏc ủu ủó cho Cõu (2,5 ủim) Cho hỡnh chúp S ABCD , cú ủỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a 2, BC = a v SA = SB = SC = SD = 2a Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn AC v H l hỡnh chiu vuụng gúc ca K trờn SA a) Tớnh ủ di ủon HK theo a b) Gi M , N ln lt l trung ủim ca ủon thng AK , CD Chng minh rng cỏc ủng thng BM v MN vuụng gúc vi Cõu (1,5 ủim) Cho x, y, z l cỏc s thc dng tho x + y + z = Chng minh rng: 1 27 + + xy yz xz Ht Chỳ ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: SBD: WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN S GD&T VNH PHC K THI CHN HSG LP 11 THPT NM HC 2009-2010 HNG DN CHM MễN TON (Dnh cho hc sinh THPT khụng chuyờn) (ỏp ỏn gm trang) Cõu (2,5 ủim): Ni dung trỡnh by im Bin ủi tng ủng h ủó cho 2 xy x (1 + y ) + xy(2 + y ) + y = 30 xy ( x + y ) + xy( x + y ) = 30 2 xy( x + y ) + xy + x + y = 11 x y + xy + xy + x + y = 11 0,75 xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 xy ( x + y ) + ( xy + x + y ) = 11 a + b = 11 t xy( x + y ) = a; x + y + xy = b , ta ủc h: ab = 30 Gii h ny ta ủc (a, b) = (5,6);(6,5) 0,5 xy( x + y ) = Nu (a, b) = (6,5) thỡ xy + x + y = 0,25 Tỡm hai nghim l ( x, y ) = (1,2);(2,1) 0,25 xy( x + y ) = Nu (a, b) = (5,6) thỡ xy + x + y = 0,25 + 21 21 21 + 21 Tỡm hai nghim l ( x, y ) = ; ; ; 2 2 0,25 Vy h cú nghim l: + 21 21 21 + 21 ( x, y ) = (1,2);(2,1); ; ; ; 2 2 0,25 Cõu (2,5 ủim): Ni dung trỡnh by iu kin: cos x (*) im 0,25 Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi (2 3) cos x cos x = 2cos x 0,5 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN (2 3) cos x + sin x = cos x 0,5 sin x = cos x tan x = 0,25 x= + k ( k ) 0,5 Kt hp vi ủiu kin (*) ta ủc nghim ca phng trỡnh ủó cho l: x= + 2m (m ) 0,5 Cõu (1,0 ủim): im Ni dung trỡnh by Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 A2 n Dễ thấy đa giác có n đờng chéo mà đờng kính (O) Mặt khác, tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác hình chữ nhật hai đờng chéo hai đờng kính (O) 0,25 0,25 Bên cạnh đó, hai tứ giác khác có hai cặp đờng chéo khác Do số hình chữ nhật 0,25 có đỉnh đỉnh đa giác với số cặp đờng chéo đa giác mà hai đờng kính Vậy số hình chữ nhật cần tìm Cn = n(n 1) 0,25 _ S Cõu (2,5 ủim): H _ N _ D _ C _ K _ M _ O _ A _ B im Ni dung trỡnh by a) (1,5 ủim) Gi O l giao ủim ca AC v BD Theo gi thit ta cú: SO (ABCD) SO BK, m BK AC BK (SAC) BK SA v BK HK + Do ABC vuụng ủnh B nờn: 0,5 1 2a 2 = + BK = BK AB BC + D thy SA (BHK) BH SA 0,5 SAB cõn ủnh S, BH l ủng cao nờn d thy HB = a + Do HBK vuụng ti K nờn: HK = HB BK = Vậy HK = 13a 12 0,5 a 39 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN b) (1,0 ủim) Ta cú + 2BM = BA + BK ( vỡ M l trung ủim ca AK) 1 + MN = MB + BC + CN = ( AB + KB ) + BC + BA = KB + BC 2 + Do ủú: BM MN = ( BA + BK ).( KB + BC ) 0,25 0,25 = BA.KB + BA.BC + BK KB + BK BC = BA.KB + BK KB + BK BC 0,5 = KB.( BA + BK 2.BC ) = KB.( BA BC + BK BC ) = KB.(CA + CK ) = KB.CA + KB.CK = Vy: BM MN Cõu (1,5 ủim): im Ni dung trỡnh by t p = x + y + z = 1; q = xy + yz + xz; r = xyz Ta cú cỏc ủng thc sau: (1 xy )(1 yz )(1 xz ) = q + pr r (1 xy )(1 yz ) + (1 xy )(1 xz ) + (1 yz )(1 xz ) = 2q + pr BT cn chng minh tr thnh: 0,5 2q + pr 27 q + pr r Hay 11q + 19r 27 r (1) Theo BT Cauchy, ( x + y + z )3 27 xyz p 27 r 27 r 27 r r Do ủú ta ch cn chng minh ủc: 11q + 19r r 11q + 18r (2) l 0,25 xong Ta cú (2) 11( xy + yz + xz ) + 18 xyz (3) Khụng mt tng quỏt, gi s z = { x, y, z} z Ta cú 0,5 11( xy + yz + xz ) + 18 xyz = + xy (18 z 11) 11z ( x + y ) x+ y z 3+ (18 z 11) 11z (1 z ) + (18 z 11) 11z (1 z ) 2 z Ta cú + (18 z 11) 11z (1 z ) (3 z 1) (2 z + 1) (luụn ủỳng) Do ủú (3) ủỳng, tc l (1) ủỳng Bi toỏn ủc chng minh 0,25 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN Nu khụng cú s no chia ht cho 100 thỡ 100 s phi cú hai s ng d phộp chia cho 100 (vỡ cỏc s d nhn giỏ tr t n 99) suy hiu ca chỳng chia ht cho 100 v hiu hai s ú chớnh l tng cn tỡm HT 1,0 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN THI HC SINH GII KHI 10 MễN TON Nm hc : 2012-2013 Thi gian lm bi : 120 phỳt ( khụng k thi gian phỏt ủ) I PHN GII TCH Cõu 1: a)(1.5ủ) Gii phng trỡnh: x + + x + 16 = x x2 b) (1.5ủ) Tỡm m ủ tng cỏc bỡnh phng cỏc nghim ca phng trỡnh: x 2m x 4m = l nh nht ( ) Cõu 2: (1.5ủ) Tỡm hp cỏc giỏ tr ca x ủ biu thc sau cú ngha: y= 2x + x 3x + 11 x2 + 3x 2x Cõu 3: (1.5ủ) Cho bn s nguyờn dng bt kỡ a, b, c, d Chng minh rng s A= a b c d + + + khụng phi l mt s nguyờn a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d II PHN HèNH HC Cõu 4: (4ủ) Cho tam giỏc ABC, gi M l trung ủim ca BC, G l trng tõm tam giỏc ABC, ly D ủi xng vi A qua M, I l trng tõm ca tam giỏc MCD a Chng minh rng: IG = AB + DM b Ly J tha 2CJ = 2AB + JM Chng minh rng IJ song song vi AB c Gi s AB = a, BC = 2a v ABC = 600 Tớnh ủ di ca u = AB + 2AC d Xỏc ủnh hp ủim E tha món: 2EA 3EB + 5EC = ED + EG Ht (Hc sinh lm PHN GII TCH, PHN HèNH HC trờn giy riờng.) WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN P N THI HSG MễN TON KHI 10 NH 2012-2013 Cõu 1: a) x + + x + 16 = (1) x x2 Cõu 4: K: x 1 x2 + = t2 x x t = (1) 2t + 3t 20 = t = t t = x + A t = x = x = t= x = ( G B C M H I R ) J b) x 2m x 4m = (2) (2) cú nghim D 4m + 12m + 13 ( 2m + 3) + 0, m x + x2 = 2m Theo viet: x1 x2 = 4m F A = x12 + x22 = 4m + 4m + = ( 2m + 1) + A = m = 2 Cõu 2: y = 2x + x 3x + 11 x + 3x 2x y cú ngha 2x 3x + 11 x x + 3x 2x x x 11 x x > 3x 2x a ( ) AB + AC AC AD AM 1 = AB + 2DM + DM = AB + DM 3 b 2CJ = JM + 2AB 2AJ 2AC = AM AJ + 2AB 3AJ = 2AB + 2AC + AM = 5AM AJ = AM MJ M M l trung ủimca AD nờn = JD MI Gi K l trung ủim ca CD, ta cú = Vy ta IK MJ MI cú: = IJ // CD // AB JD IK c K AH vuụng gúc vi BC Ta cú: a a BH = AB.cos600 = , AH = AB.sin600 = 2 T ủú ta cú IG = AG AI = ( ) WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN < x < Cõu 3: Vỡ a, b, c, d Z + nờn A= > a b c d + + + a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d a b c d + + + a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d =1 x , y, z > x x+z M x < Tht vy, < y y + z y x Chng minh rng: xy yz 3zx P= + + ( z + x)( z + y ) ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) HT WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN UBND TNH THI NGUYấN S GIO DC & O TO CHNH THC K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 NM HC 2011 - 2012 MễN : TON HC Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ủ) ( thi gm cú 01 trang) Bi (4 ủim) Gii phng trỡnh: 2+ = + 2sin x tan x + cot x Bi (4 ủim) u1 = Cho dóy s ( un ) xỏc ủnh bi un+1 = un + + + 2un Tỡm cụng thc s hng tng quỏt un ca dóy s ( ) n N * Bi (4 ủim) Cho tam giỏc nhn ABC, trờn cnh BC ly cỏc ủim E, F cho gúc BAE = CAF , gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca F trờn cỏc ủng thng AB v AC, kộo di AE ct ủng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti D Chng minh rng t giỏc AMDN v tam giỏc ABC cú din tớch bng Bi (4 ủim) Cho hp A = {1;2;3; ;18} Cú bao nhiờu cỏch chn s A cho hiu ca hai s bt kỡ s ủú khụng nh hn Bi (4 ủim) Cho cỏc s dng a, b, c tho a + b + c = Chng minh rng: a +1 b +1 c +1 + + + b2 + c + a2 Ht WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN H v tờn : S bỏo danh : P N V BIU IM THI CHN HC SINH GII LP 11 CP TNH MễN: TON NM HC: 2011 - 2012 Bi Bi Gii phng trỡnh: Li gii 2+ = + 2sin x tan x + cot x cos x Li gii : iu kin : sin x (1) tan x + cot x > 2sin x + cos x Ta cú : tan x + cot x = = sin x sin x Do ủú phng trỡnh ủó cho tng ủng vi : im 1ủ ( + ) sin x = + sin x ( sin x 1) ( sin x ) = sin x = sin x = sin x = ( Tha ủiu kin (1) ) sin x = Gii cỏc phng trỡnh trờn ta ủc : x= Bi + k ; x = 12 + k ; x = 1ủ 1ủ + k ( k Z ) 12 1ủ Cho dóy s ( un ) xỏc ủnh bi u1 = * u = u + + + u n N n n+1 n Tỡm cụng thc s hng tng quỏt un ca dóy s ( Li gii: ) t xn = + 2un n N * Ta cú xn v x = + 2un , n N n Thay vo gi thit, ta ủc: * xn2 hay un = 1ủ WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN xn2+1 1 xn2 = + + xn xn2+1 = xn2 + + xn ( xn +1 ) = ( xn + ) 2 Suy ra: xn +1 = xn + n N * ( Do xn , n N * ) Hay 3n +1 xn+1 = 3n xn + 4.3n , n N * t yn = 3n xn , n N * Ta cú: yn+1 = yn + 4.3n , n N * T ủú yn+1 = y1 + ( 3n + 3n + + 3) , n N * Hay yn+1 = y1 + 2.3n+1 , n N * Theo cỏch ủt ta cú: x1 = y1 = yn = + 2.3n Suy ra: xn = + n1 , n N * Do ủú un = + n + n , n N * 3 1ủ 1ủ 1ủ Bi Cho tam giỏc nhn ABC, trờn cnh BC ly cỏc ủim E, F cho gúc BAE = CAF , gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca F trờn cỏc ủng thng AB v AC, kộo di AE ct ủng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti D Chng minh rng t giỏc AMDN v tam giỏc ABC cú din tớch bng Li gii: A M B O E N F 0,5ủ C D t BAE = CAF = , EAF = Tacú S ABC = 1 AF AB AF sin ( + ) + AC AF sin = ( AB.CD + AC.BD ) 2 4R WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN (R-l bỏn kớnh ủng trũn ngoi tip tam giỏc ABC) (1) Din tớch t giỏc ADMN l S AMDN = 1,5 ủ 1 AM AD.sin + AD AN sin( + ) 2 = AD AF cos ( + ) sin + AF cos sin ( + ) = = AF AD AF sin ( + ) = AD.BC (2) 4R Vỡ t giỏc ABDC ni tip ủng trũn nờn theo ủnh lớ Ptoleme ta cú : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3) T (1), (2), (3) ta cú ủiu phi chng minh Bi 1,5 ủ 0,5 ủ Cho hp A = {1;2;3; ;18} Cú bao nhiờu cỏch chn s A cho hiu ca hai s bt kỡ s ủú khụng nh hn Li gii: Ta cn tỡm s phn t ca T sau: { } T = (a1 ,a , ,a ) : a1 < a < < a ; a i 18; a i a j 1ủ Xột hp H = {(b1 ,b , , b5 ) : b1 < b < < b5 ; bi 14} Xột ỏnh x f cho tng ng mi b (a1 ,a , ,a ) vi b (b1 ,b , ,b5 ) 1,5 ủ xỏc ủnh nh sau: b1 = a1 , b = a 1,b3 = a 2,b = a 3,b5 = a D thy ủú f l mt song ỏnh, suy T = H Mt khỏc mi b (b1 ,b , ,b5 ) H l mt t hp chp ca 14 phn t Do ủú H = C14 = 2002 Vy T = 2002 1,5 ủ WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN Bi Cho cỏc s dng a, b, c tho a + b + c = Chng minh rng: a +1 b +1 c +1 + + + b2 + c + a2 Li gii: Bt ủng thc trờn tng ủng vi: a +1 b +1 c +1 + + + + a +b + c +33= a +1 b c + b2 + c2 + a2 a + 1) b ( b + 1) c ( c + 1) a ( + + Hay + b2 + c2 + a2 Bõy gi ta dựng bt ủng thc AM GM cho cỏc mu thc: ( a + 1) b + ( b + 1) c + ( c + 1) a ( a + 1) b2 + ( b + 1) c + ( c + 1) a + b2 + c2 + a2 2b 2c 2a ( a + 1) b + ( b + 1) c + ( c + 1) a = 2 2 + ab + bc + ca (a + b + c) = = Vỡ ab + bc + ca WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN t BAE = CAF = , EAF = 2 Ta cú SABC = AB AF sin ( + ) + AC AF sin = = AF ( AB.CD + AC.BD ) 4R (R-l bỏn kớnh ủng trũn ngoi tip tam giỏc ABC) (1) Din tớch t giỏc ADMN l S AMDN = 1 AM AD.sin + AD AN sin( + ) = 2 = AD AF cos ( + ) sin + AF cos sin ( + ) = = AF AD AF sin ( + ) = AD.BC (2) 4R Vỡ t giỏc AMDN ni tip ủng trũn nờn theo ủnh lớ Ptoleme ta cú AB.CD + AC.BD = AD.BC (3) T (1), (2), (3) ta cú ủiu phi chng minh A M B O E D N F C [...]... = max sin t = 1 0≤ t ≤π 0,25 0,25 0,25 0,25 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1(4 điểm): 2x − 2y + 2x + y + 2xy + 1 = 1  Giải hệ phương trình:  3 3y + 1 = 8x 3 − 2y − 1... WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2 011- 2012 ðỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề ———————————— SỞ GD&ðT VĨNH PHÚC —————— ðỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (1,5 ñiểm) Giải phương trình: tan 2 x + tan x 2 π  = sin  x +  2 tan x + 1 2 4  Câu 2 (3,0 ñiểm) 1 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A,... coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN SỞ GD&ðT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2 011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách... CMR: nếu phương trình : x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + 1 = 0 có nghiệm thì: b 2 + ( c − 2) 2 ≥ 3 ………….Hết………… (Giám thi coi thi không giải thích gì thêm) WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2 011- 2012 ðỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề ———————————— SỞ GD&ðT VĨNH PHÚC... nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD 0,25 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THÀNH PHỐ ðÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2010-2 011 ðỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề) Câu I (2,0 ñiểm) 1) Giải phương trình lượng giác 2) Giải hệ phương trình sin 2 3 x cos 2 x + sin 2 x = 0 ( 2... Tìm tất cả các bộ n − ñẹp với mọi n ≥ 1 (nếu có) —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN Họ và tên thí sinh: ……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GD&ðT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2 011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải... Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thoả mãn ( ) f x 2 + y 2 = xf ( x ) + yf ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ (1) Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200 Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100 HẾT WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 -... 1 Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 - Hết - 4 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN SỞ GD – ðTVĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2 011 Môn: Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát ñề) Câu 1 Giải và biện luận theo a,b phương trình sau: x− x2 − a2 + x + x2 − a2 = x + b + x − b x + y ≥ 1 Câu 2 Cho... chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm HẾT 1,0 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN ðỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát ñề) I PHẦN... mp(CC’D’D), qua Q vẽ ñường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P Thi t diện là lục giác MNPQRS 0,50 0,25 WELCOME TO WEBSITE: WWW.HOAHOC.EDU.VN WWW.DAIHOCTHUDAUMOT.EDU.VN Do các mặt ñối diên của hình hộp song song nên các cạnh ñối của lục giác thi t diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh ñó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’ ⇒ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP ñồng dạng MJ MA NC NK PC PK