bt phuong trinh duong thang 4274

BÀI TẬP: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y + = 0, đường phân giác BN : 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C tính diện tích tam giác ABC Bài làm : AB qua A(1 ;-2) AB  CH  AB : x + y + = x  y    x  4 B = AB  BN nên tọa độ điểm B nghiệm hpt   2 x  y   y   B(-4 ; 3) Gọi A’ điểm đối xứng A qua BN A’  BC Phương trình đường thẳng d qua A vng góc với BN d : x – 2y – = Gọi I = d  BN tọa độ điểm M nghiệm hệ pt : x  y    x  1   I( 1;-3)  2 x  y    y  3 I trung điểm AA’ nên A’(-3 ;-4) Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + = C= BC  CH nên tọa độ điểm C nghiệm hệ pt : 13   x   7 x  y  25     x  y    y   13 ; ) 4 15 BC = , d(A,BC) = ; 45 SABC = 24  C(  Bài 2:Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ABC Bài làm : - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) vng góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ phương  x   t n  1; 3    AC  :  t  R   y   3t x   t  - Tọa độ C giao (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :   y   3t x  y 1   Giải ta : t=2 C(4;-5) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B(3a+7;a) M trung  3a  a   ; điểm AB  M     - Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 3a  a       a  3  B 1; 2  2  12 x  y 1   x  y   0, h  C ; AB   - Ta có : AB   1; 3  AB  10,  AB  : 10 1 12 10  (đvdt) - Vậy : S ABC  AB.h  C , AB   2 10 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1; 0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3; 1) Bài làm : - Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến  KH  1; 2    AC  : x   y     x  y   A K(0;2) - B nằm (BH) qua H(1;0) có véc tơ phương  KH  1; 2   B 1  t; 2t  M(3;1) H(1;0) - M(3;1) trung điểm AB A(5-t;2+2t) - Mặt khác A thuộc (AC) : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy B C t=1 Do A(4;4),B(2;-2) - Vì C thuộc (AC) suy C(2t;2+t) ,   BC   2t  2;4  t  , HA   3;4  Theo tính chất đường cao kẻ từ A :    HA.BC    2t      t    t  1 Vậy : C(-2;1)   x4 y4  - (AB) qua A(4;4) có véc tơ phương BA   2;  // u  1;3   AB  :  3x  y    - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA   3;    BC  :  x     y     3x  y   Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Bài làm : Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm hệ : x  y 1   21 13   B ;    5  x  y  14  - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: 21    x   t u  1; 2    BC  :   y  13  2t  - Ta có :  AC , BD   BIC  ABD  2   AB, BD      n1.n2  14 15 - (AB) có n1  1; 2  , (BD) có n2  1; 7   cos =      50 10 10 n1 n2  - Gọi (AC) có n   a, b   cos  AC,BD   cos2 = a-7b 9  cos2         10  50 a  b2 - Do :  a  7b  50 a  b   a  7b   32  a  b   31a  14ab  17b  17 17  a   b   AC  :   x     y  1   17 x  31y    - Suy : 31 31   a  b   AC  : x   y    x  y   21  x   t  13   14  - (AC) cắt (BC) C   y   2t  t   C  ;  15  3  x  y      x  y 1  x  - (AC) cắt (AB) A :     A  7;  x  y   y  x   t - (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy (AD) :   y   2t x   t   98 46   t   D ;  - (AD) cắt (BD) D :  y   2t 15  15 15   x  y  14   - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 em làm tương tự Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Bài làm : x  t - B thuộc d suy B :  , C thuộc d' cho A(2;3)  y  5  t  x   2m x+2y-7=0 nên C:  y  m G(2;0) - Theo tính chất trọng tâm :  t  2m  9  2, y  m  t   C  xG  M B G 3 x+y+5=0 m  t  m  - Ta có hệ :   t  2m  3 t  1  - Vậy : B(-1;-4) C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ phương u   3;4  , cho 20  15  13 x2 y   x  y    d  C ; BG    R 5 13 169 2 - Vậy đường tròn có tâm C(5;1) có bán kính R=   C  :  x     y  1  25 Bài 6: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – = hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M  () cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ Bài làm : - M thuộc  suy M(2t+2;t ) nên (BG): 2 - Ta có : MA2   2t  3   t    5t  8t  13  2MA2  10t  16t  26 2 Tương tự : MB   2t  1   t    5t  12t  17 - Do dó : f(t)= 15t  4t  43  f '  t   30t    t   = 641  26  đạt t    M  ;   15 15  15 15  Lập bảng biến thiên suy f(t) 15 Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC Bài làm : - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC x  y   - (AB) cắt (AC) A :    A  3;1 x  y   - B nằm (AB) suy B(t; t-2 ), C nằm (AC) suy C(5-2m;m) t  2m   3  xG  t  2m  m   C 1;  - Theo tính chất trọng tâm :    t  m  t  m   y  t   B  5;3 2 G  Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài làm : - Đường thẳng d qua A(3;0) vng góc với  (BH) có véc tơ phương u  1;1 B 2x-y-2=0 x   t  d :  Đường thẳng d cắt (CK) C : K y  t x   t   t  4  C  1; 4  A(3;0) y  t C H 2 x  y    - Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) K trung điểm x+y+1=0 AB B đối xứng với A qua K suy B(2t-3;4t-4) Mặt khác K lại thuộc (BH) : (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy t=1 tạo độ B(-1;0) Gọi (C) : x  y  2ax  2by  c   a  b  c  R   đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  a  9  6a  c    Cho (C) qua A,B,C ta hệ : 4  4a  c   b  5  2a  8b  c  c  6    1 25  - Vậy (C) :  x    y  2  Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vng có đỉnh (-4;5) đường chéo có phương trình : 7x-y+8=0 Viết phương trình tắc cạnh hình vng Bài làm : - Gọi A(-4;8) đường chéo (BD): 7x-y+8=0 Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD) - Đường chéo (AC) qua A(-4;8) vng góc với (BD) có véc tơ phương   x  4  7t x  y 5 u  7; 1   AC  :     x  y  39  Gọi I giao (AC) (BD) 1 y  5t  x    7t   9 tọa độ I nghiệm hệ :  y   t  t   I   ;   C  3;   2 7 x  y      - Từ B(t;7t+8) suy : BA   t  4;7t  3 , BC   t  3;7t   Để hình vng BA=BC : t  Và BAvng góc với BC   t   t  3   7t  3 7t     50t  50t    t  1 t   B  0;8   B  0;8   D  1;1  Tìm tọa độ D đối xứng với B qua I   t  1  B  1;1  B  1;1  D  0;8   x4 y5  - Từ : (AB) qua A(-4;5) có u AB   4;3   AB  :  x  y 5  (AD) qua A(-4;5) có u AD   3; 4    AB  : 4  x y 8 (BC) qua B(0;8) có uBC   3; 4    BC  :  4  x 1 y 1  (DC) qua D(-1;1) có uDC   4;3   DC  : * Chú ý : Ta cách giải khác x 31 - (BD) : y  x  , (AC) có hệ số góc k   qua A(-4;5) suy (AC): y   7 x  x  x  A C I y  y  2y C I  A -Gọi I tâm hình vng :   yI  xI   C  3;    yC   xC  31  7      - Gọi (AD) có véc tơ phương u   a; b  ,  BD  : v  1;7   a  7b  uv  u v cos450 3   AD  : y   x     x  4 4 3 Tương tự :  AB  : y    x      x  ,  BC  : y   x  3   x  đường thẳng 3 4 4 (DC): y    x  3    x  3 Bài 10: Cho tam giác ABC cân A, biết phương trình đường thẳng AB, BC là:x + 2y – = 3x – y + = Viết phương trình đường thẳng AC, biết AC qua điểm F(1; - 3) Bài làm : - Ta thấy B giao (AB) (BC) tọa độ B  A x    x  y    nghiệm hệ :   x+2y-5=0 3 x  y    y   22  F(1;-3)  22   B   ;   Đường thẳng d' qua A vng góc với   B C 3x-y+7=0   (BC) có u   3; 1  n  1;3  k   (AB) có k AB   Gọi (AC) có hệ số góc k ta có phương  a  7b  a  b Chọn a=1, suy b   1 k   k  15 k    k k     trình :   15k    k    11 k 3 k 15k   k  k   1 1  23 1 - Với k=-   AC  : y    x  1   x  y  23  8 4 - Với k=   AC  : y    x  1   x  y  25  7 Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + = 0, d2: 3x + 2y – = điểm G(1;3) Tìm tọa độ điểm B thuộc d1 C thuộc d2 cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm Biết A giao điểm hai đường thẳng d1 d Bài làm : 2 x  y    x  11 - Tìm tọa độ A nghiệm hệ :    A  11;17  3 x  y    y  17 - Nếu C thuộc C d1  C  t; 2t   , B  d  B 1  2m; 1  3m  3x+2y-1=0 - Theo tính chất trọng tâm tam giác ABC G  t  2m  10 1 M  t  2m  13 A G trọng tâm :   11  2t  3m  2t  3m   2x+y+5=0 t  13  2m t  13  2m t  35 B    m  24 m  24 2 13  2m   3m  - Vậy ta tìm : C(-35;65) B( 49;-53) Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A B có phương trình x + y = 2x – y + = Tính diện tích tam giác ABC Bài làm : - (AC) qua C(1;2) vng góc với đường cao BK có :  x 1 y  u   2; 1   AC  :   x  2y 5  1  x  2 x  y     11  - (AC) cắt (AH) A :    A  ;   AC  5  x  y    y  11   x  1 t - (BC) qua C(1;2) vng góc với (AH) suy uBC  1;1   BC  :  y  2t x  1 t   1 - (BC) cắt đường cao (AH) B   y   t  t    B   ;   2 x  y    1 9  S   - Khoảng cách từ B đến (AC) : 5 20 5  13 13  Bài 13: Trong mpOxy, cho ABC có trục tâm H  ;  , pt đường thẳng AB AC 5 5 là: 4x  y  = 0, x + y  = Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC Bài làm : x  y    - Tọa độ A nghiệm hệ :  x  y   A(2;5)   12   x+y-7=0 K Suy : A(2;5)  HA    ;  // u 1; 4  Suy H  5 4x-y-3=0  (AH) có véc tơ phương u 1; 4  (BC) vng góc   với (AH) (BC) có n  u 1; 4  suy (BC): xB E 4y+m=0 (*) - C thuộc (AC) suy C(t;7-t )   13  22   CH    t ; t    u AB  1;   CH Cho nên ta  5 13  22  có :  t   t     t   C  5;  5    - Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến n  1; 4    BC  :  x     y    C Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH trung tuyến CM có pt là: 3x  y + 11 = 0, x + y  = Tìm tọa độ đỉnh B, C Bài làm :  x   3t Đường thẳng (AC) qua A(4;3) vng góc với (BH) suy (AC) :  y  3 t  x   3t   2t    t  3  C  5;6  (AC) cắt trung tuyến (CM) C :  y   t x  y 1   - B thuộc (BH) suy B(t;3t+11 ) Do (CM) trung tuyến M trung điểm AB , đồng  t  3t  14  B thời M thuộc (CM)  M  ;    t  3t  14 M M   CM       t  4 x+y-1=0 2 Do tọa độ B(-4;-1) M(0;1 ) C H A(4;3) Bài 15: Lập ph trình cạnh  ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) hai đường trung tuyến xuất phát từ B C có ph.trình là: x– 2y +1= y – 1= Bài làm : Gọi G trọng tâm tam giác tọa độ G nghiệm x  y 1  hệ   G 1;1 E(x;y) thuộc  y 1  (BC), theo tính chất trọng tâm ta có : 3x-y+11=0 A(1;3) N y-1=0 B M G E x-2y+1=0 C     GA   0;2  , GE   x  1; y  1  GA  2GE 0  2  x  1   E 1;0  C thuộc (CN) C(t;1), B thuộc (BM) B(2m-1;m) Do 2  2  y  1 B,C đối xứng qua E ta có hệ phương trình : A' 2m  t   t    B  5;1 , C  3; 1 Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ phương  m    m  1   x 1 y BC  8; 2  // u   4;1   BC  :   x  y   Tương tự :   x 1 y    x  2y   (AB) qua A(1;3) có AB   4; 2  // u   2; 1   AB  : 1   x 1 y    x y2 (AC) qua A(1;3) có AC   4; 4  // u  1;1   AC  : 1 * Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A'(1;-1) BGCA' hình bình hành , từ ta tìm tọa độ đỉnh B,C cách lập cạnh Bài 16: Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1;3), trung điểm AC J(-3;1) Điểm A thuộc Oy , đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B ? Bài làm : - Do A thuộc Oy A(0;m) (BC) qua gốc tọa độ O (BC): ax+by=0 (1) A - Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ H //BC suy (BC) có véc tơ phương :   J(-3;1)  IJ   4; 2  // u   2;1   BC  : x  y  I(1;3) - B thuộc (BC) suy B(2t;t) A(2-2t;6-t) Nhưng A thuộc Oy : 2-2t=0 , t=1 A(0;5) Tương tự B C C(-6;-3) ,B(0;1) ax+by=0 - Đường cao BH qua B(0;1) vng góc với AC có   x y 1 AC   6; 8  // u   3;    BH  :   4x  3y   Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 hai điểm A(1;0) ,B(3;-4)   Hãy tìm d điểm M cho : MA  3MB nhỏ Bài  làm :  - Trên d có M(3-2t;t) suy : MA    2t; t  , MB   2t; t    3MB   6t  3t  12      2 - Do : MA  3MB    8t ; 4t  12   MA  3MB    8t    4t  12      676 26  - Hay : f(t)= MA  3MB  80t  64t  148  80  t    Dấu đẳng thức xảy 5  5 26  19  t=   M  ;   Khi min(t)= 5  5 Bài 18: Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa đường chéo d1 : x  y   d : x  y   Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng qua điểm M(-3;5) Bài làm : 7 x  y   1 9 - Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ :  I ;  4 4 x  y    Gọi d đường thẳng qua M(-3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n  a; b  Khi  d : a  x  3  b  y    1 Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ nhật     nn1 nn2 7a  b a b  a  3b   7a  b  a  b   :       n n1 n n2 50 a  b 2 a  b2 b  3a  a  3b  d : 3  x  3   y     x  y  14  Do :  b  3a   x  3   y  5   x  y  12  Bài 19: Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng x   , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng x  y   TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Bài làm : V× G n»m trªn ®­êng th¼ng x  y   nªn G cã täa ®é G  (t ;  t ) Khi ®ã AG  (t  2;3  t ) , AB  (1;1) VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ 2t  NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 :  4,5 VËy 2t   4,5 , suy t  hc t  3 VËy cã hai ®iĨm G : G1  (6;4) , G  (3;1) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC  xG  ( xa  xB ) vµ yC  yG  ( ya  yB ) Víi G1  (6;4) ta cã C1  (15;9) , víi G  (3;1) ta cã C2  (12;18) Bài 20: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Bài làm : Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2  0) 2a  5b 2.12  5.1 Góc tạo với BC góc AB tạo với BC nên :  2 2 2 5 a b  52 122  12 S  AG AB   AG AB     ( t  )  (3  t )  = a  12b   2a  5b   29  a  b   9a + 100ab – 96b =     2 a  b a b  Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( điểm ( ; 1) khơng thuộc AB) nên khơng phải cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm : 8x + 9y – 33 = 2a  5b 29 2 2