Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian TÂM BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình ch nh t AB a , BC a 3, SA a SA vuông góc v i m t đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : CB AB Ta có CB ( SAB) CB SB hay CBS 900 CB SA Ch ng minh t ng t ta đ c CDS 900 M t khác SA ( ABCD) SA AC hay CAS 900 Nh v y CBS CDS CAS 90 Ngh a m B, D, A nhìn CS d I A i góc vuông D Do m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I trung m c a SC có bán kính : SC SA2 AC SA2 AB2 BC R 2 B C 5a a 3a 3a 3a V y R 2 Bài Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i A l y m S M t ph ng qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t t i B1 , C1 , D1 1) Ch ng minh r ng m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t m t c u Tính di n tích c a m t c u th tích c a kh i c u 2) Xác đ nh v trí c a S cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t Tính th tích Gi i : G i O giao m c a AC BD S CB AB CB ( SAB) CB AB1 1) Ta có CB SA C1 Mà AB1 SC , suy AB1 (SCB) AB1 BC Ch ng minh t ng t ta c ng đ D1 B1 c AD1 D1C AC1C AD1C ADC ABC 900 Khi ta có : ABC Suy m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t c u H tâm O ( O trung m c a AC ) có bán kính B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! D A T ng đài t v n: 1900 69-33 O C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Smc 4 R2 2 a AC a R a3 2 Vkc R 3 2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H AC ( H AC ), C1H // SA, suy C1H ( ABCD) a2 V y VABCDC1 VC1 ABCDC C1H SABCD C1H 3 Trong tam giác vuông HC1O có C1H C1O , suy C1H l n nh t H O hay C1H C1O R a 2 Lúc C1H đ Khi VABCDC1 ng trung bình tam giác SAC , suy SA 2C1H a a2 a a3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD n a l c giác đ u AB BC CD a , AD 2a C nh bên SA 2a SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : Cách : G i O trung m c a AD , O tâm c a n a l c giác đ u ABCD Suy ABD vuông t i B I DB AB Khi DB ( SAB) DB SB hay SBD 90 DB SA Ch ng minh t ng t ta đ c SCD 900 Nh v y SBD SCD SAD 900 Ngh a B, C , A nhìn SD d i góc vuông O A Do tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD trung m I c a SD Khi m t c u có bán kính : B SD SA2 AD 12a 4a R 2a 2 Cách : D C +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD , : IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay IA IS (2) +) G i O trung m c a AD , ABCD n a l c giác đ u nên ta có OA OB OC OD a hay O tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD D ng d qua O vuông góc ( ABCD) , d tr c c ađ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian T (1) suy I d (*) S +) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ ng trung tr c c a SA Khi đó, t (2) suy I (2*) d K I A +) T (*) (2*), suy d D O I Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO KA a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R IA OA2 IO2 a 3a 2a C B Bài Cho tam giác ABC vuông cân t i A BC a T B C d ng đo n BD, CE vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) v m t phía c a ( ABC ) cho BD CE a Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình chóp ABCED th tích c a kh i c u Gi i : D E G i I giao m c a DC BE CA AB CA ( ABD) CA AD hay CAD 900 Ta có CA BD I Khi CED CBD CAD 900 , ngh a m E, B, A nhìn CD d i góc vuông, m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp B C ABCED có tâm I trung m c a DC bán kính : R DC DB2 BC a 2a a 2 2 A a Suy S( S ) 4 R2 3 a V( S ) R3 3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD t giác có S AB a , BC a 3, CD a 2, DA a 2, AC 2a C nh bên SA vuông góc v i đáy SA 2a Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay IA IS (2) d K I A B D O +) Ta có C Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian 2 2 2 AB BC a 3a 4a AC ABC ADC 900 2 2 2 AD DC 2a 2a 4a AC Khi trung m O c a AC tâm c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD) Suy d tr c c a t giác ABCD d / / SA T (1), suy I d (*) +) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA d , ta d ng đ ng th ng trung tr c c a SA T (2), suy I (2*) T (*) (2*), suy d I +) Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO KA a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R IA OA2 IO2 a 3a 2a Chú ý : toán ta có th ch B, D, A nhìn SC d i m t góc vuông, suy tâm I trung SC 2a Bài Cho hình l ng tr đ ng ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông t i A AC a , m c a SC bán kính R ACB 600 ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 1) Tính th tích kh i l ng tr 2) Xác đ nh tâm bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr Gi i : BA AC Ta có BA ( AA' C ' C ) BC ', ( AA' C ' C ) AC ' B 300 BA AA' Ta có AB AC tan 600 a SABC A' C' O2 a2 1 AB AC a 3.a 2 300 Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có : B' AC ' AB.cot 30 a 3 3a I Khi CC ' AC '2 AC 9a a 2a a2 1) Suy VABC A' B'C ' CC '.SABC 2a a3 2) G i O1 , O2 l n l t trung m c a BC, B ' C ' Do ABC A' B ' C ' tam vuông l n l a A t t i A B nên O1 , O2 l n l 600 O1 t tâm B đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC A' B ' C ' Khi O1O2 tr c c a hai đáy Suy tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr trung m c a O1O2 Th t v y : IA IB IC Do I O1O2 (*) IA' IB ' IC ' M t khác : I trung m c a O1O2 nên IC IC ' (2*) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian T (*) (2*), suy I tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A' B ' C ' BB ' CC '2 BC CC '2 AB2 AC 8a 3a a a Khi bán kính R IB 2 2 Bài Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) ( DBC ) vuông góc v i Bi t BC a , BAC 600 BDC 300 Tính bán kính th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD Gi i : *) D ng tâm A d1 G i O1 , O2 l n l t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC G i E trung m c a BC Ta có O1E BC O1E ( ABC ) (do ( DBC ) ( ABC) ) T d2 O2 ng t ta có O2 E ( BCD) Qua O1 d ng đ B D ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD) O1 E d1 tr c c a tam giác BCD d1 // O2 E Qua O2 d ng đ I ng th ng d vuông góc v i ( ABC ) C d tr c c a tam giác ABC d // O1 E Khi giao m I c a d1 d tâm c a m t c u ngo i ti p t n ABCD Th t v y : I d1 IB IC ID IA IB IC ID , suy I tâm c a m t c u c n xác đ nh I d IA IB IC *) Tính bán kính R c a m t c u Ta có EO1IO2 hình ch nh t, suy IE O1E O2 E G i R1 , R2 l n l t bán kính c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC , đó: BC 2 2 O1 E O1C EC R1 2 BC BC 2 2 2 2 IE R1 R2 R IC IE EC R1 R2 2 BC 2 2 O E O C EC R 2 Áp d ng đ nh lý sin tam giác BCD ABC ta có : BC a 2 R1 sin BDC sin 300 2a R1 a a a 13a a 39 2 R a R 12 2 R BC a 2a R a 2 3 sin BAC sin 60 4 a 39 13 a 39 Khi th tích c a kh i c u : V R3 3 54 Bài Cho hình chóp đ u S ABC có đ ngo i ti p hình chóp cho ng cao SH h , SAB 450 Xác đ nh tâm bán kính m t c u Gi i : Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian S +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD IA IB IC ID IS hay IA IB IC ID (1) IA IS (2) M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH ( ABCD) I 450 B Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I SH (*) +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng trung tr c c a SA T (2), suy I (2*) T (*) (2*), suy SH A H C D I +) G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2 SI 2SH 2SH SA SH SH Tam giác SAB cân t i S có SAB 450 , suy SAB vuông cân t i S t SA x , : AB x HA AB x 3 Trong tam giác vuông SHA có : x2 3h2 3h 2 SA HA SH x h x 3h R 2h 3h V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R 2 2 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi m t vuông góc G i G tr ng tâm c a tam giác ABC I tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC GI 1) Nêu cách d ng tâm I 2) Ch ng minh ba m S,G,I th ng hàng tính t s GS Gi i A 1) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC c n d ng IS IB IC (1) IS IA IB IC (2) IS IA d M G i O trung m c a BC Do tam giác SBC vuông t i S nên O tâm đ ng tròn ngo i ti p SBC T O d ng đ ng th ng d cho d (SBC) I G S Suy d tr c c a tam giác SBC d / /SA (do SA (SBC)) T (1), suy I d (*) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! C O B T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng (d,SA) d ng đ Chuyên đ : Hình h c không gian ng trung tr c c a SA Khi đó, t (2) I (2*) I T (*) (2*), suy d 2) M t khác SOIM hình ch nh t (v i M trung m c a AS ), IO MS IO AS AS 2 Trong m t ph ng (d , SA) , g i AO SI G ' Áp d ng đ nh lý Ta – lét ta có: G ' O G ' I IO G ' O 2G ' A G ' tr ng tâm tam giác ABC G ' G G ' A G ' S AS GI G ' I GI V y ba m S, G, I th ng hàng ta có hay GS G ' S GS Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a C nh bên SA vuông góc v i m t đáy ABCD SA a G i E trung m c a CD Tính di n tích m t c u qua b n m S, A, B, E Gi i: G i I tâm c a m t c u qua b n m S, A, B, E S IA IB IE (1) Khi đó: IS IA IB IE (2) IS IA G i F trung m c a AB O tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB Do EAB cân t i E nên O EF D ng đ ng th ng d qua O vuông góc ( EAB) Suy d tr c c a tam giác EAB Theo (1) I d (*) Ta có d / / SA (do SA ( ABCD) ( EAB) ) A Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ d K I D F E O B ng th ng C trung tr c c a SA Theo (2) I (2*) T (*) (2*), suy d I Ta có AB a , AE BE abc a Áp d ng công th c R , ta có: 4S AB AE.BE OA 4SABE a a a 2 5a a AKIO hình ch nh t (v i K trung m c a SA) nên IO KA SA a 2 a 25a a 41 R OA IO AO 64 2 41 a Suy di n tích m t c u c n tính là: Smc 4 R 16 Giáo viên Ngu n Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | -