25 xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ

Trường THPT Krông Ana LỜI NĨI ĐẦU Giải toán nghệ thuật thực hành mà có, toán mà bạn giải bình thường khêu gợi trí tò mò buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt bạn tự giải lấy toán bạn biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi Đối với học sinh, sau mong muốn giải toán cụ thể có tò mò sâu sắc hơn, mong muốn biết đường lối, phương tiện, lập luận qua trình dẫn tới cách giải, mà điều không sách trình bày cho học sinh Bởi vậy, việc hướng dẫn học sinh tìm đường lối giải toán lược đồ bốn bước Polia không nằm mục đích Phần “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , hình lăng trụ “ trình bày SGK Hình học 11 chỉnh lý hợp 2000, chương trình SGK phần “xác định tâm mặt cầ u ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ “ trình bày SGK Hình học 12; đây, người viết mạnh dạn đưa suy nghó mình, kinh nghiệm với mục đích học hỏi, trao đổi, rút kinh nghiệm vâïn dụng vào dạy học hình học không gian , 12 nói riêng dạy học toán nói chung nhằm nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông Bài viết không tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc đồng nghiệp góp ý bổ sung để viết hoàn chỉnh Trường THPT Krông Ana Phần MỞ ĐẦU I LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài tập toán đa dạng phong phú, việc giải tập yêu cầu quan trọng học sinh Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán nói chung phân môn Hình học không gian nói riêng, số lượng tập chưa có sẳn thuật toán giải lớn gây cho học sinh không khó khăn, lúng túng giải chúng dẫn đến tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập học sinh Do giải t ập giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng “dạy cho học sinh biết cách suy nghó tìm đường hợp lí để giải toán” Bởi “Tìm cách giải toán phát minh” (Polia) II MUC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Mục đích viết nhằm đưa số ứng dụng việc vận dụng lược đồ bốn bước Polia vào giải toán hình học không gian nói chung toán “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” nói riêng Qua giúp học sinh hiểu rõ trình tìm lời giải cho toán, kích thích hứng thú, tìm tòi sáng tạo học sinh học tập III NHIỆM VỤ BÀI VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Tìm hiểu sở lí luận - Đề xuất số dạy cụ thể toán “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” theo lược đồ bước Polia IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu, điều tra, vấn - Thực nghiệm sư phạm V TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải toán G Polia, NXB GD 1997 Rèn luyện tư qua việc giải tập toán Nguyễn Thái Hoè, NXB GD 2001 Sách giáo khoa Hình học 11(sách chỉnh lí hợp 2000); sách giáo khoa theo chương trình Sách Bài tập Hình học 11, sách chỉnh lí hợp 2000 Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 Trường THPT Krông Ana Phần NỘI DUNG §1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Lược đồ bốn bước Polia: Bước 1: Hiểu rõ toán Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực chương trình giải Bước 4: Nghiên cứu lời giải BƯỚC 1: HIỂU RÕ BÀI TOÁN - Cái phải tìm? Cái cho? Đâu điều kiện? Cái phải tìm thoả mãn điều kiện gì? Những điều kiện có đủ để xác định phải tìm không? Thiếu hay thừa? Có mâu thuẩn với không? - Vẽ hình rhật cẩn thận sử dụng kí hiệu thích hợp - Tách điều kiện với Có thể diễn tả điều kiện công thức không? BƯỚC 2: XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI - Để tìm đường lối giải, phải tìm mối liên hệ cho phải tìm, phải dùng phương pháp phân tích, cần xét tập trung gian + Bạn gặp toán chưa? Hay gặp toán dạng khác + Bạn có biết toán liên quan không? Một định lí dùng dể giải không? + Hãy nghiên cứu kó phải tìm ! Hãy thử nhớ lại toán quen thuộc có phải t ìm tương tự + Đây toán liên quan đến toán mà bạn giải tương tự với toán phải giải; toán có giúp ích không? Có thể sử dụng kết không? Có thể đưa vào phần tử phụ để áp dụng tập biết hay không? + Có thể phải hiểu toán khía cạnh khác không? Hãy thay khái niệm đề định nghóa chúng + Nếu chưa tìm lời giải tập cho, cố gắng giải tập tương tự dễ hơn, đặc biệt Bn giải phần toán không? giữ lại phần điều kiện bỏ qua phần Khi xét thay đổi phải tìm! Bạn nghó giả thiết khác để xác định phải tìm không? + Có thể biến đổi c phải tìm hay cho hay hai chúng gần không? (bài toán phụ) + Đã sử dụng hết cho chưa? Đã xét hết điều kiện chưa? Đã ý đến hết khái niệm có đề chưa? BƯỚC 3: THỰC HIỆN CHƯƠNG TRÌNH GIẢI Trường THPT Krông Ana - Hãy kiểm tra lại bước thực Bạn thấy rõ bước chưa? Bạn chứng minh không? BƯỚC 4: NGHIÊN CỨU LỜI GIẢI - Bạn kiểm tra lại kết không? Có cần kiểm tra lại trình không? Lời giải đầy đủ, triệt để chưa? - Trên đường tìm lời giải , bạn phát kết khác không? - Có thể đến kết phương pháp khác không? Có thể xét kết khía cạnh khác không? - Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết vào tập khác không? Trường THPT Krông Ana §2 VẬN DỤNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA Hầu hết tập toá n hình học không gian nói riêng tập toán nói chung, người giáo viên hoàn toàn dẫn dắt rèn luyện cho học sinh kó giải toán lược đồ bốn bước Polia Do giới hạn viết, người viết trình bày phần “ hướng dẫn học sinh giải toán : xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ “ lược đồ bốn bước Polia Vì nội dung “mặt cầu, khối cầu ” chương trình sách trình bày hình học 12 (bắt đầu học năm học 2008- 2009) nên đây, người viết có kết hợp với sách giáo khoa chỉnh lí hợp 2000 sách giáo khoa theo chương trình I ĐẶC ĐIỂM CỦA PHẦN ‘ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, HÌNH LĂNG TRU" Người viết đưa số nhận xét nội dung phần “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” sách chỉnh lí hợp 2000 sách giáo khoa (chương trình chuẩn chương trình nâng cao) nhằm mục đích qiúp có so sánh, từ có kế hoạch giảng dạy phần “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” tốt SÁCH GIÁO KHOA CHỈNH LÍ HP NHẤT 2000 (CL2000) Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” trình bày mục mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ (trang 109- 112) - Đây phần thứ ba chương IV: Mặt cầu, phần cuối nhằm trình bày hoàn chỉnh (theo yêu cầu quy định) kiến thức mặt cầu, kiến thức hai mục trước chuẩn bị cho mục Chẳng hạn, Bài tập 1, 2, 3- trang 103 Ví dụ 1- trang 101 Đường thẳng mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu – trang 106 - Trong mục §3.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ, nêu vỏn vẹn định nghóa hai ví dụ; Không nêu điều kiện cần hay đủ để hình chóp, lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp - Không nêu mặt cầu nội tiếp tập có nêu “tính bán kính mặt cầu nộ i tiếp hình chóp (bài T.11- trang 163-SBT), mặt cầu cách bốn mặt tứ diện (bài 5- trang 112SGK) 1.1 LÝ THUYẾT Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” mục nhỏ (mục 3) chương IV: Mặt cầu mặt tròn xoay + Định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ Trường THPT Krông Ana + Ví dụ: Về mặt cầu ngoại tiếp chóp tam giác đều, tứ diện trực tâm BÀI TẬP Dạng tập- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ Dạng : Tìm điểm cách đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Baøi 1-trang 103, Baøi 3- trang 128- SGK; T.6-trang 125-SBT) Dạng : Các đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố định góc vuông (Bài 2-trang 103-SGK; Bài 0.5- Bài 0.6-trang 128, T.7-trang 129-SBT) Dạng : Tâm giao điểm đường trung trực cạnh bên và trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 1, 4-trang 103, Bài 3-trang 127- SGK; Bài T.6-trang 129, T.8-trang 130-SBT) Trong phân phối chương trình, chương mặt cầu mặt tròn xoay tổng cộng có 11 tiết, “mặt cầu” “ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình lăng trụ” gồm tiết bao gồm tiết tập CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA MỚI -CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN (CTC) 2.1 LÝ THUYẾT Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” trình bày mục nhỏ ‘chú ý’, 2.mặt cầu (trang 41- 49)- chương II: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu + Định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ + Không có ví dụ minh hoạ 2.2 BÀI TẬP Bài tập 1, 2, 7, 10- trang 49 Dạng tập- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ Dạng : Tìm điểm cách đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Bài 7-trang 49SGK) Dạng : Các đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố định góc vuông (Bài 1-trang 49-SGK) Dạng : Tâm giao điểm đường trung trực cạnh bên và trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 2-trang 49) Trong phân phối chương trình, ‘mặt cầu’ tổng cộng có tiết, gồm tiết tập Lượng thời gian không đủ để giải tất tập phần SGK sách BT Do người dạy cần có ‘kế hoạch dạy’ thích hợp Ở đây, người viết xin đưa kế hoạch dạy phần trình tự sau: + Tiết 1: Định nghóa mặt cầu khái niệm liên quan + Tiết 2: Giải tập 3, 4, 5, 6, vaø (trang 49) + Tiết 3- 4: Trình bày định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăn g trụ Giải tập cách vận dụng “cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ‘ Trường THPT Krông Ana CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA MỚI – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO (CTNC) 3.1 LÝ THUYẾT Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” trình bày mục 1.Mặt cầu, khối cầu (trang 38)- chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón + Định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ + Không có ví dụ minh hoạ Khác với sgk chương trình chuẩn, sgk chương trình nâng cao có hoạt động nhằm giúp học sinh thấy điều kiện cần đủ để hình chóp, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp 3.2 BÀI TẬP Bài tập 1, 7, 8, 9, 10- trang 45, 46 Dạng tập- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ Dạng : Tìm điểm cách đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Bài 8, 9-trang 45, 46-SGK) Dạng : Các đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố định góc vuông (Bài 1-trang 45-SGK) Dạng : Tâm giao điểm đường trung trực cạnh bên và trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 7-trang 45) Phân phối chương trình, ‘mặt cầu, khối cầu’ có tiết, bao gồm tiết tập Kế hoạch dạy phần trình tự sau: + Tiết 1: Định nghóa mặt cầu khái niệm liên quan + Tiết 2: Giải tập 2, 3, 4, 5, 6- trang 45 + Tiết 3- 4: Trình bày định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăng trụ Giải tập cách vận dụng “cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ‘ II HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Ta rèn luyện cho học sinh kó xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ lược đồ bốn bước Polia thông qua một vài ví dụ, tập sách giáo khoa Sau đây, người viết xin đưa hai tập sách giáo khoa Bài toán 1: (Bài 2/SGK-CTC-trang 49; Bài 3/SGK CL2000-trang103) “Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C D.” - Ở ta quan tâm đến việc xác định tâm mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C D Trường THPT Krông Ana Bước 1: Hiểu rõ toán - “ Cái cần tìm?” Tâm mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C D - “ Tâm mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C D có đặc điểm gì?” Cách S, A, B, C D S - “ Cái cho?” Chóp tứ giác S.ABCD AB= a, SA= a - “ Chóp tứ giác S.ABCD cho ta?” - ABCD hình vuông SA= SB= SC= SD D - “ Hãy vẽ hình “ C O Bước 2: Xây dựng chương trình giải - “Hãy nghiên cứu kó phải tìm, công việc cần làm ?” A B Hình H.1 Tìm điểm I cho IA= IB= IC= ID= IS - “Bạn gặp toán chưa? Đã gặp tương tự ?” Chưa Bài tập tương tự ‘Xác định tâm đường tròn qua họ điểm cho trước hình học phẳng‘ - “ Liệu cách giải tương tự? Vậy nhớ lại cách giải cố gắng vận dụng vào toán !” Bài toán: Xác định tâm đường tròn qua họ điểm cho trước hình học phẳng‘, có h giải bản: Cách 1: Chứng tỏ họ điểm nhìn hai điểm cố định góc vuông Cách 2: Chứng tỏ họ điểm cách điểm cố định Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ họ điểm - “ Vận dụng vào toán?” * Cách 1: Chứng tỏ “họ điểm”( S, A, B, C D) nhìn hai điểm cố định góc vuông? Xuất phát từ giã thiết, cách không khả thi yếu tố vuông góc giả thiết không đủ * Cách 2: Việc tìm điểm cố định I làm được, tìm điểm ‘có lẻ khó ‘ * Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ họ điểm Việc tìm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ S, A, B, C D không gian “khó “ xác định ! Trường THPT Krông Ana Vậy cách 1, cách 2, áp dụng hoàn toàn tương tự cho tập mở rộng không gian - “Nhưng cách 3, liệu ta thay ‘thao tác’ tìm giao điểm đường trung trực thao tác tương tự tương ứng không gian?” - “Ở cách 3, ta sử dụng tính chất gì?” Trong hình học phẳng, ta sử dụng tính chất M (M d- đường trung trực AB) (MA= MB) - “Trong không gian, tính chất tương tự gì?” A 1) (M d- đường trung trực AB) (MA= MB) B Hình H.2 2) (M mp(P)- mp trung trực AB) (MA= MB) 3) (M - trục đường tròn ngoại tiếp đa giác ABCD…) (MA= MB= MC= MD…) - “Hãy vận dụ ng tính chất tương ứng cho toán ?” IA= IB= IC= ID, cho ta I - trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD IA= IS cho ta I mp(P)- mp trung trực SA Do I=  mp(P) S - “ Bạn phải làm để dựng I?” * Bước 1: Xác định - trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD mp(P)- mp trung trực SA d I D * Bước 2: Gọi I=  mp(P) C O * Bước 3: Kết luận - “ Nhận xét giao tuyến d mp(P) mp(SAO)?” A - d đường trung trực đoạn SA mp(SAO) Bước 3: Thực chương trình giải B Hình H.3 * Gọi O tâm hình vuông ABCD Qua O dựng đường thẳng  vuông góc mp(ABCD) ( trục đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vì SA= SB= SC= SD nên S * Trong mp(SAO), gọi I=  d (d đường trung trực đoạn SA mp(SAO)) * Ta coù I  IA= IB= IC= ID, I d IA= IS, Do vaäy I cách S, A, B, C, D Hay I tâm mặt cầu qua S, A, B, C, D Bước 4: Nghiên cứu lời giải Trường THPT Krông Ana - “Bạn kiểm tra lại kết không? Có cần kiểm tra lại trình không? Lời giải đầy đủ, triệt để chưa?” - Lời giải hiển nhiên đúng, đầy đủ triệt để - “Có thể đến kết phương pháp khác không? Có thể xét kết khía cạnh khác không?” - * Cách 1: Chứng tỏ “họ điểm”( S, A, B, C D) nhìn hai điểm cố định góc vuông? Cách hoàn toàn áp dụng mở rộng không gian Nó tương ứng với toán có quan hệ vuông góc, chẳ ng hạn: Bài 2-trang103; Ví du ï2-trang 111-SGK; Baøi 0.2-trang 127; Baøi 0.6-trang 128-SBT…SGK CL 2000) Baøi 1-trang 45- SGK CTNC Bài 1-trang 49- SGK CTC * Cách 2: Việc tìm điểm cố định I làm được, tương tự cách 1, thực cách cách Nhưng cách 2, sử dụng tính chất hình, chẳng hạn giao điểm hai đường chéo hình hộp chữ nhật cách đỉnh… - “ Trên đường tìm lời giải, bạn phát kết khác không?” * - Bước 1: Qua O dựng đường thẳng  vuông góc mp(ABCD) ( trục đường tròn ngoại tiếp ABCD) - “ Có phải lúc thực được?” - Chỉ thực ABCD có tâm đường tròn ngoại tiếp I ABCD nội tiếp -“ Giả thiết ABCD hình vuông sử dụng đâu ?” - Được sử dụng: ‘Dựng đường thẳng  vuông góc mp(ABCD) ( trục đường tròn ngoại tiếp ABCD)’ * - Bước 2: Trong mp(SAO), gọi I=  d (d đường trung trực đoạn SA mp(SAO)) -“ Trong phân tích I=  mp(P) (mp(P)- mp trung trực SA), giải I=  d (d đường trung trực đoạn SA mp(SAO)), đâu?” - Do SA  đồng phẳng nên I giao điểm mp(P) (mp trung trực đoạn SA) với , I giao điểm d đường trung trực đoạn SA mp(SAO) với  -“ Vậy giả thiết ‘giảm tối thiểu’ để dựng I gì?” A - + ABCD tứ giác nội tiếp S O d P Hình H.4 I + Có cạnh bên đồng phẳng với trụ c đường tròn ngoại tiếp đáy 10 I  Trường THPT Krông Ana -“ SA= SB= SC= SD sử dụng đâu? Có thể thay giả thiết không?” - SA= SB= SC= SD, suy S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp, từ dẫn đến tồn canh bên (là SA, SB, SC, SD) đồng phẳng với trục đường tròn SO Có thể thay giả thiết SA= SB= SC= SD tồn cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn  ngoại tiếp ABCD, chẳng hạn: SA mp(ABCD) -“ Khi toán không giải được?” + Khi không dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy + Khi không xác định giao điểm mặt phẳng trung trực cạnh bên với trục đường tròn ngoại tiếp đáy ( Ở phải hiểu ‘khó giải được’) Do vậy, toán không giải khi: + Đáy đa giác đường tròn ngoại tiếp + Không tồn cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (‘khó giải được’) -“ Ta rút kết luận điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp?” - Kết luận: Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp điều kiện cần đủ đa giác đáy đa giác có đường tròn ngoại tiếp -“ Có thể sử dụng phương pháp cho tập khác không? Các bước giải nào?” - Có, ứng với dạng toán ‘xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mà học sinh học ‘ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình lăng trụ’ - Các bước giải: ‘Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A 1A 2…A n.‘ * Bước 1: Xác định - trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy S * Bước 2: “Tìm “ cạnh bên (giả sử SA 1) đồâng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ; mặt phẳng này, d gọi I=  d (d đường trung trực SA) * Bước 3: Kết luận, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A 1A 2…A n ` Cơ sở: Ta có I  I cách A 1, A 2,…A n  An I A4 A1 I d IA = IS, A2 Suy I cách S, A 1, A 2,…A n Hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A 1A 2…A n A3 Hình H.5 Lưu ý: Các tập xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A 1A 2…A n sgk HH 11, sách tập HH 11(CL2000) sgk đưa tập mà tồn cạnh bên đồâng 11 Trường THPT Krông Ana phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Do mà bước phương pháp thực -“ Sau có phương pháp giải, ta tiến hành giải cho loạt toán (hầu tất cả) SGK sách tập (SBT) –Trừ 8-SGK-CTNC-trang 45) Các tập khác giả thiết :’ cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy’ giả thiết cho dạng Ở SGK SBT gồm dạng: Dạng 1: Hình chóp có đỉnh S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Bài toán 2: (Bài 8-SGK-CTNC-trang 45) “Cho tứ diệnABCD với AB= CD= c, AC= BD= b, AD= BC= a a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ” Để giải câu a), phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A Bước 1: Hiểu rõ toán - “ Cái cần tìm?” Tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD - “ Cái cho?” Q M tứ diệnABCD , AB= CD, AC= BD, AD= BC Bước 2: Xây dựng chương trình giải I - “ Chúng ta có cách giải nào?” * Cách 1: Chứng tỏ A, B, C D nhìn hai điểm cố định góc vuông D B * Cách 2: Tìm điểm cố định I cách A, B, C, D P N C * Cách 3: Ba bước Hình * Bước 1: Xác định - trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy * Bước 2: “Tìm “ cạnh bên (giả sử SA ) đồâng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy; mặt phẳng này, gọi I=  d (d đường trung trực SA) * Bước 3: Kết luận, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A 1A 2…A n - “ Có thể xác định tâm mặt cầu qua A, B, C D theo cách nào?“ Cách 1, không thực Cách 3, không thực Bước 2: Tìm cạnh bên đồâng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, không thực Vậy giải theo caùch - “AB= CD, AC= BD, AD= BC.cho ta?” 12 Trường THPT Krông Ana Các mặt tam giác (c-c-c) - “ Nhận xét CM, DM? “ CM= DM - “ Nhận xét MN CD? “ MN  CD, hay MN đường trung trực CD, AB - “ Tương tự PQ đường trung trực AD, BC “ - “ Ta biết MN, PQ cắt O “ - “ Nhận xét điểm I với đỉnh A, B, C, D? “ I cách A, B, C, D Bước 3: Thực chương trình giải - Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, CD, BC, AD I giao điểm MN PQ + ABC= BAD (c-c-c), CM= DM Trong CMD cân, có MN CD, hay MN đường trung trực CD Suy ra, IC= ID + Tương tự, ID=IA, IA= IB, IB= IC - Kết luận, I cách A, B, C, D Hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD Bước 4: Nghiên cứu lời giải - “Bạn kiểm tra lại kết không? Có cần kiểm tra lại trình không? Lời giải đầy đủ, triệt để chưa?” Lời giải hiển nhiên đúng, đầy đủ triệt để - “ Trên đường tìm lời giải, bạn phát kết khác không?” Ta biết răng, vơi tứ diện ABCD tâm O mặt cầu ngoại tiếp tồn tại, bàng thao tác dựng hình tuý không xác định tâm O giã thiêt “không đủ điều kiện ” * Mở rộng vấn đề: Với học sinh có học lực giỏi, biết tìm tòi, thích khám phá, giáo viên nên đưa câu hỏi vấn đề mang tính mở nhằm kích thích hứng thú, kích thích tính sáng tạo học sinh, chẳng hạn giải ví dụ , ta nêu vấn đề cho học sinh: Vậy bước 2: “Tìm “ cạnh bên đồâng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mà không thực ta phải làm ! + Về sở bước phải xác định giao điểm mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  thực tế hoàn toàn xác định giao điểm O  + Nhưng HH giải tích, toán : ‘Xác S định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A2…A n với S, A 1, A2,…A n cho trước’ hoàn toàn 13 O Trường THPT Krông Ana đơn giản, mà ta không cần quan tâm có cạnh bên đồâng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hay không Bởi toán đại số hoá tách khỏi yếu tố hình học tuý BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH LĂNG TRỤ Sách giáo khoa CL2000 có đưa định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, vỏn vẹn mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, Bài 1-SGKCL2000-trang103 Sách giáo khoa có đưa định nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ sách có tập mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ( Bài 7-SGKCTC-trang 49, Bài 10-SGKCTNC-trang 46) Do hướng dẫn học sinh giải giáo viên cần làm rõ trọng tâm sau: + Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ cách ‘ chứng tỏ họ điểm nhìn hai điểm cố định góc vuông’ + Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp + Các bước xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bài toán 3: (Bài 7-SGKCTC-trang 49; Bài 1/SGK-trang103) “Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’= a, BB’= b, CC’=c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp đó.” - Ở đây, ta quan tâm đến việc xác định tâm mặt cầu qua đỉnh hình hộp Bước 1: Hiểu rõ toán - “ Cái cần tìm?” Tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’ - “ Tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’có đặc điểm ?” D Cách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’ - “ Caùi cho?” C A B ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật D’ - “ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật cho ta?” -Các mặt hình hộp chữ nhật hình chữ nhật C’ A’ B’ Hình H.7 - “ Hãy vẽ hình “ Bước 2: Xây dựng chương trình giải - “Hãy nghiên cứu kó phải tìm, công việc cần làm ?” Tìm điểm O cho O cách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’ - “Bạn gặp toán chưa? Đã gặp tương tự ?” 14 Trường THPT Krông Ana Chưa Bài tập tương tự ‘Xác định tâm đường tròn qua họ điểm cho trước hình học phẳng‘ - “ Liệu cách giải tương tự? Vậy nhớ lại cách giải cố gắng vận dụng vào toán !” Bài toán: Xác định tâm đường tròn qua họ điểm cho trước hình học phẳng‘, có h giải bản: Cách 1: Chứng tỏ họ điểm cách mộ t điểm cố định Cách 2: Chứng tỏ họ điểm nhìn hai điểm cố định góc vuông Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ họ điểm - “ Vận dụng vào toán?” * Cách 1: Chứng tỏ họ điểm cách điểm cố định Xuất phát từ giã thiết, ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật nên đường chéo hình hộp chữ nhật cắt trung điểm O đường, nên O điểm cần tìmcách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’ Kết luận O điểm cần tìm Bước 3: Thực chương trình giải * Gọi O giao điểm AC’ A’C, lúc ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật nên đường chéo hình hộp chữ nhật cắt O, O cách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’, hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’ Bước 4: Nghiên cứu lời giải - “ Bạn kiểm tra lại kết không? Có cần kiểm tra lại trình không? Lời giải đầy đủ, triệt để chưa?” - Lời giải đầy đủ, triệt để - “Trên đường tìm lời giải, bạn phát kết khác không? - “Điểm O cách giải trên, có phải lúc tìm ?” - Khi O cách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’ - “ Có thể thay giả thiết ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật hình lăng trụ tứ giác thoả mãn điều kiện gì?” - O cách A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’, suy OA= OB= OC= OD, hay O thuộc trục đường tròn ngoại tiếp ABCD, tức ABCD nội tiếp Tương tự A’B’C’D’ nội tiếp, mặt bên hình bình hành (vì ABCD.A’B’C’D’là hình lăng trụ) nội tiếp, hay mặt bên phải hình chữ nhật , tức hình hộp hình hộp đứng Tóm lại, thay giả thiết ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật + ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ đứng + Đáy tứ giác nội tiếp 15 Trường THPT Krông Ana “ Mở rộng, phát biểu ‘điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp’ ?” - ‘Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng đáy đa giác có đường tròn ngoại tiếp ‘ -“Có thể đến kết phương pháp khác không? Có thể xét kết khía cạnh khác không? - “ Liêu dùng cách 2?” - Được Chúng ta hoàn toàn chứng minh điểm B, C, D, A’, B‘,D’ nhìn A, C’(tương tự D B’; A’và C…) góc vuông - “ Liêu dùng cách 3? Có thể dùng cách tương tự cho phù hợp?” - Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ họ điểm Việc tìm giao điểm đường trung trực đoạn thẳng tạo từ A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’trong không gian “khó “ xác định ! - Có thể dùng cách tương tự: Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’ + Từ OA= OB= OC= OD, suy O thuộc trục đường tròn  ngoại tiếp ABCD + Tương tự O thuộc trục đường tròn ’ ngoại tiếp A’B’C’D’ + Từ OA= OA’, suy O thuộc mặt phẳng trung trực AA’  - Kết hợp với điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp, ta có kết luận: Với hình lăng trụ đứng đáy đa giác có đường tròn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ xác định nhö sau: A’ A’ A’ A’ * Bước 1: Xác định - trục đường tròn ngoại tiếp đa d giác đáy I * Bước 2: Trong mặt phẳng tạo cạnh bên với  A4 Gọi O=  d (với d đường trung trực cạnh bên với ) A1 A2 * Bước 3: Kết luận A3 Hình H.8 -“Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết vào tập khác không?” - Các tập xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tiến hành hai giai đoạn: + Giai đoạn 1: Kiểm chứng xem lăng trụ có tồn mặt cầu ngoại tiếp không? + Giai đoạn 2: Thực bước xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trình bày 16 Trường THPT Krông Ana Phần THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM - Nội dung “mặt cầu, khối cầu” theo chương trình SGK trình bày lớp 12 Người viết tiến hành thực nghiệm năm học 2008- 2009 - Tiến hành hướng dẫn học sinh giải toán “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ bốn bước Polia “ lớp 12A 2,12A trường THPT Krông Ana năm học 2008- 2009 - Lập phiếu điều tra II KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM - Người viết trực tiếp hướng dẫn học sinh giải toán “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bốn bước Polia “ qua tập 2- trang 49- SGKCTC, thu kết khả quan: + Đa số học sinh vận dụng tốt vào giải tập xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ + Khi bắt gặp tập xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hì nh chóp, lăng trụ, học sinh cảm thấy hứng thú “không còn” tập khó + Bài kiểm tra viết tiết, với toán “xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, với ABCD hình chữ nhật SA mp(ABCD) có 35/45 (78%) học sinh làm Tuy nhiên, số em lúng túng gặp toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ; Lí khách quan học sinh học lực yếu môn Toán, nên tiếp nhận kiến thức khả tìm tòi, sáng tạo có phần hạn chế 17 Trường THPT Krông Ana LỜI KẾT Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, khơi dậy phát huy khả tìm tòi, sáng tạo học sinh người viết mạnh dạn đưa sáng kiến nhỏ Tuy nhiên nhiều thiếu sót, chưa thật phù hợp cho đối tượng học sinh Kính mong người đọc đồng nghiệp góp ý để viết hoàn thiện Một lần tồi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp góp ý giúp đỡ hoàn thành viết Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 18 Trường THPT Krông Ana MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Phần 1 Mở đầu I Lý viết sáng kiến kinh nghiệm II Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm III Nhiệm vụ sáng kiến kinh nghiệm IV Phương pháp nghiên cứu V Tài liệu tham khảo Phần Nội dung §1 Cơ sở lí luận §2 Vận dụng I Đặc điểm phần “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ” II Hướng dẫn học sinh giải toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ lược đồ bốn bước Polia Bài toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 14 14 Thực nghiệm sư phạm 17 Lời kết 18 19 Trường THPT Krông Ana TRƯỜNG THPT KRÔNG ANA TỔ TOÁN - - HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN “XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA” Người viết: Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo Năm học 2008 - 2009 20