Bài giảng hàm geen full

Chương 1: Mở ñầu 1.1 Hàm Green vật lí cổ ñiển Bất kì học vật lí bậc ñại học chuyên ngành vật lí ñã xác ñịnh ñiện Coulomb ñiện tích ñiểm sinh cách sử dụng hàm Green Nếu ñiện tích ñiểm e, vị trí ñược xác ñịnh bán kính véc tơ r′ ñiện vị trí ñược xác ñịnh bán kính véc tơ thứ hai r có biểu thức φ( r ) = e 4πε0 r − r′ Từ biểu thức ñiện ñiện tích ñiểm gây ta suy ñiện hệ ñiện tích ñiểm gây ra, giới hạn phân bố liên tục với mật ñộ phân bố ρ ( r ) gây có biểu thức φ ( r ) = ∫ d r′ ρ ( r′ ) , 4πε R R = r − r′ , (1.1) ñiện (1.1) thoả mãn phương trình Poisson ∇ 2φ ( r ) = −ρ ( r ) / ε0 (1.2) Do vậy, ta ñưa vào hàm Green có dạng sau −1 G ( R ) = ( 4πε0 R ) , (1.3) nghiệm phương trình Poisson (1.2) ñối với mật ñộ ñiện tích bất kí viết dạng giải tích (1.1) ðây minh hoạ hữu ích tiềm phương pháp hàm Green Trong trường hợp tổng quát, hàm Green cung cấp phương pháp ñể viết nghiệm tường minh số dạng phương trình vi phân ðể cho có tính ñầy ñủ, trước hết chứng minh lại (1.1) nghiệm phương trình (1.2) Chúng ta ý hàm Green Coulomb ñơn vị ñiện tích vị trí r′ sinh Bây ta tính mật ñộ ñiện tích ρ ( r ) ñơn vị ñiện tích ñiểm, ý rằng: mật ñộ ñiện tích r′ không r ≠ r′ tính tích phân toàn không gian mà ñiện tích hữu hiển nhiên Nghĩa ρ ( r ) = 0, r ≠ r′ ∫ d rρ ( r ) = Hàm thoả mãn ñòi hỏi hàm delta Dirac không gian ba chiều, δ ( r − r′ ) Vậy ρ ( r ) = δ ( r − r′ ) = δ ( x − x′ ) δ ( y − y′ ) δ ( z − z′ ) Hàm Green (1.3) phải thoả mãn phương trình Poisson ( ) ( ) ∇ 2G R = −δ ( r − r′ ) / ε = −δ R / ε0 , R = r − r′ (1.4) Thực vậy, hàm Green (1.3) nghiệm phương trình (1.4) Theo cách thông thường ñiều kiện biên hàm phải dần ñến xa vô Do ñó, ñưa vào phép biến ñổi Fourier sau () ( ) ( ) ˆ k = d 3R exp -ik.R G R G ∫ Và ∫ d R exp ( -ik.R ) δ ( R ) = (1.5) Phương trình (1.5) ñược biến ñổi thành () ˆ k = −ε −1 , − k 2G () ( ) ˆ k = ( ε k ) −1 , G R = G ( 2π ) ( ) d 3k ∫ ( )= exp ikR ε0 k (1.6) 4πε R Chúng ta chứng tỏ G R , thoả mãn phương trình Poisson ñối với ñiện tích ñiểm Với việc ñưa vào hàm Green, biểu thức phương trình (1.3) viết lại dạng ( ) φ ( r ) = ∫ d r′G R ρ ( r′ ) (1.7) ñó ( ) ∇ 2φ ( r ) = ∫ d r′∇ 2G R ρ ( r′ ) sử dụng phương trình (1.4), thu ñược ∇ 2φ ( r ) = − ∫ d r′ δ ( r − r′ ) / ε ρ ( r′ ) = −ρ ( r ) / ε0 ðây ñiều chứng minh hàm φ ( r ) thoả mãn phương trình Possion Nghiệm vì, việc khai triển Fourier ñã giả sử rằng, hàm φ ( r ) dần tới cách ñủ nhanh ñộ lớn r tiến ñến vô ðiều chắn hàm φ ( r ) tự ñộng thoả mãn ñiều kiện biên, ñó lợi sử dụng hàm Green 1.2 Hàm Green ñối với phương trình vi phân thường 1.2.1 Các vấn ñề giá trị ban ñầu Áp dụng ñơn giản hàm Green giải phương trình vi phân thường với giá trị ban ñầu Chúng ta xét phương trình vi phân có dạng: dn y d n −1y dy + a + + a + a n y = f ( t ) , < t, n − dt n dt n −1 dt (1.8) n −1 ñó a1, a2, số tất giá trị y, y′, , y( ) t = không Mặt dầu có số phương pháp giải phương trình (1.8), nhưng, ñây sử dụng phương pháp biến ñổi Laplace Trong trường hợp này, phương trình (1.8) trở thành (s n + a1s n −1 + a 2s n −2 + + a n ) Y ( s ) = F ( s ) , (1.9) ñây Y(s) F(s) kí hiệu ảnh biến ñổi Laplace tương ứng y(t) f(t) Như vậy, ñiều cần biết F(s) biết F(s) ta cần biến ñổi Laplace ngược suy y(t) ðiều khó khăc kỹ thuật ? ðiểm chung phụ thuộc nghiệm phương trình vi phân (1.8) vào hàm lực f(t) ðối với hàm lực trình ngược lại bắt buộc phải lặp lại Vậy câu hỏi ñặt : Có phương pháp (hay kỹ thuật) ñể tránh ñiều không ? Chúng ta bắt ñầu cách viết lại (1.9) theo dạng sau Y (s) = F(s ) = G (s ) F(s ) , s n + a1s n −1 + a 2s n −2 + + a n (1.10) ñó G ( s ) = ( s n + a1s n −1 + a 2s n −2 + + a n ) Như vậy, cách sử dụng −1 quy tắc ngắn gọn ta có t y ( t ) = g ( t ) * f ( t ) = ∫ g ( x ) f ( t − x ) dx, (1.11) ñây g(t) phép biến ñổi Laplace ngược G(s) Như vậy, biết g(t), hoàn toàn tính y(t) ñối với hàm lực f(t) tương ứng cách tính tích phân Mặc dù chưa thu ñược kết thực việc thay phép biến ñổi ngược việc tính tích phân, ñây lại thực trình phát triển ðó là, ñã thành công việc tách riêng hàm lực từ chia nhỏ nghiệm dẫn ñến phụ thuộc vào phương trình vi phân Hay nói cách khác, khảo sát tính chất phương trình vi phân, ñây tính chất cơ, ñiện hệ vật lý tự ñã phù hợp với hệ Như vậy, cần khảo sát hàm Green biến ñổi ngược Tiếp theo xem sét phương trình vi phân có ñiều kiện ban ñầu phương trình vi phân không có ñiều kiện ban ñầu Như ta ñã biết, nghiệm phương trình vi phân không có ñiều kiện ban ñầu tìm cách ñơn giản tìm nghiệm phương trình vi phân thoả mãn ñiều kiện ban ñầu cộng với nghiệm dạng không (1.11) ðể hữu ích hàm Green, xác ñịnh hàm Green ñối với phương trình vi phân tuyến tính thường có dạng (1.8) Hàm Green ( g ( t τ ) ) nghiệm phương trình vi phân : dng d n −1g dg + a + + a + a n g = δ ( t − τ ) , < t, τ n − dt n dt n −1 dt (1.12) Chúng ta giả thiết lực xuất thời ñiểm t = τ , thời ñiểm muộn thời ñiểm ban ñầu t = ðiều tránh ñược vấn ñề hàm Green không thoả mãn tất ñiều kiên ban ñầu Chú ý : Mặc dù sử dụng (1.12) ñịnh nghĩa hàm Green việc áp dụng ñối với phương trình vi phân thường, tìm việc giải toán ñiều kiện ban ñầu sau : dnu d n −1u du + a1 n −1 + + a n −1 + a n u = 0, τ < t, n dt dt dt (1.13) với ñiều kiện ban ñầu u ( τ ) = u′ ( τ ) = = u ( n −2 ) ( τ ) = 0, u ( n−1) ( τ ) = (1.14) Phương trình (1.14) ví dụ hệ trạng thái dừng, phương trình vi phân ñiều kiện ban ñầu bất biến tịnh tiến thời gian Hàm Green ñược liên hệ với hàm u(t) theo biểu thức g ( t τ ) = u ( t − τ ) H ( t − τ ) ðiều ñưa vào biến thời gian t′ = t − τ phép biến ñổi Laplace phương trình (1.12) (1.14) ñồng Với việc ñịnh nghĩa hàm Green trên, công việc cuối chứng minh nghiệm phương trình vi phân (1.8 ) có dạng y ( t ) = ∫ g ( t τ )f ( τ ) dτ t (1.15) ðể chứng minh ñiều này, bắt ñấu ý sau y′ ( t ) = g ( t t ) f ( t ) + ∫ g′ ( t τ )f ( τ ) dτ, t y′′ ( t ) = g′ ( t t ) f ( t ) + ∫ g′′ ( t τ )f ( τ ) dτ, t y( n) (1.16) ( t ) = g( n −1) ( t t ) f ( t ) + ∫0 g( n ) ( t τ )f ( τ ) dτ t Bây giờ, ñòi hỏi hàm Green có tính chất n −2 n −1 g ( t t ) = g′ ( t t ) = g′′ ( t t ) = = g ( ) ( t t ) = g ( ) ( t t ) = Sau ñó ta biểu thức (1.16) vào (1.8), tìm ñược dn y d n −1y dy + + + + any a a n − dt n dt n −1 dt n t d g  d n −1g dg = f ( t ) + ∫  n + a1 n −1 + + a n −1 + a n g f ( τ ) dτ dt dt dt   = f(t), (1.17) (1.18) vì, biểu thức dấu ngoặc bị triệt tiêu trừ ñiểm t = τ Tuy nhiên, ñóng góp từ ñiểm vô nhỏ Ví dụ : Hãy tìm phép biến ñổi Laplace hàm Green ñối với phương trình vi phân có dạng y′′ − 3y′ + 2y = f ( t ) , (1.19) với y ( ) = y′ ( ) = ðể tìm hàm Green, thay phương trình (1.19) với g′′ − 3g′ + 2g = δ ( t − τ ) , (1.20) với ñiều kiện ban ñầu g ( τ ) = g′ ( τ ) = Dùng phép biến ñổi Laplace ñối với phương trình (1.20), tìm ñược G (s τ) = e − sτ , s − 3s + (1.21) ñây hàm dịch chuyển ñối với hệ τ = Hàm Green hàm ngược hàm G ( s τ ) , g ( t τ ) = e 2( t −τ ) − e t −τ  H ( t − τ ) , (1.22) ñó H(t) hàm bước Heaviside 1, t > a, H(t − a) =  0, t < a, (1.23) ñây τ ≥ 1.2.2 Các vấn ñề giá trị biên quy (ñều ñặn) Một mục ñích chương nghiệm lớp rộng phương trình vi phân thường không có dạng d  dy  p x + s ( x ) y = − f ( x ) , a ≤ x ≤, ( ) dx  dx  (1.24) α1y ( a ) + α y′ ( a ) = 0, β1y ( b ) + β2 y′ ( b ) = (1.25) với Mặc dù phương trình dạng xuất hạn chế, chứng minh rằng, phương trình vi phân hạng hai, tuyến tính, không viết dạng (1.24) Từ vô số phương trình vi phân có dạng (1.24), bắt gặp lớp chung phương trình vi phân có dạng Sturm – Liouville d  dy  p ( x )  + q ( x ) + λr ( x )  y = −f ( x ) , a ≤ x ≤ b,  dx  dx  (1.26) ñó λ tham số Trong mục dành ñể thảo luận vấn ñề Sturm – Liouvill quy Từ lý thuyết phương trình vi phân, vấn ñề Sturm – Liouville có ba tính chất phân biệt, ño : (i) hữu hạn ñoạn [a, b], (ii) hàm p ( x ) , p′ ( x ) ,q ( x ) , r ( x ) hàm liên tục, (iii) p(x) hoàn toàn dương, r(x) hàm ñóng khoảng a ≤ x ≤ b Nếu ñiều kiện không thoả mãn vấn ñề kỳ dị Chúng ta xét vấn ñề sau Bây xác ñịnh hàm Green ñối với phương trình d  dg  p ( x )  + s ( x ) g = −δ ( x − ξ ) ,  dx  dx  (1.27) hàm Green thoả mãn phương trình (1.27) chịu ñiều kiện biên không xác ñịnh Chúng ta biết tồn hàm Green ñối với trường hợp dặc biệt p(x) = s(x) = 0, ñiều hầu hết ñúng trường hợp tổng quát Bây giờ, cấu trúc hàm Green thoả mãn ñiều kiện sau: (1) g ( x ξ ) thoả mãn phương trình trừ ñiểm x = ξ , (2) g ( x ξ ) thoả mãn xác ñiều kiện nhất, (3) g ( x ξ ) hàm liên tục x = ξ Các ñiều kiện biên ñối với khoảng hữu hạn (a, b) α1g ( a ξ ) + α 2g′ ( a ξ ) = 0, β1g ( b ξ ) + β2g′ ( b ξ ) = 0, (1.28) ñây g′ kí hiệu ñạo hàm g ( x ξ ) theo x a không ξ mà b không ξ Các hệ số α1 α không hai; ñiều ñúng cho β1 β2 Thế giá trị g′ ( x ξ ) x = ξ bao nhiêu? Bởi g ( x ξ ) hàm liên tục x, phương trình (1.27) phải có gián ñoạn g′ ( x ξ ) x = ξ Bây gián ñoạn bao gồm thay ñổi ñột ngột giá trị g′ ( x ξ ) x = ξ ðể chứng minh ñiều này, bắt ñầu việc tính tích phân (1.27) từ ξ − ε ñến ξ + ε , ta thu ñược p(x) dg ( x ξ ) ξ+ε +∫ ξ+ε ξ−ε dx s ( x ) g ( x ξ ) dx = −1 (1.29) ξ−ε g ( x ξ ) s(x) liên tục x = ξ , lim∫ ε→0 ξ+ε ξ−ε s ( x ) g ( x ξ ) dx = (1.30) Áp dụng giới hạn ε → ñối với (1.29), thu ñược ( ) ( )  dg ξ + ξ dg ξ − ξ   = −1, p(ξ)  − dx   dx   (1.31) ñây ξ+ ξ− ký hiệu ñiểm lân cận lân cận ñiểm x = ξ Do ñó, ñòi hỏi sau ñối với hàm Green g ( x ξ ) : (4) dg / dx phải có ñộ lớn bước nhảy dán ñoạn −1/ p ( ξ ) x = ξ Bây xét miền a ≤ x < ξ Giả sử y1 ( x ) nghiệm không tầm thường phương trình vi phân thoả mãn ñiều kiện biên x = a ; ñó α1y1 ( a ) + α y1′ ( a ) = Do g ( x ξ ) bắt buộc phải thoả mãn ñiều kiện biên, nên α1g ( a ξ ) + α 2g′ ( a ξ ) = Vì α1 α không tầm thường, Wronskian (Wronskian ñược ñịnh nghĩa sau : W ( y1 , y ) = y1 ( x ) y ( x ) = y1 ( x ) y′2 ( x ) − y1′ ( x ) y ( x ) ) y1 g phải bị y1′ ( x ) y′2 ( x ) triệt tiêu x = a y1 ( a ) g′ ( a ξ ) − y1′ ( a ) g ( a ξ ) = Tuy vậy, ñối với miền a ≤ x < ξ , hai y1(x) g ( x ξ ) phải thoả mãn dạng phương trình vi phân, phương trình Cho nên, Wronskian chúng tất ñiểm g ( x ξ ) = c1y1 ( x ) ñối với a ≤ x < ξ , ñây c1 số Tương tự theo cách ñó, hàm không tầm thường y2(x) thoả mãn phương trình ñiều kiện biên x = b, g ( x ξ ) = c y ( x ) ñối với ξ < x ≤ b ðiều kiện liên tục g bước nhảy gián ñoạn g′ x = ξ ñưa ñến c1y1 ( ξ ) − c2 y ( ξ ) = 0, c1y1′ ( ξ ) − c2 y′2 ( ξ ) = 1/ p ( ξ ) (1.32) Chúng ta giải (1.32) ñể tìm c1 c2 với ñiều kiện Wronskian y1 y2 không triệt tiêu x = ξ y1 ( ξ ) y′2 ( ξ ) − y ( ξ ) y1′ ( ξ ) ≠ (1.33) Hay nói cách khác, y1(x) phải không bội số y2(x) ðiều có phải luông ñúng ? Câu trả lời ‘ñúng cho hầu hết trường hợp’ Nếu phương trình nhận ñược nghiệm không tầm thường thoả mãn hai ñiều kiện biên lúc, y1(x) y2(x) phải phụ thuộc tuyến tính với Hay nói cách khác, phương trình có nghiệm y0(x), nghiệm thoả mãn α1y ( a ) + α y′0 ( a ) = β1y ( b ) + β2 y′0 ( b ) = , y1(x) bội số y0(x) tương tự cho y2(x) Khi ñó chúng bội số lẫn Wronskian chúng bị triệt tiêu ðiều xuất hiện, ví dụ, phương trình vi phân phương trình Sturm – 10 G ( r, r′;E ) = − m exp ( − k r − r′ ) ; 2πℏ r − r′ k = 2m E / ℏ ≥ Hàm hữu hạn lượng E gần Khi ñó, tích phân (4.42) hữu hạn, ñó chuỗi luỹ thừa theo V0 ( V0 → 0+ ) bên vế phải (4.42) hội tụ Hiệu (G – G0) dần ñến V0 → 0+ Nói khác, giới hạn V0 → 0+ hai hàm G G0 có dáng ñiệu giải tích Vì hàm G0 hữu hạn E thuộc [-V0, 0], hàm G tất nhiên có cực miền Và vậy, ta ñã dẫn kết luận quan trọng: hệ chiều, hố nông (V0 nhỏ) không làm xuất mức gián ñoạn ðể có mức gián ñoạn, ñại lượng V0Ω phải lớn giá trị ñịnh ñó Trường hợp hai chiều Hàm Green tự (2.106): G ( r, r′;E ) = − m K ( k r − r′ ) , πℏ k = 2m E / ℏ ≥ Vì V0 → 0+ E → 0+ k → 0+ , ta khai triển hàm K0 theo biến nhỏ Giữ lại số hạng ñầu, ta có G ( r, r′;E ) = m ln ( k r − r′ ) + πℏ Thay vào (4.42) G0 gần ñúng này, giữ lại số hạng ta ñược: n  VΩ m  G ( r, r′;E ) ≈ G ( r, r′;E ) ∑  − 02 ln k S  πℏ  n   VΩ m  = G ( r, r′;E ) 1 + 02 ln k S  , πℏ   ( ( 100 ) ) (4.43) ñó, S số có thứ nguyên diện tích có giá trị cỡ Ω Muốn tính xác S ta phải lấy tích phân dạng: ∫ dr ∫ dr ln r − r ln r − r n n Nhưng, phạm vi thảo luận ñây quan trọng giá trị cụ thể S mà là, theo (4.43) V0 nhỏ, V0 → 0+ , hàm Green G ( r, r′;E ) có cực E0 xác ñịnh bởi:  2πℏ   ℏ2 ℏ2  ≡ − − E0 → − exp  − exp   , 2mS mV Ω 2mS ρ V Ω 0    0 0 (4.44) ñó ρ0 = m / 2πℏ mật ñộ trạng thái hệ hai chiều Và vậy, ta ñi ñến kết luận quan trọng: hệ hai chiều tồn mức gián ñoạn, cho dù hố có nông Kết liên quan mật thiết với dáng ñiệu G0(E) hay ρ0 ( E ) gần ngưỡng vùng E = Chính phân kì logarit G0 ñã làm xuất mức gián ñoạn E0, mà vị trí phụ thuộc theo hàm e mũ vào V0Ω ρ0 (4.44) Kết luận có giá trị tổng quát cho trường hợp, có gián ñoạn mật ñộ trạng thái ngưỡng vùng Vấn ñề thảo luận ñây có liên quan chặt chẽ với nhiều toán quan trọng (ñịnh xứ, siêu dẫn ) hệ hai chiều Trường hợp chiều Hàm Green tự có dạng (2.110) G ( x, x′;E ) = − m exp ( −k x − x′ ) ; ℏ2k k = 2m E / ℏ ≥ Vì vùng giới hạn V0 → 0+ có E → 0+ k → 0+ nên hàm G0 gần ñúng bằng: G ( x, x′;E )  → − m / 2ℏ E E →0 − 101 Thay hàm vào (4.42), ta có G ( x, x′;E ) ≈ G ( x, x′;E ) ∑ ( −G V0Ω0 ) = n G ( x, x′;E ) ≈ G − V0Ω0 −m / 2ℏ E + G V0Ω ) ( (4.45) Hàm Green (4.45) có cực (trùng với mức gián ñoạn) E = −m ( Ω0 V0 ) / 2ℏ , (4.46) ñó Ω ñộ rộng hố chiều Như vậy, tương tự với hệ hai chiều, hệ chiều tồn mức gián ñoạn cho dù hố nông ñi Tuy nhiên, khác với hệ hai chiều, mức gián ñoạn chiều (4.46) hàm giải tích rõ ràng V0Ω : E ∝ ( V0Ω ) , V0Ω0 → 0+ Dáng ñiệu liên quan với thực tế hệ chiều gần ngưỡng vùng (E = 0) hàm G0 (hay ρ0 ) có kỳ dị dạng ∝ ( E) −1 , hệ hai chiều ta có kì dị dạng logarit 4.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Mục ñích toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian tìm hàm riêng Hamiltonian toàn phần phụ thuộc thời gian: i ∂ ψ ( t ) = Hψ ( t ) ;H ( t ) = H + V ( t ) ∂t (4.47) Hiển nhiên ñây ta nói trị riêng với Hamiltonian phụ thuộc thời gian, nói chung, khái niệm trạng thái dừng với lượng xác ñịnh Trong mục 3.1 ta ñã rằng, lời giải tổng quát (4.47) viết dạng : ψ ( t ) = S ( t, −∞ ) φ0 , (4.48) 102 ñó φ0 trạng thái H0, S ( t, t′ ) S ma trận, có dạng chuỗi vô hạn nhiễu loạn V(t) : ∞ S ( t, t′ ) = + ∑ n =0 ( ( -i ) n n! ∫ t t′ ( t t ˆ (t )V ˆ ( t ) V ˆ (t ) dt1 ∫ dt ∫ dt n T V n t′ t′ ) ) t (4.49) = T exp −i ∫ dt1V ( t1 ) t′ Phương trình tiến hoá (4.48) cho phép xác ñịnh ψ ( t ) dạng chuỗi nhiễu loạn V Tương ứng, hàm Green phương trình  ∂   i − H  G ( r, r′; t, t′ ) = δ ( r − r′ ) δ ( t − t′ ) ,  ∂t  (4.50) biểu diễn ñược qua S ma trận G ( p, t − t′ ) = TS , MS (4.51) ñó : ˆ + ( t′ ) TCˆ p ( t ) C p TS = −i ( −i ) + MS = ∫ ∞ −∞ ∞ dt1 ∫ dt −∞ 2! S ( ∞, −∞ ) + ( −i ) ∫ ∞ −∞ dt1 ˆ (t)V ˆ ( t ) Cˆ + ( t′ ) TC p p ˆ (t)V ˆ + ( t′ ) ˆ (t )V ˆ (t )C TC p p 0 + (4.52) Số hạng ñầu tiên chuỗi (4.52) hàm Green tự tương ứng Hamiltonian H0: −i ˆ (t)C ˆ + ( t′ ) TC p p = G ( p, t − t′ ) (4.53) ðể ñánh giá số hạng tiếp theo, tiện lợi dùng kỹ thuật giản ñồ Feyman Nội dung kỹ thuật này, áp dụng cho loại tương tác khác (electron – electron, electron – phonon, electron – tâm tạp), ñược trình 103 bày hệ thống lý thuyết trường lượng tử Trong phạm chuyên ñề học này, giới thiệu tóm tắt nội dung vấn ñề 4.3.1 ðịnh lý Wick Nói chung, biểu thức dấu tích phân chuỗi (4.52) có dạng ˆ (t)V ˆ + ( t′ ) ˆ (t )V ˆ ( t ) V ˆ (t )C TC p n p ˆ ñây lại biểu diễn dạng tích toán tử sinh, Mỗi toán tử V huỷ, tuỳ theo dạng tương tác Chẳng hạn, với tương tác electron – electron: { } ˆ ( t ) = ∑ υ C+ C+′ C ′C exp it ( ξ + ξ ′ − ξ − ξ ′ ) , V q k + q k −q k k k +q k +q k k ñó υq = 4πe / q biến ñổi Fourier tương tác Coulomb e2 / r Như vậy, nói chung, biểu thức toán tử cần quan tâm có dạng: ˆ (t)C ˆ + ( t ) Cˆ ( t ) C ˆ + ( t′ ) TC p g h n p (4.54) Trong tích, số toán tử sinh số toán tử huỷ Xét tích (4.54) ta thấy, hệ xuất phát từ trạng thái , cuối lại trở trạng thái ñó, nên hạt ñược sinh thời ñiểm ti ñó, phải bị huỷ hạt thời ñiểm tj > ti Nói cách ˆ + ( t ) phải có toán tử huỷ khác, tích (4.54) toán tử sinh C q m ˆ + ( t ) ñó ñể ghép thành cặp Thêm vào ñó, ñại lượng C q′ n ˆ (t )C ˆ + (t ) TC q′ n q m khác không q = q′ Thành ra, nhiều cách xếp toán tử nằm sau T tích có số cách có ý nghĩa vật lý Các cách ñược xác ñịnh ñịnh lý Wick, phát biểu sau: trung bình ñối với T – tích số toán tử ñó tổng theo cách ghép cặp có thể, ñó số hạng có dạng tích trung bình 104 T – tích tất cặp Mỗi cặp ñều tuân theo trật tự thời gian ñúng, nên toàn tích tuân theo trật tự thời gian ñúng Ví dụ: ˆ (t)C ˆ + (t )C ˆ ( t ) Cˆ + ( t′ ) TC α β γ δ ˆ (t)C ˆ + (t ) TC α α = δαβδ γδ − δαδδβγ 0 0 ˆ (t)C ˆ + ( t′ ) TC α α 0 = ˆ (t )C ˆ + ( t′ ) TC γ γ ˆ + (t ) TCˆ γ ( t ) C γ (4.55) 0 Ở ñây, trung bình T – tích toán tử, theo ñịnh lý Wick, ñược phân tính thành tổng hai số hạng, tương ứng hai cách ghép cặp Mỗi số hạng tổng tích hai trung bình hai trung bình T – tích cặp Nói chung, (4.54) có n toán tử sinh (và toán tử huỷ) có n! cách ghép cặp, nghĩa là, khai triển Wick gồm n! số hạng, số hạng tích n trung bình T – tích cặp ðể xem xét tiếp trung bình T – tích cặp ˆ (t )C ˆ + (t ) TC k k ta cần biết quan hệ hai thời gian ñó Nếu t1 > t2, ta có (4.53): ˆ (t )C ˆ + (t ) TC k k = iG ( k, t1 − t ) (4.56) = n F ( ξk ) (4.57) t1 = t2 ˆ (t )C ˆ + (t ) TC k k với n F ( ξ k ) toán tử số hạt (không phụ thuộc thời gian) Kết hợp phân tích (4.55) với hệ thức (4.56) (4.57), ñịnh lý Wick cho phép ta khai triển trung bình dạng (4.54) thành tổng dạng (4.55), mà số hạng ñó tích hàm Green tự (4.56) hay toán tử số hạt (4.57) Ở ta xem xét trương hợp tương tác electron – electron, ñó sau T – tích (4.54) tất toán tử loại Nếu electron tương tác với giả hạt (kích thích) khác, tương tác V có toán tử khác 105 loại, biểu diễn hạt (kích thích) khác Xét cụ thể trương hợp tương tác electron – phonon với tương tác : V = ∑ M q Bq Ck++q Ck , (4.58) q,k ñó Mq yếu tố ma trận tương tác Với tương tác (4.58), nói chung trung bình T – tích dấu tích phân chuỗi (4.52) có dạng : ˆ (t)C ˆ + (t )B ˆ ( t ) Cˆ ( t ) B ˆ ′ ( t ) Cˆ + ( t′ ) TC p g q h n q n p Vì toán tử khác loại giao hoán với nhau, nên biểu thức tách thành thừa số riêng biệt ˆ ( t ) Cˆ + ( t ) C ˆ (t )C ˆ + ( t′ ) TC p g h n p ˆ ( t ) B ˆ ′ (t ) TB q q n 0 Ở thừa số ñầu trung bình lấy theo trạng thái hệ electron, thừa số sau trung bình theo trạng thái hệ phonon Mỗi thừa số bao gồm toán tử loại, ñược khai triển theo ñịnh lý Wick Thừa số thứ toán tử electron vừa khảo sát Với thừa số toán tử phonon, ta có, chẳng hạn : ˆ (t )B ˆ (t )B ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q2 q3 q4 =0 ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q2 = ˆ (t )B ˆ (t ) B q3 q4 0 +0 ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q3 0 ˆ (t )B ˆ (t ) B q2 q4 +0 ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q4 0 ˆ (t )B ˆ (t ) B q2 q3 = δq1 +q δq3 +q4 D ( q1 , t1 − t ) D0 ( q , t − t ) + δq1 +q3 δq +q4 D0 ( q1 , t1 − t ) D ( q , t − t ) + δq1 +q4 δq2 +q3 D0 ( q1 , t1 − t ) D0 ( q , t − t ) Ở ñây, ý là, trung bình T – tích cặp không D0 ( q i , t i − t j ) q i + q j = 106 ˆ ( t ) B ˆ (t ) B qi i qj j khác ðể minh hoạ cho tất ñiều trình bày trên, ta xét ví dụ cụ thể: tính ba số hạng ñầu chuỗi (4.52) cho trường hợp tương tác electron – phonon với tương tác (4.58) Ta xét: Số hạng thứ (n = 0) không phụ thuộc vào V hàm Green tự (4.53) Số hạng thứ hai (n = 1) chứa toán tử V Biểu thức trung bình dấu tích phân số hạng có dạng ˆ ( t ) Cˆ + ( t ) C ˆ ( t ) Cˆ + ( t′ ) TC p k +q k p Vì Tbq 0 lẫn Tbq+ 0 ˆ TB q 0 ñều không, suy TBq =0 ñó biểu thức trên, tức số hạng thứ hai chuỗi (4.52), không Một cách tổng quát, dễ thấy rằng, với tương tác electron – phonon, chuỗi nhiễu loạn (4.52) tất số hạng với n lẻ ñều cho ñóng góp không Số hạng thứ ba (n = 2), sau thay V (4.58), có dạng (i ) − ∫ ∞ ∞ −∞ 2! dt1 ∫ dt ∑ ∑ −∞ ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q2 0 (4.59) q1 ,q ˆ TCˆ p ( t ) C + k1 + q1 ( t1 ) Cˆ k ( t1 ) Cˆ + k +q ( t ) Cˆ k ( t ) Cˆ ( t′) + p k1 ,k Nhân tử trung bình theo trạng thái phonon ˆ (t )B ˆ (t ) TB q1 q2 = iδq1 +q2 D0 ( q1 , t1 − t ) (4.60) Nhân tử trung bình theo trạng thái electron gồm ba toán tử sinh, ba toán tử huỷ Khai triển Wick trung bình T – tích gồm số hạng, ứng với cách ghép cặp: ˆ ( t ) Cˆ + ( t ) Cˆ ( t ) Cˆ + ( t ) C ˆ (t )C ˆ + ( t′ ) TC p k1 + q1 k1 k +q2 k2 p =0 ˆ + (t ) TCˆ p ( t ) C k1 + q1 0 ˆ ( t ) Cˆ + ( t ) TC k1 k +q2 107 0 = ˆ + ( t′ ) TCˆ k ( t ) C p +0 ˆ + (t ) TCˆ p ( t ) C k +q2 +0 ˆ TCˆ p ( t ) C ˆ (t )C ˆ + (t ) TC k2 k1 + q1 0 0 ˆ (t )C ˆ + ( t′ ) TC k1 p ( t1 ) 0 TCˆ k ( t1 ) Cˆ ( t′ ) 0 TCˆ k +q ( t ) Cˆ ( t ) ˆ + ( t′ ) ˆ + (t )C ˆ (t ) ˆ + (t )C ˆ (t ) TCˆ p ( t ) C TC TC p′ k +q k k +q k 0 0 ˆ + ( t′) ˆ + (t )C ˆ (t ) ˆ ( t ) Cˆ + ( t′ ) TCˆ p ( t ) C TC TC k +q k +q k k p 0 0 ˆ + ( t′ ) ˆ (t )C ˆ + (t ) ˆ (t )C ˆ + (t ) TCˆ p ( t ) C TC TC p k k +q k k +q 0 0 +0 + k1 + q1 1 +0 −0 + p 2 1 1 2 2 2 + k2 1 0 Chú ý, dấu trừ số hạng cuối liên quan với số lẻ lần hoán vị toán tử fermion Sử dụng hệ thức (4.56), (4.57) tính ñến ñiều kiện q1 = - q2, (4.60), tổng viết lại dạng: = i 3δ ( p = k1 + q1 = k ) G ( p, t − t1 ) G ( p − q1 , t1 − t ) G ( p, t − t′ ) +i 3δ ( p = k1 = k − q1 ) G ( p, t − t ) G ( p + q1 , t − t1 ) G ( p, t1 − t′ ) ( ) +iδ ( q = ) δ ( q = ) n ( ξ ) n ( ξ ) G ( p, t − t′ ) +i δ ( q = ) δ ( p = k ) n ( ξ ) G ( p, t − t ) G ( p, t +i 2δ ( q1 = ) δ ( p = k1 ) n F ξ k G ( p, t − t1 ) G ( p, t1 − t′ ) F k1 F k2 2 F k1 (4.61) 2 − t′ ) −i 3δ ( k1 = k − q1 ) G ( p, t − t′ ) G ( k1 , t1 − t ) G ( k1 + q1 , t − t1 ) Thay (4.60) (4.61) vào (4.59) ta ñược số hạng n = chuỗi (4.52) Ta thấy, biểu thức cồng kềnh dù với n = Nếu với n = 4, số số hạng khai triển Wick biểu thức trung bình dấu tích phân lên tới có số x ! = 72 Trước khó khăn vậy, Feynman ñã ñề xuất phương pháp ñơn giản hiệu : mô tả số hạng loại (4.61) hình vẽ - giản ñồ Feynman 4.3.2 Giản ñồ Feynman ðể cụ thể, ta tiếp tục toán tương tác electron – phonon Các số hạng dạng (4.60), (4.61) mô tả giản ñồ với quy ước sau (hình 4.1) : 108 (1) Mỗi hàm Green electron tự G ( p, t − t′ ) mô tả ñường liền nét, ñi từ t′ ñến t Mũi tên ñường dùng ñể hướng, không thiết t > t′ (2) Mỗi hàm Green phonon tự D0 ( q, t − t′ ) ≡ D0 ( −q, t′ − t ) mô tả ñường ñứt nét, ñó mũi tên hướng (3) Số choán ñầy n F ( ξ p ) = Cp+ ( t ) Cp ( t ) mô tả vòng kín, ñó ñường electron bắt ñầu kết thúc ñiểm Với quy ước sáu số hạng (4.59), tích (4.60) với tổng G ( p, t − t′ ) D0 ( q, t − t′ ) p ⇔ t′ t q ⇔ t′ t p n F ( ξp ) ⇔ t Hình 4.1: (4.61), biểu diễn giản ñồ theo thứ tự từ (a) ñến (f) hình 4.2 (tương ứng với số hạng từ xuống (4.61)) Trong giản ñồ có ñường phonon, mô tả (4.60), nối t1 t2 Ba giản ñồ (c), (d) (e) chứa nhân tử δ ( q1 = ) Vì phonon với véc tơ sóng q1 = 0, nên số hạng tương ứng với ba giản ñồ cho ñóng góp không Hai giản ñồ (a) (b) cho ñóng góp khác không Theo (4.60) (4.61) ñóng góp hai giản ñồ này, viết gộp lại : 109 ∞ ∞ dt ∫ dt ∑ M q D ( q, t1 − t ) × ∫ −∞ 2! −∞ q × G ( p, t − t1 ) G ( p − q, t1 − t ) G ( p, t − t′ ) + G ( p, t − t ) G ( p + q, t − t1 ) G ( p, t1 − t′ )  ðể ý số hạng thứ hai ngoặc vuông trùng với số hạng thứ nhất, ta ñánh tráo hai biến câm (tích phân) t1 ↔ t , ñồng thời thay q → −q Hơn nữa, hai biến ñổi ñồng thời không làm thay ñổi hàm D0 trước ngoặc ( D0 ( q, t1 − t ) ≡ D ( −q, t − t1 ) ).ðiều nghĩa là, hai giản ñồ (a) (b) cho ñóng góp Các giản ñồ cho ñóng góp gọi giản ñồ tương ñương Như vậy, ñể tính ñóng góp tất giản ñồ tương ñương ta cần tính ñóng góp giản ñồ nhân với số giản ñồ tương ñương Trong ví dụ ñang khảo sát số giản ñồ tương ñương Con số vừa vặn khử hết với mẫu số trước tích phân n ! = ! = Một cách tổng quát, dễ dàng kiểm tra rằng, với giản ñồ bậc n bất kỳ, giản ñồ liên kết cho ñóng góp khác không ñều thuộc nhóm giản ñồ tương ñương Số giản ñồ nhóm ñều n! (vừa vặn khử với mẫu số n! phía trước tích phân) ðiều có ý nghĩa thực tiễn quan trọng: thay tính tổng ñóng góp giản ñồ liên kết, chia cho n!, ta cần tính ñóng góp giản ñồ liên kết không tương ñương, ñồng thời bỏ nhân tử (1/n!) Giản ñồ (f) hình (4.2) gồm hai phần tách biệt : ñường electron giản ñồ bong bóng ðóng góp giản ñồ viết ñược dạng G ( p, t − t′ ) F1 , ñó nhân tử F1 tương ứng giản ñồ bong bóng có dạng 110 F1 = ∞ −i ∞ dt dt M 2∑ q D ( q, t1 − t ) G ( k, t1 − t ) G ( k + q, t − t1 ) (4.62) 2! ∫−∞ ∫−∞ k,q q1 t′ q1 p – q1 p p t2 t1 p (a) t t′ t2 k1 t′ q1 = p t′ p t1 k1 t2 t1 t′ t p t (b) k2 q1 = (c) (d) p t k1 k2 q1 = p p + q1 t1 t2 t1 (e) p t′ t q1 p t2 t (f) Hình 4.2: (a) – (b) – (c) – (d) – (e) – (f) ðây giản ñồ không liên kết (những giản ñồ, mà phần không ñược nối với tất phần khác, ñược gọi giản ñồ không liên kết) Việc tính giản ñồ không liên kết quy tính nhân tử Fi dạng (4.62) phức tạp (ở bậc cao) Tuy nhiên, thực tế việc không cần thiết có ñịnh lý quan trọng khẳng ñịnh rằng, hàm Green (4.51) giản ñồ không liên kết tử số (TS) dẫn ñến nhân tử ñúng mẫu số (MS) Chúng khử nhau, kết hàm Green tổng số hạng tương ứng với giản ñồ liên kết Phối hợp ñịnh lý với nhận xét giản ñồ liên kết tương ñương, thay cho (4.51) ta viết ñược hàm Green dạng ñơn giản hơn: ∞ G ( p, t − t′ ) = −i ∑ ( i ) n =0 n ∫ ∞ −∞ ∞ dt1 ∫ dt n −∞ ˆ ( t ) V ˆ (t ) TCp ( t ) Cp+ ( t′ ) V n , (4.63) 111 tính ñến giản ñồ liên kết không tương ñương Kết luận làm ñơn giản nhiều việc tính hàm Green hệ electron có tương tác Tất nhiên việc tính giản ñồ liên kết không ñơn giản phụ thuộc vào toán cụ thể 4.3.3 Phương trình Dyson Trong nhiều tính toán hàm Green lượng tỏ tiện lợi hàm thời gian Hàm Green lượng ñối với electron ñược ñịnh nghĩa là: ∞ G ( p,E ) = ∫ dt exp iE ( t − t′ ) G ( p, t − t′ ) −∞ (4.64) Tương tự, hàm Green lượng ñối với phonon ∞ D ( q, ω) = ∫ dt exp ( iωt )G ( q, t ) −∞ (4.65) Các hàm Green lượng không nhiễu loạn, G0(p,E) D0 ( q,ω) ñã ñược tính chương (công thức (3.33) (3.36) cho G0(p, E); công thức (3.81) cho D0 ( q,ω) ) Thực biến ñổi (4.64) cho hai vế (4.63), tích phân theo thời gian tác dụng lên hàm Green tự khai triển Wick, chuyển thành hàm Green lượng tương ứng Kết là, viết rõ ñến số hạng n = (tương ứng giản ñồ hình 4.2), dạng phụ thuộc lượng hàm Green (4.63) với tương tác electron phonon (4.58) có dạng ñơn giản: G ( p,E ) = G ( p,E ) + ( G ( p,E ) ) Σ( ) ( p,E ) + , (4.66) Trong ñó lượng riêng (self-energy) dω M q D0 ( q, ω) G ( p − q, E − ω) ∑ −∞ 2π q Σ( ) ( p, E ) = i ∫ ∞ Hệ thức (4.66) minh hoạ sơ ñồ: 112 (4.67) ⇒ → = G + G0 G0 G0 +… Σ (1) Số hạng khác không tiếp theo, n = 4, chuỗi (4.63) chuyển sang dạng phụ thuộc lượng cho ñóng góp ( ) G 30 Σ( ) ( + G 02 Σ( 2a ) + Σ( 2b ) + Σ( 2c ) ) Bốn số hạng biểu thức tương ứng với giản ñồ hai phonon (1), (a), (b) (c) hình 4.3 Ta viết lại biểu thức có dạng: ( ) G 02Σ( ) + G G 0Σ( ) , ñó Σ( ) = Σ( 2a ) + Σ( 2b ) (4.68) + Σ( ) 2c Kết hợp (4.66) (4.68) ta ñược ( G = G + G Σ( ) + Σ( (1) 2) ){G (a) + G [ ]} (b) (4.69) (c) Hình 4.3: Các giản ñồ hai phonon lượng riêng electron Nếu trình tính toán tiếp diễn mãi, tính ñến tất số hạng chuỗi (4.63) tổng ngoặc ñơn (4.69) lượng riêng toàn phần Σ = ∑ Σ( ) i (4.70) i Ở ñây, tổng lấy theo số vô hạn giản ñồ lượng riêng tối giản (tức giản ñồ chia thành hai giản ñồ lượng riêng nối với ñường G0) ðồng thời chuỗi vô hạn, nên phần 113 ngoặc móc khác, mà hàm G Thành thử, tính ñến ñóng góp tất số hạng, hệ thức (4.69) trở thành G ( p,E ) = G ( p,E ) + G ( p, E ) ΣG ( p,E ) , hay G ( p,E ) = G ( p, E ) − G ( p,E ) Σ ( p, E ) (4.71) ðây phương trình Dyson Tất nhiên, chứng minh xác phương trình toán phức tạp ñây hạn chế với dẫn dắt ñịnh tính Quan trọng phương trình Dyson có dạng ñơn giản ñẹp Nó khẳng ñịnh rằng, cách tính lượng riêng Σ ta tính xác hàm Green toàn phần G Trong thực tế, nói chung, tính hết số hạng tổng (4.70), tức tính xác Σ, mà thường dừng lại vài số hạng bậc thấp Tính ñến số hạng tuỳ ý yêu cầu khả tính toán Dù nào, kết nhận ñược xác nhiễu loạn yếu 114 [...]... ta bắt ñầu tìm hàm Green g ( x ξ ) , hàm này thoả mãn phương trình Lg = δ ( x − ξ ) , Bg = 0 (1.49) ðể tìm hàm Green, chúng ta sử dụng bộ hàm riêng ϕn ( x ) kết hợp với vấn ñề Sturm – Liouville chính quy như sau d  dϕn  p x + q ( x ) + λ n r ( x )  ϕn = 0, ( ) dx  dx   (1.50) ở ñây ϕn ( x ) thoả mãn cùng ñiều kiện biên như của y(x) Nếu g tồn tại và nếu bộ {ϕn } là ñủ, thì hàm Green g ( x... 1.2.6 Ý nghĩa vật lý của hàm Green Chúng ta có thể giải thích ý nghĩa vật lý của hàm Green như sau Phương trình vi phân tuyến tính, ví dụ như (1.26), có thể sử dụng ñể mô tả hệ vật lý tuyến tính Hàm f(x) ở vế phải của phương trình biểu diển ‘lực’ hoặc hàm lực tác ñộng lên hệ Hay nói cách khác, f(x) là nguồn vào của hệ Nghiệm y(x) của phương trình biểu diễn sự phản ứng của hệ 22 Hàm Green g ( x′ x ) mô... bố của nguồn, thì hàm G ( r, r ′ ) chính là hàm Green Hoặc, bài ñiều kiện biên: Nếu G ( r, r ′ ) là trường tại ñiểm r nằm ngoài mặt biên trong trường hợp giá trị biên bằng 0 khắp nơi trừ tại một ñiểm r ′ , còn trường cũng tại r trong trường hợp giá trị biên là ψ ( r ′ ) nào ñó là bằng tích phân của G ( r, r ′ ) ψ ( r ′ ) trên toàn mặt biên, thì G ( r, r ′ ) cũng là hàm Green Hai bài toán trên có sự... trong ứng dụng hàm Green vào các bài toán vật lý chất rắn Ngoài ra, tại mỗi cực ñơn giản z = En, theo (2.7), ta có thặng dư 26 Res {G ( z )} En = φn ( r ) φ*n ( r′ ) hay, với yếu tố chéo Res {G ( r, r;z )} = φn ( r ) , 2 En nghĩa là, thặng dư của hàm Green tại cực ñơn giản cho ta thông tin về hàm riêng của L Nếu z trùng với giá trị năng lượng bất kì trong miền phổ liên tục của L, z = E, thì hàm G(z) cũng... trường hợp hàm f ( r ) trực giao với tất cả các hàm riêng ứng với En Về ý 30 nghĩa vật lí, nếu xem hàm ϕ ( r ) mô tả phản ứng của hệ ñối với nguồn f ( r′ ) , thì hàm Green G ( r, r′ ) mô tả phản ứng của cũng hệ ñó nhưng ñối với một nguồn ñiểm tại r′ Và , lời giải (2.25) ngụ ý, phản ứng của hệ với một nguồn f ( r ) nào ñó luôn có thể biểu diễn như tổng các phản ứng với các nguồn ñiểm phân bố theo hàm f... như kỳ dị ðối với vấn ñề chính quy, ñiều này dễ hơn ñể tìm hàm Green bằng cách giải phương trình vi phân giống như ta ñã làm trong mục trước, tương ñương hơn là ta khai triển song tuyến tính Mối quan hệ ñầy ñủ tổng quát (1.56), chúng ta có thể nhận ñược kết quả tương ñương bằng cách khai triển hàm Green theo các hàm riêng trong trường hợp hàm Green này có chứa nhánh cắt Chúng ta làm ñiều này bằng cách... vẫn như thế ðiều này cũng ñúng nếu ta thay ñổi y2(x) theo cách tương tự 1.2.3 Khai triển hàm Green theo hàm riêng ñối với trường hợp các giá trị biên chính quy Trong các mục trước, chúng ta ñã chỉ ra rằng hàm Green có thể sử dụng ñể giải phương trình vi phân không thuần nhất Một câu hỏi xuất hiện là : chúng ta tìm hàm Green bằng cách nào ? Trong mục này chúng ta sẽ trình bày phương pháp chung nhất ñó... cần giải phương trình vi phận y′′ = −f ( x ) , với y ( 0 ) = y ( L ) = 0 (1.34) Hàm Green g ( x ξ ) phải thoả mãn phương trình g′′ = −δ ( x − ξ ) , với g ( 0 ξ ) = g ( L ξ ) = 0 (1.35) Bởi vì hàm Green g ( x ξ ) triệt tiêu ở hai ñầu cuối của khoảng (0, L), ñiều này gợi ý rằng hàm Green này có thể khai triển thành chuỗi các hàm trực giao ñược chọn thích hợp, chẳng hạn như, khai triển thành chuỗi Fourier... nguồn thì phương trình là ñồng nhất (ví dụ, phương trình Laplace ∇ 2 φ = 0 ) Tương tự, với bài toán biên: nếu giá trị biên không bằng không khắp nơi trên mặt biên trong bài toán Dirichlet (hoặc thành phần pháp tuyến không bằng không khắp nơi trong bài toán Neuman), thì ta có phương trình không ñồng nhất Nói chung, hàm Green là lời giải của phương trình vi phân ñồng nhất khắp nơi trừ tại một ñiểm (nguồn... tính, Hermite không phụ thuộc thời gian Phương trình (2.1) có thể viết lại trong kí hiệu Dirac [ z − L] G ( z ) = 1 (2.1’) Toán tử L có hàm riêng φn và trị riêng En L φn = E n φn (2.2) Các hàm riêng φn thoả mãn cùng ñiều kiện biên như hàm Green Chúng lập thành một hệ hàm trực chuẩn φn φm = δn,m (2.3) và ñầy ñủ ∑φ n φn = 1 (2.4) n Lưu ý rằng, tổng theo n trong (2.4), cũng như ở các biểu thức tương tự