Định giá quyền chọn trong toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học Giải tích khóa 19, chuyên ngành Giải tích nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Tôi xin cảm ơn tác giả viết sách giúp có nguồn tài liệu tham khảo quý giá trình tìm hiểu Toán học tài Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng năm 2011 Học viên Đặng Thị Kiêm Hồng Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các khái niệm hội tụ 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số 1.2.4 Xác suất có điều kiện 1.2.5 Mac-tin-gan 10 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 14 1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1 Nhắc lại số kiến thức Giải tích 1.3.2 Một số khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.3.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.4 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô 1.4.1 Vi phân Itô 1.4.2 Công thức Itô 1.4.3 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên 1.4.4 Công thức tích phân phần 15 15 16 17 26 26 27 28 29 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 29 Chương Mô hình tài 31 2.1 Giới thiệu mô hình 31 2.2 Các khái niệm 34 2.2.1 Phương án đầu tư 2.2.2 Phương án đầu tư tự điều chỉnh 2.2.3 Phương án đầu tư chênh lệch thị giá 2.2.4 Sản phẩm phái sinh 34 34 37 38 2.2.5 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trường đầy đủ 39 2.3 Biến đổi độ đo xác suất định lí Girsanov 41 2.3.1 Các độ đo xác suất tương đương 2.3.2 Định lí Girsanov 41 42 2.4 Định lí biểu diễn Mac-tin-gan 45 2.5 Sự đầy đủ 49 2.6 Công thức Black-Scholes định giá bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu 52 2.6.1 Định giá quyền chọn mua bán 2.6.2 Bảo hộ quyền chọn mua bán 2.6.3 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 54 56 58 2.7 Định lí toán tài Phụ lục 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 LỜI NÓI ĐẦU Toán học tài lý thuyết toán học thị trường tài chính, nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dựng mô hình toán học ứng dụng chúng vào việc tính toán sản phẩm tài thị trường thực tế Đây lĩnh vực mới, quan tâm nghiên cứu năm gần Việt Nam Sự phát triển vượt bậc lý thuyết phái sinh tài đánh dấu báo Black Scholes năm 1973 Hai ông tìm công thức tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có quyền mua bán loại cổ phiếu thời điểm tương lai với giá trị định trước áp dụng rộng rãi thực tế Ngày nay, giới, thị trường phái sinh tài phát triển rộng lớn thị trường cổ phiếu chứng khoán Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào Quyền Chọn dựa cổ phiếu nhiều lượng tiền đầu tư vào cổ phiếu Nội dung luận văn nói việc định giá Quyền Chọn giới hạn phạm vi mô hình tài với thời gian liên tục Luận văn chia thành chương: Chương 1: Một số vấn đề giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mô hình tài Chương kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực đề tài Ở đây, diễn giải cụ thể khái niệm trình ngẫu nhiên, đặc biệt mac-tin-gan trình Wiener Chúng đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, khái niệm quan trọng trình làm việc với mô hình tài thời gian liên tục Nội dung luận văn trình bày chi tiết chương Ở đề cập đến việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục mô hình thị trường tài gồm hai tài sản sở để đầu tư trái phiếu không rủi ro chứng khoán có rủi ro Việc hiểu rõ hoạt động thị trường mô hình đơn giản tảng để mở rộng nghiên cứu lên mô hình thị trường tổng quát Tuy có nhiều cố gắng chắn luận văn tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho Ω tập cho trước, σ -đại số F Ω họ tập Ω có tính chất sau (i) 0/ ∈ F , Ω ∈ F (ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F (iii) A1 , A2 , ∈ F ⇒ ∞ Ai ∈ F i=1 Bộ (Ω, F ) gọi không gian đo Một độ đo xác suất P không gian đo (Ω, F ) hàm P : F → [0, 1] cho (a) P(0) / = 0, P(Ω) = (b) Nếu A1 , A2 , ∈ F {Ai }∞ / i = j) i=1 rời (Ai ∩ A j = 0, ∞ P( ∞ Ai ) = ∑ P(Ai ) i=1 i=1 Bộ ba (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.2 Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm X : Ω → Rn gọi F -đo X −1 (U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F Một biến ngẫu nhiên X hàm F -đo được, X : Ω → Rn 1.1.2 Các khái niệm hội tụ Cho (Ω, F , P) không gian xác suất bản, P độ đo đủ Định nghĩa 1.3 Hội tụ hầu chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn (hay với xác suất h.c.c 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −−→ X, P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Định nghĩa 1.4 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu P Xn − → X, lim P {ω : |Xn (ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với ε > n→∞ h.c.c P • Xn −−→ X ⇒ Xn − → X h.c.c P • Xn − → X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn } : Xnk −−→ X Định nghĩa 1.5 Hội tụ trung bình Giả sử {Xn } ⊂ L p , p ∈ (0, +∞) Lp Dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn −→ X, lim E |Xn − X| p = n→∞ Lp P • Xn −→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn − → X 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Ta muốn diễn tả trình mà tiến triển theo thời gian ngẫu nhiên Một đối tượng trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Xét không gian xác suất (Ω, F , P) tập hợp số I (vô hạn đếm hay không đếm được) Ta xem I tập hợp số thời gian; I tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ] Xét họ biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P) lấy số I - Họ không đếm biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I gọi trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục - Họ đếm {X(t)}t∈I (I đếm được) biến ngẫu nhiên gọi trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo (Ω, F ), (E, ξ ) I tập hợp số Một trình ngẫu nhiên xác định Ω, lấy giá trị E ánh xạ: X : I × Ω → E đo độ đo tích I × Ω Quá trình ngẫu nhiên X, viết X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I Định nghĩa 1.7 Nếu cố định ω ∈ Ω, {X(t, ω)}t∈I gọi quỹ đạo mẫu hay thể hay hàm mẫu trình ngẫu nhiên (liên kết với ω) Định nghĩa 1.8 Nếu X lấy giá trị không gian Rn (n ≥ 1) ta có trình ngẫu nhiên n chiều 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Định nghĩa 1.9 Một họ σ - đại số (Ft ,t ≥ 0) F , Ft ⊂ F , gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: • Đó họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t, • Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ε , ε>0 • Với A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Định nghĩa 1.10 Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) Xét σ - đại số FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ (Xs , s ≤ t), σ - đại số chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Ta gọi lọc tự nhiên trình X, lịch sử X, hay gọi trường thông tin X Định nghĩa 1.11 Cho lọc (Ft ,t ≥ 0) (Ω, F ) Một trình ngẫu nhiên X gọi thích nghi với lọc nếu: Xt đo σ -đại số Ft Mọi trình X = (Xt ,t ≥ 0) thích nghi với lịch sử (FtX ,t ≥ 0) Định nghĩa 1.12 Một không gian xác suất (Ω, F , P) có lọc (Ft )t≥0 gọi không gian xác suất lọc, kí hiệu (Ω, F , (Ft ), P) 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số Định nghĩa 1.13 Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, X : Ω → Rn biến ngẫu nhiên cho E(X) < ∞ G σ - đại số F , G ⊂ F Khi đó, biến ngẫu nhiên Z gọi kỳ vọng có điều kiện X σ - đại số G , nếu: • Z biến ngẫu nhiên đo G • Với tập A ∈ G ta có ZdP = A XdP A Biến ngẫu nhiên Z ký hiệu E (X|G ) Nếu ta chọn σ - đại số G σ - đại số σ (Y ) sinh biến ngẫu nhiên Y đó, kỳ vọng có điều kiện X lấy σ (Y ) ký hiệu E (X|Y ) Một số tính chất kỳ vọng có điều kiện Giả sử X,Y : Ω → Rn hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞ Tất hệ thức phát biểu theo nghĩa hầu chắn: Nếu G σ - đại số tầm thường {0, / Ω} E (X|G ) = EX E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ) Nếu X đo G E (XY |G ) = XE (Y |G ) Nói riêng, c số E (cY |G ) = cE (Y |G ) Nếu G1 ⊂ G2 E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) Nói riêng, E (E (X|G )) = EX Nếu X độc lập với G E (X|G ) = EX Nếu G H hai σ - đại số F độc lập với nhau, X biến ngẫu nhiên độc lập G E (X|σ (G , H )) = E (X|H ) , σ (G , H ) σ - đại số nhỏ chứa G lẫn H Nếu g hàm lồi tập I ⊂ R X biến ngẫu nhiên lấy giá trị I g (E (X|G )) ≤ E (g(X)|G ) Nói riêng, (i) Với g(x) = |x| |E (X|G )| ≤ E (|X| |G ) (ii) Với g(x) = x2 (E(X|G ))2 ≤ E((X)2 |G ) Sự hội tụ đơn điệu kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X n → ∞) với E|X| < ∞ E (Xn |G ) ↑ E (X|G ) Bổ đề Fatou kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ E lim inf Xn |G n ≤ lim inf E (Xn |G ) n 10 Sự hội tụ bị chặn kỳ vọng có điều kiện Nếu lim Xn = X hầu chắn |Xn | ≤ Y với EY < ∞ n→∞ lim E (Xn |G ) = E (X |G ) n→∞ 11 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập φ (x, y) hàm hai biến cho E |φ (X,Y )| < ∞ Khi E (φ (X,Y ) |Y ) = E (φ (X,Y )) 1.2.4 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.14 Xác suất có điều kiện P(A|F ) biến cố A ∈ F biến ngẫu nhiên xác định P(A|F ) = E(IA |F ), IA hàm đặc trưng biến cố A, tức ω ∈ A, ω ∈ / A IA (ω) = Tính chất (1) P(Ω|F ) = (h.c.c) (2) ∀A ∈ F : P(A|F ) = − P(A|F ) (h.c.c) (3) ∀A1 , A2 , ∈ F rời đôi ∞ ∞ An |F P = n=1 n=1 1.2.5 ∑ P (An |F ) Mac-tin-gan Định nghĩa 1.15 Cho không gian xác suất lọc (Ω, F , (Ft ), P) Một trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) gọi mac-tin-gan lọc (Ft ,t ≥ 0) (i) Xt khả tích với t ≥ 0, tức E |Xt | < ∞, ∀t ≥ (ii) X thích nghi với lọc (Ft ) (iii) Với s,t ≥ s ≤ t, hầu chắn có Xs = E(Xt |Fs ), hay viết dạng tích phân A Xs dP = A Xt dP với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs • Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ gọi mac-tin-gan lọc (Ft ) thực điều kiện (i), (ii) (iv) Với s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắn có Xs ≤ E(Xt |Fs ), hay viết dạng tích phân A Xs dP ≤ với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs 10 A Xt dP • Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ gọi mac-tin-gan lọc (Ft ) thực điều kiện (i), (ii) (v) Với s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắn có Xs ≥ E(Xt |Fs ), hay viết dạng tích phân A Xs dP ≥ A Xt dP với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs Ví dụ 1.1 Cho X biến ngẫu nhiên cho EX < ∞ cho (Ft ) lọc (Ω, F , P) Đặt Mt = E[X|Ft ] Khi trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 mac-tin-gan (Ft ) Thật vậy, - Theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft ) - Với t ta có E|Mt | ≤ E [E [|X||Ft ]] = E|X| < ∞ nên Mt khả tích - Với s < t ta có E[Mt |Fs ] = E [E [X|Ft ]|Fs ] = E[X|Fs ] = Ms , (vì (Ft ) lọc nên Fs ⊂ Ft ) Vậy Mt mac-tin-gan lọc (Ft ) Ví dụ 1.2 Quá trình ngẫu nhiên (Wt ,t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft ) thỏa mãn: Với s,t ≥ cho s < t Wt −Ws độc lập Fs Tính chất gọi tính chất có số gia độc lập với khứ Khi (Wt ,t ≥ 0) mac-tin-gan lọc tự nhiên FtW nó, ta viết FtW = σ {Xs , s ≤ t} (để cho gọn, ta viết Ft = FtW ) Thật vậy, hiển nhiên thích nghi với Ft với ≤ s ≤ t, hầu chắn có E (Wt |Ft ) = E (Ws +Wt −Ws |Fs ) = E (Ws |Fs ) + E (Wt −Ws |Fs ) = Ws + E(Wt −Ws ) = Ws , đại lượng ngẫu nhiên Wt − Ws độc lập với tất biến cố σ -đại số FtW Điều có Wt − Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn đại lượng ngẫu nhiên Wt1 , ,Wtn ( ≤ t1 ≤ ≤ tn ≤ s) sinh σ -đại số 11 Ví dụ 1.3 Giả sử Xt , ≤ t < ∞, X0 = 0, EX = trình có gia số độc lập, E(Xt − Xs )2 = F(t) − F(s), với ≤ s ≤ t Khi đó, Xt2 − F(t) mac-tin-gan lọc tự nhiên Ft Thật vậy, E(Xt2 − F(t)|Fs ) = E[Xs2 + 2Xs (Xt − Xs ) + (Xt − Xs )2 − F(t)|Fs ] = Xs2 + 2Xs E(Xt − Xs |Fs ) + E[(Xt − Xs )2 |Fs ] − F(t) = Xs2 + E(Xt − Xs )2 − F(t) = Xs2 − F(s) hầu chắn với ≤ s ≤ t Đặc biệt, trình Wiener Wt , ≤ t ≤ ∞,W0 = Wt2 − t,t ≥ mactin-gan FsW , s ≤ t (vì E(Wt −Ws )2 = t − s) Định lí 1.4 (Phân tích Doob-Meyer) Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) mac-tin-gan (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞,t ≥ 0) liên tục phải theo t, X có biểu thức phân tích sau: Xt = Mt + At , Mt mac-tin-gan (Ft ) liên tục phải At trình tăng thích nghi với (Ft ) Ứng dụng lý thuyết Mac-tin-gan Toán học tài Ý tưởng sau: Trong Toán học tài chính, giá tài sản tài (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) giá sản phẩm phái sinh (như giá quyền chọn Vt ) xem trình ngẫu nhiên Nói chung, chúng mac-tin-gan trường thông tin (Ft ) xét Giả sử Xt giá tài sản thời điểm mà ta cần xác định Nói chung Xt mac-tin-gan Nếu cách đó, ta biến đổi Xt thành trình Zt = φ (Xt ) mac-tin-gan giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT Khi đó, E(ZT |Ft ) = Zt (t < T ) nên tính giá Xt thời điểm t < T Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T Đặc biệt, X0 = φ −1 [E (ZT |F0 )] Nghĩa ta tính giá tài sản thời điểm cần đầu tư dựa vào giá tài sản thời điểm đáo hạn 12 Có hai cách để thực biến đổi nói trên: (a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer: Giả sử Xt mac-tin-gan Ta có phân tích Xt = mac-tin-gan Mt + trình tăng At Nếu tìm cụ thể trình tăng At ta biến đổi Xt thành mac-tingan cụ thể Mt = Xt − At Nếu Xt mac-tin-gan −Xt mac-tin-gan dưới, ta có kết tương tự (b) Thực phép biến đổi độ đo xác suất: Khi ta nói Xt nói chung mac-tin-gan, ta xét độ đo xác suất ban đầu P cho Bây giả sử ta tìm độ đo xác suất Q tương đương với độ đo xác suất P phép biến đổi trình Xt thành trình Xˆt cho xác suất Q Xˆt trở thành mac-tin-gan Giả sử cách ta biết giá trị đáo hạn Xt , tức biết XˆT Khi tính chất mac-tin-gan Xˆt ta có EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt , ∀t < T Gọi φ phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , Xt = φ −1 (Xˆt ) ta định giá tài sản Xt thời điểm t công thức Xt = φ −1 EQ XˆT |Ft Ta lưu ý hai điều quan trọng: • Thông thường phép biến đổi phép chiết khấu không rủi ro, cho XˆT = e−r(T −t) XT ,t < T với số r > lãi suất không rủi ro, T thời điểm đáo hạn Vì EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt = e0 Xt nên cuối ta có công thức định giá tài sản X thời điểm t < T Xt = e−r(T −t) EQ (XT ) • Xác suất Q gọi xác suất rủi ro trung tính hay gọi độ đo mac-tin-gan 13 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.16 Một trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) trình Wiener hay chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) W0 = hầu chắn (b) Hiệu Wt −Ws biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng phương sai t − s, (s < t) (c) Với n ≥ với phân hoạch hữu hạn ≤ t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn , biến ngẫu nhiên Wtr −Wtr−1 , r = 0, n biến ngẫu nhiên độc lập (d) W trình liên tục, tức hầu hết quỹ đạo W liên tục • Trường hợp tổng quát, điều kiện (b), phương sai Xt − Xs σ (t − s) Khi W chuyển động Brown Vài tính chất quan trọng (a) Wt mac-tin-gan lọc tự nhiên FtW (b) Hầu chắn Wt không khả vi theo t (c) Hầu chắn Wt biến phân bị chặn khoảng hữu hạn t (d) W tuân theo luật lôgarit - lặp sau: Wt lim sup √ = 2t ln lnt t→∞ (e) E(Wt ) = 0, E(Wt2 ) = t, ∀t ≥ Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ W Mệnh đề 1.1 Cho (Wt ) chuyển động Brown Ft = FtW Khi đó, ta có mac-tin-gan quen biết là: (a) Bản thân Wt mac-tin-gan (Ft ), (b) Wt2 − t mac-tin-gan (Ft ), u2 (c) Với u ∈ R euWt − t mac-tin-gan (Ft ) Đặc trưng Lévy chuyển động Brown Định lí 1.5 Cho W = (Wt ,t ≥ 0) trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục Điều kiện cần đủ (Wt ) trình Wiener (∗) Wt Wt2 − t martingale (Ft ) với Ft = FtW martingale Ft = FtW Điều kiện (*) gọi đặc trưng Levy trình Wiener 14 1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1 Nhắc lại số kiến thức Giải tích a Hàm với biến phân giới nội • Một hàm thực f gọi có biến phân giới nội [a, b] tồn số C cho với phân hoạch đoạn D : a = x0 < x1 < < xn = b ta có bất đẳng thức n ∑ | f (xk ) − f (xk−1 )| ≤ C k=1 Ví dụ: Mọi hàm đơn điệu bị chặn có biến phân giới nội • Một số kết quan trọng – Mọi hàm có biến phân giới nội biểu diễn thành hiệu hai hàm đơn điệu không giảm – Nếu f : [a, b] → R hàm có đạo hàm giới nội f (x) ≤ C f hàm có biến phân giới nội – Mọi hàm f : [a, b] → R liên tục tuyệt đối [a, b] hàm có biến phân giới nội b Tích phân Lebesgue tích phân Stieltjes (i) Tích phân Lebesgue Để xây dựng tích phân Lebesgue A f (x) dµ độ đo µ, A ⊂ Ω không gian xác suất (Ω, F , P), người ta định nghĩa A f dµ hàm đặc trưng f = IA , A ∈ F n Sau đó, định nghĩa tích phân hàm đơn giản f = ∑ ak IAk k=1 n f dµ = A n Ak = A, Ak ∈ F , Ak rời với ≤ k ≤ n ∑ ak µ(Ak ), k=1 k=1 Cuối cùng, với hàm f bất kì, f giới hạn dãy fn hàm đơn giản khả tích A Khi đó, người ta định nghĩa f dµ = lim n→∞ A A 15 fn dµ (ii) Tích phân Stieltjes • Tích phân Riemann-Stieltjes hàm f lấy hàm φ liên tục phải có biến phân giới nội định nghĩa n b (R − S) f (x) dφ (x) = a lim ∑ f (ξi )[φ (xi ) − φ (xi−1 )] max(xi −xi−1 )→0 i=1 với phân hoạch D : a = x0 < x1 < < xn = b, giới hạn tồn • Tích phân Lebesgue-Stieltjes hàm f lấy hàm φ có biến phân giới nội thường đưa tích phân Lebesgue-Stieltjes f hàm không giảm (vì φ hiệu hai hàm không giảm) Khi đó, ta định nghĩa b (L − S) b f (x)dF(x) = (L) a a f dµF µF : độ đo sinh F (F(b) − F(a) = µ[a, b]) * Như vậy, điều cần ý là, việc xây dựng tích phân Stieltjes b a f dφ , việc quan trọng phải giả thiết φ hàm có biến phân giới nội [a, b] 1.3.2 Một số khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên a Quá trình đo lũy tiến Cho không gian xác suất lọc (Ω, F , (Ft )t≥0 , P) Định nghĩa 1.17 Giả sử T tập Borel R, kí hiệu Bt σ -đại số tất tập Borel tập T (−∞,t] Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) gọi đo lũy tiến lọc (Ft ) với t ∈ T, Xs (ω) tập (T (−∞,t]) × Ω đo theo (s, ω) σ -đại số Bt × Ft Định nghĩa 1.18 Giả sử T tập Borel Ta đưa vào không gian T × Ω, σ -đại số BF gồm tất tập A ⊆ T ×Ω, cho với t ∈ T , tập A ((−∞,t] × Ω) đo Bt × Ft Khi đó, trình đo lũy tiến đo BF b Quá trình khả đoán Định nghĩa 1.19 σ - đại số khả đoán Đó σ -đại số nhỏ tập R+ × Ω (kí hiệu P) mà nó, trình liên tục trái đo 16 Định nghĩa 1.20 Quá trình khả đoán Cho trình ngẫu nhiên X = (X(t, ω)) thích nghi với (Ft ) Nếu X(t, ω) P-đo ta nói X trình khả đoán (Ft ) 1.3.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito a Đặt vấn đề Nhiều toán đưa đến yêu cầu phải tính toán loại tích phân có dạng b I= f (t, ω)dWt a (1.1) f (t, ω) trình ngẫu nhiên đó, Wt trình Wiener Ta biết quỹ đạo t → Wt hàm liên tục t Tuy nhiên, hầu hết quỹ đạo lại hàm biến phân giới nội khoảng hữu hạn Như vậy, ta định nghĩa tích phân (1.1) tích phân Stieltjes, mà phải tìm cách xây dựng khác Vào khoảng 1940-1941, nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đưa cách xây dựng tích phân (1.1) dựa nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" tích phân gọi tích phân Ito b Định nghĩa cấu trúc Cho không gian xác suất lọc (Ω, F , (Ft )t≥0 , P) trình Wiener Wt ,t ≥ 0,W0 = với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (Ft ) cho gia số Wu −Wt sau thời điểm t độc lập với σ -đại số Ft (u > t) Giả sử T số không âm +∞ Ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên T I(t) = f (t, ω)dWt hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến họ (Ft ) E ∞, tức hàm f ∈ L2 ([0, T ] × Ω, BF , µ × P) T | f (t, ω)|2 dt < Định lí 1.6 Giả sử Wt Ft trình Wiener họ σ -đại số liên hệ với mô tả Khi đó, tồn ánh xạ f → I( f ) từ không gian L2 (BF ) = L2 ([0, T ] × Ω, BF , µ × P) vào không gian L2 (Ω, F , P) cho (a) I ánh xạ tuyến tính: I(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 I( f1 ) + c2 I( f2 ) hầu chắn, c1 , c2 số, f1 , f2 ∈ L2 (BF ) (b) I ánh xạ đẳng cự: E |I( f )|2 = E T | f (t, ω)|2 dt 17 (c) I(ηI[t1 ,t2 ] ) = η(Wt2 − Wt1 ) hầu chắn, η biến ngẫu nhiên tùy ý đo Ft1 , bình phương khả tích (tức η ∈ L2 (Ft1 )), ≤ t1 ≤ t2 ≤ T Ta gọi tích phân ngẫu nhiên I( f ) = 0T f (t, ω)dWt tích phân Ito hàm ngẫu nhiên f lấy trình Wiener Chứng minh Trước hết, ta xét tích phân ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên bậc thang [0, T ] Hàm ngẫu nhiên f (t, ω) gọi hàm bậc thang, tồn điểm = t0 < t1 < t2 < < tn đoạn [0, T ] (tn = T đoạn hữu hạn, tn < ∞ T = ∞), cho   f (0, ω) với t ∈ [0,t1 )      với t ∈ [t1 ,t2 )  f (t1 , ω) f (t, ω) =    f (tn−1 , ω) với t ∈ [tn−1 ,tn )    0 với t ≥ tn (nếu T = ∞) Hàm ngẫu nhiên bậc thang đo lũy tiến có dạng η0 I[0,t1 ) (t) + η1 I[t1 ,t2 ) (t) + + ηn−1 I[tn−1 ,tn ) (t) (1.2) η0 = η0 (ω) hàm ngẫu nhiên F0 -đo được, η1 hàm Ft1 -đo được, , ηn−1 hàm Ftn−1 -đo (ηi (ω) = f (ti , ω)) Ngược lại, hàm có dạng (1.2) hàm bậc thang đo lũy tiến, ηi ∈ L2 (Ω) * Theo đòi hỏi (c), hàm ηi I[ti ,ti+1 ) (t) đặt tích phân ngẫu nhiên ηi (Wti+1 − Wti ) (hoặc tích phân hầu chắn) Vì vậy, hàm bậc thang, ta định nghĩa n−1 T f (t, ω)dWt = I( f ) = ∑ f (ti , ω)(Wti+1 −Wti ) i=0 * Dễ dàng kiểm tra ánh xạ I hàm bậc thang tuyến tính * Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (b) hàm bậc thang thuộc L2 (BF ) 18 [...]... chính là như sau: Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên Nói chung, chúng không phải là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định Nói chung Xt... = t − s) Định lí 1.4 (Phân tích Doob-Meyer) Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞,t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt + At , trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với (Ft ) Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính Ý tưởng chính là... thành một quá trình Zt = φ (Xt ) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT Khi đó, vì E(ZT |Ft ) = Zt (t < T ) nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T Đặc biệt, X0 = φ −1 [E (ZT |F0 )] Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của tài sản đó tại thời điểm đáo hạn 12 Có hai cách để thực hiện sự biến đổi... kiện Định nghĩa 1.14 Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈ F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi P(A|F ) = E(IA |F ), 9 trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là 1 nếu ω ∈ A, 0 nếu ω ∈ / A IA (ω) = Tính chất (1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c) (2) ∀A ∈ F : P(A|F ) = 1 − P(A|F ) (h.c.c) (3) ∀A1 , A2 , ∈ F rời nhau từng đôi một thì ∞ ∞ An |F P = n=1 n=1 1.2.5 ∑ P (An |F ) Mac-tin-gan Định nghĩa... sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT Khi đó do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt , ∀t < T Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ −1 (Xˆt ) và ta định giá được tài sản Xt tại thời điểm t bởi công thức Xt = φ −1 EQ XˆT |Ft Ta lưu ý hai điều quan trọng: • Thông thường... không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn Vì EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt = e0 Xt nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là Xt = e−r(T −t) EQ (XT ) • Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo mac-tin-gan 13 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.16 Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) là quá trình Wiener hay một chuyển động Brown... với độ đo µ, A ⊂ Ω trong không gian xác suất (Ω, F , P), người ta định nghĩa A f dµ đối với hàm đặc trưng f = IA , A ∈ F n Sau đó, định nghĩa tích phân đối với hàm đơn giản f = ∑ ak IAk bởi k=1 n f dµ = A n Ak = A, Ak ∈ F , Ak rời nhau với mọi 1 ≤ k ≤ n ∑ ak µ(Ak ), k=1 k=1 Cuối cùng, với một hàm f bất kì, f là giới hạn của một dãy fn các hàm đơn giản khả tích trên A Khi đó, người ta định nghĩa f dµ... nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được 16 Định nghĩa 1.20 Quá trình khả đoán Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t, ω)) thích nghi với (Ft ) Nếu X(t, ω) là P-đo được thì ta nói X là quá trình khả đoán đối với (Ft ) 1.3.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito a Đặt vấn đề Nhiều bài toán đưa đến yêu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng b I= f (t, ω)dWt a (1.1) trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên... phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào Như vậy, ta không thể định nghĩa tích phân (1.1) như một tích phân Stieltjes, mà phải tìm một cách xây dựng khác Vào khoảng 1940-1941, một nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đã đưa ra cách xây dựng tích phân (1.1) dựa trên nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" và tích phân này được gọi là tích phân Ito b Định nghĩa cấu trúc Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft... = (L) a a f dµF trong đó µF : độ đo sinh bởi F (F(b) − F(a) = µ[a, b]) * Như vậy, điều cần chú ý ở đây là, đối với việc xây dựng các tích phân Stieltjes b a f dφ , việc quan trọng là phải giả thiết φ là một hàm có biến phân giới nội trên [a, b] 1.3.2 Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên a Quá trình đo được lũy tiến Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft )t≥0 , P) Định nghĩa 1.17