Đ2.Vị trítươngđối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng Mặt cầu (S) và mp(P) có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó. mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. * Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: một trong các điều kiện sau: Kiểm tra kiến thức cũ P 3. Các tính chất của tiếp tuyến Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. CM: a A; a OA Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P): mp(P) A, (P) OA Đ2.Vị trítươngđối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng A O a mp(P) là tiếp diện của (S) tại A. a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A * Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm tiếp xúc. Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A. Xét AMO: AM 2 = AO 2 - OM 2 = d 2 - R 2 22 RdAM = Cm: Đặt OA = d d > R Gọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P) S(O;R) = C(O;R). Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AM với (C), M M (C) P A 0 Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. đó là 2 tiếp tuyến của (S). Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. Giải: a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên ABOB: 22 OBOAAB = b) Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có: 2 3a 2 CD HC:raSuy == 2 a 2 3a aHCOCOH 2 222 = == Vậy khoảng cách từ O đến CD là 2 a H B A O D C 22 aa4 = 3a= OC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD. 3a= A B M P I O Bài 5 <tr109>. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A và B. Chứng minh rằng AIBAMB = Vì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là hai tiếp tuyến với mặt cầu. Giải: Vì AM và AI là hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên: AM = AI. AIBAMB = Tương tự ta có BM = BI. Hai tam giác AMB và AIB bằng nhau (c, c, c). (S) ∩ (P) = φ (S) ∩ (P) = {H} (S) ∩ (P) = C(H; r) P R H M 0 P H M 0 R P M 0 R H d > R d = R d < R VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng P H 0 R (c) 0 (c) H 0 (c) A B H d > R d = R d < R ( S) = ỉ ( S ) = { H } ( S ) = { A, B} Vị trítươngđối của mặt cầu với đường thẳng O A O A O A P O A Vịtrí điểm A Số lượng tiếp tuyến Hình ảnh Tiếp tuyến của đường tròn (C) 1A (C) 2A ngoài (C) Vô sốA (S) Vô sốA ngoài (S) Tiếp tuyến của mặt cầu (S) . thẳng Mặt cầu (S) và mp( P) có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp( P) bằng bán kính của nó. mp( P) vuông góc với một. Các tiếp tuyến này nằm trên mp( P): mp( P) A, (P) OA Đ2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng A O a mp( P) là tiếp diện của (S)