PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANNHÀM TỬ VÀ CÁC ANNPHẠM TRÙ BỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG Hà Nội - 2011 Hà Nội - 2011 LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu viết chung với đồng tác giả Kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các số liệu, kết trình bày trong luận án trung thực chưa công bố công trình khác Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả sinh viên Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn đồng nghiệp Bộ môn Đại số Lý thuyết số, thầy cô bạn đồng nghiệp khoa Toán -Tin tạo môi trường công tác nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Ths Nguyễn Thu Thủy giúp đỡ chân thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học BCN khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn GS TS Nguyễn Quốc Thắng, GS TS Lê Văn Thuyết, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn hai thầy/cô phản biện độc lập góp ý bổ ích để luận án hoàn thiện Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, vợ Gia đình nguồn động viên động lực to lớn tác giả Tác giả Đặng Đình Hanh Tác giả ANN-PHẠM TRÙ BỆN 3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù bện 3.2 Tính phụ thuộc hệ tiên đề Ann-phạm trù bện 3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối M L Laplaza 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành 2.2 2.3 Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Bảng thuật ngữ Sơ đồ liên hệ chương, mục MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù monoidal bện 1.1.1 ⊗-phạm trù 1.1.2 Phạm trù monoidal 1.1.3 Hàm tử monoidal 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal 1.1.5 Phạm trù monoidal bện 1.2 Gr-phạm trù P ic-phạm trù 1.3 Ann-phạm trù 1.3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn 1.4 Đối đồng điều 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane vành 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild đại số 10 12 14 15 15 15 16 17 18 19 20 21 21 28 29 32 32 35 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN- HÀM TỬ 2.1 Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương Ann-hàm tử 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) 2.1.3 Ann-hàm tử nhóm đối đồng điều chiều thấp vành theo nghĩa Mac Lane 37 37 37 40 42 2.1.4 Ann-hàm tử đối đồng điều Hochschild 2.1.5 Ứng dụng Đối ngẫu Ann-phạm trù Mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù 45 47 50 66 72 72 76 79 82 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN 4.1 86 Ann-hàm tử bện phép chuyển cấu trúc Ann-phạm trù bện thu gọn 4.2 Phân lớp Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) 4.3 Các định lý phân lớp KẾT LUẬN DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHỈ MỤC 86 93 97 102 103 104 109 MỞ ĐẦU trù [6] nhóm phạm trù phân bậc [17] Trong [11], A Davydov nghiên cứu tâm đầy đại số phạm trù tâm phạm trù monoidal thiết lập bất biến Morita xây dựng cách mở rộng đến phạm trù môđun Tâm phạm trù monoidal xuất toán đối ngẫu phạm trù monoidal đưa S Majid [32, 33] Trong [20], A Joyal R Street phân lớp nhóm phạm trù bện phạm trù hàm quadratic (dựa kết S Eilenberg S Mac (G, A) Lane biểu diễn hàm quadratic nhóm đối đồng điều aben Hab [13, 14]) Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) phân lớp H X Sính [55] Tình tổng quát nhóm phạm trù Picard đưa A Fr¨ohlich C T C Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau này, A Cegarra E Khmaladze gọi phạm trù Picard phân bậc [10]) Các định lý phân lớp đồng luân cho nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc, trường hợp riêng nó, phạm trù Picard phân bậc trình bày theo thứ tự [17], [9], [10] Từ phạm trù xuất 3-đối chu trình theo nghĩa mà lớp tương đẳng phạm trù loại tương ứng với lớp đối đồng điều chiều Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal thu hút quan tâm nhiều tác giả Năm 1972, M L Laplaza [27] nghiên cứu lớp phạm trù có tính phân phối Kết [27] chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù Sau đó, [16], A Fr¨ohlich C T C Wall đưa khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý đưa hệ tiên đề gọn M L Laplaza [27] Hai khái niệm hình thức hóa phạm trù môđun vành giao hoán Năm 1994, M Kapranov V Voevodsky [25] bỏ đòi hỏi hệ tiên đề M L Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán phép nhân đưa tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù Họ sử dụng phạm trù không gian vectơ trường K , với tích tenxơ tổng trực tiếp để định nghĩa 2-không gian vectơ K Các phạm trù vành sử dụng công cụ để nghiên cứu phương trình Zamolodchikov [25] Để có mô tả cấu trúc, để phân lớp đối đồng điều, N T Quang đưa khái niệm Ann-phạm trù [36], phạm trù hóa khái niệm vành, với đòi hỏi tính khả nghịch vật mũi tên phạm trù nền, tương tự trường hợp nhóm phạm trù (xem I Lý chọn đề tài Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù đề xuất S Mac Lane [29], J Bénabou [51] vào năm 1963 Mỗi phạm trù monoidal tựa vị nhóm, tập C thay phạm trù phép toán nhân m : C × C → C thay hàm tử Trong [29], S Mac Lane đưa điều kiện đủ cho tính khớp ràng buộc tự nhiên phạm trù monoidal; điều kiện đủ cho tính khớp lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường suy từ kết mạnh hơn: phạm trù monoidal tương đương với phạm trù monoidal chặt chẽ, tức phạm trù monoidal có ràng buộc phép đồng Kết chứng minh vài tác N D Thuận [50], C Kassel [23], P Schauenburg [48] Việc xem xét mối liên hệ phụ thuộc số tiên đề hệ tiên đề phạm trù monoidal đối xứng G M Kelly trình bày [26] Sau này, S Kasangian F Rossi xem xét thêm số mối liên hệ tính đối xứng phạm trù monoidal [24] Phạm trù monoidal "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M L Laplaza [28], N Saavedra Rivano [54]) Bây giờ, phạm trù groupoid (nghĩa mũi tên đẳng cấu) ta khái niệm monoidal category group-like (xem A Fr¨ohlich C T C Wall [16]), hay Gr-category (xem H X Sính [55]), hay nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần Các Gr-phạm trù phân lớp nhóm đối đồng điều nhóm H (G, A) (xem [55]) Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, thu khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù đối xứng [5] 2-nhóm đối xứng [12, 19] Tâm phạm trù monoidal giới thiệu A Joyal R Street, khái quát hóa khái niệm tâm vị nhóm Tâm phạm trù monoidal cung cấp cấu trúc bện tự nhiên tầm thường, tensor phạm trù bện hay phạm trù monoidal bện nói chung không đối xứng Sau đó, tâm phạm trù xuất công cụ để nghiên cứu nhóm phạm [6, 54, 55]) Những đòi hỏi bổ sung đặc biệt, P phạm trù Picard phạm trù End(P) Pic-hàm tử P Ann-phạm trù (xem N T Quang [45]), điều nhắc lại [19] Mặt khác, Ann-phạm trù mạnh phạm trù vành [35] Năm 2008, N T Quang chứng minh lớp tương đẳng Ann-phạm trù hoàn toàn xác định ba bất biến: vành R, R−song môđun M phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM aL (R, M ) (xem [38]) Trường hợp quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id vật X ) (R, M ) (xem [2]) Từ kết phân lớp nhóm đối đồng điều Shukla HSh phân lớp Ann-phạm trù quy, Trần Phương Dung giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù quy [1] Mỗi Ann-phạm trù xem one-object Gpd-categories luận án M Dupont [12], hay one-point enrichments of SPC V Schmitt [49] Năm 2006, M Jibladze T Pirashvili [22] đưa khái niệm vành phạm trù với sửa đổi từ hệ tiên đề Ann-phạm trù Tuy nhiên, mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù nào? Hai lớp có trùng không, lớp chứa lớp hay chúng giao phần? Một vành phạm trù gọi 2-vành theo cách gọi [12, 19] Năm 2010, tác giả F Huang, S H Chen, W Chen Z J Zheng định nghĩa 2-môđun 2-vành đưa biểu diễn 2-vành [19] Bên cạnh kết có Ann-phạm trù, thấy có vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần nghiên cứu như: toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù trường hợp tổng quát, mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù, tính bện lớp Ann-phạm trù, Vì vậy, viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử Ann-phạm trù bện" để giải vấn đề nêu riêng Ann-phạm trù đối xứng, đưa ví dụ, xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện tiến hành phân lớp Ann-phạm trù bện II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành Mac Lane để nghiên cứu Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh Ann-hàm tử xem xét mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù; đưa định nghĩa Ann-phạm trù bện trường hợp III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử tính bện (và trường hợp riêng tính giao hoán) lớp Ann-phạm trù Phạm vi nghiên cứu luận án toán thường gặp lý thuyết phạm trù với cấu trúc, toán phân lớp, xây dựng ví dụ cụ thể, nghiên cứu tính chất, mối liên hệ phụ thuộc tiên đề mối liên hệ lớp phạm trù có cấu trúc tương tự IV Phương pháp nghiên cứu Ngoài phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, luận án sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ lý thuyết phạm trù để chứng minh biểu đồ giao hoán, thay cho biến đổi đẳng thức trừu tượng V Những đóng góp luận án Luận án đóng góp số kết Ann-phạm trù Kết sử dụng nhóm đối đồng điều vành Mac Lane để tiến hành giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9) Kết thứ hai luận án xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10) Đây phép dựng phép dựng Ann-phạm trù đồng cấu quy toán mở rộng vành Kết luận án Định lý 2.3.3 Định lý Ann-phạm trù chứa vành phạm trù Ngược lại, vành phạm trù bổ sung thêm tiên đề tương thích với ràng buộc đơn vị trở thành Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4) Những đóng góp luận án có liên quan đến tính bện lớp Ann-phạm trù Định lý 3.1.6 ra: Tâm Ann-phạm trù Annphạm trù bện nói chung không đối xứng, kết tiếp nối kết tâm phạm trù monoidal đưa [21] Trên sở xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành, luận án tương đương hai hệ tiên đề: phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), khẳng định A Fr¨ohlich C T C Wall đưa chứng minh [16] Trong chương luận án, trước hết chứng minh tương đẳng Ann-phạm trù bện với Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề 4.1.7) Từ đây, kết hợp với kết tồn phân lớp Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), đưa chứng minh định lý phân lớp cho Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2) Những kết kiểu với kết phân lớp nhóm phạm trù bện phân bậc, trường hợp riêng phạm trù Picard phân bậc, A Cegarra E Khmaladze đưa năm 2007 ([9, 10]) VI Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Bên cạnh công trình nghiên cứu lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đưa M L Laplaza, A Fr¨ohlich C T C Wall, N T Quang, M M Kapranov V A Voevodsky, M Jibladze T Pirashvili, V Schmitt, M Dupont, luận án làm phong phú thêm kết cho lớp phạm trù Đồng thời, luận án nghiên cứu tính bện lớp Annphạm trù, điều trước thực cho lớp phạm trù có cấu trúc monoidal Các kết mà luận án đạt bổ sung thêm kết có việc chuyển kết lý thuyết đại số túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng phát triển chung Toán học đại VII Bố cục luận án Ngoài phần lời cam đoan, lời cảm ơn, số ký hiệu dùng luận án, mở đầu, kết luận, công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu tham khảo danh mục từ khóa, luận án gồm bốn chương sau Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức số kết có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện, phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù Phần cuối chương trình bày hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành Mac Lane đối đồng điều đại số Hochschild, để sử dụng cho kết phân lớp chương chương Chương 2: Một số kết Ann-phạm trù Ann-hàm tử Chương viết dựa theo [42, 43, 45] trình bày ba mục Toàn chương trình bày hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, Ann-phạm trù [2] vành phạm trù [22] Mục 2.1 đưa tiêu chuẩn tương đương Ann-hàm tử, từ toán tồn phân lớp Ann-hàm tử giải nhờ nhóm đối đồng điều vành Mac Lane, trường hợp riêng, sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp Ann-hàm tử mạnh Mục 2.2 trình bày cách xây dựng đối ngẫu B∗ cặp (B, F ) A, F : B → A Ann-hàm tử Trong trường hợp F = idA , đối ngẫu A∗ tâm Ann-phạm trù trình bày [44] Mục 2.3 trình bày mối liên hệ hai khái niệm Ann-phạm trù vành phạm trù với kết đạt là: Ann-phạm trù vành phạm trù; ngược lại, vành phạm trù bổ sung thêm tiên đề trở thành Ann-phạm trù Chương 3: Ann-phạm trù bện Chương viết dựa theo [44], bao gồm bốn mục Mục 3.1 trình bày khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối xứng ví dụ hai lớp phạm trù Trong ví dụ đó, đáng lưu ý ví dụ tâm Ann-phạm trù, trường hợp riêng phép xây dựng đối ngẫu cặp (A, idA ) trình bày chương 2, với kết đạt là: tâm Ann-phạm trù Ann-phạm trù bện nói chung không đối xứng Mục 3.2 xét tính không độc lập số tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải hệ tiên đề Ann-phạm trù bện Các mục 3.3 3.4 thiết lập mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng biết, phạm trù có tính phân phối M L Laplaza phạm trù tựa vành A Fr¨ohlich C T C Wall Nhờ xét mối liên hệ này, mục 3.3 phụ thuộc bốn tiên đề hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng Mục 3.4 chứng tỏ hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành tương đương Chương 4: Phân lớp đối đồng điều Ann-phạm trù bện Chương viết dựa theo [46] chia thành ba mục Trong mục trình bày số tính chất Ann-hàm tử bện chứng minh 10 định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ tiến hành xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn Ann-phạm trù bện Trong mục 4.2, giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử bện Kết chương nằm mục 4.3 Dựa kết Ann-phạm trù thu gọn phân lớp Ann-hàm tử bện, mục trình bày định lý phân lớp Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2) BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu C, D A, B SA (R, M, h) (R, M, h, β) S R P ZC CA Ob(C) XY = X ⊗ Y a+ a c+ c (0, g, d) (1, l, r) idX L(R) (F, F , Fˆ ) idC (F, F˘ , F , F ∗ ) ˘ H), (G, G, ˘ G) (H, H, u:F →F Aut(F ) [X] π0 (A) π1 (A) = Aut(0) MA (PA ) CA Nghĩa phạm trù monoidal Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) thu gọn A Ann-phạm trù Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β)) vành phạm trù (2-phạm trù) phạm trù Picard (Pic-phạm trù) tâm phạm trù C tâm Ann-phạm trù A tập vật phạm trù C tích tenxơ hai vật X Y ràng buộc kết hợp phép cộng ràng buộc kết hợp phép nhân ràng buộc giao hoán phép cộng ràng buộc giao hoán (bện) phép nhân ràng buộc đơn vị phép cộng ràng buộc đơn vị phép nhân mũi tên đồng vật X ràng buộc phân phối bên trái (phải) hàm tử monoidal hàm tử đồng phạm trù C Ann-hàm tử Ann-hàm tử (bện) tắc mũi tên hàm tử tập tự mũi tên F lớp tương đương X tập lớp vật phạm trù A tập tự mũi tên vật vành song tích (ngoài) vành A song tâm vành A 11 n ZM acL n BM acL n HM acL n ZHoch n BHoch n HHoch nhóm n-đối chu trình vành theo nghĩa Mac Lane nhóm n-đối bờ vành theo nghĩa Mac Lane nhóm đối đồng điều thứ n vành theo nghĩa Mac Lane nhóm n-đối chu trình Z-đại số theo nghĩa Hochschild nhóm n-đối bờ Z-đại số theo nghĩa Hochschild nhóm đối đồng điều thứ n Z-đại số theo nghĩa Hochschild 12 BẢNG THUẬT NGỮ Dịch phạm trù phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng tenxơ phạm trù bện nhóm phạm trù nhóm phạm trù đối xứng nhóm phạm trù phân bậc phạm trù Picard phân bậc vành phạm trù phạm trù vành phạm trù tựa vành phạm trù có tính phân phối hàm tử hàm tử monoidal hàm tử monoidal đối xứng hàm tử monoidal bện tương đương monoidal mở rộng tương đẳng 2-nhóm 2-nhóm đối xứng 2-vành phép biến đổi tự nhiên phép biến đổi monoidal tự nhiên ràng buộc ràng buộc kết hợp ràng buộc giao hoán ràng buộc đơn vị ràng buộc phân phối cấu trúc monoidal định lý phân lớp Thuật ngữ category monoidal category symmetric monoidal category braided tensor category categorical group symmetric cat-group graded categorical group graded Picard category categorical ring ring category ring-like category distributivity category functor monoidal functor symmetric monoidal functor braided monoidal functor monoidal equivalence extension congruence 2-group symmetric 2-group 2-ring natural transformation monoidal natural transformation constraint associativity constraint commutativity constraint unit constraint distributivity constraint monoidal structure classification theorem 13 định lý khớp lý thuyết cản trở vật không vật đơn vị vật quy coherence-theorem obstruction theory zero object unit object regular object 14 SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC II.1 ✛ ❩ ⑥ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❄ II.2 €€ ✐ € II.3 ❩ ❩ €€ € ✻ ❩ €€ € ❩ ❩ ❩ €€ €€ ❩ €€❩ €❩ € ✲ I.2 ✲ I.1 ✏ ✏ ✚ ✏ ✚ ✏ ✏ ✚ ✚ ✏ ✚ ✚ ✏✏ ✚ ✚ ✏✏ ✚ ✚ ✏✏✏ ✚ ✚✏✏ ✮ ✏ ❂✚ ✚ ❂✚ ❄✚ ✲ III.1 ✲ III.2 ✲ ❄ IV.1 ✲ IV.2 ✻ ✻ I.3 I.4 ✛ III.3 ✛ ✲ III.4 ✲ IV.3 ✛ 15 16 thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi tiên đề ngũ giác) sau a A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) ✲ (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)) id ⊗a a ❄ ❄ A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) Chương ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D ❍❍ ❍ a ❍ ❍❍ ❥ ✟✟ (1.1) ✯ ✟✟ ✟✟ a⊗id (A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ với vật A, B, C, D C Đẳng cấu tự nhiên a gọi ràng buộc kết hợp Phạm trù với cấu trúc thu hút quan tâm nhiều tác giả S Mac Lane đưa khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đưa khái niệm Gr-phạm trù ([55], 1975), A Joyal R Street đưa khái niệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991) Những kết Ann-phạm trù trình bày Luận án Tiến sĩ Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988) Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết chủ yếu, dùng làm sở cho chương sau Phần cuối chương trình bày nhóm đối đồng điều vành S Mac Lane đối đồng điều đại số Hochschild Các nhóm đối đồng điều sử dụng vào toán phân lớp Ann-hàm tử Trong toàn luận án này, viết XY thay cho tích tenxơ X ⊗ Y hai vật Các biểu đồ sử dụng thường xuyên để việc theo dõi các chứng minh thuận lợi Trong trường hợp A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C aA,B,C = id a = id gọi ràng buộc kết hợp chặt chẽ C gọi A-phạm trù chặt chẽ 1.1.2 Phạm trù monoidal Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal) Một phạm trù monoidal (hay AU-phạm trù ) C A-phạm trù C với vật ∈ Ob(C) hai đẳng cấu tự nhiên lA : ⊗ A → A; rA : A ⊗ → A, thỏa mãn điều kiện l1 = r1 làm cho biểu đồ sau giao hoán với vật A, B C : A ⊗ (1 ⊗ B) aA,1,B ✲ ❍❍ ❥ id ⊗lB ❍ (A ⊗ 1) ⊗ B ✟ ✟✟rA ⊗id ✙ (1.2) A⊗B 1.1 1.1.1 Phạm trù monoidal bện Bộ ba (1, l, r) gọi ràng buộc đơn vị ⊗-phạm trù Định nghĩa 1.1.1 Cho phạm trù C Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C gọi phép toán- hay luật C Khi phạm trù C với phép toán ⊗ gọi ⊗−phạm trù thường ký hiệu (C, ⊗) Định nghĩa 1.1.2 Cho C ⊗-phạm trù, A vật C Ta gọi A vật quy hàm tử F = − ⊗ A G = A ⊗ − từ C vào C tương đương phạm trù Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù) Một A-phạm trù C ⊗-phạm trù C với đẳng cấu tự nhiên ∼ aX,Y,Z : A ⊗ (B ⊗ C) −→ (A ⊗ B) ⊗ C, A, B, C ∈ Ob(C), Phạm trù monoidal C ký hiệu (C, ⊗, a, (1, l, r)) Để đơn giản ta ký hiệu phạm trù monoidal C (C, ⊗) Chú ý 1.1.5 1) Ràng buộc đơn vị gọi chặt chẽ đẳng cấu l, r đồng 2) Một phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) gọi phạm trù monoidal chặt chẽ ràng buộc a, l, r đồng 81 82 ˆ A )LA,B,0 = idA ⊗dB : A(B ⊕ 0) → AB dAB (idAB ⊕L (L12) ˆ B )RA,0,B = dA ⊗ idB : (A ⊕ 0)B → AB dAB (idAB ⊕R (L13) Ngoài kết chứng minh định lý khớp cho phạm trù có tính phân phối, [27] M L Laplaza mối liên hệ phụ thuộc số tiên đề hệ Mệnh đề 3.3.1 ([44, Mệnh đề 5.1]) Mỗi Ann-phạm trù đối xứng phạm trù có tính phân phối Để chứng minh Mệnh đề 3.3.1, cần tới Mệnh đề sau Mệnh đề 3.3.2 Trong Ann-phạm trù bện, biểu đồ sau giao hoán: X.0 ˆ ❅L ❘ ❅ c ✲ ˆ R 0.X   ✠   (3.11) Chứng minh Xét hai hàm tử F, K : A → A xác định F : A ⊗ −, K : − ⊗ A Mũi tên u : F → K cho uX = cA,X : A ⊗ X → X ⊗ A tổng mũi tên biểu đồ (3.1) Mặt khác, hiển nhiên α0 = cA,0 đẳng cấu nên theo Bổ đề 1.1.13, ta suy biểu đồ (3.11) giao hoán Chứng minh Mệnh đề 3.3.1 Giả sử A Ann-phạm trù đối xứng Từ định nghĩa Ann-phạm trù đối xứng định nghĩa phạm trù có tính phân phối, phải chứng minh A thỏa mãn biểu đồ (L1)-(L13) Theo Mệnh đề 3.3.2 ta có biểu đồ (L6) giao hoán Mặt khác, A Ann-phạm trù bện nên ta có c0,0 = id Từ suy biểu đồ (L1) giao hoán Các biểu đồ lại giao hoán Mệnh đề 1.3.7, 1.3.10, 1.3.9, 1.3.11 Từ định nghĩa Ann-phạm trù đối xứng phạm trù có tính phân phối ta có hệ sau: Hệ 3.3.3 Cho (A, ⊕, ⊗) phạm trù có tính phân phối Nếu vật (A, ⊕) khả nghịch phạm trù groupoid (A, ⊕, ⊗) Ann-phạm trù đối xứng Ta có nhận xét rằng, chứng minh Mệnh đề 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, không sử dụng tới tính quy vật phép ⊕ nên mệnh đề phạm trù có tính phân phối Bởi ta có thu gọn hệ tiên đề M L Laplaza sau Hệ 3.3.4 ([44, Hệ 5.1]) Trong hệ tiên đề M L Laplaza phạm trù với ràng buộc phân phối, tiên đề sau phụ thuộc: tính tương thích hàm tử (RA , R˘ A ) với a+ , tính giao hoán biểu đồ (1.14), (1.15), (1.18)(tương ứng biểu đồ IV, VI, VII, XII [27]) Đây câu trả lời cho đề nghị A Fr¨ohlich C T C Wall nêu [16] Chúng ta có nhận xét tính giao hoán biểu đồ Ann-phạm trù đối xứng A không phụ thuộc vào tính khả nghịch vật mũi tên phạm trù (A, ⊕), từ định lý khớp phạm trù có tính phân phối [27], ta có kết sau trình bày định lý khớp Ann–phạm trù đối xứng Hệ 3.3.5 ([44, Hệ 5.2]) Trong Ann-phạm trù đối xứng, mũi tên sinh mũi tên a+ , c+ , g, d, a, c, l, r, L, R, id phụ thuộc vào nguồn đích Định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù bện bỏ ngỏ 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành Trong [16], A Fr¨ohlich C T C Wall bình luận hệ tiên đề M L Laplaza phạm trù có tính phân phối dài đề xuất khái niệm phạm trù tựa vành (ring-like category) thay đổi hệ tiên đề M L Laplaza cách giữ lại quan hệ liên quan tới "vật không" "vật đơn vị", hệ thức tính khớp riêng biệt ⊕, ⊗, thêm vào tính tương thích hàm ˘ A ) với ràng buộc giao hoán, kết hợp tính giao hoán biểu tử (LA , L đồ (1.13), (3.12) 83 (A ⊕ B).(X ⊕ Y ) L 84 Mệnh đề 3.4.2 ([44, Mệnh đề 6.1]) Mỗi Ann-phạm trù đối xứng phạm trù tựa vành ✲ (A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y c⊕c ✻ c ❄ (X ⊕ Y ).(A ⊕ B) Chứng minh Suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.4.1 3.3.1 X(A ⊕ B) ⊕ Y (A ⊕ B) L⊕L L ❄ ❄ (X ⊕ Y ).A ⊕ (X ⊕ Y ).B Từ Hệ 3.3.3 Mệnh đề 3.4.1 ta có: (XA ⊕ XB) ⊕ (Y A ⊕ Y B) c⊕c ✻ ❄ A.(X ⊕ Y ) ⊕ B.(X ⊕ Y ) (c ⊕ c) ⊕ (c ⊕ c) L⊕L v ❄ (AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY ) ✲ (AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY ) (3.12) Như nói trên, hệ tiên đề phạm trù tựa vành sửa đổi phạm trù M L Laplaza, nhiên hai hệ có tương đương hay không chưa chứng minh Câu trả lời có mệnh đề 3.4.1 Cần nói thêm rằng, phép chứng minh cho hệ Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.2, Hệ 3.4.3, Mệnh đề 3.4.4 cải tiến cho hợp lý, ngắn gọn so với chứng minh hệ Mệnh đề 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 [44] Mệnh đề 3.4.1 ([44, Mệnh đề 6.4]) Hệ tiên đề M L Laplaza phạm trù có tính phân phối hệ tiên đề A Fr¨ ohlich C T C Wall phạm trù tựa vành tương đương Chứng minh Giả sử A phạm trù tựa vành Trong A, ta đặt R : (X ⊕ Y )A → XA ⊕ Y A ràng buộc tự nhiên xác định nhờ biểu đồ giao hoán (3.1) Do Định lý 3.2.4, cần chứng minh tính giao hoán biểu đồ (1.16) Xét biểu đồ (3.13) (X ⊕ Y )(A ⊕ B) c L ✲ (X ⊕ Y )A ⊕ (X ⊕ Y )B ✲ A(X ⊕ Y ) ⊕ B(X ⊕ Y ) (A ⊕ B)(X ⊕ Y ) L R (II) Chú ý 3.2.4 rằng, Ann-phạm trù bện biểu đồ (1.14), (1.15) (1.18) bỏ Bây ta trường hợp đối xứng ta bỏ đẳng cấu phân phối phải thay biểu đồ (1.16) biểu đồ (3.12) nhận hệ tiên đề thu gọn Ann-phạm trù đối xứng Mệnh đề 3.4.4 ([44, Mệnh đề 6.3]) Cho phạm trù A với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A cho (A, ⊕, a+ , c+ , (0, g, d)) nhóm phạm trù đối xứng (A, ⊗, a, c, (1, l, r)) phạm trù monoidal đối xứng Khi A với đẳng cấu tự nhiên L : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ) ˘ A = LA,X,Y ) là Ann-phạm trù đối xứng (LA = A ⊗ −, L X,Y + + ⊕−hàm tử tương thích với a , c , biểu đồ (1.13), (1.17), (3.12) giao hoán Chứng minh Điều kiện cần suy từ Mệnh đề 3.4.2 Ngược lại, giả sử A phạm trù thoả mãn điều kiện nêu mệnh đề Khi đó, A phạm trù tựa vành Theo Hệ 3.4.3, A Ann-phạm trù đối xứng c⊕c (I) ❄ Hệ 3.4.3 Cho (A, ⊕, ⊗) phạm trù tựa vành Nếu vật (A, ⊕) khả nghịch phạm trù groupoid (A, ⊕, ⊗) Annphạm trù đối xứng ❄ Kết luận chương Trong chương nhận số kết sau đây: L⊕L ❄ ❄ (AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY ) €€ €€R ⊕ R €€ c⊕c v ❄ ❄ €€ € q (AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY ) € X(A ⊕ B) ⊕ Y (A ⊕ B) € €€ (III) €€ (c ⊕ c) ⊕ (c ⊕ c) €€ L⊕L ❄ €€ q (XA ⊕ XB) ⊕ (Y A ⊕ Y B) € (A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y • Đưa định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù đối (3.13) Các miền (I) (III) giao hoán theo biểu đồ (3.1), tính giao hoán miền (II) vòng tương đương, nghĩa tính giao hoán biểu đồ (3.12) (1.16) tương đương xứng Xây dựng tâm Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện nói chung không đối xứng • Chứng minh tính phụ thuộc số tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải định nghĩa Ann-phạm trù bện 85 86 • Đưa mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với lớp phạm trù có tính phân phối M L Laplaza phạm trù tựa vành A Fr¨ohlich C T C Wall, từ chứng minh tương đương hai khái niệm phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành Chương PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Trong chương này, chuyển kết phân lớp Ann-phạm trù tới Ann-phạm trù bện Trước hết, mở rộng kỹ thuật chuyển cấu trúc để xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn SA Ann-phạm trù bện A Phạm trù tương đẳng với Ann-phạm trù bện ban đầu, từ tiến hành giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử bện Ann-phạm trù bện thu gọn chúng Trong mục 4.3, chứng minh kết chương này, Định lý phân lớp Ann-phạm trù bện Các kết chương viết dựa theo [46] 4.1 Ann-hàm tử bện phép chuyển cấu trúc Ann-phạm trù bện thu gọn Trước hết cần lưu ý rằng, khái niệm hàm tử monoidal đối xứng khác với khái niệm hàm tử monoidal bện Với ý có định nghĩa sau Định nghĩa 4.1.1 Cho A, A Ann-phạm trù bện Một Ann-hàm tử bện định nghĩa Ann-hàm tử tương thích với bện Nói cách khác, Ann-hàm tử bện từ A đến A bốn (F, F˘ , F , F∗ ), (F, F˘ ), (F, F , F∗ ) hai hàm tử monoidal đối xứng phép toán ⊕, ⊗ thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán (1.51), (1.52) Một Ann-mũi tên bện (hay đồng luân) ˘ K, K∗ ) u : (F, F˘ , F , F∗ ) → (K, K, Ann-hàm tử bện ⊕-mũi tên, đồng thời ⊗-mũi tên 87 88 ˘ K, K∗ ) : A → A Trong trường hợp tồn Ann-hàm tử bện (K, K, ∼ ∼ ˘ Ann-mũi tên bện KF → idA , F K → idA , ta nói (F, F , F , F∗ ) Ann-tương đương bện A, A Ann-bện tương đẳng Mệnh đề 4.1.4 ([46, Mệnh đề 3.6]) Giả sử (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A Anntương đương A Ann-phạm trù bện với bện c Khi A trở thành Ann-phạm trù bện với bện c, xác định biểu đồ giao hoán Chúng ta chứng minh Ann-hàm tử bện Ann-tương đương bện F tương đương phạm trù Để sử dụng cho phần sau, phát biểu bổ đề đây, mà cách chứng minh giống Bổ đề 1.3.13 Bổ đề 4.1.2 ([46, Bổ đề 3.4]) Mỗi Ann-hàm tử bện F = (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A đồng luân với Ann-hàm tử bện F = (F , F˘ , F , F∗ ) mà F = , F∗ = id1 Do Bổ đề 4.1.2, ta ký hiệu Ann-hàm tử bện (F, F˘ , F ) không cần nhắc tới F∗ F (c ⊕ c) F˘ F (XZ ⊕ Y Z) ✲ F (ZX) ⊕ F (ZY ) c ⊗ id ✲ (F X ⊗ F Y ) ⊗ F Z ✛ ✻ F ⊗ id (II) F (c) ⊕ F (c) (II) F˘ ✲ F (XZ) ⊕ F (Y Z) (III) F ⊕ F✲ ✻ F (L) F (R) (I) F (c) ⊗ id ✛ (III) F (c ⊗ id) ✛ F ✲ F (X ⊕ Y )F (Z) a F (a) (V) ✛F (c) c (VI) F (Z(X ⊕ Y )) F ❄ ✲ F (Z)F (X ⊕ Y ) id ⊗F˘ ✲ F ((Y ⊗ X) ⊗ Z) id ⊗F (VI) id ⊗c F Y ⊗ F (X ⊗ Z) ✻ F ✛F (a) ✛ ✻ ✛ id ⊗F (c) F (Y ⊗ (X ⊗ Z)) F (id ⊗c) ✻ F ((Y ⊗ Z) ⊗ X) ✛F (a) (IX) (X) F (Y ⊗ (Z ⊗ X)) F (X)F (Z) ⊕ F (Y )F (Z) F (VII) (IV) F F L F X ⊗ F (Y ⊗ Z) ✛ c ❄ ❄ F Y ⊗ F (Z ⊗ X) F (Y ⊗ Z) ⊗ F X (F (X) ⊕ F (Y ))F (Z) (V) F ⊗ id (VIII) id ⊗F c ❄ ❄ F Y ⊗ (F X ⊗ F Z) ✻ F (VII) F (X ⊗ (Y ⊗ Z)) R F˘ ⊗ id✲ ✛a F (Y ⊗ X) ⊗ F Z ✻ id ⊗F F (c) F ⊗ id ✻ c ⊕c ❄ F ((X ⊕ Y )Z) (F Y ⊗ F X) ⊗ F Z ✛ ✻ ✻ (IV) F F ((X ⊗ Y ) ⊗ Z) F (Z)F (X) ⊕ F (Z)F (Y ) FY ⊗ FX Chứng minh Ta phải chứng minh ràng buộc c thoả mãn biểu đồ (1.8), (1.9) biểu đồ (3.1) Để chứng minh c thỏa mãn biểu đồ (1.8), ta xét biểu đồ sau: ✻ F ⊕ F✲ ✲ (F, F˘ , F , F∗ ) trở thành Ann-tương đương bện (I) ✻ (4.1) ❄ c FX ⊗ FY Chứng minh Ta xét biểu đồ đây: ✻ F (Y ⊗ X) F ❄ F (X ⊗ Y ) ⊗ F Z F (ZX ⊕ ZY ) ✲ F Mệnh đề 4.1.3 ([46, Bổ đề 3.5]) Trong định nghĩa Ann-hàm tử bện, tính giao hoán biểu đồ (1.52) suy từ điều kiện lại ✲ F (c) F (X ⊗ Y ) ❄ F (Z)(F (X) ⊕ F (Y )) Trong biểu đồ trên, miền (I) (VII) giao hoán biểu đồ (3.1), miền (II) giao hoán tính chất tự nhiên F˘ , miền (III) giao hoán tính chất tự nhiên F , miền (V) giao hoán (F, F ) tensor hàm tử bện, miền (VI) giao hoán tính chất tự nhiên c , miền giao hoán biểu đồ (1.51) Từ suy miền (IV) giao hoán, nghĩa biểu đồ (1.52) giao hoán Phép chuyển cấu trúc cho phạm trù monoidal trình bày N Saavedra Rivano [54], H X Sính [55] Sau N T Quang [2] mở rộng cách tự nhiên phép chuyển cấu trúc cho Ann-phạm trù Phép chuyển mở rộng cho Ann-phạm trù bện F X ⊗ (F Y ⊗ F Z) ❄ (F Y ⊗ F Z) ⊗ F X ✛ c ❄ F Y ⊗ (F Z ⊗ F X) ✛ a Trong biểu đồ trên, miền (I), (VI), (VIII) giao hoán cách xác định mũi tên a, miền (II), (IV), (X) giao hoán cách xác định mũi tên c, miền (III) (IX) giao hoán tính chất tự nhiên F , miền (V) giao hoán tính chất tự nhiên c , vòng giao hoán (A , ⊗) tensor phạm trù bện Từ suy miền (VII) giao hoán Do F đẳng cấu ta suy biểu đồ (1.8) giao hoán Chứng minh tương tự biểu đồ (1.9) giao hoán Để chứng minh biểu đồ (3.1) giao hoán, ta xét biểu đồ đây: 89 F A.(F X ⊕ F Y ) L ✻ id ⊗F˘ (I) ✲ F˘ F (L) ✻ (VII) F (AX) ⊕ F (AY ) (III) ✻ F (A.(X ⊕ Y )) Do tính bện phép toán ⊗ nên vành π0 (A) giao hoán Hơn nữa, tác động hai phía vành π0 (A) lên π1 (A) trùng Điều thể mệnh đề F A.F X ⊕ F A.F Y F ⊕F F A.F (X ⊕ Y ) F 90 ✲ Mệnh đề 4.1.5 ([46, Mệnh đề 4.1]) Trong Ann-phạm trù bện A ta có λ = ρ ✻ F (AX ⊕ AY ) c ✻ c F (c) (II) (IV) F (c ⊕ c) Chứng minh Xét biểu đồ đây: ✻ t1 (VI) t2 c F ((X ⊕ Y ).A) F (R) ✲ F (XA ⊕ Y A) (I) F˘ F ˆ L X.0 ❄ ✲ F (X ⊕ Y ).F A F (XA) ⊕ F (Y A) (V) F˘ ⊗ id id ✲ ✛ ˆ R idX ⊗u (F X ⊕ F Y ).F A R ❄ ✲ F X.F A ⊕ F Y.F A ✛ λX (u) (II) ❄ X.0 ˆ L ❄ ✲ ρX (u) (III) id ✲ ❄ ✛ (IV) ˆ R (V) ❄ 0.X ✛ F ⊕F ❄ ✲ ✲ ❄ t1 = F (cA,X ) ⊕ F (cA,Y ), u ⊗ idX ❄ 0.X ✻ t2 = cF A,F X ⊕ cF A,F Y c Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán tính chất tự nhiên c , miền (II) miền (VII) giao hoán (F, F ) tensor hàm tử bện phép toán ⊗, miền (III) giao hoán cách xác định L, miền (V) giao hoán cách xác định R, miền (VI) giao hoán (F, F˘ ) ⊕-hàm tử, miền giao hoán A Ann-phạm trù Từ suy miền (IV) giao hoán Do F tương đương nên từ tính giao hoán miền (IV) ta suy tính giao hoán biểu đồ (3.1) Dưới đây, sử dụng phép chuyển cấu trúc để xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn Ann-phạm trù bện Cho A Ann-phạm trù bện với họ ràng buộc (a+ , c+ , (0, g, d), a, c, (1, l, r), L, R) Khi đó, theo mục 1.3, tập hợp lớp vật đẳng cấu π0 (A) A vành hai phép toán +, ×, cảm sinh luật ⊕, ⊗ A, π1 (A) = Aut(0) π0 (A)-song module với tác động xác định Trong biểu đồ trên, tính giao hoán miền (I) (V) chứng minh mệnh đề 3.3.2 , miền (II) miền (IV) giao hoán tương ứng định nghĩa ánh xạ λ, ρ, vòng giao hoán tính chất tự nhiên c, từ suy miền (III) giao hoán, nghĩa λ = ρ Giả sử A Ann-phạm trù bện Gọi SA Ann-phạm trù thu gọn tương ứng với đính (Xs , ϕ, ψ) Ann-phạm trù A (chi tiết, xem tiểu mục 1.3.3) Dưới đây, thực phép chuyển bện c Ann-phạm trù bện A cho SA để SA trở thành Ann-phạm trù bện Mệnh đề 4.1.6 ([46, Mệnh đề 4.2]) Nếu A Ann-phạm trù bện với bện c SA Ann-phạm trù bện với bện cảm sinh c = (•, β) cho biểu đồ giao hoán sau Xr ⊗ Xs us = ρX (u), với X ∈ s, s ∈ π0 (A), u ∈ π1 (A), ánh xạ λ, ρ xác định biểu đồ (1.54), (1.55) ✲ Xrs γ c ❄ Xs ⊗ Xr su = λX (u), ψr,s ψs,r ✲ Xrs (β(r,s)) ❄ Xsr ˘ H, H∗ ), (G, G, ˘ G, G∗ ) Ann-tương đương bện Hơn nữa, (H, H, chúng gọi Ann-tương đương bện tắc Ta gọi SA Ann-phạm trù bện thu gọn A 91 92 Chứng minh Suy trực tiếp từ Mệnh đề 4.1.4 Một Ann-phạm trù bện thu gọn SA Ann-phạm trù bện A gọi với x, y, z ∈ R (R, M ), đối bờ ∂t cho Với t ∈ Cab Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) ta thay π0 A R π1 A M ∂t = ∂M acL t, Dưới mô tả chi tiết ràng buộc Ann-phạm trù bện SA kiểu (R, M ) Các ràng buộc cảm sinh SA tương ứng với sáu hàm (ξ, η, α, β, λ, ρ), (ξ, η, α, λ, ρ) cấu trúc Ann-phạm trù SA (khi chưa xét đến tính bện SA) Bởi vậy, để thuận lợi, ta kí hiệu ((ξ, η, α, β, λ, ρ)) = (h, β), với h = (ξ, η, α, λ, ρ), (h, β) gọi cấu trúc SA Trong [55], H X Sính sử dụng nhóm đối đồng điều nhóm để phân lớp Gr-phạm trù (hay nhóm phạm trù) Trường hợp nhóm phạm trù bện A Joyal R Street phân lớp dựa lý thuyết đối đồng điều nhóm aben [20] Để tiến hành phân lớp phạm trù Picard, lớp hẹp lớp nhóm phạm trù bện, H X Sính đưa phức đối dây chuyền cụt nhóm aben [55] Các Ann-phạm trù N T Quang phân lớp dựa nhóm đối đồng điều vành Mac Lane [38] Trong trường hợp riêng, Ann-phạm trù quy phân lớp nhờ nhóm đối đồng điều Z-đại số theo nghĩa Shukla [2] Để mô tả cấu trúc việc phân lớp Ann-phạm trù bện, H X Sính làm cho phạm trù Picard [55], sau đưa định nghĩa phức cụt vành giao hoán Cho R vành giao hoán M R-môđun, ta coi M R-song môđun với tác động hai phía R lên M trùng Chúng n (R, M ) (n = 1, 2, 3) nhóm đối ta định nghĩa nhóm đối đồng điều Hab đồng điều phức đối dây chuyền cụt (R, M ), đối bờ ∂g cho với g = (µ, ν) ∈ Cab ∂g = (∂M acL g, β), với β(x, y) = ν(x, y) − ν(y, x) (R, M ) = H Rõ ràng, Hab M acL (R, M ) (R, M ) nhóm Theo định nghĩa trên, nhóm ba đối bờ aben Bab Zab (R, M ) gồm cặp (h, β), cho tồn cặp µ, ν : R2 → M thoả mãn điều kiện chuẩn tắc đẳng thức h = ∂M acL (µ, ν) ∈ BM acL (R, M ), β(x, y) = ν(x, y) − ν(y, x) Khi ta viết (h, β) = ∂(µ, ν) (R, M ) gồm cặp (µ, ν), cho (µ, ν) ∈ Z Nhóm Zab M acL (R, M ), đồng thời ν : R → M thoả mãn hệ thức ν(x, y) − ν(y, x) = (R, M ) Z (R, M ) bao gồm tất cặp (µ, ν) cho Nhóm Bab ab (µ, ν) ∈ BM acL (R, M ) Mệnh đề mô tả cấu trúc Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) Mệnh đề 4.1.7 ([46, Mệnh đề 4.3]) Trong Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) ràng buộc đơn vị hai phép toán chặt chẽ, họ ràng buộc lại liên (R, M ) kết với cấu trúc (h, β) ∈ Zab Chứng minh Suy trực tiếp từ tiên đề Ann-phạm trù bện (4.2) Bây ta xem xét phụ thuộc cấu trúc SA ta thay đổi đính (R, M ) bao gồm tất ánh xạ chuẩn tắc t : R → M , C (R, M ) Cab ab (R, M ) bao gồm bao gồm tất cặp ánh xạ chuẩn tắc µ, ν : R2 → M Zab tất cặp (h, β), với h ∈ ZM acL (R, M ) ánh xạ β : R → M thoả mãn điều kiện 3-đối chu trình: Mệnh đề 4.1.8 ([46, Mệnh đề 4.5]) Nếu SA SA hai Ann-phạm trù bện thu gọn Ann-phạm trù bện A tương ứng với hai đính (Xs , ϕ, ψ), (Xs , ϕ , ψ ) thì: ∂ ∂ (R, M ) −−−→ C (R, M ) −−−→ Z (R, M ) → 0, Cab (R, M ) : → Cab ab ab α(x, y, z) − α(x, z, y) + α(z, x, y) + xβ(y, z) − β(xy, z) + yβ(x, z) = 0, (4.3) α(x, y, z) − α(y, x, z) + α(y, z, x) − yβ(x, z) + β(x, yz) − zβ(x, y) = 0, (4.4) β(x, y) − β(x, y + z) + β(x, z) = ρ(y, z, x) − λ(x, y, z), (4.5) (i) Tồn Ann-tương đương bện (F, F˘ , F , F∗ ) : SA → SA, với F = id (ii) Hai cấu trúc (h, β) (h , β ) tương ứng SA SA thuộc lớp đối đồng điều phức Cab (R, M ) 93 94 Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 4.1.6 (H, ϕ−1 , ψ −1 , H∗ ) (H , ϕ −1 , ψ −1 , H∗ ) hai Ann-tương đương bện tắc tương ứng với SA SA Khi tồn ˘ G, G∗ ) : A → SA biến vật X thành lớp chứa Ann-tương đương bện (G, G, ˘ X Đặt F = GH , F˘ = GH , F = GH , F∗ = id1 ta F : SA → SA Ann-tương đương bện với F = id ˘ , ν = GH Khi từ tính tương thích Ann-hàm tử bện (ii) Đặt µ = GH (F = id, µ, ν, F∗ ) ràng buộc tương ứng SA SA ta suy hệ thức phải chứng minh Hai cấu trúc (h, β) (h , β ) Ann-phạm trù bện SA gọi đối đồng điều chúng thỏa mãn điều kiện (ii) Mệnh đề 4.1.8 Rõ ràng ta có: Hệ 4.1.9 ([46, Hệ 4.6]) Hai cấu trúc (h, β), (h , β ) đối đồng điều chúng hai họ ràng buộc Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) tương thích với Ann-tương đương bện (F, F˘ , F , F∗ ), F = idA Chú ý 4.1.10 Trong Ann-phạm trù đối xứng thu gọn Định nghĩa 4.2.1 Một hàm tử F : S → S gọi hàm tử kiểu (p, q) F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)), p : R → R đồng cấu vành q : M → M đồng cấu nhóm thỏa mãn q(xa) = p(x)q(a), x ∈ R, a ∈ M (4.7) Có thể xem M R-môđun với tác động sa = p(s)a , q đồng cấu R-môđun Ta nói (p, q) cặp đồng cấu Mệnh đề 4.2.2 ([46, Mệnh đề 5.2]) Mỗi Ann-hàm tử bện từ S đến S hàm tử kiểu (p, q) Chứng minh Được suy Ann-hàm tử bện Ann-hàm tử Mệnh đề 2.1.9 Mệnh đề 4.2.3 ([46, Mệnh đề 5.3]) Cho A A hai Ann-phạm trù bện Khi Ann-hàm tử bện (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A cảm sinh Ann-hàm tử bện SF : SA → SA kiểu (p, q), S = (S, ξ, η, (0, id, id), α, β, (1, id, id), λ, ρ) hệ thức (4.4) thay hệ thức (4.6) đây: β(x, y) + β(y, x) = Trong mục này, ta ký hiệu S , S Ann-phạm trù bện dạng (R, M, h, β), (R , M , h , β ) (4.6) Chú ý 4.1.11 Trong trường hợp R tác động tầm thường lên M hệ thức (1.57), (4.3), (4.4) chứng tỏ (α, β) 3-đối chu trình aben nhóm (R , M ) theo nghĩa Eilenberg - Mac cộng R+ với hệ tử M nhóm Hab + Lane ([13, 14, 29]) Ta gọi vết cấu trúc (h, β) hàm p = F0 : π0 (A) → π0 (A ) ; [X] → [F X], q = F1 : π1 (A) → π1 (A ) ; u → γF−10 (F u), với γ ánh xạ cho biểu đồ (1.56), có tính chất: (i) F tương đương F0 , F1 đẳng cấu (ii) Ann-hàm tử bện SF thoả mãn biểu đồ giao hoán R → M x → β(x, x) Hệ 4.1.12 ([46, Hệ 4.7]) Nếu (h, β) (h , β ) hai cấu trúc đối đồng điều [h] = [h ] ∈ HM acL (R, M ) hai bện β, β có vết 4.2 Phân lớp Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) Bây Ann-hàm tử bện (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A cảm sinh Ann-hàm tử bện SF Ann-phạm trù bện thu gọn chúng A F ✲ A ✻ H SA G SF ✲ (4.8) ❄ SA với H, G Ann-tương đương bện tắc Chứng minh (i) Được suy từ Định lý 1.3.15 (ii) Từ Mệnh đề 3.3, chương IV [2] ta suy hàm tử SF làm giao hoán biểu đồ (4.8) Mặt khác F, H, G Ann–hàm tử bện nên ta suy SF Ann-hàm tử bện 95 96 Chú ý 4.2.4 Nếu F = (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A Ann-hàm tử bện Ann-hàm tử bện cảm sinh SF : SA → SA thoả mãn SF (1) = SF∗ = (1 , γ1−1 (F∗ ◦ i−1 F )) Hơn nữa, F = F∗ = id1 SF∗ = id1 Bởi F˘x,y = (•, µ(x, y)), Fx,y = (•, ν(x, y)), nên ta gọi gF = (µ, ν) cặp hàm liên kết với (F˘ , F ), ta xem Ann-hàm tử bện F : S → S ba (p, q, gF ), p : R → R đồng cấu vành, q : M → M đồng cấu nhóm thỏa mãn đẳng thức (4.7) Do tính tương thích F với ràng buộc hai Ann-phạm trù bện S , S , ta suy ra: q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) = ∂(gF ), (4.9) p∗ , q∗ đồng cấu tắc p∗ q∗ 3 Zab (R, M ) −→ Zab (R, M ) ←− Zab (R , M ) Mệnh đề 4.2.5 Giả sử (F, F˘ , F ), (F , F˘ , F ) : S → S hai Ann-hàm tử bện Nếu tồn Ann-mũi tên bện u : F → F F = F u cảm sinh hàm t : R → M thoả mãn (4.10) Chứng minh Theo Mệnh đề 4.2.2, F, F tương ứng hàm tử kiểu (p, q), (p , q ) Với x ∈ R, ux : F (x) = p(x) → F (x) = p (x) mũi tên phạm trù S nên ta có p(x) = p (x) Giả sử ux = (p(x), t(x)), t : R → M hàm Với mũi tên (x, a) : x → x phạm trù S , từ tính giao hoán biểu đồ F (x) ux✲ F (x,a)=(p(x),q(a)) F (x) F (x,a)=(p(x),q (a)) ❄ F (x) ux✲ k = q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) gọi cản trở hàm tử kiểu (p, q) Với ký hiệu trên, phát biểu chứng minh Định lý tồn phân lớp Ann-hàm tử bện Định lý 4.2.6 ([46, Định lý 5.5]) Hàm tử F : S → S kiểu (p, q) Ann−hàm (R, M ) Khi tồn tử bện cản trở [k] = Hab song ánh: (i) HomBrAnn (4.11) (p,q) [S, S ] ↔ Hab (R, M ); (ii) Mệnh đề nói mối liên hệ hai Ann-hàm tử bện có mối liên hệ đồng luân gF = gF + ∂t Trong trường hợp F : S → S hàm tử kiểu (p, q), hàm Aut(F ) ↔ Zab (R, M ) Chứng minh Giả sử (F, F˘ , F ) : S → S Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) Khi (R, M ) từ đẳng thức (4.9) ta suy cản trở F triệt tiêu nhóm Hab (R, M ) Ngược lại, giả sử cản trở hàm tử F triệt tiêu nhóm Hab Từ suy tồn 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) cho k = ∂g , nghĩa q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) = ∂g Lấy F˘ , F mũi tên hàm tử liên kết với hàm µ, ν , thử lại (F, F˘ , F ) Ann-hàm tử bện (i) Theo Định lý 2.1.9, ta có song ánh Φ : HomAnn (p,q) [S, S ] → HM acL (R, M ) Song ánh Φ xác định sau (chi tiết, xem Định lý 2.1.9) Vì tồn Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : S → S nên ta có ❄ F (x) ta suy q(a) = q (a) với a ∈ M Vậy q = q Cuối cùng, u : F → F đồng thời ⊕-mũi tên ⊗-mũi tên nên ta suy hệ thức (4.10) Ta ký hiệu tập hợp lớp đồng luân Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) từ S đến S HomBrAnn (p,q) [S, S ] q∗ h − p∗ h = ∂M acL gF ˘ K) : S → S Ann-hàm tử kiểu (p, q) Khi Ta cố định gF Giả sử (K, K, q∗ h − p∗ h = ∂M acL gK Từ suy gF − gK 2-đối chu trình Ánh xạ Φ xác định Φ([K]) = [gF − gK ] 97 98 Bây F, K Ann-hàm tử bện hàm gF , gK nói (R, M ) Mặt 2-đối dây chuyền phức Cab (R, M ) gF − gK ∈ Zab 2 2 khác Zab (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) Bab (R, M ) = BM acL (R, M ) nên ta có (R, M ) ⊂ H Hab M acL (R, M ) Từ ta suy đơn ánh Φ =Φ HomBrAnn [S,S (p,q) ] phát biểu kết mục Định lý 4.3.1 ([46, Định lý 6.1]) (Định lý phân lớp) Tồn hàm tử phạm trù d : BrAnn → H3BrAnn : HomBrAnn (p,q) [S, S ] → Hab (R, M ) A → (π0 (A), π1 (A), [(h, β)A ]) (R, M ) Khi ta có Bây giờ, giả sử g phần tử thuộc Zab ∂(gF − g) = ∂gF − ∂g = ∂gF = q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) ˘ K) : S → S kiểu (p, q), Do vậy, tồn Ann-hàm tử bện (K, K, ˘ đẳng cấu K, K liên kết với 2-đối dây chuyền gF − g Rõ ràng ta có Φ ([K]) = [g], nghĩa Φ toàn ánh Vậy ta có song ánh Φ : HomBrAnn (p,q) [S, S ] → Hab (R, M ) (R, M ) (ii) Trong đẳng thức (4.10) với F = F ta suy ∂t = 0, nghĩa t ∈ Zab Vậy tồn ánh xạ Aut(F ) → Zab (R, M ) u → t Dễ thấy ánh xạ song ánh 4.3 Các định lý phân lớp F = (F, F˘ , F ) → (F0 , F1 ) có tính chất sau: (i) dF đẳng cấu F tương đương, (ii) d toàn ánh tập vật, (iii) d đầy đủ không trung thành, với (p, q) : dA → dA tồn song ánh HomBrAnn (p,q) [A, A ] → Hab (π0 (A), π1 (A )) (4.12) Chứng minh Trong Ann–phạm trù bện A, với đính (Xs , iX ) ta xây dựng Ann–phạm trù bện thu gọn (π0 (A), π1 (A), h, β) Khi thay đổi cách chọn đính 3-đối chu trình (h, β) thay (h , β ) thuộc lớp đối đồng điều với (h, β) Bởi A xác định phần tử [(h, β)] ∈ H (π0 (A), π1 (A)) Điều chứng tỏ d ánh xạ tập vật Đối với Ann-hàm tử bện F F A −→ A −→ A Ký hiệu BrAnn phạm trù có vật Ann–phạm trù bện A, mũi tên Ann–hàm tử bện chúng Tương tự Định lý phân lớp cho phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12 [10]), xác định phạm trù H3BrAnn có vật ba (R, M, [h, β]) (R, M ) (R, M, h, β) Ann–phạm trù bện Mũi tên (p, q) : với [h, β] ∈ Hab (R, M, [h, β]) → (R , M , [h , β ]) H3BrAnn cặp (p, q) cho tồn g : R2 → M để (p, q, g) Ann-hàm tử bện (R, M, h, β) → (R , M , h , β ), nghĩa (R, M ) Hợp thành H3 [p∗ (h , β )] = [q∗ (h, β)] ∈ Hab BrAnn cho (p , q ) ◦ (p, q) = (p p, q q) Theo Mệnh đề 4.2.5, hai Ann-hàm tử bện F, F : A → A đồng luân Fi = Fi , i = 0, [gF ] = [gF ] Với ký hiệu tập lớp đồng luân Ann-hàm tử bện A → A cảm sinh cặp (p, q) HomBrAnn (p,q) [A, A ], dễ thấy d(F ◦ F ) = dF ◦ dF , d(idA ) = iddA Bởi d hàm tử (i) Do Mệnh đề 4.2.3 (ii) Nếu (R, M, [h, β]) vật H3BrAnn S = (R, M, h, β) Annphạm trù bện kiểu (R, M ) hiển nhiên dS = (R, M, [h, β]) (iii) Giả sử (p, q) mũi tên HomH3BrAnn (dA, dA ) Khi tồn hàm g = (µ, ν), µ, ν : (π0 (A))2 → π1 (A ) cho q∗ (h, β)A = p∗ (h, β)A + ∂g Thế K = (p, q, g) : (π0 (A), π1 (A), (h, β)A ) → (π0 (A ), π1 (A ), (h, β)A ) Ann-hàm tử bện Khi đó, theo Mệnh đề 4.2.3, Ann-hàm tử bện hợp thành F = H ◦ K ◦ G : A → A cảm sinh Ann-hàm tử bện SF Dễ thấy dF = (p, q) Điều chứng tỏ hàm tử d đầy đủ 99 100 A → A cho tam giác sau giao hoán Để chứng minh song ánh (4.12), chứng minh tương ứng S BrAnn HomBrAnn (p,q) [A, A ] → Hom(p,q) [SA, SA ] (4.13) [F ] → [SF ] F0 π0 (A) ✲ ❅ ■ ❅ p ❅ F1 π1 (A) π0 (A ) ✲ ❅ ■ ❅ q   ✒   p   q ❅ R song ánh Rõ ràng F, F : A → A đồng luân Ann-hàm tử bện cảm sinh SF, SF đồng luân Ngược lại, SF, SF đồng luân hợp thành E = H (SF )G E = H (SF )G đồng luân Các Ann-hàm tử bện E, E đồng luân với F, F Bởi vậy, F F đồng luân Điều chứng tỏ d đơn ánh Bây giờ, K = (p, q, g) : SA → SA Ann-hàm tử bện hợp thành F =H ◦K ◦G:A→A Ann-hàm tử bện có SF = K , nghĩa d toàn ánh Bây giờ, song ánh (4.12) hợp thành (4.13) (4.11) Các định lý phân lớp kiểu với Định lý 4.3.1 xuất cho lớp nhóm phạm trù phân bậc (Định lý 3.1 [8]), phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12 [10]) Do Mệnh đề 4.2.3, ta đơn giản toán phân lớp tương đương Ann–phạm trù bện việc phân lớp Ann–phạm trù bện có chung (theo nghĩa sai khác đẳng cấu) hai bất biến Cho R vành giao hoán có đơn vị, M R-module (và xem vành với phép nhân không) Ta nói Ann–phạm trù bện A có tiền đính kiểu (R, M ) tồn cặp đẳng cấu vành = (p, q), p : R → π0 (A), F0 , F1 hai đồng cấu cảm sinh từ (F, F˘ , F ) Rõ ràng, từ định nghĩa ta suy F0 , F1 đẳng cấu F tương đương Ký hiệu BrAnn[R, M ] tập lớp tương đương Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (R, M ) Định lý nói bất biến thứ ba Ann-phạm trù bện Định lý 4.3.2 ([46, Định lý 6.2]) Tồn song ánh Γ : BrAnn[R, M ] → Hab (R, M ), [A] → q∗−1 p∗ [(h, β)A ] Chứng minh Theo Mệnh đề 4.1.8, Ann-phạm trù bện A xác định (π (A), π (A)), xác định phần tử phần tử [(h, β)A ] ∈ Hab [(h, β)A ] = q∗−1 p∗ [(h, β)A ] ∈ Hab (R, M ) Bây giờ, F : A → A mũi tên hai Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (p, q) Ann-hàm tử bện cảm sinh SF = (p, q, gF ), thỏa mãn đẳng thức (4.9), p∗ [(h, β)A ] = q∗ [(h, β)A ] Khi dễ dàng suy [(h, β)A ] = [(h, β)A ] Điều chứng tỏ Γ ánh xạ Hơn nữa, đơn ánh Thật vậy, có Γ(A) = Γ(A ) (h, β)A − (h, β)A = ∂g q(su) = p(s)q(u) với s ∈ R, u ∈ M Cặp (p, q) gọi tiền đính kiểu (R, M ) Ann-phạm trù bện A Một mũi tên hai Ann-phạm trù bện A, A có tiền đính kiểu (R, M ) (với tiền đính = (p, q), = (p , q ) tương ứng) Ann-hàm tử bện (F, F˘ , F ) :   M q : M → π1 (A) tương thích với tác động module π1 (A ) ✒     Do tồn Ann-hàm tử bện J kiểu (id, id) từ I = (R, M, (h, β)A ) đến I = (R, M, (h, β)A ) Cái hợp thành G −1 J H A −→ SA −→ I −→ I −→ SA −→ A , chứng tỏ [A] = [A ], Γ đơn ánh Hiển nhiên Γ toàn ánh 101 102 Các định lý phân lớp cho phạm trù có chung hai bất biến Định lý 4.3.2 H X Sính đưa để phân lớp Gr-phạm trù [55], N T Quang đưa để phân lớp Ann-phạm trù [2, 38], A M Cegarra E Khmaladze đưa để phân lớp phạm trù Picard phân bậc nhóm phạm trù bện phân bậc [9, 10], KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu lớp phạm trù với cấu trúc vành phạm trù với cấu trúc vành giao hoán, Ann-phạm trù vành phạm trù; Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù đối xứng Trong luận án thu số kết sau đây: Kết luận chương Trong chương này, nhận số kết sau đây: Giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử nhờ nhóm đối đồng điều Mac Lane Hochschild • Chứng minh Ann-phạm trù bện tương đẳng với Ann-phạm trù bện thu gọn • Giải toán tồn tiến hành phân lớp Ann-hàm tử bện Ann-phạm trù bện • Chứng minh Định lý phân lớp cho Ann-phạm trù bện Thiết lập mối liên hệ khái niệm Ann-phạm trù vành phạm trù Đưa khái niệm Ann-phạm trù bện giải vấn đề sở khái niệm mới: xây dựng ví dụ, phụ thuộc số tiên đề, thiết lập mối liên hệ với lớp phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành Nêu phép dựng Ann-phạm trù đối ngẫu Ann-hàm tử Trong trường hợp đặc biệt, ta thu tâm Ann-phạm trù, Annphạm trù bện Phát biểu chứng minh Định lý phân lớp cho Ann-phạm trù bện 103 104 CÁC CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N T Quang, D D Hanh (2005), "Ann-functors and Hochschild cohomology", Journal of Science, Ha Noi National University of Education, Vol 4, pp 3–8 N T Quang, D D Hanh, N T Thuy (2008), "On the axiomatics of Anncategories", JP Journal of Algebra, Number Theory and applications, Vol 11 (1), pp 59–72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt N T Quang, D D Hanh (2009), "Homological classification of Ann-functors", East-West J of Mathematics, Vol 11 (2), pp 195–210 [1] T P Dung (1992), Ann-phạm trù quy ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Hà Nội N T Quang, D D Hanh (2010), "On the braiding of an Ann-category", Asian-European Journal of Mathematics, Vol (4), pp 647–666 [2] N T Quang (1988), Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ, Hà Nội N T Quang, D D Hanh (2011), "Duals of Ann-categories", Commun Korean Math Soc (to appear) N T Quang, D D Hanh (2010), "Cohomological classification of braided Ann-categories", arXiv: 1012.1415v1[math.CT] Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: • Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Vinh (2007) • Hội nghị Toán học toàn quốc, Quy Nhơn (2008) • Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Huế (2009) • Xeminar Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Hội nghị Cán Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [3] N T Quang (1992), "Ann-phạm trù chặt chẽ", J Math Hanoi, 20(1), pp 41–47 Tiếng Anh [4] Baez J., Lauda A D (2004), "Higher dimensional algebra V: 2-groups", Theor and Appl Cat 12, pp 423–491 [5] Bullejos M., Carrasco P., Cegarra A M (1993), "Cohomology with coefficients in symmetric cat-groups An extension of Eilenberg- MacLane’s classification theory", Math Proc Camb Phil Soc 114, pp 163–189 [6] Carrasco P., Garzón A.R (2004), "Obstruction Theory for Extensions of Categorical Groups", Applied Categorical Structures, 12, pp 35–61 [7] Carrasco P., Garzón A.R., Miranda M G (2000), "Schreier theory for singular extensions of categorical groups and homotopy classification", Communications in Algebra, 28, pp 2585–2613 [8] Cegarra A M., García-Calcines J M., Ortega J A (2002), "On Graded Categorical Groups and Equivariant Group Extensions", Canad J Math 54, No 5, pp 970–997 [9] Cegarra A M., Khmaladze E (2007), "Homotopy classification of braided graded categorical groups", Journal of Pure and Applied Algebra 209, pp 411–437 105 106 [10] Cegarra A M., Khmaladze E (2007), "Homotopy classification of graded Picard categories", Advances in mathematics 213, No 2, pp 644–686 [24] Kasangian S., Rossi F (1981), "Some remarks on symmetry for a monoidal category", Bull Austral Math Soc 23, pp 209–214 [11] Davydov A (2010), "Centre of an algebra", Advances in mathematics, 225 No 1, pp 319–348 [25] Kapranov M M., Voevodsky V A (1994), "2-categories and Zamolodchikov Tetrahedra Equations", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 56, Part 2, Amer Math Soc., Providence RI 1994, pp 177–259 [12] Dupont M (2008), "Abelian categories in dimension 2", PhD thesis, Université catholique de Louvain, in Louvain-la-Neave [arXiv: 0809.1760v1 [math.CT] 10 Sep 2008] [26] Kelly G M (1964), "On Mac Lane’s conditions for coherence of natural associatives, commutativities, etc", Journal of Algebra 1, pp 397–402 [13] Eilenberg S., Mac Lane S (1953), "On the Groups H(Π, n), I ", Annals of Mathematics, 2nd Ser, 58, No 1, pp 55–106 [27] Laplaza M L (1972), "Coherence for distributivity", Lecture Notes Math 281, pp 29–65 [14] Eilenberg S., Mac Lane S (1954), "On the groups H(Π, n), II : Methods of Computation", Annals of Mathematics, Second Series, 60, No 1, pp 49– 139 [28] Laplaza M L (1983), "Coherence for Categories with Group Structure: An Alterlative Approach", Journal of Algebra 84, pp 305–323 [15] Epstein D B A (1966), "Functors between Tensored Categories", Invent math 1, pp 221–228 [29] Mac Lane S (1963), "Natural associativity and commutativity", Rice Univ Studies 49, No 4, pp 28–46 [30] Mac Lane S (1998), Homology, Springer - Verlag, Berlin and New York [16] Fr¨ohlich A., Wall C T C (1974), "Graded monoidal categories", Compositio Mathematica, 28, No 3, pp 229–285 [17] Garzón A R., Del Río A (2005), "Equivariant Extensions of Categorical Groups", Applied Categorical Structure 13, pp 131–140 [18] Hochschild G (1946), "On the Cohomology Theory for Associative Algebras", The Annals of Mathematics, 2nd Ser., 47, No.3, pp 568–579 [19] Huang F., Chen S H., Chen W., Zheng Z J (2010), "2-Modules and the Representation of 2-Rings", arXiv: 1005.2831v1 [math.CT] [20] Joyal A., Street R (1993), "Braided Tensor categories", Advances in Mathematics, 102, pp 20–78 [21] Joyal A., Street R (1991), "Tortile Yang - Baxter operators in tensor categories", Journal of Pure and Applied Algebra, 71, pp 43–51 [22] Jibladze M., Pirashvili T., (2007), "Third Mac Lane cohomology via categorical rings", Journal of Homotopy and Related Structure, 2, No 2, pp 187–216 [23] Kassel C (1995), Quantum Groups, Graduate texts in mathematics, 155, Springer-Verlag, Berlin/ New York [31] Mac Lane S (1958), "Extensions and obstructions for rings", Illions Journal of Mathematics 2, pp 316–345 [32] Majid S (1991), "Representations, duals and quantum doubles of monoidal categories", Suppl Rend Circ Mat Palermo, Series II, 26, pp 197–206 [33] Majid S (1992), "Braided groups and duals of monoidal categories", Canad Math Soc Conf Proc 13, pp 329–343 [34] Mitchell B (1983), "Low dimensional group cohomology as monoidal structures", Am J Math 105, pp 1049–1066 [35] C T K Phung, N T Quang, N T Thuy (2010), "Relation between Anncategories and ring categories", Comm Korean Math Soc 25, No 4, pp 523–535 [36] N T Quang (1987), "Introduction to Ann-categories", J Math Hanoi, 15(4), pp 14–24 [37] N T Quang (1988), "Coherence for Ann-categories" J Math Hanoi 16, pp 17–26 107 108 [38] N T Quang (2009), "Structure of Ann-categories", arXiv 0804 1820 v4 [math CT] [52] Grothendieck A (1971), Catégories fibrées et déscente, (SGA1) Exposé VI, Lecture Notes in Mathematics 224, 145–194, Springer-Verlag, Berlin [39] N T Quang (2004), "Structure of Ann-categories of Type (R, N ) ", Vietnam Journal of Mathematics 32: 4, 379–388 [53] Mac Lane S (1956), "Homologie des anneaux et des modules", Collque de Topologie algebrique Louvain, 55–80 [40] N T Quang (2007), "On Gr-functors between Gr-categories", arXiv: 0708 1348v1 [math CT] [54] Saavedra Rivano N (1972), Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265, Springer- Verlag, Berlin and New York [41] N T Quang, D D Hanh (2005), "Ann-functors and Hochschild cohomology", Journal of Science, HNUE 4, pp 3–8 [55] H X Sinh (1975), Gr-catégories, Thèse de Doctorat, Université Paris VII [42] N T Quang, D D Hanh, N T Thuy (2008), "On the axiomatics of Anncategories", JP Journal of Algebra, Number Theory and applications, 11, N o 1, pp 59–72 [43] N T Quang, D D Hanh (2009), "Homological classification of Annfunctors", East-West J of Math, 11, No 2, pp 195–210 [44] N T Quang, D D Hanh (2010), "On the braiding of an Ann-category", Asian-European Journal of Mathematics, 3, No 4, pp 647–666 [45] N T Quang, D D Hanh (2011), "Duals of Ann-categories", Commun Korean Math Soc (to appear) [46] N T Quang, D D Hanh (2010), "Cohomological classification of braided Ann-categories", arXiv: 1012.1415v1[math.CT] [47] N T Quang (2003), "Structure of Ann-categories and Mac Lane-Shukla cohomology", East-West J of Math 5, pp 51–66 [48] Schauenburg P (2001), "Turning Monoidal Categories into Strict Ones", New York Journal Mathematics 7, pp 257–265 [49] Schmitt V (2009), "Enrichments over symmetric Picard categories", arXiv: 0812.0150v2 [math.CT] [50] N D Thuan (1980), "⊗- strict AU-categories", Acta Mathematica Vietnamica, Tom 5, pp 182–194 Tiếng Pháp [51] Bénabou J (1963), "Catégories avec multiplication", C R Acad Sci, Paris, 253, 1887–1890 [56] Shukla U (1961),"Cohomologic des algébres associativé", Ann Sci École Norm Sup (3) 78, pp 163–209 109 110 θ, 25 g = (µ, ν), 33 gF , 42 Chỉ mục gF = (µ, ν), 95 h = (σ, α, λ, ρ), 32 h = (ξ, η, α, λ, ρ), 34 ˘ H), (G, G, ˘ G), 32 (H, H, Gr-phạm trù, 20 h∗ , 42 (B, F )-môđun phải, 51 BrAnn[R, M ], 100 (h, β), 91 HM acL (R, M ), 32 n HHochs (Λ, A), 35 n (R, M ), 91 Hab (p, q, gF ), 95 MA , 25 (p, q, gF ), 42 PA , 25 Ann-bện tương đẳng, 87 P ic-hàm tử, 21 Ann-hàm tử, 28 P ic-phạm trù, 21 bện, 86 mạnh, 46 Ann-mũi tên, 29 bện, 86 Ann-phạm trù, 21 đối xứng, 72 bện, 72 kiểu (R, M ), 73, 91 thu gọn, 89 quy, 22 kiểu (R, M ), 23 thu gọn, 30 Ann-tương đương, 29 bện tắc, 90 tắc, 32 BM acL (R, M ), 35 BM acL (R, M ), 35 BM acL (R, M ), 33 CA , 26 CA , 74 Gr-hàm tử, 21 ZHochs (Λ, A), 35 đồng cấu quy, 25 đồng luân, 29, 86 định lý khớp, 17 2-nhóm, 21 đối xứng, 21 (C, F )-môđun phải, 50 ZM acL (R, M ), 35 ZM acL (R, M ), 35 ZM acL (R, M ), 32 HomBrAnn (p,q) [S, S ], 96 HomBrAnn (p,q) [A, A ], 98 H3BrAnn , 97 G, 20 BrAnn, 97 A, 21, 72 P , 21 R, 66 B , 51 B ∗ , 51 S , S , 94 ZV , 73 ∂g , 92 ∂M acL g , 33 ∂M acL t, 35 π0 (A), 30, 89 π1 (A), 30, 89 SA, 90 ∗ h , 42 A-hàm tử, 17 AC-hàm tử, 20 ACU-hàm tử, 20 AU-hàm tử, 17 groupoid, 20 hàm tử kiểu (p, q), 94 kiểu (p, q), 40 monoidal, 17 đối xứng, 20 bện, 20 nhóm phạm trù, 21 đối xứng, 21 phạm trù có tính phân phối, 79 monoidal, 16 đối xứng, 19 bện, 19 chặt chẽ, 16 Picard, 21 tựa vành, 82 ràng buộc đối xứng, 19 đơn vị, 16 giao hoán, 19 kết hợp, 16 chặt chẽ, 16 kết hợp - giao hoán, 20 phân phối bên phải, 22 bên trái, 22 song tích, 24 trong, 25 song tâm, 25 tâm Ann-phạm trù, 74 phạm trù monoidal, 73 tương đương monoidal, 18 tensor phạm trù bện, 19 tiên đề (U), 69 U-hàm tử, 17 vành song tích ngoài, 25 vành phạm trù, 66 vật quy, 15 vật khả đảo, 20 [...]... dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [38] Trong phần 2.1, chúng ta sẽ sử dụng các nhóm đối đồng điều này để tiến hành phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù Giả sử R là một vành và M là một R−song môđun Từ định nghĩa đối đồng điều vành của S Mac Lane [53], chúng ta thu được mô tả về các phần tử của 3 nhóm đối đồng điều HM acL (R, M ) như sau 3 Nhóm ZM (R, M ) các 3 -đối dây chuyền của vành... trù chính quy [2] Tiếp theo, năm 1992, Trần Phương Dung đã phân lớp đối đồng điều cho các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy [1] nhờ các nhóm đối đồng điều của Shukla Vào năm 2008, Nguyễn Tiến Quang đã hoàn thành bài toán phân lớp các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát [38] Chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù Mục 2.1 trình bày về các kết quả phân. .. Mục 2.1 trình bày về các kết quả phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù tổng quát bởi nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane Mục 2.2 xây dựng một Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù Các kết quả của chương này được viết dựa theo [42, 43, 45] 2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử ❄ ˘ F F ((X ⊕ Z) ⊕ (Y ⊕ T )) ✲ F (X... ), G∗ = id1 Trong trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (có ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) thì phần tử [h] được nói đến ở 3 (π (A), π (A)) của các Z-đại số theo nghĩa Shukla (xem trên thuộc vào nhóm HSh 0 1 Định lý 3.1, chương IV [2]) 1.4 1.4.1 Đối đồng điều Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã... Ann-phạm trù S và S nên ta có: Thay y = 1 vào (2.6) ta được: q(xb) = F (x)q(b) = p(x)q(b) Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [1]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [2] Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng các. .. mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) = t(1) = 0 1 Nhóm ZM acL (R, M ) bao gồm các 1 -đối dây chuyền t của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M thoả mãn ∂M acL t = 0 1 1 Nhóm con BM acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 1 -đối bờ là những hàm t sao cho tồn tại a ∈ R thoả mãn t(x) = ax − xa Các nhóm thương được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứ i của vành R với hệ tử trong R-song môđun M Nhóm đối đồng điều. .. là một Ann-phạm trù chính quy 23 24 Lớp các Ann-phạm trù chính quy có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết đối đồng điều đại số của U Shukla [56], thể hiện qua định lý phân lớp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý 3.1, chương V [2]), và với bài toán mở rộng vành của một đồng cấu chính quy (ví dụ 2.4, chương II [2]) Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ thường gặp về Ann-phạm trù Các ví dụ này sẽ... (p, 0) thì: (ii) k ∗ = θ∗ (k) thuộc cùng lớp đối đồng điều với cản trở h của đồng cấu θ đã được trình bày trong Ví dụ 1.3.5 (i) Tồn tại một song ánh từ tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử 2 (R, M ) của vành R lấy hệ mạnh kiểu (p, 0) đến nhóm đối đồng điều HHochs tử trong R−song môđun M Chứng minh Từ định nghĩa của Ann-phạm trù M A và Ann-phạm trù thu gọn, chúng ta có (ii) Tồn tại một song... nhóm đối đồng điều thứ n của K -đại số Λ lấy hệ tử trong Λ-song môđun A 37 38 - giao hoán" v, v nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A) ˘ F F ((X ⊕ Y ) ⊕ (Z ⊕ T )) ✲ F (X ⊕ Y ) ⊕ F (Z ⊕ T ) ˘ +F ˘ F (F X ⊕ F Y ) ⊕ (F Z ⊕ F T ) ✲ F (v) Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-HÀM TỬ Năm 1988, Nguyễn Tiến Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù và phân lớp đối đồng điều cho các Ann-phạm... cho σ(x) ∈ θx với x ∈ R và σ thỏa mãn các điều kiện σ(0) = 0, σ(1) = 1 Khi đó ta xác định được hai ánh xạ và được gọi là một song tích trong của A Ánh xạ µ : A → MA là một đồng cấu vành và nếu A có đơn vị 1 thì µ(1) = 1 Bởi vì σµc = µσc ; µc σ = µcσ nên ảnh µA của đồng cấu µ là một iđêan hai phía của vành MA Bây giờ ta xét phạm trù M A mà các vật là các phần tử của vành MA , và nếu ϕ, λ là hai song