Phân lớp đối đồng đều các Ann-Hàm tử và các Ann-Phạm trù bện

Phân lớp đối đồng đều các Ann-Hàm tử và các Ann-Phạm trù bện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI− − − − − − − − −

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI− − − − − − − − −

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG

Hà Nội - 2011

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung vớicác đồng tác giả Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trícủa các đồng tác giả khi đưa vào luận án Các số liệu, các kết quả được trìnhbày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bấtkỳ công trình nào khác.

Tác giả

Đặng Đình Hanh

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn TiếnQuang Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tácgiả đang là sinh viên Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên vàlòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tựtin và say mê trong nghiên cứu Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắcvà lòng quý mến đối với Thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộmôn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoaToán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giảhoàn thành luận án này.

Tác giả xin cảm ơn Ths Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành.Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm HàNội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuậnlợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS TS Nguyễn Quốc Thắng, GS TS LêVăn Thuyết, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lậpvề những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chịem hai bên nội ngoại, cùng vợ Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớnđối với tác giả.

Tác giả

1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành 32

1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số 35

2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ372.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử 37

ANN-2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử 37

2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) 40

2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp củavành theo nghĩa Mac Lane 42

2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild 45

2.1.5 Ứng dụng 47

2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù 50

2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù 66

3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN723.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện 72

3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện 76

3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M L Laplaza 79

3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành 82

4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙBỆN864.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc Ann-phạm trù bện thugọn 86

4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) 93

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S MacLane [29], J Bénabou [51] vào năm 1963 Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vịnhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhânm : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử Trong [29], S Mac Lane đã đưara điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trùmonoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng,tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán Bài toán khớp cholớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạmtrù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là mộtphạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất Kết quả nàyđã được chứng minh bởi một vài tác giả như N D Thuận [50], C Kassel [23],P Schauenburg [48].

Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đềcủa một phạm trù monoidal đối xứng đã được G M Kelly trình bày trong [26].Sau này, S Kasangian và F Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tínhđối xứng trong một phạm trù monoidal [24].

Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúcnhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M L Laplaza [28], N.Saavedra Rivano [54]) Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọimũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xemA Fr¨ohlich và C T C Wall [16]), hay Gr-category (xem H X Sính [55]), haynhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây CácGr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H3(G, A) (xem[55]) Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng tathu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trùđối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19].

Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A Joyal và R Street, như làsự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm Tâm của một phạm trùmonoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensorphạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng Sauđó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm

trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17] Trong [11], A Davydov đã nghiên cứuvề tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal vàđã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến cácphạm trù môđun Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toánđối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S Majid [32, 33].

Trong [20], A Joyal và R Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởiphạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S Eilenberg và S MacLane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben Hab3(G, A)[13, 14]) Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)đã được phân lớp bởi H X Sính [55].

Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa rabởi A Fr¨ohlich và C T C Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (saunày, A Cegarra và E Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]) Cácđịnh lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạmtrù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đãđược trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10] Từ mỗi phạm trù như vậy xuấthiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của cácphạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.

Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâmcủa nhiều tác giả Năm 1972, M L Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trùcó tính phân phối Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớpphạm trù này Sau đó, trong [16], A Fr¨ohlich và C T C Wall đã đưa ra kháiniệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M.L Laplaza [27] Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù cácmôđun trên một vành giao hoán.

Năm 1994, M Kapranov và V Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệtiên đề của M L Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhânvà đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này Họ đã sử dụng phạm trùcủa các không gian vectơ trên một trường K, cùng với tích tenxơ và tổng trựctiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K Các phạm trù vành đã đượcsử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25].

Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồngđiều, N T Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trùhóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của cácmũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem

[6, 54, 55]) Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếuP là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là mộtAnn-phạm trù (xem N T Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19].Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35] Năm 2008, N.T Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng cácAnn-phạm trù hoàntoàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđunM và một phần tửthuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM aL3 (R, M )(xem [38]) Trường hợp chínhquy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X) đãđược phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla HSh3 (R, M ) (xem [2]) Từ các kếtquả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bàitoán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chínhquy [1] Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categoriestrong luận án của M Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPCcủa V Schmitt [49].

Năm 2006, M Jibladze và T Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạmtrù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù Tuy nhiên, mốiliên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhaumột phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong[12, 19] Năm 2010, các tác giả F Huang, S H Chen, W Chen và Z J Zheng đãđịnh nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành[19].

Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còncó những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toántồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợptổng quát, mối liên hệ giữaAnn-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớpAnn-phạm trù, Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồngđiều cácAnn-hàm tử và cácAnn-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêutrên.

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành củaMac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinhbởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạmtrù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp

riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệgiữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trùtựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hànhphân lớp các Ann-phạm trù bện.

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử vàtính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớpAnn-phạmtrù.

Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyếtphạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể,nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liênhệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau.

IV Phương pháp nghiên cứu

Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận ánnày chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trùđể chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.

V Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù Kết quả chínhđầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hànhgiải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9).Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu củamột Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10) Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựngAnn-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành Kếtquả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3 Định lý đã chỉ ra rằng cácAnn-phạmtrù là chứa trong các vành phạm trù Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sungthêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành mộtAnn-phạm trù (Định lý 2.3.4).

Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớpAnn-phạm trù Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kếtquả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21] Trên cơ sởxem xét mối liên hệ giữaAnn-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân

phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳngđịnh được A Fr¨ohlich và C T C Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16].Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳngcủa mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) (Mệnh đề4.1.6, Mệnh đề 4.1.7) Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớpcác Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các địnhlý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2) Nhữngkết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trùbện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đãđược A Cegarra và E Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]).

VI Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúcmonoidal đã được đưa ra bởi M L Laplaza, A Fr¨ohlich và C T C Wall, N.T Quang, M M Kapranov và V A Voevodsky, M Jibladze và T Pirashvili,V Schmitt, M Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cholớp phạm trù này Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớpAnn-phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúcmonoidal Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có vềviệc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù,góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chungcủa Toán học hiện đại.

VII Bố cục của luận án

Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luậnán, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệutham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau.

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày về một số kiến thức vàmột số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện,phạm trù monoidal đối xứng,Gr-phạm trù,P ic-phạm trù,Ann-phạm trù Phầncuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành củaMac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kếtquả phân lớp ở chương 2 và chương 4.

Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử Chươngnày được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục Toàn bộchương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạmtrù [2] và vành phạm trù [22] Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đươngcủa Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đãđược giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong mộttrường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớpcác Ann-hàm tử mạnh Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B∗ củamột cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử Trong trườnghợp F = idA, thì đối ngẫu A∗ chính là tâm của một Ann-phạm trù được trìnhbày trong [44] Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạmtrù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là mộtvành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thìsẽ trở thành một Ann-phạm trù.

Chương 3: Ann-phạm trù bện Chương này được viết dựa theo [44], bao gồmbốn mục Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện,Ann-phạm trù đốixứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này Trong những ví dụ đó, đáng lưuý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xâydựng đối ngẫu của cặp (A, idA) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạtđược là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chungkhông đối xứng Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quanđến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng vớicác lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trùcó tính phân phối của M L Laplaza và phạm trù tựa vành của A Fr¨ohlich vàC T C Wall Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc củabốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suyra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng Mục 3.4 chứng tỏ rằnghai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương.

Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện Chươngnày được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục Trong mục đầu tiênchúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh

định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hànhxây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ Trongmục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện.Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3 Dựa trên các kết quả vềAnn-phạm trù thu gọn và sự phân lớp các Ann-hàm tử bện, mục này trình bàycác định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2).

c+ ràng buộc giao hoán của phép cộng

c ràng buộc giao hoán (bện) của phép nhân(0, g, d) ràng buộc đơn vị của phép cộng

(1, l, r) ràng buộc đơn vị của phép nhân

L(R) ràng buộc phân phối bên trái (phải)(F, eF , ˆF ) hàm tử monoidal

idC hàm tử đồng nhất của phạm trù C(F, ˘F , eF , F∗) Ann-hàm tử

(H, ˘H, eH), (G, ˘G, eG) các Ann-hàm tử (bện) chính tắcu : F → F0 mũi tên hàm tử

Aut(F ) tập các tự mũi tên của F

π0(A) tập các lớp vật của phạm trù Aπ1(A) = Aut(0) tập các tự mũi tên của vật 0

MA(PA) vành các song tích (ngoài) của vành A

ZM acLn nhóm các n-đối chu trình

của vành theo nghĩa Mac LaneBM acLn nhóm các n-đối bờ của vành

theo nghĩa Mac LaneHM acLn nhóm đối đồng điều thứ n

của vành theo nghĩa Mac Lane

ZHochn nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại sốtheo nghĩa Hochschild

BHochn nhóm các n-đối bờ của các Z-đại sốtheo nghĩa Hochschild

HHochn nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại sốtheo nghĩa Hochschild

BẢNG THUẬT NGỮ

phạm trù monoidal monoidal category

phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal categorytenxơ phạm trù bện braided tensor category

nhóm phạm trù đối xứng symmetric cat-groupnhóm phạm trù phân bậc graded categorical groupphạm trù Picard phân bậc graded Picard category

hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functorhàm tử monoidal bện braided monoidal functortương đương monoidal monoidal equivalence

phép biến đổi tự nhiên natural transformation

phép biến đổi monoidal tự nhiên monoidal natural transformation

ràng buộc kết hợp associativity constraintràng buộc giao hoán commutativity constraintràng buộc đơn vị unit constraint

ràng buộc phân phối distributivity constraintcấu trúc monoidal monoidal structuređịnh lý phân lớp classification theorem

định lý khớp coherence-theoremlý thuyết cản trở obstruction theory

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC



Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả S MacLane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đãđưa ra khái niệmGr-phạm trù ([55], 1975), A Joyal và R Street đã đưa ra kháiniệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991) Những kết quả cơ bản về Ann-phạmtrù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988).Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùnglàm cơ sở cho các chương sau Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đốiđồng điều vành của S Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild Cácnhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàmtử Trong toàn bộ luận án này, đôi khi chúng ta viết XY thay cho tích tenxơX ⊗ Y của hai vật Các biểu đồ được sử dụng thường xuyên để việc theo dõi cáccác chứng minh được thuận lợi.

1.1.1⊗-phạm trù

Định nghĩa 1.1.1 Cho một phạm trù C Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C đượcgọi là một phép toán- hay một luật trên C Khi đó phạm trù C với phép toán ⊗được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C, ⊗).

Định nghĩa 1.1.2 Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C Ta gọi Alà vật chính quy nếu các hàm tử F = − ⊗ A và G = A ⊗ − từ C vào C là nhữngtương đương phạm trù.

Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù) Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù Ccùng với một đẳng cấu tự nhiên

aX,Y,Z : A ⊗ (B ⊗ C)−→ (A ⊗ B) ⊗ C,∼ A, B, C ∈ Ob(C),

thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau

với mọi vật A, B, C, D của C.

Đẳng cấu tự nhiên a còn được gọi là một ràng buộc kết hợp.

Trong trường hợp A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C và aA,B,C = id thì a = id gọi làràng buộc kết hợp chặt chẽ và C được gọi là A-phạm trù chặt chẽ.

1.1.2Phạm trù monoidal

Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal) Một phạm trù monoidal (hay mộtAU-phạm trù ) C là một A-phạm trù C cùng với một vật 1 ∈ Ob(C) và hai đẳngcấu tự nhiên

id ⊗lB

Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị.

Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C, ⊗, a, (1, l, r)) Để đơn giản ta có thểký hiệu phạm trù monoidal C là (C, ⊗).

Mệnh đề 1.1.6 ([26, G M Kelly]) Trong phạm trù monoidal, tính giao hoáncủa biểu đồ (1.2) tương đương với tính giao hoán của hai biểu đồ sau

idA ⊗rB

Định lý 1.1.7 ([29, S Mac Lane]) Giữa hai vật bất kỳ của một phạm trùmonoidal C, tồn tại không quá một mũi tên được xây dựng từ a, l, r, phép đồngnhất và luật ⊗.

Định lý này thường được gọi là định lý khớp.1.1.3Hàm tử monoidal

Định nghĩa 1.1.8 Cho hai phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) và(C0, ⊗0, a0, (10, l0, r0)) Một hàm tử monoidal hay một AU-hàm tử từ C đến C0 baogồm:

-eF ⊗id

Mệnh đề 1.1.10 Cho hai hàm tử monoidal

(F, eF , ˆF ) : C → C0,(F0, eF0, ˆF0) : C0 → C00.

Hợp thành của hai hàm tử trên là một hàm tử monoidal(F0F, gF0F , dF0F )từC đếnC00, trong đó F0F là hợp thành của hai hàm tử theo nghĩa thông thường, và cácđẳng cấu Fg0FA,B : F0F (A ⊗ B) → F0F A ⊗ F0F B, Fd0F : F0F 1 → 100 được xác địnhbởi các biểu đồ sau

F0F (A ⊗ B)(F0F )A ⊗ (F0F )BF0(F A ⊗ F B)

-gF 0 F A,B

-dF 0 F

F 0 ( ˆF )

ˆF 0

1.1.4Mũi tên hàm tử monoidal

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử(F, eF , ˆF ),(K, eK, ˆK) : C → Dlà hai hàm tử monoidalgiữa hai phạm trù monoidal Một phép biến đổi monoidal tự nhiên hay một mũitên hàm tử u : F −→ K là một phép biến đổi tự nhiên sao cho các biểu đồ saugiao hoán.

F (A ⊗ B)F A ⊗ F B

K(A ⊗ B)KA ⊗ KB

Định nghĩa 1.1.12 Cho (F, eF , ˆF ) : C → D là một hàm tử monoidal Trongtrường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K, eK, ˆK) : D → C và các phép biếnđổi monoidal tự nhiên KF→ id∼ C, F K→ id∼ D, chúng ta nói rằng (F, eF , ˆF ) là mộttương đương monoidal và C, D là hai phạm trù monoidal tương đương.

Bổ đề 1.1.13 ([55, H.X.Sinh]) Cho (F, ˘F ), (K, ˘K) : C → C0 là những ⊗-hàm tửtương thích với các ràng buộc đơn vị và F : F 1 → 1ˆ 0, ˆK : K1 → 10 là những đẳngcấu tương ứng Khi đó nếu u : F → K là một ⊗-mũi tên sao cho u1 là một đẳngcấu thì biểu đồ sau giao hoán

Kˆ

nghĩa là

K ◦ u1 = ˆF 1.1.5Phạm trù monoidal bện

Chúng ta nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal bện theo [21].

Định nghĩa 1.1.14 Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳngcấu tự nhiên

Hơn nữa, nếu

cB,A◦ cA,B = idA⊗B, (1.10)thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù.Chú ý 1.1.15 Đẳng cấu tự nhiên

(B ⊗ D) được xác định như sau:

F (A ⊗ B)F A ⊗ F B

F (B ⊗ A)F B ⊗ F A

giao hoán.

Một hàm tử monoidal đối xứng còn được gọi là một ACU-hàm tử.

Giả sửCvàDlà hai phạm trù monoidal đối xứng Nếu⊗-hàm tử(F, eF ) : C → Dlà một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là mộtAC-hàm tử.

Từ định nghĩa ta suy ra mọi vật của một Gr-phạm trù đều là chính quy.Một Gr-phạm trù còn được gọi là nhóm phạm trù theo cách gọi gần đây [6, 7],hay một 2-nhóm trong [12].

Mệnh đề 1.2.6 Giả sử G, G0 là những Gr-phạm trù và (F, eF ) : G → G0 là một⊗-hàm tử tương thích với các ràng buộc kết hợp Khi đó (F, eF ) tương thích vớicác ràng buộc đơn vị.

Ta gọi một ⊗-hàm tử kết hợp giữa hai Gr-phạm trù là một Gr-hàm tử Nhưvậy, một Gr-hàm tử bao giờ cũng là một hàm tử monoidal.

Định nghĩa 1.2.7 Một phạm trù Picard hay một P ic-phạm trù P là mộtGr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kếthợp.

Một phạm trù Picard còn được gọi là một nhóm phạm trù đối xứng [5] haymột 2-nhóm đối xứng [12, 19].

Chú ý rằng trong một P ic-phạm trù, ràng buộc giao hoán bao giờ cũng tươngthích với ràng buộc đơn vị.

Định nghĩa 1.2.8 Một AC-hàm tử giữa hai P ic-phạm trù được gọi là mộtP ic-hàm tử.

Các khái niệm, các kết quả và các ví dụ trong mục này là của Nguyễn TiếnQuang [2, 38].

1.3.1Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trùĐịnh nghĩa 1.3.1 Một Ann-phạm trù gồm:

(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;

(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a+, c+, g, d, sao cho(A, ⊕, a+, c+, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng;

(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;

(iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải)LA,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ),

RX,Y,A: (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A),sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (LA, ˘LA), (RA, ˘RA) xác định bởi cáchệ thức sau:

LA = A ⊗ −,˘

LAX,Y = LA,X,Y,

RA = − ⊗ A,˘

RX,YA = RX,Y,A.là những ⊕−hàm tử tương thích với a+, và với c+.

(Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán:

(AB)(X ⊕ Y )A(B(X ⊕ Y ))A(BX ⊕ BY )

aA,B,X ⊕aA,B,Y

(X ⊕ Y )(BA)((X ⊕ Y )B)A(XB ⊕ Y B)A

-˘RB ⊗idA

(A(X ⊕ Y ))BA((X ⊕ Y )B)A(XB ⊕ Y B)

(AX ⊕ AY )B(AX)B ⊕ (AY )BA(XB) ⊕ A(Y B)

˘LA ⊗idB

˘LA ⊕ ˘LB

lX ⊕lY

rX ⊕rY

Định nghĩa 1.3.2 Một Ann-phạm trù A có ràng buộc giao hoán c thỏa mãnđiều kiện cX,X = id với mọi X ∈ A gọi là một Ann-phạm trù chính quy.

Lớp các Ann-phạm trù chính quy có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết đốiđồng điều đại số của U Shukla [56], thể hiện qua định lý phân lớp cácAnn-phạmtrù chính quy (Định lý 3.1, chương V [2]), và với bài toán mở rộng vành củamột đồng cấu chính quy (ví dụ 2.4, chương II [2]).

Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ thường gặp về Ann-phạm trù Cácví dụ này sẽ được sử dụng ở các chương tiếp theo.

Ví dụ 1.3.3 (Ann-phạm trù kiểu (R, M )) Giả sử R là một vành có đơn vị1 6= 0 và M là một R-song môđun Ta xét một phạm trùI có vật là các phần tửcủa vành R, còn các mũi tên đều là những tự đẳng cấu Cụ thể với mỗi x ∈ Rta có:

Aut(x) = {x} × M.

Hợp thành của các mũi tên trong I là phép cộng trong M Hai phép toán ⊕ và⊗ trên I được xác định như sau:

x ⊕ y = x + y, (x, a) ⊕ (y, b) = (x + y, a + b);x ⊗ y = x.y,(x, a) ⊗ (y, b) = (xy, xb + ay).

Các ràng buộc đơn vị của phép cộng và phép nhân đều chặt chẽ theo nghĩag = id, d = id, l = id, r = id Ràng buộc kết hợp a+ : x + y + z → x + y + z là mộthọ các mũi tên (x + y + z, ξ(x, y, z)), với ξ : R3 → M là một hàm thỏa mãn tiênđề ngũ giác, nghĩa là

ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0. (1.19)Tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị dẫn đến

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0. (1.20)Ràng buộc giao hoán c+ : x + y → y + x là họ các mũi tên (x + y, η(x, y)), trongđó η : R2 → M là một hàm thỏa mãn điều kiện

và thỏa mãn tiên đề lục giác về tính tương thích của a+ với c+:

ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0. (1.22)Các ràng buộc kết hợp a của phép nhân và các ràng buộc phân phối L, Rtươngứng là các hàm α, λ, ρ từ R3 đến M thỏa mãn các hệ thức sau:

xα(y, z, t) − α(xy, z, t) + α(x, yz, t) − α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0. (1.23)

α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0. (1.24)xξ(y, z, t) − ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t) − λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t) − λ(x, y, z). (1.25)ξ(x, y, z)t − ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t) − ρ(x + y, z, t) + ρ(x, y + z, t) − ρ(x, y, t). (1.26)xη(y, z) − η(xy, xz) = λ(x, y, z) − λ(x, z, y). (1.27)η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z) − ρ(y, x, z). (1.28)α(x, y, z + t) − α(x, y, z) − α(x, y, t) + xλ(y, z, t) + λ(x, yz, yt) − λ(xy, z, t) = 0. (1.29)α(x, y + z, t) − α(x, y, t) − α(x, z, t) − xρ(y, z, t) + ρ(xy, xz, t) − λ(x, yt, zt) = 0. (1.30)α(x + y, z, t) − α(x, z, t) − α(y, z, t) + ρ(x, y, z)t + ρ(xz, yz, t) − λ(x, y, zt) = 0. (1.31)

ρ(x, y, z + t) − ρ(x, y, z) − ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) =−ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz, yz, xt + yt) − ξ(xz, yz, xt).

(1.32)λ(1, y, z) = ρ(x, y, 1) = 0. (1.33)Ví dụ trên đóng vai trò quan trọng trong việc xét cấu trúc của các Ann-phạmtrù [2], và nó được gọi là Ann-phạm trù kiểu (R, M )

Với mỗi Ann-phạm trù kiểu (R, M ), bộ năm hàmh = (ξ, η, α, λ, ρ)là một 3-đốichu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Mac Lane(xem phần 1.4).

Nếu η có thêm điều kiện chính quy η(x, x) = 0 thì h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một3-đối chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Shukla(xem chương IV [2]).

Ví dụ 1.3.4 (Ann-phạm trù các song tích MA của vành A) ChoA là mộtvành (không nhất thiết có đơn vị) Theo Mac Lane [31], ta gọi một song tíchcủa vành A là một cặp ánh xạ a → σa, a → aσ từ A vào chính nó, thỏa mãn cácđiều kiện sau:

σ(a + b) = σa + σb,σ(ab) = (σa)b,

(a + b)σ = aσ + bσ,(ab)σ = a(bσ),a(σb) = (aσ)b,

với mọi a, b ∈ A Tổng và tích của hai song tích σ và ν được xác định bởi:(σ + ν)a = σa + νa;a(σ + ν) = aσ + aν;

Tập hợp tất cả các song tích của vành A cùng với hai phép toán trên lập thànhmột vành có đơn vị, ký kiệu bởi MA Mỗi phần tử c ∈ Acảm sinh một song tíchµc xác định bởi các hệ thức

µca = ca;aµc= ac,∀a ∈ A,

và được gọi là một song tích trong của A Ánh xạ µ : A → MA là một đồng cấuvành và nếu A có đơn vị 1 thì µ(1) = 1.

Bởi vì

σµc = µσc;µcσ = µcσ

nên ảnh µA của đồng cấu µ là một iđêan hai phía của vành MA.

Bây giờ ta xét phạm trù MA mà các vật là các phần tử của vành MA, và nếuϕ, λ là hai song tích của A thì ta đặt

c ⊗ d = cd + cλ + ϕd,

với λ, ϕ ∈ MA, c : ϕ → ϕ0, d : λ → λ0 Với hai phép toán này, MA trở thành mộtAnn-phạm trù với các ràng buộc được xác định một cách tự nhiên đều là chặtchẽ.

Ví dụ 1.3.5 (Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy) ChoA là mộtvành (không nhất thiết có đơn vị) Ta gọi PA = MA/µA là vành các song tíchngoài của vành A.

Giả sử R là một vành có đơn vị 1 6= 0 Mỗi mở rộng vành của A bởi R cảmsinh một đồng cấu chính quy

θ : R → PA

nghĩa là: θ(1) = 1 và hai phần tử bất kỳ của θR là giao hoán [Hai song tíchϕ, ψ được gọi là giao hoán nếu ϕ(aψ) = (ϕa)ψ và ψ(aϕ) = (ψa)ϕ với mọi a ∈ A].Đảo lại, theo [31], mỗi đồng cấu chính quy θ : R → PA cảm sinh cấu trúc R-songmôđun trên song tâm

CA = {c ∈ A | ca = ac = 0,∀a ∈ A},

µf (x, y) = σ(x) + σ(y) − σ(x + y),

µg(x, y) = σ(x)σ(y) − σ(xy),x, y ∈ R.Từ tính chất kết hợp của phép nhân trong vành MA ta suy ra:

xg(y, z) − g(xy, z) + g(x, yz) − g(x, y)z = α(x, y, z) ∈ CA. (1.34)Tương tự, từ tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng trong vành MA tasuy ra:

f (y, z) − f (x + y, z) + f (x, y + z) − f (x, y) = ξ(x, y, z) ∈ CA. (1.35)f (x, y) − f (y, x) = η(x, y) ∈ CA. (1.36)Cuối cùng từ tính chất phân phối trong vành MA ta suy ra:

xf (y, z) − f (xy, xz) + g(x, y + z) − g(x, y) − g(x, z) = λ(x, y, z) ∈ CA. (1.37)f (x, y)z − f (xz, yz) + g(x + y, z) − g(x, z) − g(y, z) = ρ(x, y, z) ∈ CA. (1.38)Ta gọi họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) ∈ ZM acL3 (R, CA) các ánh xạ được xác định bởi cáchệ thức (1.34)-(1.38) là một cản trở của đồng cấu chính quy (A, R, θ), [h] ∈HM acL3 (R, CA) được gọi là cản trở của đồng cấu θ Khi tất cả các hàm này đềubằng không thì ta có mở rộng vành

0 −→ A −→ S −→ R −→ 0cảm sinh đồng cấu chính quy θ : R → PA Cụ thể,

S = {(a, r), a ∈ A, r ∈ R}là một vành với hai phép toán

(a1, r1) + (a2, r2) = (a1+ a2+ f (r1, r2), r1+ r2),

(a1, r1).(a2, r2) = (a1a2+ r1a2+ a1r2+ g(r1, r2), r1r2).

Trường hợp tổng quát được phát biểu trong kết quả dưới đây.

Mệnh đề 1.3.6 ([2, Mệnh đề 2.5, chương II]) Nếu h = (ξ, η, α, λ, ρ) là mộtcản trở của một đồng cấu chính quy θ : R → PA thì chúng cùng với (0, id, id) và(1, id, id) là một họ ràng buộc của một Ann-phạm trù kiểu (R, CA).

Tiếp theo chúng ta nhắc lại một số tính chất của vật 0 trong một Ann-phạmtrù A.

Mệnh đề 1.3.7 ([3, Mệnh đề 3.1]) Trong Ann-phạm trù A, tồn tại duy nhấtcác đẳng cấu

LA : A ⊗ 0 → A,RˆA : 0 ⊗ A → A,sao cho các biểu đồ sau giao hoán

0 ⊕ AXA0 ⊕ AX

Mệnh đề 1.3.9 ([2, Mệnh đề 3.3]) Đối với các vật X, Y của Ann-phạm trù A,các biểu đồ sau giao hoán

-ˆRX ⊗id

L1 = l0 và Rˆ1= r0. (1.50)1.3.2Định nghĩa Ann-hàm tử

Theo Mệnh đề 1.2.6, nếu (F, ˘F ) : A → A0 là một ⊕-hàm tử tương thích với cácràng buộc kết hợp của của hai nhóm phạm trù thì nó cũng tương thích với cácràng buộc đơn vị, nghĩa là suy ra được đẳng cấuF+: F (0) → 00sao cho(F, ˘F , F+)là một hàm tử monoidal Với những chú ý này chúng ta có định nghĩaAnn-hàmtử sau đây.

Định nghĩa 1.3.12 ChoA và A0 là nhữngAnn−phạm trù Một Ann−hàm tửtừ A đếnA0 là một bộ bốn (F, ˘F , eF , F∗) trong đó (F, ˘F ) là một hàm tử monoidalđối xứng đối với phép toán ⊕, (F, eF , F∗) là hàm tử monoidal đối với phép toán⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau:

-eF ⊕ eF

(1.51)

-˘F ⊗id

-eF ⊕ eF

Ann-hàm tử (F, ˘F , eF , F∗) : A → A0 được gọi là một Ann-tương đương nếu tồntại một Ann-hàm tử (F0, ˘F0, eF0, F∗0) : A0 → A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tựnhiên u : F ◦ F0∼= id

Chứng minh Ta xét họ các mũi tên đẳng cấu trong A0:θX =

idF X nếuX 6= 1,F∗ nếu X = 1,

với X ∈ A Khi đó từ F ta có thể dựng được Ann-hàm tử F0 theo cách duy nhấtsao cho θ : F → F0 trở thành một đồng luân, ở đó

F0X =

F X nếu X 6= 1,10 nếu X = 1;

F0(f : X → Y ) = (θXF (f )(θY)−1 : F0X → F0Y );˘

FX,Y0 = (θX ⊕ θY) ˘FX,YθX⊕Y−1 ;FeX,Y0 = (θX ⊗ θY) eFX,YθXY−1; F∗0 = F∗θ−11 = id1.

Do Bổ đề 1.3.13, ta có thể ký hiệu một Ann-hàm tử bởi (F, ˘F , eF ) khi khôngcần nhắc tới F∗.

1.3.3Ann-phạm trù thu gọn

Giả sử A là một Ann-phạm trù với họ các ràng buộc(a+, c+, (0, g, d), a, (1, l, r), L, R).

Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π0(A) của A là một vành đối với haiphép toán +, ×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕, ⊗ trên A, còn π1(A) = Aut(0) làmột nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +.

Định lý 1.3.14 ([2, Định lý 1.3, chương IV]) Các tác động bên trái, bên phảicủa vành π0(A) lên nhóm aben π1(A) xác định lần lượt bởi các hệ thức

su = λX(u),us = ρX(u), (1.53)với X ∈ s, s ∈ π0(A), u ∈ π1(A), biến π1(A) thành π0(A)-song môđun, trong đóλ, ρ là các hàm được xác định bởi các biểu các biểu đồ giao hoán sau:

Định lý dưới đây nói về tính chất bất biến của π0(A) và π1(A).

Định lý 1.3.15 ([2, Định lý 1.6, chương IV]) Cho A và A0 là hai Ann-phạmtrù Khi đó mỗiAnn-hàm tử (F, ˘F , eF ) : A → A0 đều cảm sinh cặp đồng cấu vành:

F0 : π0(A) → π0(A0) ; F1 : π1(A) →π1(A0)

thoả mãn các hệ thức

F1(su) = F0(s)F1(u),F1(us) = F1(u)F0(s),

trong đó π1(A) được coi là vành với phép nhân không Hơn nữa, F là một tươngđương khi và chỉ khi F0, F1 là những đẳng cấu.

Dưới đây, chúng ta nhắc lại những nét chính của phép xây dựng Ann-phạmtrù thu gọn SA của một Ann-phạm trù A, nhờ phép chuyển cấu trúc (chi tiếtxem [2]) Phạm trù SA có các vật là các phần tử của π0(A), còn các mũi tên lànhững tự đẳng cấu, (r, a) : r → r, r ∈ π0(A), a ∈ π1(A) Hợp thành của hai mũitên được xác định bởi

(r, a) ◦ (r, b) = (r, a + b).

Trong Achọn hệ đại diện Xs, s ∈ π0(A)sao choX0= 0, X1 = 1, và một họ cácđẳng cấuiX : X → Xs thoả mãniXs = idXs Khi đó ta có thể xác định hai hàm tử

G : A → SA,G(X) = [X] = s,G(f ) = (s, γX−1

s(iYf i−1X )),

H : SA → A,H(s) = Xs,H(s, u) = γXs(u),

với X, Y ∈ s và f : X → Y, còn γX là ánh xạ được xác định bởi biểu đồ giaohoán sau:

(s, u) ⊕ (t, v) = G(H(s, u) ⊕ H(t, v)) = (s + t, u + v),(s, u) ⊗ (t, v) = G(H(s, u) ⊗ H(t, v)) = (st, sv + ut),

với s, t ∈ π0(A), u, v ∈ π1(A) Hiển nhiên chúng không phụ thuộc vào sự lựa chọnhệ đại diện Xs, iX.

Các ràng buộc trong SA được xác định bởi các ràng buộc trong A nhờ kháiniệm đính Một đính trong A gồm một hệ đại diện (Xs)s∈π

0(A) sao cho X0=0, X1 = 1 và các đẳng cấu

ϕs,t : Xs⊕ Xt → Xs+t, ψs,t : XsXt → Xst,với mọi s, t ∈ π0(A) sao cho

ϕ0,t= gXt,ϕs,0= dXs,

ψ1,t= lXt,ψs,1= rXs, ψ0,t = ˆRXt,ψs,0= ˆLXs.

Đối với hai phép toán ⊕, ⊗ trên SA các ràng buộc đơn vị được chọn tươngứng là (0, id, id) và (1, id, id) Đặt ϕ = (ϕs,t) và ψ = (ψs,t) ta có thể xác định đượccác ràng buộc ξ, η, α, λ, ρ lần lượt tương thích với các ràng buộc a+, c+, a, L, Rcủa A qua H, ˘H = ϕ−1, eH = ψ−1, H∗ = id1 Khi đó

(SA, ξ, η, (0, id, id), α, (1, id, id), λ, ρ)

là mộtAnn-phạm trù tương đương vớiAbởiAnn-tương đương(H, ˘H = ϕ−1, eH =ψ−1, H∗) Đồng thời, hàm tử G : A → SA cùng với các đẳng cấu hàm tử

GX,Y = G(iX ⊕ iY),GeX,Y = G(iX ⊗ iY),G∗= id1

là một Ann-tương đương.

(H, ˘H, eH), (G, ˘G, eG) được gọi là các Ann-tương đương chính tắc.

Mệnh đề 2.8, chương IV [2], đã chứng tỏ rằng, trong một Ann-phạm trù thugọn SA, họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) thỏa mãn các hệ thức (1.57)–(1.60), (1.69)–(1.76),và do đó nó là một 3-đối chu trình của vành π0(A) lấy hệ tử trong π0(A)-songmôđun π1(A) theo nghĩa Mac Lane.

Từ Định lý 1.3.15 và Định lý 7.6 [38], mỗi Ann-phạm trù A được xác địnhduy nhất, sai khác bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:

1 Vành π0(A) các lớp vật của phạm trù A;2 π0(A)-song môđun π1(A) = Aut(0);

3 Phần tử [h] ∈ HM acL3 (π0(A), π1(A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa MacLane).

Trong trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (có ràng buộc đối xứng thỏamãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X) thì phần tử [h] được nói đến ởtrên thuộc vào nhómHSh3 (π0(A), π1(A)) của cácZ-đại số theo nghĩa Shukla (xemĐịnh lý 3.1, chương IV [2]).

1.4.1Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành

Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã đượcNguyễn Tiến Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [38].Trong phần 2.1, chúng ta sẽ sử dụng các nhóm đối đồng điều này để tiến hànhphân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù.

Giả sử R là một vành và M là một R−song môđun Từ định nghĩa đối đồngđiều vành của S Mac Lane [53], chúng ta thu được mô tả về các phần tử củanhóm đối đồng điều HM acL3 (R, M ) như sau.

Nhóm ZM acL3 (R, M )các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−songmodule M bao gồm các bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) các ánh xạ:

σ : R4 → M ; α, λ, ρ : R3 → M,thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z, t ∈ R:

xα(y, z, t) − α(xy, z, t) + α(x, yz, t) − α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0, (1.57)

α(x, z, t) + α(y, z, t) − α(x + y, z, t) + ρ(xz, yz, t) − ρ(x, y, zt) + ρ(x, y, z)t = 0, (1.58)− α(x, y, t) − α(x, z, t) + α(x, y + z, t) + xρ(y, z, t) − ρ(xy, xz, t)

− λ(x, yt, zt) + λ(x, y, z)t = 0,

(1.59)α(x, y, z) + α(x, y, t) − α(x, y, z + t) + xλ(y, z, t) − λ(xy, z, t) + λ(x, yz, yt) = 0, (1.60)

λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) + ρ(x, y, z) + ρ(x, y, t) − ρ(x, y, z + t)+ σ(xz, xt, yz, yt) = 0,

λ(x, a, b) + λ(x, c, d) − λ(x, a + c, b + d) − λ(x, a, c) − λ(x, b, d)+ λ(x, a + b, c + d) − xσ(a, b, c, d) + σ(xa, xb, xc, xd) = 0,

và bốn hàm này thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0,

σ(a, b, 0, 0) = σ(0, 0, c, d) = σ(a, 0, c, 0) = σ(0, b, 0, d) = σ(a, 0, 0, d) = 0.Nhóm con BM acL3 (R, M ) ⊂ ZM acL3 (R, M ) của các 3-đối bờ là những bộ bốn h =(σ, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 → M thoả mãn h = ∂M acLg,nghĩa là:

α(x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z, (1.65)λ(x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z) + xµ(y, z) − µ(xy, xz), (1.66)ρ(x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z) + µ(x, y)z − µ(xz, yz), (1.67)σ(x, y, z, t) = µ(x, y)+µ(z, t)−µ(x+z, y +t)−µ(x, z)−µ(y, t)+µ(x+y, z +t). (1.68)Để thuận lợi cho việc sử dụng đối đồng điều Mac Lane vào bài toán phân lớpcác Ann-phạm trù [38], N T Quang đã đưa ra một mô tả khác cho lớp đối đồngđiều vành của Mac Lane như sau (xem Mệnh đề 7.2, Mệnh đề 7.3 [38]).

Nhóm ZM acL3 (R, M )các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−songmodule M bao gồm các bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) các ánh xạ:

ξ, α, λ, ρ : R3→ M, η : R2 → M

thoả mãn các hệ thức (1.57)–(1.60) và các hệ thức dưới đây, với mọix, y, z, t ∈ R:ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.69)ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0, (1.70)

xη(y, z) − η(xy, xz) = λ(x, y, z) − λ(x, z, y), (1.72)η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z) − ρ(y, x, z), (1.73)xξ(y, z, t) − ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t) − λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t) − λ(x, y, z), (1.74)ξ(x, y, z)t − ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t) − ρ(x + y, z, t) + ρ(x, y + z, t) − ρ(x, y, z), (1.75)

ρ(x, y, z + t) − ρ(x, y, z) − ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) =ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt) − ξ(xz, yz, xt),

(1.76)và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0,α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0,α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

λ(1, y, z) = λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,ρ(x, y, 1) = ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0.

Nhóm con BM acL3 (R, M ) ⊂ ZM acL3 (R, M ) của các 3-đối bờ là những bộ năm h =(ξ, η, α, λ, ρ)sao cho tồn tại các ánh xạg = (µ, ν) : R2 → M thoả mãn h = ∂M acLg,nghĩa là α, λ, ρ thỏa mãn các đẳng thức (1.65)–(1.67) và các hàm ξ, η thỏa mãncác đẳng thức:

ξ(x, y, z) = µ(y, z) − µ(x + y, z) + µ(x, y + z) − µ(x, y), (1.77)η(y, x) = µ(x, y) − µ(y, x), (1.78)ở đó µ, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc µ(0, y) = µ(x, 0) = 0 vàν(0, y) = ν(x, 0) = ν(1, y) = ν(x, 1) = 0.

Nhóm ZM acL2 (R, M ) bao gồm các 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) của vành R lấyhệ tử trong R−song module M thoả mãn

∂M acLg = 0.

Nhóm con BM acL2 (R, M ) ⊂ ZM acL2 (R, M ) của các 2-đối bờ gồm những cặp (µ, ν)sao cho tồn tại các ánh xạ t : R → M thoả mãn (µ, ν) = ∂M acLt, nghĩa là:

µ(x, y) = t(y) − t(x + y) + t(x), (1.79)ν(x, y) = xt(y) − t(xy) + t(x)y, (1.80)trong đó t thoả mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) = t(1) = 0.

Nhóm ZM acL1 (R, M ) bao gồm các 1-đối dây chuyền t của vành R lấy hệ tửtrong R−song môđun M thoả mãn

∂M acLt = 0.

Nhóm con BM acL1 (R, M ) ⊂ ZM acL1 (R, M ) của các 1-đối bờ là những hàmt sao chotồn tại a ∈ R thoả mãn t(x) = ax − xa.

Các nhóm thương

HM acLi (R, M ) = ZM acLi (R, M )/BM acLi (R, M ), i = 1, 2, 3

được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứ i của vành R với hệ tử trongR-song môđun M.

1.4.2Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số

Giả sử K là một vành giao hoán, Λ là một đại số trên K và A là một Λ-songmôđun Từ định nghĩa đối đồng điều đại số của Hochschild [18], chúng ta thuđược mô tả về các phần tử của nhóm đối đồng điều HHochsn (Λ, A), n = 1, 2, 3 nhưsau, với λ1, λ2, λ3, λ4 ∈ Λ.

Nhóm ZHochs1 (Λ, A) các 1-đối chu trình bao gồm các đồng cấu K-môđun f :Λ → A thỏa mãn đẳng thức

f (λ1, λ2) = λ1f (λ2) + f (λ1)λ2. (1.81)Nhóm BHochs1 (Λ, A) bao gồm các 1-đối bờ là những hàm có dạng

với một a cố định nào đó thuộc A.

NhómZHochs2 (Λ, A)bao gồm các 2-đối chu trình là những hàm song tuyến tínhg : Λ2 → A thỏa mãn điều kiện

λ1g(λ2, λ3) − g(λ1λ2, λ3) + g(λ1, λ2λ3) − g(λ1, λ2)λ3= 0. (1.83)Nhóm BHochs2 (Λ, A) bao gồm các 2-đối bờ là những hàm g : Λ2 → A sao chotồn tại đồng cấu K-môđun f : Λ → A thỏa mãn đẳng thức

g(λ1, λ2) = λ1f (λ2) + f (λ1)λ2. (1.84)Nhóm ZHochs3 (Λ, A) bao gồm các 3-đối chu trình là những hàm đa tuyến tínhα : Λ3 → A thỏa mãn điều kiện

λ1α(λ2, λ3, λ4)−α(λ1λ2, λ3, λ4)+α(λ1, λ2λ3, λ4)−α(λ1, λ2, λ3λ4)+α(λ1, λ2, λ3)λ4 = 0.(1.85)Nhóm BHochs3 (Λ, A) bao gồm các 3-đối bờ là những hàm α : Λ3 → A sao chotồn tại hàm song tuyến tính g : Λ → A thỏa mãn đẳng thức

α(λ1, λ2, λ3) = λ1g(λ2, λ3) − g(λ1λ2, λ3) + g(λ1, λ2λ3) − g(λ1, λ2)λ3. (1.86)Cuối cùng

HHochsn (Λ, A) = ZHochsn (Λ, A)/BHochsn (Λ, A), n = 1, 2, 3,

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ n của K-đại số Λ lấy hệ tử trong Λ-songmôđun A.