MỤC LỤC
Trong trường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K,K,e Kˆ) : D → C và các phép biến đổi monoidal tự nhiên KF →∼ idC, F K →∼ idD, chúng ta nói rằng (F,F ,e Fˆ) là một tương đương monoidal và C, D là hai phạm trù monoidal tương đương. Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối đồng điều Mac Lane của vành, trước hết chúng ta chỉ ra một tính chất đặc trưng củaAnn- hàm tử, có liên quan tới ràng buộc kết hợp-giao hoán v của phạm trù monoidal đối xứng. Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v, miền (II) và miền (IV) giao hoán do(F,F˘)tương thích với các ràng buộc đơn vị, miền (III) và miền (VII) giao hoán do định lý khớp trong một một trù monoidal đối xứng, miền (VI) và miền (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên củaF˘, miền ngoài giao hoán theo biểu đồ (2.1).
Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v; miền (II) có thành phần thứ nhất giao hoán do (F,F˘) tương thích với các ràng buộc đơn vị, thành phần thứ hai giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên và do đó miền (II) giao hoán; miền (III) và miền (X) giao hoán do định lý khớp trong một phạm trù monoidal đối xứng; miền (IV) có thành phần thứ nhất giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên, thành phần thứ hai giao hoán do(F,F˘) tương thích với các ràng buộc đơn vị, do đó miền (IV) giao hoán; các miền (V) và (VII) giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên; các miền (VIII) và (IX) giao hoán do tính chất tự nhiên của F˘; miền ngoài giao hoán do biểu đồ (2.1). Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [1]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [2]. Trong mục này chúng ta xây dựng một Ann-phạm trù B∗, cảm sinh bởi một Ann-hàm tử F : B → A, được gọi là đối ngẫu của (B, F), dựa trên phép dựng đối ngẫu của phạm trù monoidal của S.
Chúng ta nhắc lại rằng một Ann-phạm trù được gọi là khá chặt chẽ nếu tất cả các ràng buộc tự nhiên, trừ ràng buộc giao hoán và ràng buộc phân phối bên trái, đều là chặt chẽ. Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của R = id, miền (II) giao hoán do định nghĩa củauA⊕C, miền (IV) giao hoán do định nghĩa củauB⊕D, miền (V) giao hoán do tính chất tự nhiên của L; mỗi thành phần của miền ngoài giao hoán do f, g là những mũi tên của B∗, do đó miền ngoài giao hoán. Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do định nghĩa của uA⊕B, các miền (II) và (IV) giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (V) giao hoán do định nghĩa của uB⊕A, miền ngoài giao hoán do tính chất tự nhiên của c+.
Trong biểu đồ này, các miền (I) và (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên củaL, miền (II) giao hoán do cách xác định của uB⊕C,X, các miền (III), (IX) và miền ngoài giao hoán do A là một Ann-phạm trù, miền (IV) giao hoán do cách xác định của uA(B⊕C),X, miền (VI) giao hoán do cách xác định của uAB⊕AC,X; thành phần thứ nhất của miền (VII) giao hoán do cách xác định của uAB,X, thành phần thứ hai của miền (VII) giao hoán do cách xác định của uAC,X, do đó miền (VII) giao hoán. Pirashvili với ý tưởng trộn lẫn hai ràng buộc kết hợp và giao hoán của phép toán ⊕ thành ràng buộc kết hợp-giao hoán đã đưa ra khái niệm vành phạm trù (categorical ring). Mô tả được các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù thu gọn, từ đó giải quyết được bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử nhờ các các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane.
Trong chương này chúng tôi đưa ra khái niệm Ann-phạm trù bện và một trường hợp riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, với các tiên đề của nó được chọn một cách tự nhiên tương tự như các tiên đề của một vành giao hoán. Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện ta thấy rằng biểu đồ (3.1) cho phép xác định ràng buộc phân phối bên phải R qua ràng buộc phân phối bên trái L và ràng buộc giao hoán c. Điều đó khiến chúng ta phải xét đến tính chất độc lập hay phụ thuộc của các tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải R (hoặc bên trái L), cũng như tính phụ thuộc của một số điều kiện khác trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.
Chúng ta cũng có nhận xét rằng tính giao hoán của các biểu đồ trong một Ann-phạm trù đối xứng A không phụ thuộc vào tính khả nghịch của các vật và các mũi tên trong phạm trù (A,⊕), do vậy từ định lý khớp đối với một phạm trù có tính phân phối trong [27], ta có kết quả sau trình bày về định lý khớp của một Ann–phạm trù đối xứng. Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợpđối xứng ta có thể bỏ đi đẳng cấu phân phối phải khi thay thế biểu đồ (1.16) bởi biểu đồ (3.12) và nhận được hệ tiên đề thu gọn của Ann-phạm trù đối xứng. Phạm trù này là tương đẳng vớiAnn-phạm trù bện ban đầu, và từ đó chúng tôi tiến hành giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện giữa các Ann-phạm trù bện trên các thu gọn của chúng.
Do Mệnh đề 4.2.3, ta có thể đơn giản bài toán phân lớp tương đương các Ann–phạm trù bện bằng việc phân lớp các Ann–phạm trù bện có chung (theo nghĩa sai khác một đẳng cấu) hai bất biến đầu tiên.