Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 .π cm/s theo phơng thẳng đứng hớng lên.. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB,
Trang 1con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 π (cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a Viết PTDĐ.
b Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải a) Tại VTCBO
k∆l = mg
25
0,1.10 k
mg
=
= (m + ω = = = 5 10 5 π=
1,0
25 m
k
(Rad/s) + m dao động điều hoá với phơng trình
x = Asin (ωt + ϕ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10π 3 (cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin ϕ→Sin ϕ >0
-10π 3 = 5π.Acosϕ→cosϕ <0
Chia 2 vế tgϕ = −31 ⇒ϕ = 56π (Rad) → A = 4(cm)
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5πt + 56π) (cm)
b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0
∆l
l0
0(VTCB)
) x
- ∆l
•
•
•
Trang 2Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +56π)
⇔ sin (5πt + 56π) = −21
5πt + 56π = 76π⇒ t = 151 (s)
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều)
Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phơng thẳng đứng vật nặng có khối
l-ợng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ Tại thời điểm
t = 0, kéo m xuống dới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hớng lên ngợc chiều dơng Ox (g = 10m/s 2 )
a CM vật dđđh.
b Viết PTDĐ
Lời giải
a Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 →∆l = k4 (mét)
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -
k
4
( mét) Chiều dơng 0x hớng xuống ⇒ x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E = 2 25 10 3
2
1 2 2
Ta có phơng trình:
3 2
2 0,4.(0,25 ) 25.10 2
1 ) k
4 k(0,026 2
= +
−
⇔ k(2,6.10-2 - 4) 2 = 0 , 025
k
⇔ 0,0262.k2 - 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM
=> k > 153,8 N/m
Trang 3k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m →ω = 25
4 , 0
250
=
=
m
k
(Rad/s) Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ = 34π Rađ
-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A = 2 cm
Vậy phơng trình điều hoà là x = )
4
3 t 25 sin(
2 + π (cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang
Bỏ qua ma sát.
1 CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2 Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1 Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của
vật
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng
Khi vật ở li độ x thì x = x1 + x2 với x1; x2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén)
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x1 =
1
k
F
2
k
F
−
Vậy x = − 1− 2 =− 1 + 2
1 1
k k
F k
F k F
Mặt khác F = - kx ⇒ k1 + k1 = k1
Trang 4áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx''
→ mx'' = - k.x hay x'' = - ωx2 với ω2 = ( . )
2 1
2 1
k k m
k k m
k
+
=
Vật dao động điều hoà theo phơng trình
x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật dao động điều hoà
* Phơng trình dao động
) 20 30 ( 12 , 0
20 30 )
(
2 1
2
+
= +
=
k k m
k k m
k
(Rad/s) Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ = 2π
0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm) Vậy phơng trình dao động là
x = 10sin (10πt +
2
π) (cm)
2 Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại Fmax = +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ; π2 = 10).
1 Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2 Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1 Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống
gốc 0 tại VTCB
⇒
Trang 5+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò
xo
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo
cùng độ cứng và chiều dài và bằng
2
1
lực đàn hồi tổng cộng)
F = 2F0⇔ -Kx = -2kx ⇒ K = 2k
+ Tại VTCB: →
P
0
Hay mg - 2k∆lo = 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l0
Hợp lực: →P + 2→Fdh =→F
mg - 2k(∆l0 + x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx''⇒ x''= x
m
k
2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s)
Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40 2 = 10 2Acosϕ ; cosϕ < 0
Biên độ A = 5
200
2 40 3
2
2 + = cm
Ta có hệ 3 = 5sinϕ sinϕ = 0,6
-40 2 = 10 2.5.cosϕ cos ϕ = -0,8 →ϕ ≈ 2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10 2t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
k
k
+
→ ϕ 143,130
→
Trang 6∆l0 = 0 , 05
50
10 25 , 0
=
=
K
mg
m = 5 (cm) Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
Fđhmax = K (A + ∆l0) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 = 40
N/m Ngời ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn ∆l = 20 (cm) thì
thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban
đầu Bỏ qua ma sát và khối lợng của lò xo Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều
d-ơng hớng từ A → B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
b) Viết PTDĐ Tính chu kì T và năng lợng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cờng độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A,
B ở thời điểm t=
2
T
.
Lời giải a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ nh hình vẽ
+ Khi vật ở VTCB lò xo L1 dãn ∆l1
lò xo L2 dãn ∆l2
Khi đó vật để L1 dãn ∆l = 2cm ;
L2khi nén k dãn thì ∆l chính là độ biến
dạng tổng cộng của vật ở VTCB
∆l = ∆l1 + ∆l2 = 20 (cm) (1) + Tổng hợp lực bằng 0 : →P+N→+F→01 +F→02 =0→→F→01 +F→02 =0
Hay + K1∆l1 - k2∆l2 = 0 (2)
B A
→
01
F F→02
x G
x
Trang 7+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L1là (∆l1+ x) cm, L2 là (∆l2 - x) Tổng hợp lực
→
→
→
→
→
= + +
P 1 2 Hay - k1 (∆l1+ x) + k2(∆l2 - x) = mx''
⇔ - (k1+ k2) x = mx''
⇒ x'' =
2 2
m
k k
với ω2 = m
k
k1+ 2
−
Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH
b) ω = 10π
1 , 0
40 60
2
m
k
k
(Rad/s) + Biên độ dao động A = ∆l2 (vì A = 2 2
2
l x
x +ω = = ∆ ) Giải (1), (2) ∆l1 + ∆l2 = 20 ∆l1= 8cm
60∆l1 + 400∆l2 = 0 ∆l2= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x0 = Asin ϕ = A
v0= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +2π ) (cm)
Chu kì dao động T = 0 , 2
10
2 2
=
= π
π ω
Năng lợng
E = 100 (, 012 ) 0 , 72
2
1 2
=
=
c) Vẽ và tính cờng độ các lực
+ Khi t = 0 , 1
2 =
T
(s) thì x = 12 sin (10.0,1Π +
2
π
) = -12 (cm) Vì vậy, tại t =
2
π vật ở biên độ x = - A
→ ϕ = 2π
Trang 8P
→
0
F
0 (VΠB)
+ x
→
0
T
Tại vị trí này lò xo l1 bị nén 1 đoạn A - ∆l1 = 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L1 và L2 lên A, B lần lợt là → →
2
1, F F
F1 = 60.0,04 = 2,4 (N)
F2 = 40.0,24 = 0,6 (N) (F→1, F→2 cùng chiều dơng)
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình
vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m Vật nặng
có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối
lợng của r 2 và lò xo dây treo k dãn Khối lợng
k đáng kể.
1 Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2 Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải 1) Hình a
+ Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phơng trình lực T→0+F→0 =→0
T→0+P→0 =→0
Chiều lên ox -T0 + K∆l = 0
-T0+ mg = 0
⇒ T0 = k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T0 = 1N
∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
a
b
→
P
→
0
F
+ x
→
0
T T→0
O
Trang 9Chiếu lên Ox -T0 + mg = 0
-k∆l + 2T0= 0
⇒ T0 = mg = 1 (N)
∆l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x
F = mg - T
T - k(∆l + x) = 0
→ F = mg - k∆l0 - kx ⇒ F = -kx
áp dụng định luật II N → - kx = mx'' = x x
m
k
2
ω
−
=
−
Với ω = m k → x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → 21 k∆l - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + 2x
mg - T = F
2T - k(∆l + 2x ) = 0
→ F = mg - 21 k∆l - k x
4 → F = k x
4
−
Hay k x
4
− = mx''→ x = x
m
k
4
− = - ω2 x với ω =
m
k
4
x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
Bài 7: Một vật có khối lợng m = 400g đợc gắn
trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50
m1 m
Trang 10(N/m) đặt m 1 có khối lợng 50 g lên trên m Kích thích
cho m dao động theo phơng thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ
qua lực ma sát và lực cản Tìm hiên độ dao động lớn
nhất của m, để m 1 không với khối lợng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s 2 )
Lời giải
Khi m1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω2x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (amax = ω2 A)
Nếu m1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m1 không rời khỏi m
amax < g ⇔ω2A < g ⇒ A<ωg2
+ ω = mk →ω2= 125
4 , 0
50 = → A < 12510 = 0,08 (m) = 8cm
→ Amax = 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động nh hình vẽ, khối
lợng lò xo không đáng kể k = 50N/m, M = 200g,
có thể trợt không ma sát trên mặt phẳng ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đờng 2cm
2) Giả sử M đang dao động nh câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M theo phơng ngang với vận tốcv o Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất Tìm độ lớn v o, biết rằng sau khi va chạm
m 0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A ' = 4 2 cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
M
k
o
M1
+ ω
2
4 M
2
α
•
•
Trang 11Một dđđh có thể coi là hình chiếu của
chuyển động tròn đều của 1 chất điểm nh
hình vẽ Khoảng thời gian vật đi từ x = 4 đến
x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian vật
chuyển động tròn đều theo cung M1M2
t = ωa =3πω với ω = = 050,2
m
k
= 5π (Rad/s) -> t = .51 151
π
VTB = 30cm(s)
t
S =
2 - Theo câu 1, M có li độ x0 = a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất + Ngay sau va chạm, hệ (M + m0) có vận tốc v
ĐLBT động lợng: (M + m0) v = m0.vo (1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4 2 cm và tần số góc
0 = +
M
k
= 10 2 (Rad/s)
Lại có v = 02
2 ' ' (A) −x
ω = 40 2 (m/s)
Từ (1) | v0| = ( + 0) =(0,2+00,,055).40 2
m
v m M
= 200 2 (cm/s)
Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm 2 đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 10 3 (kg/m 3 ) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1 XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
Trang 122 CM vật dđđh, tính T
3 Tính cơ năng E
Lời giải 1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong
chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị dãn 1 đoạn
∆l0
Phơng trình lực : mg- F0A - k∆l0= 0
→∆l0=
k
F
mg− 0A
(1) Với F0A = Sh0Dg
→∆l0 = 0,4.10−50.10150−4.0,05.103.10 = 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l0+ x
Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
→ xmax= 4(cm) <2h → luôn có F A tác dụng vào vật khi nó dao động
dh
A F F P
F = + +
→ F = mg - S(h0+ x) Dg - k(∆l0 + x)
= mg - Sh0Dg- k∆l0- SDgx - kx
→F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx''
A 0
F
dh 0
F
0 +x P
Trang 13→ mx'' = - (SDg + k)x ⇒ x'' = ω2.x với ω2 = SDg m+K
→ x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T = 2 2 2 50.10 4.100,43.10 150
+
= +
ω
π
K SDg m
= 0,28 (s)
3 Cơ năng E
Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
→ Cơ năng: E = 200 ( 0 , 04 ) 0 , 16
2
1 2
=
=
A
Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s 2 ).
1 Tìm chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.
2 CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3 Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc
dừng lại ở đây cơ năng E = KA =F ms.S =
2
1 2 à.mg.S
mg M
KA
( 2 10 02 , , 0 2
1 , 0 80
2
=
2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A1 sau
2
1
chu kì vật đến
VT biên độ lớn A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng A1+ A2 2
1 KA2 -
2
1
KA2 = àmg (A1 + A2) → A1 - A2 =
k
mg
.
2 à
Trang 14Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 = 2àk.mg Vậy ∆A = 4àk.mg = const
3 - Thời gian dao động
Tính ∆A: ∆A = 0 , 01
80
10 2 , 0 1 , 0
4 = (m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện đợc : n = = 10
A
A
∆ (chu kỳ)
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s)