bai tap ve con lac don

Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 .π cm/s theo phơng thẳng đứng hớng lên.. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB,

con lắc lò xo

Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển

động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 π (cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.

a Viết PTDĐ.

b Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.

Lời giải a) Tại VTCBO

k∆l = mg

25

0,1.10 k

mg

=

= (m + ω = = = 5 10 5 π=

1,0

25 m

k

(Rad/s) + m dao động điều hoá với phơng trình

x = Asin (ωt + ϕ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0

v = 10π 3 (cm/s) <0

Ta có hệ 2 = ASin ϕ→Sin ϕ >0

-10π 3 = 5π.Acosϕ→cosϕ <0

Chia 2 vế tgϕ = −31 ⇒ϕ = 56π (Rad) → A = 4(cm)

Vậy PTDĐ:

x = 4sin (5πt + 56π) (cm)

b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm

+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)

+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0

∆l

l0

0(VTCB)

) x

- ∆l

•

•

•

Vậy lúc đó x = -2 (cm)

Ta có: -2 = 4sin (5πt +56π)

⇔ sin (5πt + 56π) = −21

5πt + 56π = 76π⇒ t = 151 (s)

( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn

đều)

Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phơng thẳng đứng vật nặng có khối

l-ợng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ Tại thời điểm

t = 0, kéo m xuống dới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hớng lên ngợc chiều dơng Ox (g = 10m/s 2 )

a CM vật dđđh.

b Viết PTDĐ

Lời giải

a Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 →∆l = k4 (mét)

Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm

→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -

k

4

( mét) Chiều dơng 0x hớng xuống ⇒ x >0

Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0

v = -0,25 m/s <0

Cơ năng toàn phần E = 2 25 10 3

2

1 2 2

Ta có phơng trình:

3 2

2 0,4.(0,25 ) 25.10 2

1 ) k

4 k(0,026 2

= +

−

⇔ k(2,6.10-2 - 4) 2 = 0 , 025

k

⇔ 0,0262.k2 - 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM

=> k > 153,8 N/m

k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m →ω = 25

4 , 0

250

=

=

m

k

(Rad/s) Tại t = 0 x = 1cm > 0

v = -25cm/s < 0

1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ = 34π Rađ

-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A = 2 cm

Vậy phơng trình điều hoà là x = )

4

3 t 25 sin(

2 + π (cm)

Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt

là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m)

đợc gắn nối tiếp với nhau và

gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang

Bỏ qua ma sát.

1 CM vật DĐĐH, viết PTDĐ

2 Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật

Lời giải

1 Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của

vật

Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng

Khi vật ở li độ x thì x = x1 + x2 với x1; x2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén)

+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên

x1 =

1

k

F

2

k

F

−

Vậy x = − 1− 2 =−  1 + 2 

1 1

k k

F k

F k F

Mặt khác F = - kx ⇒ k1 + k1 = k1

áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx''

→ mx'' = - k.x hay x'' = - ωx2 với ω2 = ( . )

2 1

2 1

k k m

k k m

k

+

=

Vật dao động điều hoà theo phơng trình

x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật dao động điều hoà

* Phơng trình dao động

) 20 30 ( 12 , 0

20 30 )

(

2 1

2

+

= +

=

k k m

k k m

k

(Rad/s) Khi t = 0 x = 10cm>0

v = 0 cm/s

Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ = 2π

0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm) Vậy phơng trình dao động là

x = 10sin (10πt +

2

π) (cm)

2 Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K

Vậy lực phục hồi là F = - kx

→ Lực phục hồi cực đại Fmax = +kA = 120,10 = 1,2N

Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu

khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3

cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ; π2 = 10).

1 Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?

2 Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật?

Lời giải

1 Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống

gốc 0 tại VTCB

⇒

+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.

+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò

xo

+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo

cùng độ cứng và chiều dài và bằng

2

1

lực đàn hồi tổng cộng)

F = 2F0⇔ -Kx = -2kx ⇒ K = 2k

+ Tại VTCB: →

P

0

Hay mg - 2k∆lo = 0 (1)

+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l0

Hợp lực: →P + 2→Fdh =→F

mg - 2k(∆l0 + x) = F (2)

Từ (1) (2) F = -2kx

Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx''⇒ x''= x

m

k

2

−

→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH

+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0

v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s)

Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0

- 40 2 = 10 2Acosϕ ; cosϕ < 0

Biên độ A = 5

200

2 40 3

2

2 + = cm

Ta có hệ 3 = 5sinϕ sinϕ = 0,6

-40 2 = 10 2.5.cosϕ cos ϕ = -0,8 →ϕ ≈ 2,5 Rad

PTDĐ là x = 5sin (10 2t + 2,5) (cm)

e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật

Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m

k

k

+

→ ϕ 143,130

→

∆l0 = 0 , 05

50

10 25 , 0

=

=

K

mg

m = 5 (cm) Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại

Fđhmax = K (A + ∆l0) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)

Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối

vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 = 40

N/m Ngời ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn ∆l = 20 (cm) thì

thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban

đầu Bỏ qua ma sát và khối lợng của lò xo Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều

d-ơng hớng từ A → B,chọn t = 0 là lúc thả vật.

a) CM vật DĐĐH?

b) Viết PTDĐ Tính chu kì T và năng lợng toàn phần E.

c) Vẽ và tính cờng độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A,

B ở thời điểm t=

2

T

.

Lời giải a) CM vật DĐĐH

+ Chọn trục toạ độ nh hình vẽ

+ Khi vật ở VTCB lò xo L1 dãn ∆l1

lò xo L2 dãn ∆l2

Khi đó vật để L1 dãn ∆l = 2cm ;

L2khi nén k dãn thì ∆l chính là độ biến

dạng tổng cộng của vật ở VTCB

∆l = ∆l1 + ∆l2 = 20 (cm) (1) + Tổng hợp lực bằng 0 : →P+N→+F→01 +F→02 =0→→F→01 +F→02 =0

Hay + K1∆l1 - k2∆l2 = 0 (2)

B A

→

01

F F→02

x G

x

+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L1là (∆l1+ x) cm, L2 là (∆l2 - x) Tổng hợp lực

→

→

→

→

→

= + +

P 1 2 Hay - k1 (∆l1+ x) + k2(∆l2 - x) = mx''

⇔ - (k1+ k2) x = mx''

⇒ x'' =

2 2

m

k k

với ω2 = m

k

k1+ 2

−

Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH

b) ω = 10π

1 , 0

40 60

2

m

k

k

(Rad/s) + Biên độ dao động A = ∆l2 (vì A = 2 2

2

l x

x +ω = = ∆ ) Giải (1), (2) ∆l1 + ∆l2 = 20 ∆l1= 8cm

60∆l1 + 400∆l2 = 0 ∆l2= 12cm -> A = 12cm

t = 0 -> x0 = Asin ϕ = A

v0= ωAcosϕ = 0

Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +2π ) (cm)

Chu kì dao động T = 0 , 2

10

2 2

=

= π

π ω

Năng lợng

E = 100 (, 012 ) 0 , 72

2

1 2

=

=

c) Vẽ và tính cờng độ các lực

+ Khi t = 0 , 1

2 =

T

(s) thì x = 12 sin (10.0,1Π +

2

π

) = -12 (cm) Vì vậy, tại t =

2

π vật ở biên độ x = - A

→ ϕ = 2π

P

→

0

F

0 (VΠB)

+ x

→

0

T

Tại vị trí này lò xo l1 bị nén 1 đoạn A - ∆l1 = 12 - 8 = 4 (cm)

Lò xo L2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)

+ Lực tác dụng của lò xo L1 và L2 lên A, B lần lợt là → →

2

1, F F

F1 = 60.0,04 = 2,4 (N)

F2 = 40.0,24 = 0,6 (N) (F→1, F→2 cùng chiều dơng)

Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình

vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m Vật nặng

có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối

lợng của r 2 và lò xo dây treo k dãn Khối lợng

k đáng kể.

1 Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật

ở VTCB.

2 Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng

rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh Tính chu kì và biên độ dao động của vật.

Lời giải 1) Hình a

+ Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB

+ Phơng trình lực T→0+F→0 =→0

T→0+P→0 =→0

Chiều lên ox -T0 + K∆l = 0

-T0+ mg = 0

⇒ T0 = k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T0 = 1N

∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)

* Hình b

Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB

a

b

→

P

→

0

F

+ x

→

0

T T→0

O

Chiếu lên Ox -T0 + mg = 0

-k∆l + 2T0= 0

⇒ T0 = mg = 1 (N)

∆l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH

Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0

+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x

F = mg - T

T - k(∆l + x) = 0

→ F = mg - k∆l0 - kx ⇒ F = -kx

áp dụng định luật II N → - kx = mx'' = x x

m

k

2

ω

−

=

−

Với ω = m k → x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà

* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → 21 k∆l - mg = 0

Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + 2x

mg - T = F

2T - k(∆l + 2x ) = 0

→ F = mg - 21 k∆l - k x

4 → F = k x

4

−

Hay k x

4

− = mx''→ x = x

m

k

4

− = - ω2 x với ω =

m

k

4

x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà

Bài 7: Một vật có khối lợng m = 400g đợc gắn

trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50

m1 m

(N/m) đặt m 1 có khối lợng 50 g lên trên m Kích thích

cho m dao động theo phơng thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ

qua lực ma sát và lực cản Tìm hiên độ dao động lớn

nhất của m, để m 1 không với khối lợng m trong quá

trình dao động (g = 10m/s 2 )

Lời giải

Khi m1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω2x

Giá trị lớn nhất của gia tốc (amax = ω2 A)

Nếu m1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g

Vậy điều kiện để m1 không rời khỏi m

amax < g ⇔ω2A < g ⇒ A<ωg2

+ ω = mk →ω2= 125

4 , 0

50 = → A < 12510 = 0,08 (m) = 8cm

→ Amax = 8cm

Bài 8: Cho 1 hệ dao động nh hình vẽ, khối

lợng lò xo không đáng kể k = 50N/m, M = 200g,

có thể trợt không ma sát trên mặt phẳng ngang.

1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đờng 2cm

2) Giả sử M đang dao động nh câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M theo phơng ngang với vận tốcv o Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất Tìm độ lớn v o, biết rằng sau khi va chạm

m 0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A ' = 4 2 cm.

Lời giải

1 - Tính vận tốc TB

M

k

o

M1

+ ω

2

4 M

2

α

•

•

Một dđđh có thể coi là hình chiếu của

chuyển động tròn đều của 1 chất điểm nh

hình vẽ Khoảng thời gian vật đi từ x = 4 đến

x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian vật

chuyển động tròn đều theo cung M1M2

t = ωa =3πω với ω = = 050,2

m

k

= 5π (Rad/s) -> t = .51 151

π

VTB = 30cm(s)

t

S =

2 - Theo câu 1, M có li độ x0 = a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất + Ngay sau va chạm, hệ (M + m0) có vận tốc v

ĐLBT động lợng: (M + m0) v = m0.vo (1)

+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4 2 cm và tần số góc

0 = +

M

k

= 10 2 (Rad/s)

Lại có v = 02

2 ' ' (A) −x

ω = 40 2 (m/s)

Từ (1) | v0| = ( + 0) =(0,2+00,,055).40 2

m

v m M

= 200 2 (cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h =

10cm tiết diện s = 50cm 2 đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng

D = 10 3 (kg/m 3 ) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.

1 XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.

2 CM vật dđđh, tính T

3 Tính cơ năng E

Lời giải 1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB

+ Chọn trục ox nh hình vẽ

ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong

chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị dãn 1 đoạn

∆l0

Phơng trình lực : mg- F0A - k∆l0= 0

→∆l0=

k

F

mg− 0A

(1) Với F0A = Sh0Dg

→∆l0 = 0,4.10−50.10150−4.0,05.103.10 = 0,01 (m) = 1 (cm)

2) Chứng minh vật dđđh

+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l0+ x

Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động

→ xmax= 4(cm) <2h → luôn có F A tác dụng vào vật khi nó dao động

dh

A F F P

F = + +

→ F = mg - S(h0+ x) Dg - k(∆l0 + x)

= mg - Sh0Dg- k∆l0- SDgx - kx

→F = - (SDg + k)x

Theo định luật 2 N: F = ma = mx''

A 0

F

dh 0

F

0 +x P

→ mx'' = - (SDg + k)x ⇒ x'' = ω2.x với ω2 = SDg m+K

→ x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà

+ Chu kì dao động T = 2 2 2 50.10 4.100,43.10 150

+

= +

ω

π

K SDg m

= 0,28 (s)

3 Cơ năng E

Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm)

→ Cơ năng: E = 200 ( 0 , 04 ) 0 , 16

2

1 2

=

=

A

Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =

80 N/m Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s 2 ).

1 Tìm chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.

2 CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.

3 Tính thời gain dao động của vật.

Lời giải

1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc

dừng lại ở đây cơ năng E = KA =F ms.S =

2

1 2 à.mg.S

mg M

KA

( 2 10 02 , , 0 2

1 , 0 80

2

=

2 - Độ giảm biên độ

Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A1 sau

2

1

chu kì vật đến

VT biên độ lớn A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng A1+ A2 2

1 KA2 -

2

1

KA2 = àmg (A1 + A2) → A1 - A2 =

k

mg

.

2 à

Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 = 2àk.mg Vậy ∆A = 4àk.mg = const

3 - Thời gian dao động

Tính ∆A: ∆A = 0 , 01

80

10 2 , 0 1 , 0

4 = (m) = 1 cm

Số chu kì thực hiện đợc : n = = 10

A

A

∆ (chu kỳ)

Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s)