các dạng bài tập về con lắc đơn (1)

Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - DẠNG 1: CHU KỲ, TẦN SỐ CỦA CON LẮC ĐƠN  Tần số góc dao động của con lắc 2 g g ω ω = → =ℓ ℓ Từ đó, chu kỳ và tần số dao động của con lắc là 2π T 2π ω g 1 ω 1 g f T 2π 2π  = =     = = =   ℓ ℓ  Trong cùng một khoảng thời gian ∆ t mà con lắc thực hiện được N 1 dao động, khi tăng hoặc giảm chiều dài con lắc một đoạn ∆ℓ thì con l ắc thực hiện được N 2 dao động. Khi đó ta có h ệ thức 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 t N T N T N N T N N T ∆ = =       =  =     = ⇔ →         = ± ∆ = ± ∆    = ± ∆  ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ T ừ đ ó ta có th ể tính đượ c chi ề u dài con l ắ c ban đầ u và sau khi t ă ng gi ả m độ dài.  C ũ ng t ươ ng t ự nh ư con l ắ c lò xo, v ớ i con l ắ c đơ n ta c ũ ng có h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a li độ , biên độ , t ố c độ và t ầ n s ố góc nh ư sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 x v v v 1 A x .α A ωA ω ω         + = ⇔ = + = +                 ℓ trong đó, x . α = ℓ là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung. Ví dụ 1. Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc g = 9,86 (m/s 2 ). Trong 1 phút 30 giây con lắc thực hiện được 90 dao động toàn phần. a) Tính tần số dao động của con lắc. b) Tính chiều dài của con lắc đơn. Hướng dẫn giải: a) Trong 90 giây, con lắc thực hiện 90 dao động toàn phần → T = 90/ 90 = 1 (s). Tần số dao động của con lắc f = 1/T = 1 (Hz) b) Chiều dài của con lắc ℓ = 0,25 m. Ví dụ 2. Một con lắc đơn có độ dài ℓ 1 dao động với chu kỳ T 1 = 0,8 (s). Một con lắc đơn khác có độ dài ℓ 2 dao động với chu kỳ T 1 = 0,6 (s). a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 + ℓ 2 là bao nhiêu? b) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 – ℓ 2 là bao nhiêu? Hướng dẫn giải: a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 + ℓ 2 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 T 4 π . 4π . 4π . 4π . T T T T T 0,8 0,6 1(s) g g g g + = = = + = + → = + = + = ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ b) Chu kì con lắc đơn có độ dài ℓ 1 – ℓ 2 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 T 4 π . 4π . 4π . 4π . T T T T T 0,8 0,6 0,53 (s) g g g g − = = = − = − → = + = − ≈ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ Ví dụ 3. Một con lắc đơn chiều dài 99 (cm) có chu kì dao động 2 (s) tại A. a) Tính gia tốc trọng trường tại A. b) Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199 (s). Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A. c) Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2 (s) thì ta phải làm như thế nào? MỞ ĐẦU VỀ CON LẮC ĐƠN (TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hướng dẫn giải: a) Ta có 2 2 2 A A 2 A A 4π 4π .0,99 T 2 π g 9,76 (m/s ). g T 4 = → = = = ℓ ℓ b) Chu kì con l ắ c t ạ i B: B t 199 T 1,99 (s). n 100 ∆ = = = Từ đó ta được 2 2 2 B A B 2 2 B A A g g4π 4π .0,99 ∆g g 9,86 (m/s ) 0,01 T 1,99 g g − = = = → = = ℓ Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A. c) Chu kỳ tại B không đổi nên ta có B B A B A A .g 0,99.9,86 T T 1(m). g g g 9,76 ′ ′ ′ = → = ⇔ = = = ℓ ℓ ℓ ℓ V ậ y c ầ n t ă ng chi ề u dây thêm đ o ạ n: ∆ 1 0,99 0,01(m) 1(cm). ′ = − = − = = ℓ ℓ ℓ . Ví dụ 4. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài ℓ 1 thực hiện được 8 dao động, con lắc có chiều dài ℓ 2 thực hiện được 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9 (cm). Tìm chiều dài mỗi con lắc? Hướng dẫn giải: Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ 1 là T 1 , chu kì con lắc có chiều dài ℓ 2 là T 2 . Ta có ∆t = 8T 1 = 10T 2 → T 1 /T 2 = 5/4 ⇔ ℓ 1 / ℓ 2 = 25/16 → ℓ 1 > ℓ 2 Từ đó ta có hệ phương trình: 1 2 1 1 2 2 16 25 25 (cm) 9 16 (cm) = =   →   − = =   ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ Ví dụ 5. Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc đơn dài ℓ 1 thực hiện được 5 dao động bé, con lắc đơn dài ℓ 2 thực hiện được 9 dao động bé. Hiệu chiều dài dây treo của hai con lắc là 112 (cm). Tính độ dài ℓ 1 và ℓ 2 của hai con lắc? Hướng dẫn giải: Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ 1 là T 1 , chu kì con lắc có chiều dài ℓ 2 là T 2 . Ta có ∆t = 5T 1 = 9T 2 → T 1 /T 2 = 9/5 ⇔ ℓ 1 /ℓ 2 = 81/25 → ℓ 1 > ℓ 2 Ta có hệ phương trình 1 2 1 1 2 2 25 81 162 (cm) 112 50 (cm) = =   →   − = =   ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ Ví dụ 6. Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14 (cm). Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc 1 thực hiện được 15 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 20 dao động. a) Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc. Lấy g = 9,86 m/s 2 b) Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên. Hướng dẫn giải: a) Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 16 t 15T 20T 3.2π 4.2π 9 16 g g 9 ∆ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ Mặt khác ta có: 1 1 2 2 32 (cm) 14 18 (cm) =  − = →  =  ℓ ℓ ℓ ℓ Từ đó ta được 1 2 1 2 0,32 0,18 T 2 π 2π 1,13 (s); T 2π 2π 0,85 (s). g 9,86 g 9,86 = = = = = = ℓ ℓ b) Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có 1 1 2 2 t N T N T ∆ = = (với N 1 và N 2 số dao động con lắc 1 và 2 thực hiện trong thời gian ∆t). Mà 1 2 2 1 4 4 T T N N 3 3 = → = , tức là khi con lắc 1 thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động 1 t 4T 4.1,13 4,52 (s). →∆ = = = DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN G ọ i ph ươ ng trình dao độ ng c ủ a con l ắ c đơ n là x = Acos( ω t + φ ) Ta c ầ n xác đị nh các đạ i l ượ ng trong ph ươ ng trình: Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - - Tần số góc ω: 2 2 g ω 2π ω 2πf T v ω A x  =    = =    =  −  ℓ - Biên độ dao động A: max 2 2 2 o v A ω v A x ω A .α  =    = +    =   ℓ - Pha ban đầu φ: Tại t = 0, o o x Acos φ v ωAsin φ =   = −   Chú ý: Cách viết trên là áp dụng cho li độ dài, sử dụng mỗi liên hệ giữa li độ dài và li độ góc ta có thể đưa phương trình dao động về theo li độ góc: =  → = +  =  ℓ ℓ o o A .α α α cos(ωt φ ) rad. x .α Ví dụ 1. Một con lắc đơn dao động điều hoà ở nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 (m/s 2 ), cho π 2 = 10, dây treo con lắc dài ℓ = 80 (cm), biên độ dao động là 8 (cm). Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của con lắc. Hướng dẫn giải: Gọi phương trình dao động tổng quát là x = Acos(ωt + φ) cm Tần số góc g 10 π 5 ω (rad/s) 0,8 2 = = = ℓ Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên ta có o o x 0 Acosφ 0 cosφ 0 π φ (rad). v 0 ωAsinφ 0 sinφ 0 2 = = =    ⇔ ⇔ → = −    > − > <    Vậy phương trình dao động của con lắc là π 5 π x 8cos t cm. 2 2   = −       Ví dụ 2. Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài ℓ = 20 (cm). Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14 (cm/s) theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 (m/s 2 ), viết phương trình dao động của con lắc. Hướng dẫn giải: Tần số góc g 9,8 ω 7 rad/s. 0,2 = = = ℓ Áp dụng hệ thức độc lập ta có 2 2 2 2 2 2 v 14 A x A 2 cm. ω 7 = + = → = Do t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương nên ta có o o x 0 Acosφ 0 cosφ 0 π φ (rad). v 0 ωAsinφ 0 sinφ 0 2 = = =    ⇔ ⇔ → = −    > − > <    Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 2cos(7t – π/2) cm. DẠNG 3: TỐC ĐỘ, LỰC CĂNG DÂY CỦA CON LẮC ĐƠN  Tốc độ của con lắc đơn được cho bởi công thức ( ) ( ) 0 max o o min o v 2g 1 cos α ; khi α 0 v 2g cosα cosα v 0; khi α α  = − =  = − →  = =   ℓ ℓ  Lực căng dây được cho bởi công thức ( ) ( ) 0 max o o min o o τ mg 3 2cosα ; khi α 0 τ mg 3cosα 2cosα τ mg.cosα ; khi α α  = − =  = − →  = =    Chú ý: Khi con lắc đơn dao động điều hòa (góc lệch nhỏ) thì ta có ( ) ( ) 2 2 2 o 2 2 o v g α α τ mg 1 1,5α α  = −   = − +   ℓ Ví dụ 1. Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng 50 (g) treo vào một đầu dây mảnh dài 1 (m). Lấy g = 9,8 (m/s 2 ), kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc α o = 60 0 rồi buông ra để con lắc chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không. a) Tính vận tốc và lực căng dây tại vị trí biên và vị trí cân bằng. b) Tính vận tốc và lực căng dây tai vị trí có góc lệch α = 30 0 so với phương thẳng đứng. Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Hướng dẫn giải: a) Tính vận tốc, lực căng dây    Tại vị trí cân bằng α = 0: Vận tốc của vật: ( ) ( ) 0 0 o v 2g cos α cosα 2.9,8.1. cos0 cos60 3,13 m/s. = − = − ≈ℓ Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosα o ) = 50.10 –3 .9,8.(3cos0 0 – 2cos60 0 ) = 0,98 (N).    Tại vị trí biên α = 60 0 : Vận tốc của vật: ( ) ( ) 0 0 o v 2g cos α cosα 2.9,8.1. cos60 cos60 0 = − = − = ℓ Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosα o ) = 50.10 –3 .9,8.(3cos60 0 – 2cos60 0 ) = 0,245 (N). b) Tại vị trí có góc lệch α = 30 0 so với phương thẳng đứng nên li độ α = 30 0 Vận tốc của vật ( ) ( ) 0 0 o v 2g cos α cosα 2.9,8.1. cos30 cos60 2,68 m/s. = − = − ≈ℓ Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosα o ) = 50.10 –3 .9,8.(3cos30 0 – 2cos60 0 ) ≈ 0,783 (N) Ví dụ 2. Một con lắc đơn gồm quả cầu có m = 20 (g) được treo vào dây dài ℓ = 2 (m). Lấy g = 10 (m/s 2 ). Bỏ qua ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng α o = 60 0 rồi buông không vận tốc đầu. a) Tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng là bao nhiêu? b) Tốc độ của con lắc khi con lắc có góc lệch α = 45 0 so với phương thẳng đứng. c) Tính lực căng dây của dây treo khi con lắc qua vị trí cân bằng và khi con lắc đến biên. Hướng dẫn giải: a) Tốc độ con lắc khi qua vị trí cân bằng ( ) ( ) 0 0 o v 2g cos α cosα 2.10.2. cos0 cos60 2 5 m/s. = − = − =ℓ b) Tốc độ của con lắc khi α = 45 0 : ( ) ( ) 0 0 o v 2g cos α cosα 2.10.2. cos45 cos60 2,88 m/s. = − = − ≈ℓ c) Tốc độ của con lắc tại vị trí cân bằng và vị trí biên:    Tại vị trí cân bằng : T = mg(3cosα – 2cosα o ) = 20.10 –3 .10.(3cos0 0 – 2cos60 0 ) = 0,4 (N).    Tại vị trí biên: T = mg(3cosα – 2cosα o ) = 20.10 –3 .10.(3cos60 – 2cos60) = 0,1 (N). Ví dụ 3. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc α o , tại nơi có gia tốc trọng trường g, Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, Tìm α o Hướng dẫn giải: Lực căng dây cực đại: ( ) max o τ mg 3 2cosα = − Lực căng dây cực tiểu: min o τ mgcosα = Lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu tức là max min τ 1,02τ = ( ) o o o o o mg 3 2cos α 1,02mgcosα 3 2cosα 1,02cosα α 6,6 → − = ⇔ − = → = ° DẠNG 4: NĂNG LƯỢNG CỦA CON LẮC ĐƠN  Công thức tính năng lượng đúng trong mọi trường hợp: + Động năng: 2 d 1 E mv 2 = + Th ế n ă ng : ( ) t E mg 1 cos α = − ℓ + C ơ n ă ng: ( ) 2 d t 1 E E E mv mg 1 cos α . 2 = + = + −ℓ  Công th ứ c tính n ă ng l ượ ng g ầ n đ úng (khi con l ắ c dao độ ng đ i ề u hòa): + Độ ng n ă ng: ( ) 2 2 2 d o 1 1 E mv mg α α . 2 2 = = −ℓ + Thế năng : ( ) 2 2 2 t 1 1 E mg 1 cos α mg α mω s . 2 2 = − = =ℓ ℓ + Cơ năng: ( ) 2 2 2 2 2 2 d t o o o 1 1 1 1 E E E mg α α mg α mg α mω S . 2 2 2 2 = + = − + = =ℓ ℓ ℓ Đơn vị tính : E, E đ , E t là Jun, α, α o đơn vị rad, còn m đơn vị kg, ℓ có đơn vị mét. Ví dụ 1. Tính năng lượng dao động của con lắc đơn trong các trường hợp sau: a) khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 0,5 (m). Khi con lắc dao động nó vạch ra cung dài coi như đoạn thẳng dài 4 (cm), lấy g = 10 (m/s 2 ). b) khối lượng vật nặng là m = 1 (kg), chiều dài dây treo ℓ = 2 (m). Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là α o = 10 0 . Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - c) khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 50 (cm). Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là α o = 0,12 (rad). Hướng dẫn giải: a) Năng lượng dao động 2 2 3 o mg.S 1 1 0,2.10.0,04 E . . 6,4.10 (J) 2 2 0,5 − = = = ℓ b) α o = 10 0 ≈ 0,175 rad, năng lượng của con lắc là 2 2 o 1 1 E mg . α .1.10.2.0,175 0,30625 (J). 2 2 = = =ℓ c) 2 2 3 o 1 1 E mg . α .0,2.10.0,5.0,12 7,2.10 (J) 2 2 − = = =ℓ Ví dụ 2. Khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 0,8 (m). Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng góc α o so với phương thẳng đứng thì nó dao động điều hòa với năng lượng E = 3,2.10 –4 (J). Tính biên độ dao động dài của con lắc, lấy g = 10 (m/s 2 ). Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức 4 2 o o 1 2E 2.3,2.10 E mg . α α 0,02 rad. 2 mg 0,2.10.0,8 − = → = = =ℓ ℓ Biên độ dao động dài của con lắc o A α 0,8.0,02 0,016 m. = = = ℓ Ví dụ 3. Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 (g), chiều dài dây treo là 1 (m), treo tại nơi có g = 9,86 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α o rồi thả không vận tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng E = 8.10 − −− −4 J. a) Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn gốc thời gian lúc vật nặng có li độ cực đại dương. Lấy π 2 = 10. b) Tính lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng. Hướng dẫn giải: a) Phương trình dao động: ( ) o s S cos ωt φ = + với tần số góc g ω 9,86 π (rad). = = = ℓ Biên độ dao độ ng S o : 2 2 4 o o 2 2 m ω S 2E 2.8.10 E S 0,04 (m) 4 (cm). 2 m ω 0,1. π − = → = = = = T ạ i t = 0 ta có o s S cos φ 1 φ 0 = ⇔ = → = . Vậy phương trình dao động của con lắc là s = 4cos(πt) cm. b) Ta có 0 o o S 0,04 α 0,04 rad 2,3 1 = = = ≈ ℓ Lực căng dây: ( ) 0 o max τ 3mg 3cosα 2cosα τ 3.0,1.9,86 2.0,1.cos2,3 2,7 6 (N) = − → = − ≈ Ví dụ 4. Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m = 200 (g), chiều dài dây ℓ = 0,25 (m) treo tại nơi có g = 10 m/s 2 . Bỏ qua ma sát. a) Tính cơ năng của con lắc. b) Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α o = 90 0 rồi thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc vật khi vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là 60 0 . c) Tính góc lệch α khi động năng bằng 3 thế năng. Hướng dẫn giải: a) Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng: ( ) ( ) o E mg 1 cos α 0,2.10.0,25. 1 cos90 0,5 (J). = − = − ° = ℓ b) Vận tốc vật khi qua VTCB là ( ) ( ) o v 2g 1 cos α 2.10.0,25 1 cos90 5 (m/s) = ± − = ± − ° = ± ℓ Khi góc α = 60 0 ta có ( ) o 1 v 2g cos α cosα 2.10.0,25 0 2,5 (m/s) 2   = ± − = ± − = ±     ℓ c) Khi động năng bằng ba lần thế năng ta có ( ) ( ) o d t t o 3 cosα 1 1 E 3E E E mg 1 cos α mg 1 cosα cosα 0,75 α 41,4 4 4 4 + = → = ⇔ − = − ⇔ = = → = ° ℓ ℓ Giáo viên : Đặng Việt Hùng Nguồn : Hocmai.vn . của con lắc đơn. Hướng dẫn giải: a) Trong 90 giây, con lắc thực hiện 90 dao động toàn phần → T = 90/ 90 = 1 (s). Tần số dao động của con lắc f = 1/T = 1 (Hz) b) Chiều dài của con lắc. m. Ví dụ 2. Một con lắc đơn có độ dài ℓ 1 dao động với chu kỳ T 1 = 0,8 (s). Một con lắc đơn khác có độ dài ℓ 2 dao động với chu kỳ T 1 = 0,6 (s). a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 . con lắc đơn dài ℓ 1 thực hiện được 5 dao động bé, con lắc đơn dài ℓ 2 thực hiện được 9 dao động bé. Hiệu chiều dài dây treo của hai con lắc là 112 (cm). Tính độ dài ℓ 1 và ℓ 2 của hai con