Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài ℓ 1 thực hiện được 8 dao động, con lắc có chiều dài ℓ2 thực hiện được 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9 cm.. Trong
Trang 1DẠNG 1: CHU KỲ, TẦN SỐ CỦA CON LẮC ĐƠN
Tần số góc dao động của con lắc ω g g2
ω
ℓ
Từ đó, chu kỳ và tần số dao động của con lắc là
2π
f
T 2π 2π
ℓ
ℓ
Trong cùng một khoảng thời gian ∆t mà con lắc thực hiện được N1 dao động, khi tăng hoặc giảm chiều dài con lắc một đoạn ∆ℓ thì con lắc thực hiện được N2 dao động
Khi đó ta có hệ thức
t N T N T
T
T
ℓ
ℓ
ℓ ℓ ℓ
Từ đó ta có thể tính được chiều dài con lắc ban đầu và sau khi tăng giảm độ dài
Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ thức liên hệ giữa li độ, biên độ, tốc độ và tần số góc
trong đó, x=ℓ.α là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung
Ví dụ 1 Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc g = 9,86 (m/s 2 ) Trong 1 phút 30 giây con lắc thực hiện được 90 dao động toàn phần
a) Tính tần số dao động của con lắc
b) Tính chiều dài của con lắc đơn
Hướng dẫn giải:
a) Trong 90 giây, con lắc thực hiện 90 dao động toàn phần → T = 90/ 90 = 1 (s)
Tần số dao động của con lắc f = 1/T = 1 (Hz)
b) Chiều dài của con lắc ℓ = 0,25 m
Ví dụ 2 Một con lắc đơn có độ dài ℓ 1 dao động với chu kỳ T 1 = 0,8 (s) Một con lắc đơn khác có độ dài ℓ 2 dao
độ ng với chu kỳ T 1 = 0,6 (s)
a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 + ℓ 2 là bao nhiêu?
b) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ 1 – ℓ 2 là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ1 + ℓ2:
+
b) Chu kì con lắc đơn có độ dài ℓ1 – ℓ2 :
−
Ví dụ 3 Một con lắc đơn chiều dài 99 (cm) có chu kì dao động 2 (s) tại A
a) Tính gia tốc trọng trường tại A
b) Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199 (s) Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A
c) Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2 (s) thì ta phải làm như thế nào?
MỞ ĐẦU VỀ CON LẮC ĐƠN
(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG
Trang 2Hướng dẫn giải:
a) Ta có
2
4π 4π 0,99
b) Chu kì con lắc tại B: TB t 199 1,99 (s)
n 100
∆
Từ đó ta được
g g
−
Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A
.g 0,99.9,86
′
ℓ
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: ∆ℓ= − = −ℓ′ ℓ 1 0,99=0,01 (m) 1 (cm).=
Ví dụ 4 Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài ℓ 1 thực hiện được 8 dao động, con lắc có chiều dài
ℓ2 thực hiện được 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9 (cm) Tìm chiều dài mỗi con lắc?
Hướng dẫn giải:
Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ1 là T1, chu kì con lắc có chiều dài ℓ2 là T2
Ta có ∆t = 8T1 = 10T2→ T1/T2 = 5/4 ⇔ ℓ1/ℓ2 = 25/16 → ℓ1 > ℓ2
Từ đó ta có hệ phương trình: 1 2 1
Ví dụ 5 Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc đơn dài ℓ 1 thực hiện được 5 dao động bé, con lắc đơn dài ℓ 2
thực hiện được 9 dao động bé Hiệu chiều dài dây treo của hai con lắc là 112 (cm) Tính độ dài ℓ 1 và ℓ 2 của hai con lắc?
Hướng dẫn giải:
Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ1 là T1, chu kì con lắc có chiều dài ℓ2 là T2
Ta có ∆t = 5T1 = 9T2→ T1/T2 = 9/5 ⇔ ℓ1/ℓ2 = 81/25 → ℓ1 > ℓ2
Ta có hệ phương trình 1 2 1
Ví dụ 6 Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14 (cm) Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc 1 thực hiện được 15 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 20 dao động
a) Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc Lấy g = 9,86 m/s 2
b) Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai
con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên
Hướng dẫn giải:
16
Mặt khác ta có: 1 2 1
2
32 (cm) 14
18 (cm)
=
=
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
b) Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng
phùng liên tiếp), ta có∆ =t N T1 1=N T2 2 (với N1 và N2 số dao động con lắc 1 và 2 thực hiện trong thời gian ∆t)
Mà T1 4T2 N2 4N1
= → = , tức là khi con lắc 1 thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động 1
t 4T 4.1,13 4,52 (s)
DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN
Gọi phương trình dao động của con lắc đơn là x = Acos(ωt + φ)
Ta cần xác định các đại lượng trong phương trình:
Trang 3- Tần số góc ω:
g
ω
2π
ω 2πf T v
ω
=
=
−
ℓ
- Biên độ dao động A:
max
2 2 2
o
v A
ω
v
ω
A α
=
=
ℓ
- Pha ban đầu φ: Tại t = 0, o
o
x A cos φ
v ωA sin φ
=
= −
=
ℓ
ℓ
o
o
α α cos( ωt φ ) rad
Ví dụ 1 Một con lắc đơn dao động điều hoà ở nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 (m/s 2 ), cho π 2 = 10, dây treo con lắc dài ℓ = 80 (cm), biên độ dao động là 8 (cm) Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều dương Viết phương trình dao động của con lắc
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động tổng quát là x = Acos(ωt + φ) cm
Tần số góc ω g 10 π 5(rad/s)
0,8 2
ℓ
Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên ta có
o
o
φ (rad)
v 0 ωA sin φ 0 sin φ 0 2
Vậy phương trình dao động của con lắc là x 8cos π 5t π cm
Ví dụ 2 Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài ℓ = 20 (cm) Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14 (cm/s) theo chiều dương của trục tọa độ Lấy g = 9,8 (m/s 2 ), viết phương trình dao
độ ng của con lắc
Hướng dẫn giải:
Tần số góc ω g 9,8 7 rad/s
0, 2
ℓ
Áp dụng hệ thức độc lập ta có
v 14
ω 7
Do t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương nên ta có o
o
φ (rad)
v 0 ωA sin φ 0 sin φ 0 2
Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 2cos(7t – π/2) cm
DẠNG 3: TỐC ĐỘ, LỰC CĂNG DÂY CỦA CON LẮC ĐƠN
Tốc độ của con lắc đơn được cho bởi công thức ( ) max ( o) 0
o
v 2g 1 cosα ; khi α 0
v 2g cosα cosα
v 0; khi α α
ℓ ℓ
Lực căng dây được cho bởi công thức ( ) max ( o) 0
o
τ mg 3 2cosα ; khi α 0
τ mg 3cosα 2cosα
τ mg.cosα ; khi α α
o
o
τ mg 1 1,5α α
= −
ℓ
Ví dụ 1 Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng 50 (g) treo vào một đầu dây mảnh dài 1 (m) Lấy g = 9,8 (m/s 2 ), kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc α o = 60 0 rồi buông ra để con lắc chuyển động với vận tốc ban
đầ u bằng không
a) Tính vận tốc và lực căng dây tại vị trí biên và vị trí cân bằng
b) Tính vận tốc và lực căng dây tai vị trí có góc lệch α = 30 0 so với phương thẳng đứng
Trang 4Hướng dẫn giải:
a) Tính vận tốc, lực căng dây
Tại vị trí cân bằng α = 0:
o
v= 2gℓ cosα−cosα = 2.9,8.1 cos0 −cos60 ≈3,13 m/s
Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosαo) = 50.10–3.9,8.(3cos00 – 2cos600) = 0,98 (N)
Tại vị trí biên α = 600:
o
v= 2gℓ cosα−cosα = 2.9,8.1 cos60 −cos60 =0 Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosαo) = 50.10–3.9,8.(3cos600 – 2cos600) = 0,245 (N)
b) Tại vị trí có góc lệch α = 300 so với phương thẳng đứng nên li độ α = 300
o
v= 2gℓ cosα−cosα = 2.9,8.1 cos30 −cos60 ≈2,68 m/s
Lực căng dây T = mg(3cosα – 2cosαo) = 50.10–3.9,8.(3cos300 – 2cos600) ≈ 0,783 (N)
Ví dụ 2 Một con lắc đơn gồm quả cầu có m = 20 (g) được treo vào dây dài ℓ = 2 (m) Lấy g = 10 (m/s 2 ) Bỏ qua
ma sát Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng α o = 60 0 rồi buông không vận tốc đầu
a) Tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng là bao nhiêu?
b) Tốc độ của con lắc khi con lắc có góc lệch α = 45 0 so với phương thẳng đứng
c) Tính lực căng dây của dây treo khi con lắc qua vị trí cân bằng và khi con lắc đến biên
Hướng dẫn giải:
o
v= 2gℓ cosα−cosα = 2.10.2 cos0 −cos60 =2 5 m/s
o
v= 2gℓ cosα−cosα = 2.10.2 cos45 −cos60 ≈2,88 m/s
c) Tốc độ của con lắc tại vị trí cân bằng và vị trí biên:
Tại vị trí cân bằng : T = mg(3cosα – 2cosαo) = 20.10–3.10.(3cos00 – 2cos600) = 0,4 (N)
Tại vị trí biên: T = mg(3cosα – 2cosαo) = 20.10–3.10.(3cos60 – 2cos60) = 0,1 (N)
Ví dụ 3 Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc α o , tại nơi có gia tốc trọng trường g, Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, Tìm α o
Hướng dẫn giải:
Lực căng dây cực đại: τmax =mg 3 2cos α( − o)
Lực căng dây cực tiểu: τmin =mg cos αo
Lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu tức là τmax =1,02τmin
mg 3 2cos α 1,02mg cos α 3 2cos α 1,02cos α α 6,6
DẠNG 4: NĂNG LƯỢNG CỦA CON LẮC ĐƠN
Công thức tính năng lượng đúng trong mọi trường hợp:
+ Động năng: Ed 1mv2
2
=
+ Thế năng : Et=mg 1 cosαℓ( − )
1
E E E mv mg 1 cosα
2
Công thức tính năng lượng gần đúng (khi con lắc dao động điều hòa):
+ Động năng: 2 ( 2 2)
t
E mg 1 cosα mg α mω s
Đơn vị tính : E, Eđ, Et là Jun, α, αo đơn vị rad, còn m đơn vị kg, ℓ có đơn vị mét
Ví dụ 1 Tính năng lượng dao động của con lắc đơn trong các trường hợp sau:
a) khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 0,5 (m) Khi con lắc dao động nó vạch ra cung dài coi như đoạn thẳng dài 4 (cm), lấy g = 10 (m/s 2 )
b) khối lượng vật nặng là m = 1 (kg), chiều dài dây treo ℓ = 2 (m) Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là α o = 10 0
Trang 5c) khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 50 (cm) Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là α o = 0,12 (rad)
Hướng dẫn giải:
a) Năng lượng dao động
3 o
mg.S
1 1 0, 2.10.0,04
−
ℓ
b) αo = 100≈ 0,175 rad, năng lượng của con lắc là E 1mg α2o 1.1.10.2.0,1752 0,30625 (J)
o
E mg α 0, 2.10.0,5.0,12 7, 2.10 (J)
−
Ví dụ 2 Khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 0,8 (m) Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng góc α o so với phương thẳng đứng thì nó dao động điều hòa với năng lượng E = 3,2.10 –4 (J) Tính biên độ dao
độ ng dài của con lắc, lấy g = 10 (m/s 2 )
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức
4 2
−
ℓ
Biên độ dao động dài của con lắcA=ℓαo=0,8.0,02=0,016 m
Ví dụ 3 Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 (g), chiều dài dây treo là 1 (m), treo tại nơi có g = 9,86 m/s 2 Bỏ qua mọi ma sát Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α o rồi thả không vận tốc đầu Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng E = 8.10−−−−4 J
a) Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn gốc thời gian lúc vật nặng có li độ cực đại dương Lấy
π 2 = 10
b) Tính lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình dao động: s=S cos ωto ( +φ) với tần số góc ω= g = 9,86=π (rad)
ℓ
Biên độ dao động So:
o
−
Tại t = 0 ta có s=So⇔cos φ 1= → =φ 0
Vậy phương trình dao động của con lắc là s = 4cos(πt) cm
o
S 0,04
1
ℓ
τ=3mg 3cos α 2cos α− →τ =3.0,1.9,86 2.0,1.cos 2,3− ≈2,76 (N)
Ví dụ 4 Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m = 200 (g), chiều dài dây ℓ = 0,25 (m) treo tại nơi có g =
10 m/s 2 Bỏ qua ma sát
a) Tính cơ năng của con lắc
b) Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α o = 90 0 rồi thả không vận tốc đầu Tính vận tốc vật khi vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là 60 0
c) Tính góc lệch α khi động năng bằng 3 thế năng
Hướng dẫn giải:
a) Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng
Cơ năng: E=mg 1 cos αℓ( − o)=0, 2.10.0, 25 1 cos90( − ° =) 0,5 (J)
b) Vận tốc vật khi qua VTCB là v= ± 2g 1 cos αℓ( − o)= ± 2.10.0, 25 1 cos 90( − ° = ±) 5 (m/s)
Khi góc α = 600 ta có ( o)
1
v 2g cos α cos α 2.10.0, 25 0 2,5 (m/s)
2
ℓ
c) Khi động năng bằng ba lần thế năng ta có
3 cos α
+