Hỏi đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau một tuần nếu chiều dài giảm 0,02% và gia tốc trọng trường tăng 0,01%.. DẠNG 2: CHU KỲ CON LẮC ĐƠN CHỊU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ Gọi T1 là chu
Trang 1DẠNG 1: CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ SỰ THAY ĐỔI CHIỀU DÀI, GIA TỐC
Bổ đề: Với x << 1 ta có các công thức gần đúng: ( )
n
Khi thay đổi chiều dài một lượng nhỏ
Ta có :
1 2
T 2π
T 2π
g
=
′
′ =
ℓ
ℓ
Từ đó ta được T T.
2
∆
ℓ
Khi đưa con lắc đến một nơi có sự thay đổi gia tốc g một lượng nhỏ
Ta có :
1 2
T 2π
T 2π
g
−
=
′ =
ℓ
ℓ
Từ đó ta được T T g
2g
∆
∆ = −
Khi cả chiều dài và gia tốc thay đổi một lượng nhỏ
Ta có :
1 1
2 2
T 2π
T 2π
g
−
=
′ =
ℓ
ℓ
Khi chu kì tăng (∆ = − >T T′ T 0) con lắc chạy chậm, khi chu kì giảm (∆ = − <T T′ T 0) con lắc chạy nhanh
Thời gian chạy nhanh hay chậm sau một giây là: θ T
T
∆
=
Từ đó ta có:
τ 3600 s T
∆
=
τ 24.3600 s T
∆
=
τ 7.24.3600 s T
∆
Phương pháp chung ta thường xét tỉ só T T T T 1 g 1
′
ℓ
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN - PHẦN 1
(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG
Trang 2Ví dụ 1: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi chiều dài thanh treo
0, 234 m
====
ℓ và gia tốc trọng trường g = 9,832 m/s 2 Nếu chiều dài thanh treo ℓ′′′′ ====0, 232 m và gia tốc trọng trường g′ = 9,831 m/s 2 m/s 2 thì trong một ngày đêm nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta có
2π g
2π g
′
′
′
ℓ ℓ ℓ
t 86400 365.472 s
T
∆
Chú ý: Ngoài cách trên ta có thể đặt
g g g
′ = + ∆
′ = + ∆
1 1
2 2
2π g
2π g
−
′
′
ℓ
ℓ
Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ Hỏi đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau một tuần nếu chiều dài giảm 0,02% và gia tốc trọng trường tăng 0,01%
Hướng dẫn giải:
Ta có
2π g
2π g
′
′
′
ℓ
ℓ ℓ
g g g
′ = + ∆
′ = + ∆
1 1
2
−
−
t 7.86400 90.72 s
T
∆
Ví dụ 3: Dùng con lắc đơn có chiều dài ℓ====1 m để điều khiển đồng hồ quả lắc thì đồng hồ chạy đúng giờ Do sơ suất khi bảo dưỡng nên đã làm giảm chiều dài thanh treo 0,2 mm Hỏi đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau một ngày đêm
Hướng dẫn giải:
Xét tỉ số:
2π g
2π g
′
′
′
ℓ ℓ ℓ ℓ
−
′
′ = + ∆
Vậy đồng hồ chạy nhanh
t 86400 10 86400 8,64 s T
−
∆
Ví dụ 4: Một đồng hồ quả lắc đếm giây mỗi ngày nhanh 120 (s), phải điều chỉnh chiều dài của con lắc thế nào để
đồ ng hồ chạy đúng?
Trang 3
Ví dụ 5: Một đồng hồ quả lắc mỗi tuần chạy chậm 15 phút, phải điều chỉnh chiều dài của con lắc thế nào để
đồ ng hồ chạy đúng?
DẠNG 2: CHU KỲ CON LẮC ĐƠN CHỊU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ
Gọi T1 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t1, (con lắc chạy đúng ở nhiệt độ này)
Gọi T2 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t2, (con lắc chạy không đúng ở nhiệt độ này)
1
2 2
T 2π
T 2π
g
−
=
+
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
2
2
1
t
≃
1
T
T
1
T
T
Thời gian chạy nhanh (hay chậm) của con lắc trong 1 (s) là :
−−−−
Khi đó thời gian chạy nhanh hay chậm trong 1 ngày (có 86400 (s)) là 86400.τ
Ví dụ 1 Một con lắc đơn chạy đúng giờ vào mùa hè khi nhiệt độ là 32 0 C Khi nhiệt độ vào mùa đông là 17 0 C thì
nó sẽ chạy nhanh hay chậm? Nhanh hay chậm bao nhiêu giây trong 12 giờ, biết hệ số nở dài của dây treo là λ = 2.10 –5 K –1 , chiều dài dây treo là ℓ o = 1 (m)
Hướng dẫn giải:
Gọi T1 là chu kì con lắc đơn ở 320C, T2 là chu kì con lắc đơn ở 170C
1
1 t t 1 2.10 (17 32) 0,99985 T 0,99985T
−
Thời gian chạy nhanh của con lắc trong 1 (s) là 1 t 1.2.10 15 1,5.10 (s)5 4
Trong 12 giờ (có 12.3600 giây) con lắc chạy nhanh 1,5.10–4.12.3600 = 6,48 (s)
Ví dụ 2 Một con lắc đơn đếm giây có chu kỳ bằng 2 (s) ở nhiệt độ 0 0 C và ở nơi có gia tốc trọng trường là 9,81 (m/s 2 ), biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là 1,8.10 –5 K –1 Độ dài của con lắc ở 0 0 C và chu kỳ của con lắc ở cùng vị trí nhưng ở nhiệt độ 30 0 C là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi T1 là chu kì con lắc đơn ở 00C, T2 là chu kì con lắc đơn ở 300C
Độ dài con lắc đơn tại 00C:
T g 2 9,81
0,994 (m)
ℓ
1
1 (t t ) 1 1,8.10 30 0 1,00027 T 1, 00027T 1,00027.2 2,00054 (s)
−
Vậy chu kỳ con lắc ở nhiệt độ 300C là T2 = 2,00054 (s)
Ví dụ 3 Một đồng hồ quả lắc được xem như con lắc đơn mỗi ngày chạy nhanh 86,4 (s) Phải điều chỉnh chiều dài của dây treo như thế nào để đồng hồ chạy đúng?
Hướng dẫn giải:
Trang 41 ngày con lắc chạy nhanh 86,4 (s) ⇒ 1 (s) con lắc chạy nhanh 86,4 : 86400 = 10–3 (s) 2 3
1
T
T
−
Do con lắc chạy nhanh, tức chu kỳ giảm nên T2 < T1
3
−
T
0, 999 0,998
ℓ → cần tăng chiều dài dây treo so với ban đầu là (1 – 0,998).100 = 0,2%
DẠNG 3 CHU KỲ CON LẮC ẢNH HƯỞNG BỞI ĐỘ CAO
Gọi To là chu kỳ con lắc đơn ở mặt đất (coi như h = 0), (con lắc chạy đúng ở mặt đất )
Gọi Th là chu kỳ con lắc đơn ở độ cao h so với mặt đất, (con lắc chạy không đúng ở độ cao này) Coi như nhiệt độ ở độ
cao h không thay đổi, nên chiều dài cũng không thay đổi Khi đó
o
h
h
T 2π
T 2π
g
=
ℓ
ℓ
Mặt khác, lại có
G.M g
R G.M g
(R h)
=
, với
2 11 2
N.m
G 6, 67.10
kg
là hằng số hấp dẫn
Từ đó ta được:
2 o
g
Do h > 0 nên h
o
T
Thời gian mà con lắc chạy chậm trong 1 (s) là h o h
−
Chú ý:
Khi con lắc đưa lên độ cao h mà nhiệt độ cũng thay đổi thì chúng ta phải kết hợp cả hai trường hợp để thiết lập công thức Cụ thể:
1 1
2
2 2
(1 λ )
(1 λ )
+
ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
o o
o h
t T
t t
t T
1
2
1
λ
2
h
o
t t
h R
Ví dụ 1 Một con lắc đơn chạy đúng ở mặt đất Khi đưa nó lên độ cao h = 1,6 (km) thì trong một ngày đêm nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính Trái đất là R = 6400 (km)
Hướng dẫn giải:
Gọi To là chu kì của con lắc khi ở mặt đất, Th là chu kì con lắc ở độ cao 1,6 (km)
Ta có
2 o
g
Th > To→ tại độ cao 1,6 (km) con lắc chạy chậm đi
Thời gian con lắc chạy chậm trong 1 (s) là h 0 h 4
1 2,5.10 (s)
−
−
Vậy trong 1 ngày đêm con lắc chạy chậm 86400.2,5 10–4 = 21,6 (s)
Ví dụ 2 Một con lắc đơn dao động trên mặt đất ở 30 0 C Nếu đưa con lắc lên cao 1,6 (km) thì nhiệt độ ở đó phải bằng bao nhiêu để chu kỳ dao động của con lắc không đổi Bán kính trái đất là 6400 (km) Cho biết hệ số nở dài
Trang 5Hướng dẫn giải:
Gọi To là chu kì con lắc ở mặt đất tại nhiệt độ t1 = 300C, Th là chu kì con lắc ở độ cao 1,6(km) tại nhiệt độ t2
Ta có h
o
1 (t t ) 1
−
Vậy nhiệt độ tại nơi đó phải là t2 = 50C
Ví dụ 3 Một con lắc đồng hồ chạy đúng tại mặt đất có gia tốc g = 9,86 (m/s 2 ) và nhiệt độ là t 1 = 30 0 C Đưa đồng
hồ lên độ cao 640 (m) so với mặt đất thì ta thấy rằng đồng hồ vẫn chạy đúng Giải thích hiện tượng và tính nhiệt
độ tại độ cao đó, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ = 2.10 –5 K –1 , và bán kính trái đất là R = 6400 (km)
Hướng dẫn giải:
Giải thích hiện tượng:
Khi đưa con lắc đơn lên cao thì gia tốc giảm do
G.M g
R G.M g
(R h)
=
Mặt khác, khi càng lên cao thì nhiệt độ càng giảm nên chiều dài của dây treo cũng giảm theo
Từ đó T 2π
g
= ℓ có thể sẽ không thay đổi
Tính nhiệt độ tại độ cao h = 640 (m)
Theo chứng minh trên, để chu kỳ không thay đổi thì 1 t h t 2h 2.0,64 5 100
λ Khi lên cao nhiệt độ giảm nên t2 = 200C
Ví dụ 4 Ở mặt đất một con lắc đơn có chu kì T = 2 (s) Biết khối lượng Trái đất gấp 81 lần khối lượng Mặt trăng
và bán kính Trái đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng Tìm chu kì con lắc khi đưa con lắc lên Mặt trăng
Hướng dẫn giải:
Chu kì con lắc khi ở Trái đất: T 2π
g
R
=
Chu kì con lắc khi ở Mặt trăng: T 2π
g
′ =
′
ℓ
với
2
2
GM.3,7 g
81.R
′ = 2
2, 43 T 2, 43T 2, 43.2 4,86 (s)
′
Vậy chu kì con lắc khi ở mặt trăng là 4,86 (s)
Ví dụ 5 Con lắc của một đồng hồ coi như một con lắc đơn Đồng hồ chạy đúng khi ở mặt đất Ở độ cao 3,2 km nếu muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài con lắc như thế nào?
Biết bán kính trái đất R = 6400 km
Hướng dẫn giải:
Ở mặt đất: T 2π
g
= ℓ với g GM2
R
=
Ở độ cao h: T 2π
g
′ =
′
ℓ
với
GM
R h
′ = +
′
ℓ
2 2
2
R h
−
+
Trang 6Vậy cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng 1
1000 chiều dài ban đầu
Ví dụ 6 Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội với T = 2 (s), ở nhiệt độ trung bình bằng 20 0 C gồm vật nặng m và thanh treo mảnh, nhẹ bằng kim loại có hệ số nở dài λ====2.10 K−−−−5 −−−−1 Đưa đồng hồ vào thành phố Hồ Chí Minh có nhiệt độ trung bình 30 0 C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm so với Hà Nội và nhanh chậm mỗi ngày bao nhiêu? Biết gia tốc trọng trường ở thành phố Hồ Chí Minh là g′ = 9,787 m/s 2 và ở Hà nội là g = 9,793 m/s 2
Hướng dẫn giải:
Đưa đồng hồ từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh do nhiệt độ và gia tốc trọng trường g thay đổi nên đồng hồ sẽ chạy
sai
Xét sự thay đổi chu kì theo nhiệt độ:
+ Ở Hà Nội nhiệt độ t1: T 2π 1
g
+ Ở TP Hồ Chí Minh nhiệt độ t2: T 2π 2
g
T
T
ℓ
Áp dụng công thức gần đúng: ( )n 2
∆
Xét sự thay đổi chu kì theo gia tốc trọng trường g:
g
= ℓ ở TP Hồ Chí Minh: T 2π
g
′ = ℓ′với g′ = g + ∆g
1 g
g
Vậy độ biến đổi chu kì của con lắc khi đưa từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh là:
Chu kì tăng, nên đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là
ψ 86400 86400 35 (s)
Giáo viên : Đặng Việt Hùng