7.6 Nội suy Newton 7.6.1 Sai phân Cho hàm f(x) h số, đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) gọI sai phân cấp đốI vớI bước h ∆2f(x) = ∆[∆f(x)] : sai phân cấp Tổng quát: ∆kf(x) = ∆[∆k-1 f(x)] : sai phân cấp k Cách lập bảng sai phân: 7.6.2 Công thức nội suy Newton Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi mốc xi cách khoảng h Khi hàm nội suy Newton đa thức bậc n xác định sau: L n(x) = Coϕ0(x) + C1ϕ1(x) + + Cnϕn(x) (*) Trong đó: ϕ0(x) = 1; Lớp hàm ϕi(x) có tính chất sau: - ϕi(x0) = ∀i = 1, n - ∆ϕk(x) = ϕk-1(x) * Xác định hệ số Ci (i = ) Sai phân cấp Ln(x) : (1) ∆Ln(x) = C0∆ϕ0(x) + C ∆ϕ1(x) + C ∆ϕ (x) + + C ∆ϕ (x) 2 n n = C1ϕ0(x) + C2ϕ1(x) + + Cnϕn-1(x) Sai phân cấp Ln(x) : (2) ∆2Ln(x) = C ∆ϕ (x) + C2∆ϕ1(x) + + Cn∆ϕn-1(x) = C2ϕ0(x) + C3ϕ1(x) + + Cnϕn-2(x) … … Sai phân cấp n L (x) : (n) ∆nLn(x) = Cnϕ (x) = Cn Thay x = x vào (*), (1), (2), , (n) ta được: C = Ln(x ) ; C1 = ∆Ln(x0) ; C2 = ∆2Ln(x0) ; ; Cn= ∆nLn(x ) n 0 0 Vì Ln(x) ≈ f(x) nên: Ln(x0) ≈ f(x0) ; ∆Ln(x0) ≈ ∆f(x0) ; ∆2Ln(x0) ≈ ∆2f(x0) ; …; ∆nLn(x0) ≈ ∆nf(x0) Vậy: Ví dụ Xây dựng hàm nội suy Newton thoả mãn: Giải Lập bảng sai phân: Hàm nội suy Newton: