PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Nguyễn Văn Hoan Trường THCS Sơn Cơng Ứng Hịa Hà Nội Bài : a ( x + 1) − x ( a + 1) b x − + x n +3 − x n Giải: a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a ( x + 1) − x ( a + 1) = ax + a − a x − x = ax ( x − a ) − ( x − a ) = ( x − a )( ax − 1) b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức n x − + x n +3 − x n = x ( x − 1) + ( x − 1) ( ) [ ( ) ] = x n ( x − 1) x + x + + ( x − 1) = ( x − 1) x n x + x + + ( ) = ( x − 1) x n + + x n +1 + x n + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + b x6 - x4 - 2x3 + 2x2 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) [( [( x ) ( )] = x x − 2x + + x − 2x + = x2 = x2 ) ( x − 1) [ x ] − + ( x − 1) = x ( x − 1) 2 2 + 2x + ] [( x + 1) ] +1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc b x + 2007 x + 2006 x + 2007 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp: 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc = 2a b + 4ab − a c − 2abc + ac − 4b c + 2bc − 2abc = = 2ab( a + 2b ) − ac( a + 2b ) + c ( a + 2b ) − 2bc ( a + 2b ) ( ) = ( a + 2b ) 2ab − ac + c − 2bc = ( a + 2b ) [ a( 2b − c ) − c( 2b − c ) ] = ( a + 2b )( 2b − c )( a − c ) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức ( ) = x − x + 2007 x + 2007 x + 2007 ( ) ( ) 2 x + 2007 x + 206 x + 2007 = x( x − 1) x + x + + 2007 x + x + ( )( = x + x + x − x + 2007 ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a + b + c − 3abc b ( a + b + c ) − a − b − c Giải: Sử dụng đẳng thức a + b = ( a + b ) a + b − ab ( [ = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab ) ] = ( a + b ) − 3ab( a + b ) Do đó: [ ] − ( a + b ) c + c ] − 3ab( a + b + c ) a + b + c − 3abc = = ( a + b ) + c − 3ab( a + b ) − 3abc [ = ( a + b + c) ( a + b) ( = ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca [ ) ] b ( a + b + c ) − a − b − c = ( a + b + c ) − a − ( b + c ) [ ] ( = ( b + c ) ( a + b + c ) + a( a + b + c ) + a − ( b + c ) b − bc + c ( ) = ( b + c ) 3a + 3ab + 3bc + 3ca = 3( b + c )( a + c )( a + b ) ) Bài 5: Cho a + b + c = Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ ( a + b ) = −c ⇒ a + b + 3ab( a + b ) = −c Giải: Vì a + b + c = ⇒ a + b + c − 3abc = ⇒ a + b + c = 3abc Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử : a x − x − 12 = ( x − 4)( x + 3) b x + x + 15 = ( x + 3)( x + 5) c x − x − 16 = ( x + )( x − 8) d x − x + x + = ( x + 1) x − x + Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( x − x ) − 2( x − x ) − 15 = ( x − x − 5)( x − x + 3) Bài8 : Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 ( ) = ( x − y )( x − a )( y − a )( x + y + a ) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc = ( a + b )( b + c )( c + a ) 3.x y + xy + x z + xz + y z + yz2 + 2xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 Bài : x + 4y + z = 2x + 12y - 4z - 14 2 2 ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) | +( z − ) 2 Bài 10 : Từ a + b + c + d = ⇒ ( a + b ) = −( c + d ) Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd) Nếu x + y + z = : x + y + z = 3xyz ⇒ (x )( ) ( + y + z x + y + z = xyz x + y + z ( ) ⇔ x + y + z − xyz ( xy + yz + zx ) = 3xyz x + y + z ( ) ( ) ) ⇔ x + y + z − xyz ( xy + yz + zx ) = xyz x + y + z ; ( *) 5 ( − xyz ( xy + yz + zx ) = xyz x + y + z ) 2 Nhưng: ( x + y + z ) = ⇒ −2 xyz ( xy + yz + zx ) = x + y + z (**) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Bài 11: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 Phân tích biểu thức A thành nhân tử Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) Bài 12 Phân tích đa thức thành nhân tử x + x + = x − x + ( x + x + 1) =x ( x − 1) + ( x + x + 1) a =x ( x + 1)( x − 1) + ( x + x + 1) =x ( x + 1)( x − 1)( x + x + 1) + ( x + x + 1) =( x + x + 1)( x − x + x − x + 1) b x3 + y + z − 3xyz = x + y + xy ( x + y ) + z − xy ( x + y ) − xyz = ( x + y )3 + z − xy ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( x + y ) − z ( x + y ) + z − xy ( x + y + z ) = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx) Bài 12 : Ta có M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a x + x + x + y + z − xyz Giai x + x + = x − x + ( x + x + 1) =x ( x − 1) + ( x + x + 1) a =x ( x + 1)( x − 1) + ( x + x + 1) =x ( x + 1)( x − 1)( x + x + 1) + ( x + x + 1) =( x + x + 1)( x − x + x − x + 1) b x3 + y + z − 3xyz = x + y + xy ( x + y ) + z − xy ( x + y ) − xyz = ( x + y )3 + z − xy ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( x + y ) − z ( x + y ) + z − xy ( x + y + z ) = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx) Bài 14 : Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 b x2 + 7x + 10 a 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 = (9x2 - 12xy + 4y2) – 64 = = ( 3x – 2y )2 – 82 = ( 3x – 2y - ) ( 3x – 2y + ) b x2 + 7x + 10 = x2 +5x +2x + 10 = = x(x+5) + 2(x+5) = (x+5)(x+2) Bài 16 : a/ x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) = x[x2( x2-1)-4(x2-1)] = x( x2-1)(x2-4) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) Cho biÓu thøc A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Bµi 17 : Phân tích A thành nhân tử : A = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2 = (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2) = [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)] = (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c) Bµi 18 : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 19 : Phân tích biểu thức sau thành nh©n tư : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lời giải Đặt S = a + b P = ab, a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Bµi 20 : Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = z) Tơng tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Phân tích đa thức 4(1 + x)(1 + y )(1 + x + y ) − x y thành nhân tử A = 4(1 + x + y + xy )(1 + x + y ) − 3x y = 4(1 + x + y ) + 4(1 + x + y ) xy − x y = [ 2(1 + x + y ) + xy ) ] − (2 xy ) 2 = ( + x + y − xy ) ( + x + y + 3xy ) Bài 21 : Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử : x4 + 2011x2 +2010x+ 2011 a, x4 + 2011x2 +2010x+ 2011 = x4 +x2+ 1+2010x2 +2010x+ 2010 =[(x2+1)2-x2] + 2010(x2 +x+ 1) =(x2+ x+1) ( x2-x+2011) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b/ Phân tích đa thức sau thừa số: ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 Phân tích đa thức thành nhân tử: Ta có: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 Bài 22 Phân tích đa thức 2 = (x + 7x + 11 - 1)( x + 7x + 11 + 1) - 24 sau thành nhân tử: = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x2 + 7x + 16) 2x2 -3x + x2 - 2x – 4y2 - 4y x4 + = 2x2 – 2x – x + = 2x( x – 1) – ( x – 1) = (x - 1)(2x - 1) b = (x2 – 2x + 1) – ( 4y2 + 4y + 1) = (x-1)2 –(2y +1)2 = (x- 2y - 2)(x + 2y) a) b) c) a c x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Bài 23 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) x + ( + 2) x + ; b) x3 + 4x2 – 29x + 24 x + ( + 2) x + = ( x + 3x ) + ( x + 6) = x( x + 3) + 2( x + 3) = ( x + 3)( x + 2) x3 + 4x2 – 29x + 24 = x3 – + 4x2 – 4x – 25x + 25= (x - 1)(x2 +5x - 24) = (x-1)(x-3)(x+8) Bài 24: a, a3+a2c-abc+b2c +b3 =(a3+b3) +(a2-abc +b2c) =(a+b)(a2-ab+b2) +c(a2-ab+b2) =(a2-ab+b2)(a+b+c) b, x8+-3x4+4 =x8 +4x4+4-x4 =(x4+2)2-(x2)2=(x4-x2+2)(x4+x2+2) c, a8+a4+1 =a8+2a4 +1-a4=(a4+1)-a4=(a4-a2+1)(a4+a2 +1) Bài 25 : a10+a5+1=a10+a9+a8+a7+a6+a5+a5-a5+a4+a3+a2+a-a9-a8-a7-a6-a5-a4-a3-a2-a =(a10+a9+a8)+(a6+a5+a4)+(a5+a4+a3) +(a2+a+1)-(a9+a8+a7) -(a6+a5+a4)-(a3+a2+a) =a8(a2+a+1) +a5(a2+a+1) +a3(a2+a+1)+(a2+a+1)-a7(a2+a+1) -a4(a2+a+1)-a(a2+a+1) =(a2+a+1)(a8-a7+a5-a4+a3-a+1) Bài 25: a, a8+a+1 =(a8+a7+a6)+(a5+a4+a3)+(a2+a+1)-(a7+a6+a5)-(a4+a3+a) =a6(a2+a+1)+a3(a2+a+1)+(a2+a+1)-a5(a2+a+1)-a2(a2+a+1) =(a2+a+1)(a6+a3+1-a5-a2) b, a8+a7+1 cách làm tương tự Bài 26 : a16+a8b8+b16=a16+2a8b8+b16-a8b8=(a8+b8)-(a4b4)2=(a8+b8-a4b4(a8+b8+a8b8) b, (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15=(a+1)(a+7)(a+3)(a+5)+15=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+15 =(a2+8a)2+22(a2+8a)+120=(a2+8a+11)2-1=(a2+8a+12)(a2+8a+10) Bài 27 : bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b) Tách b-c = a-c-a+b=(a-c)-(a-b) ta viết =bc(a+d) [ (a − c) − (a − b) ] − ac(b + d )(a − c) + ab(c + d )(a − b) =bc(a+d)(a-c)-bc(a-b)(a+d)-ac(b+d)(a-c) +ab((c+d)(a-b) ta nhóm [ bc] [ bc(a + d )(a − c) − ac(b + d )] + [ ab(c + d )(a − b) − bc(a − b)(a + d ) ] =(a-c) [ bc(a + d ) − ac(b + d ) ] + (a − b) [ ab(c + d ) − bc(a + d ) ] (a-c)((ab+bd-ab-ad)c+(a-b)(ac+ad-ac-cd)b=-d(a-b)(a-c)+d(a-b)(a-c)b =(a-b)(a-c)(b-c) Bài 28 :a, x4+5x3-12x2+5x+1=(x4-x3)+(6x3-6x2)-(6x2-6x)-(x-1) =x3(x-1)+6x2(x-1)-6x(x-1)-(x-1)=(x-1)(x3+6x2-6x-1)=(x-1)2(x2+5x+1) b, 2x4-21x3+74x2-105x+50 =(x-1)(2x3-19x2+55x-50) =(x-1)(x-5)(x-2)(x ) Bài 29 : a,(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 khai triển ba đẳng thức nhóm hạng tử -3xy(x-y)-3z2(x-y)+3z(x2-y2)=3(x-y) − xy − z + z ( x + y ) = 3( x − y ) [ − x( y − z ) + z ( y − z ) ] =3(x-y)(y-z)(z-x) b,x4+6x3+7x2=6x+1=(x4+3x3-x2)+(3x3+9x2-3x)-x2-3x+ tách 7x2=9x2-x2- x2và 6x3=3x3+3x3 ta có x2(x2+3x-1)+3x(x2+3x-1)-(x2+3x-1)=(x2+3x-1)(x2+3x-1)=(x2+3x-1)2 Bài 30 : (x2+x+1)(x2+2)-12 đặt x2+x+1=a a(a+1)-12=a2+a-12=a2-3a+4a-12=a(a-3)+4(a-3)=(a-3)(a+4) =(x2+1-2)(x2+x+5) b,x3-7x-6=x3+1-7x-7=(x3+1)-(7x+7)=(x+1)(x2-x+1)-7(x+1)=(x+1)(x2-x-6) =(x+1)(x+2)(x+3) Bài 31 : a, 27x3-27x2+18x-4=(3x-1)(9x2-6x+4) b,2x3-x2+5x+3=(2x+1)(x2-x+3) c,(x2-3)2+16=x4-6x2+9+16=x4+10x2+25-16x2=(x2+5)2-(4x)2 =(x2+5+4x)(x2+5-4x) Bài 32 : (x2+x)2-2(x2+x)-15 đặt x2+x=a a2-2a-15=a2+3a-5a-15=(a2+3a)-(5a+15)=a(a+3)-5(a+3)=(a+3)(a-5) =(x2+x+3)(x2+x-5) b, x2+2xy+y2-x-y-12=(x+y)2-(x+y)-12 đặt x+y=a =a2-a-12=a2+3a-4a-12=a(a+3)-4(a+3)=(a+3)(a-4) =(x+y+3)(x+y-4)aaf Bài 33 Phân tích ®a thøc thµnh nhân tư A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz) X 7x Cách 1: Tách số hạng -7x thµnh – x – 6x, ta cã: X3 – 7x – = x3 – x – 6x – = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Baøi 34: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giai: a) đặt x2 + x + = y ta coù x2 + x + =y +1 Ta c ã: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) 2 : (x + x + 1)(x + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Bµi 35 : Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thµnh nhân tử Giai: đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n cho m.n = 90 va m + n = 19 víi m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nªn chän m = 9, n = 10, ta cã: 6y + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) Bµi 36 : Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhõn tử Giai: đặt y = x2 suy y2 = x4 – 2x2 + BiÕn ®æi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Ta cã Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 vµ m + n = 3x chän m = 5x , n = - 2x Ta cã: Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do ®ã , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) Bµi 37 : Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 16 thành nhõn tử Giai: đặt y = x lúc P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do ®ã P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – Bài 38 : 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 6x + b) x4 + 2007x2 + 2006x + 2007 c) (x + 1).(x + 2) (x + 3).(x + 4) + a) = ( x + 1)( x + 5) b) = x + x3 + x − x − x − x + 2007 x + 2007 x + 2007 = x ( x + x + 1) − x( x + x + 1) + 2007( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2007 ) c) = ( x + x + 4)( x + x + 6) + Dặt y = ( x + 5c + 5) ⇔ ( y − 1)( y + 1) + = y = ( x + x + 5) Bài 39: Phân tich đa thức sau thành nhân tử : c 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 d x2 + 7x + 10 Bài a 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 = (9x2 - 12xy + 4y2) – 64 = = ( 3x – 2y )2 – 82 = ( 3x – 2y - ) ( 3x – 2y + ) b x2 + 7x + 10 = x2 +5x +2x + 10 = = x(x+5) + 2(x+5) = (x+5)(x+2) Bài 40: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 + 5x – 6xy - 10y b) x2 – 2xy + 3x + y2 - 3y – b, x2 -2xy +y2 +3x-3y -4 =(x-y)2 +3(x-y) -4=(x-y)(x-y+3)-4 Bµi 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 + 7x + 10 b) (x2 + y2 - z2)2 -4x2y2.=( x2+y2-z2)-(2xy)2=(x2+y2-z2-2xy)(x2+y2-z2+2xy) c) x4 – 4x3 + 8x2 -16x +16 Bài 42 : Phân tích a thc sau thành nh©n tử : a) x2 - (2x + 3)(x + 5) + b) x20 + x +1 c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 Bµi 43 : Phân tích thành nhân tử: a) x y + 64 b) x − x + 14 x x + Bài 44: phân tích đa thức thành nhân tử: a) ( x + y ) − ( x + y ) − 4 2 b) ( x + x + 1)( x + 3x + 1) + x Bài 45: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x − x + x − x − 3x + b) x + x + 4 c, x + x − x + 3x − Bài 46: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) − x + − x − x 3 3 3 b) a(b − c ) + b(c − a ) + c(a − b ) c, x + 3x − x + Bài 47 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 3 a) (a + b + c) − (a + b − c) − (b + c − a) − (c + a − b) b) ( x + y ) + ( z − x ) − ( y + z ) Bài 48: Phân tích thành nhân tử: 10 a) x + x + 2 b) ( x − 3x + 2)( x − x + 12) − 15 c, x − x − x − x + x + x + x − Bµi 49: a) x + 3x − x − 12 b) x + x + ;b) (4 x + 1)(12 x − 1)(3x + 2)( x + 1) Bài 50 : Phân tích đa thức thành nh©n tư 2 2 2 a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + x -2 víi x > b, a(b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a) + c(a + b) (a − b) c , ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a − b + c) a) x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 2 = ( x + 1) ( x + ) b) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) c) x + ( + 2) x + = ( x + x) + ( x + 6) = x ( x + 3) + 2( x + 3) = ( x + 3)( x + 2) Bài 51 : Cho f(n) = n5 – 5n3 + 4n (n số nguyên dương) a) Phân tích f(n) thành nhân tử b) Chứng tỏ f(n) chia hết cho 120 với n số nguyên dương Giải: a) f(n) = n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) b) Ta thấy n – 2, n – 1, n, n + 1, n + số nguyên liên tiếp nên tồn tại số bội 3, một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 3; f(n) ⋮ ⇒ f(n) ⋮ 15 (1) (vì (3 ; 5) = 1) Mặt khác, số nguyên liên tiếp kể trên, tồn tại ít nhất hai số chẵn, đó có một số là bội của và một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 2.4 = (2) Vì (8 ; 15) = nên từ (1) và (2) suy f(n) ⋮ 8.15 Hay f(n) ⋮ 120 (đpcm) Bµi 52 : a, a(x2+1)-x(a2+1) b, x-1 +xn+3-xn a, a x2+a-a2x-x = a x2-a2x-x+a= a x(x-a)-(x-a)=(x-a)(a x-1) b, x-1 +xn.x3-xn = x-1 +xn(x3-1)=(x-1)(1+x2+x+1)=(x-1)(x2+x+2) Bµi 53 : x4 +2010xx2 +2009x+2010 =(x4-x) +(2010x2+2010x+2010) = x(x-1)(x2+x+1) + 2010(x2+x+1) =(x2+x+1)(x2-x+2010) b, -16a4b6-24a5b5-9a6b4 =-a4b4(16b2+24ab+9a2) =-a4b4(4b+3a)2 c, 8m3+36m2n +54mn2 +27n3 =(2m+3n)3 1 1 c, a + = a + ÷ − a = a + + a ÷ a − − a ÷ 2 2 Bµi 54 : a, n3 (n2-7)2 -36 =n3 (n4-14n2 +49) -36 =n7 -14n5+49n3-36n =(n7-n5) -(13n5-13n3)+(36n3-36n) =n5(n2-1)-13n3(n2-1)+36(n2-1) =(n2-1)(n5-13n3+36n) Bµi 55 : a3(b-c) +b3(c-a) +c3(a-b)=a3(b-c) +b3c-ab3+b4-b4 +c3(a-b) 3 = a ( b − c ) − b ( b − c ) + ( a − b ) + c ( a − b ) =a3(b-c)-b3(b-c)-b3(a-b)+c3(a-b) =(b-c)(a2-b2)-(a-b)(b3-c3)=(b-c)(a-b)(a2+ab+b2)-(a-b)(b-c)(b2+bc+c2) =(b-c)(a-b)(a2ab+b2+b2-bc-c2)=(b-c)(a-b)(a2-c2+ab-bc) =(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) b, x2+4-y2-4x=(x-2)2-y2 =(x-y-2)(x+y-2) Bµi 55: a, x3 -x2-4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2+x+2) b, 3x3 -7x2+17x-5=3x3-x2-6x2+2x+15-5=x2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1) =(3x-1)(x2-2x+5) Bµi 56 : a,x3 +5x2+8x+4=(x3+x2)+(4x2+4x)+4x+4)=(x+1)(x+2)2 b, x5-2x4+3x3-4x2+2=(x5-x4)-(x4-x3)+(2x3+2x2)-(2x2-2x)-(2x-2) = x4(x-1)-x3(x-1)-2x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x4-x3-2x-2) Bµi 57 : a, x4+1997x2+1996x+1997=(x4+x2+1)+(1996x2+1996x+1996) (x2+x+1)(x2-x+1)+1996(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+1997) b, x2-x-2001.2002=x2-x-2001(2001+1)=x2-x-20012-2001=(x2-2001)2-(x+2001) (x+2001)(x-2001)-(x+2001)=(x+2001)(x-2001-1)=(x+2001)(x-2002) Bµi 58: a,4x4+81=4x4+36x2+81-36x2=(2x2+9)-(6x)2=(2x2+9+6x)(2x2+9-6x) b, x8+98x4+1=(x8+2x4+1)+96x4=(x4+1)2+16x2(x4+1)+64x4-16x2(x4+1)+32x4 =(x4+1+8x2)2-16x2(x4+1-2x2)=(x4+8x2+1)2-(4x3-4x)2 =(x4+4x3-4x+1)(x4-4x3+8x+4x+1) Bµi 58: a, x7+x2+1=(x7-x)+(x2+x+1)=x(x6-1)+(x2+x+1)= ( ) x x3 ( ) ( )( ) ( ) − 1 + x + x + = x x − x + + x + x + =x(x-1)(x2+x+1)(x3+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1) x ( x − 1) x + + 1 ( ) b, x +x +1=(x -x)+(x -x )+(x +x+1)=x(x -1)+x (x -1)+(x +x+1) 7 2 ( )( ( ) ( ) ( ) x x − x3 + + x x − + x + x + = = x ( x − 1) x + x + x + + x ( x − 1) x + x + + x + x + 2 (x2+x+1) x ( x − 1) x + + x ( x − 1) + 1 = x + x + x − x + x − x + ( )( ) ) ( Bµi 59 : a, x(x+4)(x+6)(x+10)+128 ( ( )( ) ( )( ) ) ) x ( x + 10 ) ( x + ) ( x + ) + 128 = x + 10 x + 10 + 24 128 đặt x2+10x+12=y (y-12)(y+12)+128=y -144+128=y -16=(y+4)(y-4) =(x2+10x+8)(x2+10x+16)=(x+2)(x+8)(x2+10x+8) b, x4 +6x3+7x-3x+1=x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1)=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 =(x2+3x-1)2 2 * BÀI 60: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp thêm bớt hạng tử) a) a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4 = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2 = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab) b) a4 + a2 + = a4 + a2 + a2 – a2 + = (a2)2 + 2a2 + – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) • BÀI 61: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp đặt biến phụ) a) Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt: Y = x2 + x + ta coù: Q = Y(Y + 1) – 12 = Y2 + Y – 12 = Y2 – 3Y + 4Y – 12 = (Y – 3)(Y + 4) Trở biến x ta được: Q = (x2 + x + – 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + + 2) – 24 Đặt Y = x2 + 5x + ta được: P = Y(Y + 2) – 24 = Y2 + 2Y – 24 = Y2 + 6Y – 4Y – 24 = (Y + 6)(Y – 4) Trở biến x ta được: P = (x2 + 5x + + 6)(x2 + 5x + – 4) P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x ) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) *BÀI 62: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp phối hợp nhiều pp) a) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1) = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1) = (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13] = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1] = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)] b) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc) = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab) = (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)] = (a + b)(ab + c2 + ac + bc) = (a + b)(b + c)(c + a) * BAØI 63 : Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 a) Phân tích A thành nhân tử b) A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 ) = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2 = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 ) = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ] = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b) • BÀI 64 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – yx2) + (yz2 – xz2) + (zx2 – zy2) = xy(y – x) + z2(y – x) –z(y2 – x2) = (y – x)[xy + z2 – z(y + x)] = (y – x)(xy + z2 – zy – zx) = (y – x)[x(y – z) – z(y – z)] = (y – x)(y – z)(x – z) Bài 65 : a) 3 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x − y + z 2 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x − ( y + z ) ( y − yz + z ) = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z ) x ( x + y ) + z ( x + y ) = 3( x + y) ( y + z) ( z + x ) b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) 2 2 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) Bài 66: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4; Bµi 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) b, x2 + 2xy + 4y - = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm) Bài 67: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 a) a + 2a − 13a + 10 ; b) (a + 4b − 5) − 16( ab + 1) Giai a) a + 2a − 13a + 10 = a − a + 3a − 3a − 10a + 10 = a (a − 1) + 3a (a − 1) − 10(a − 1) = (a − 1)(a + 3a − 10) = (a −1)(a − 2a + 5a −10) = (a −1) [ a( a − 2) + 5(a − 2) ] = (a −1)( a − 2)(a + 5) 2 2 2 2 b) (a + 4b − 5) −16(ab +1) = ( a + 4b − 5) − 4( ab +1) ( a + 4b − 5) + 4(ab +1) 2 2 2 = ( a + 4b −4ab −6)( a +4b + 4ab −4) = ( a −2b) −6 ( a + 2b) −4 = ( a −2b − )( a −2b + )( a +2b −2)( a +2b + 2) Bài 68: a) Phân tích biểu thức sau nh©n tư: A= x3 (x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x4-14x2 + 49) – 36] = x(x6-14x4 + 49x2 – 36) = x[(x6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36) = x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] = x(x2- 9)( x4– 5x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)] = x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1) = x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) ... + 4)( x + x + 6) + Dặt y = ( x + 5c + 5) ⇔ ( y − 1)( y + 1) + = y = ( x + x + 5) Bài 39: Phân tich đa thức sau thành nhân tử : c 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 d x2 + 7x + 10 Bài a 9x2 - 64 - 12xy +... nguyên liên tiếp nên tồn tại số bội 3, một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 3; f(n) ⋮ ⇒ f(n) ⋮ 15 (1) (vì (3 ; 5) = 1) Mặt khác, số nguyên liên tiếp kể trên, tồn tại ít nhất hai số chẵn,... có một số là bội của và một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 2.4 = (2) Vì (8 ; 15) = nên từ (1) và (2) suy f(n) ⋮ 8.15 Hay f(n) ⋮ 120 (đpcm) Bµi 52 : a, a(x2+1)-x(a2+1) b, x-1 +xn+3-xn a,