KHOANG CACH TU 1 DIEM DEN MAT PHANG

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - NĂM 2017 - CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp, ví dụ có giải chi tiết + bài tập luyện tập HỌ VÀ TÊN: MÃ HỌC SINH: LỚP: TR

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

- NĂM 2017 -

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

(Phương pháp, ví dụ có giải chi tiết + bài tập luyện tập)

HỌ VÀ TÊN:

MÃ HỌC SINH:

LỚP:

TRƯỜNG:

Thông tin học sinh

(P)

(α)

H

O

PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

DẠNG 1: DỰNG HÌNH CHIẾU VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH

*) Quy trình tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (α)

Bước 1: Tìm một mặt phẳng (P) d

với d là đường thẳng nằm trong ( )

Bước 2: Tìm ( )P ( )

Bước 3: Từ O kẻ OH 

thì H là hình chiếu của O trên ( )

Khi đó, d(O;(α)) = OH

*) Tính OH

Dùng công thức diện tích, các hệ thức lượng trong tam giác, tam giác đồng dạng để tính OH

Với mỗi dạng bài ta lại có quy trình dựng cụ thể hơn mà chúng ta sẽ tìm hiểu dưới đây

Dạng 1.1 Khoảng cách từ O đến (α) chứa đường cao hình chóp

Bước 1:  ( )  đáy

*) Dựng hình chiếu OH

Bước 1:  ( )  đáy

Bước 2: Kẻ OH  

Chứng minh OH ( ) d O( ;( )) OH

*) Tính OH

Dạng này thường tính qua diện tích tam giác

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Δ

H

A

B

D

C I

S

O

A – KIẾN THỨC CHUNG

SI: đường cao

( ) : ( SIB)

H I

S

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = 2a;

BC = 3

2

a

; AD =3a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của BD Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

Giải:

*) Dựng hình chiếu CH

Kẻ CH BD, (HBD)

Ta có: SI (ABCD)SI CH (1)

Mà, CH BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra,

CH  SB d(C;(SBD)) = CH

*) Tính CH

Ta tính CH qua diện tích tam giác BCD

D

BC

S  AB BC  B CH

D

AB BC

CH

B

B  AB A    a ; 3a

2

BC

3a 2a

3a 2

13 13

CH

a

d(C;(SBD)) =

13

Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a M là trung điểm của CD, hình chiếu

vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 0

60 Tính

khoảng cách

a Từ B đến (SAM)

b Từ C đến (SAH)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB = a 3 ; AC = a Gọi I là điểm trên BC sao cho 1

2

BI  IC và H là trung điểm của AI Biết rằng SH (ABC) và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0

60 Tính khoảng cách:

a Từ B đến (SHC)

b Từ C đến (SAI)

B – VÍ DỤ

SI: đường cao

( ) : ( SBD); : DB

C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Δ

H

M

B

C O

S

60°

I

K H

C

B

S

Dạng 2 : Khoảng cách từ O chân đường cao đến mặt phẳng (α) chứa cạnh trong mặt đáy

*) Dựng hình chiếu OH

Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P)

qua O và vuông góc với CD bằng

cách kẻ từ S hoặc từ O đường vuông góc với CD

Khi đó, (P) là (SOM)

Bước 2 :  (SOM)(SCD)

Chứng minh OH ( ) d O( ;( )) OH

*) Tính OH

Dạng này thường dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1 : (Đề thi thử trường THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH=2AH Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 60 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

Giải :

*) Dựng hình chiếu HI

Kẻ HKCD (KCD)

Ta có : SH (ABCD)SH CD

Mà HK CD (SHK)CD

KẻHI SK I( HK) (1)CD(SHK)CDHI (2)

Từ (1) và (2) suy ra HI (SCD)d H SC( ;( D))HI

*) Tính HI

a

BH a CH

39

3

a

SH  Ta có :

4

a HI

HI  SH  SK  

( ;( D))

4

a

d H SC 

A – KIẾN THỨC CHUNG

SO: đường cao

( ) :( SCD); ( ) : (P SOM)

:SM



B – VÍ DỤ

SH: đường cao

( ) :( SCD); ( ) : (P SHK)

:SK



O

I

M

(α)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm của cạnh AB

HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng

SA và mặt đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA(ABCD) , SC hợp với mặt

phẳng ( ABCD) một góc  với tan 4

5

  , AB=3a, BC=4a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng (SBC)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a,BAD60o Gọi

H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa SC và mặt phẳng

(ABCD) bằng 45 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

DẠNG 2 : DỜI ĐIỂM VÀ DỰNG KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP

Trong một số trường hợp việc dựng khoảng cách trực tiếp từ O trở nên khó khăn Do đó, ta có thể dùng tính chất về tỉ số khoảng cách để dời khoảng cách từ O về khoảng cách từ điểm M đơn giản hơn (về dạng 1.1 và 1.2 ở trên) Cụ thể :

*) Tính chất

- Nếu OM cắt mặt phẳng ( ) tại I thì ta có : ( ;( ))

( ;( ))



I I

- Nếu OM / /( ) thì ( ;( ))d O  d M( ;( ))

*) Chú ý : Một số bài phức tạp có thể phải dời đến 2 lần

để việc tính tỉ số đơn giản hơn

C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

A – KIẾN THỨC CHUNG

K

H

O

C

B

S

I

K

H

O M

C

B

Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 3 , hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB với O là tâm đáy Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 0

60 Tínhkhoảng cách từ B đến (SAC)

Giải : Thay vì dựng khoảng cách từ B đến (SAC) ta sẽ

dựng khoảng cách từ H đến (SAC) (theo dạng 1.2)

*) Dựng khoảng cách HI

Kẻ HK  AC K( AC)

Ta có : SH (ABCD)SH AC

Mà HK AC (SHK) AC

KẻHI SK I( HK) (1)

AC  SHK AC HI

Từ (1) và (2) suy ra HI (SAC)

( ;( ))

d H SAC HI

*) Tính HI

Theo công thức trung tuyến tính được :

BM  AC MAC BM  HK 

16 21a

a HI

HI  HK SH   

42 ( ;( ))

16

a

d H SAC

*) Tính khoảng cách từ B

Ta có : BH(SAC) = O d(B;(SAC)) = BO = 2d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) = a 42

( ;( ))

8

a

d B SAC 

B – VÍ DỤ

Dời B về H

SH: đường cao

( ) :( SAC); ( ) : (P SHK)

:SK



Bài 1: (Đề thi thử THPT Bình Minh-Ninh Bình 2016)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, BAD60 Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 2 (Đề thi thử THPT Chuyên Hùng Vương 2016)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA(ABCD) ;

cạnh bên SC tạo với đáy góc  với tan 2

5

  Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của DM

và AC, H là hình chiếu của A trên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDM)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD)

và SA = a 3 O là tâm hình vuông ABCD

a Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

b Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

Bài 4: (Đề thi thử THPT Đông Du – ĐăkLăk 2016)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a Cạnh bên SA vuông với đáy, SC tạo với đáy một góc 45o và SC 2a 2 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP

O B

A S

C

B

S

DẠNG 3 : TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH

Trong một số trường hợp ngoài việc dừng hình chiếu hoặc dời điểm ta có thể tính khoảng cách thông

qua công thức thể tích : 1 3

3

V

V S h h

S

   Cụ thể :

Bước 1: Tính thể tích hình chóp S.OAB ( Chọn đỉnh là S;A hoặc B)

Bước 2: Tính diện tích của tam giác SAB

+) Phát hiện tam giác đặc biệt để tính diện tích đơn giản hơn

+) Nếu tam giác thường thì sử dụng hệ thức Herong :

ΔSAB

S = p(p - SA)(p - SB)(p - AB) với p = SA + SB + AB

2

S.MAB (M;(SAB)) ΔSAB (M;(SAB))

ΔSAB

3V 1

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA vuông góc với đáy; BAD 120 ;

3

2

a

SA Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)

Giải: +) Ta có ABC là tam giác đều cạnh a ( Vì AB = BC; BAC60 )

.2

S  S  S  a

+) Tính V S BCD. có h = SA = 3

2

a

3 2

.

V  S SA a 

+) Tính SSBC

2

2

;

 

 

 

      

 



3

S.BCD

2 ΔSBC

a 3.

4

( ;( ))

4

a

d D SBC 

A – KIẾN THỨC CHUNG

B-VÍ DỤ

Bài 1: (Đại học khối A;A 1 _2014)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 3

2

a

SD Hình chiếu vuông góc của S lên đáy

là trung điểm của đoạn thẳng AB Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

Bài 2: (Đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Biết SA vuông với đáy, SC hợp với mặt

phẳng đáy góc  với tan 4

5

  , AB = 3a, BC = 4a Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng

(SBC)

Bài 3: (Đại học khối D_2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) Biết SB2a 3;SBC 30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Trên đây, Love MATH vừa giới thiệu đến các em học sinh những phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình chóp Với khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (không vuông góc) ta cũng quy về

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và thực hiện một trong các cách giải trên

Hi vọng đây là tài liệu bổ ích cho các em ôn thi THPT Quốc gia và các em học sinh lớp 11 Thời gian tới, Love MATH sẽ ra mắt những bộ tài liệu chi tiết

và hấp dẫn hơn nữa Để nhận bài giảng, tài liệu và để được tư vấn, giải đáp thắc mắc mời các bạn truy cập fanpage :

https://www.facebook.com/love.math.lh/ hoặc

https://www.facebook.com/lien.phamthi.353

C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP