Học sinh không biết giải bài toán phương trình nghiệm nguyên như thế nào. Nhìn chung số em giải được là nhờtham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này. Trong thực tế khi giảng dạy cho học sinh một số bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng tính toán hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu cầu hoàn thành trong khuôn khổ thời gian hạn hẹp thì phần lớn học sinh thường có tâm lí căn thẳng hoặc không có hứng thú học tập, bỡi lí do là các em ngại suy nghĩ, tính toán. Vì vậy để giúp học sinh giải toán chính xác và trình bày bài giải một cách có khoa học và đỡ lãng phí tốn thời gian. Đồng thời kích thích sự tập trung cao độ của học sinh vào việc giải toán, ta nên hướng dẫn học sinh phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên hỗ trợ tích cực cho học sinh cho việc học tốt bộ môn toán. Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho các em học sinh trong đội tuyển Toán 8 của trường trong hai năm học
WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Đề tài : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A - PhÇn më ®Çu I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong q trình học tốn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức cơng việc cách sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi người thầy lao động sáng tạo biết tìm tòi phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư logic giải tốn Trong dạy học tốn việc tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh u cầu quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt phương pháp giảng dạy Việc lựa chọn ví dụ điển hình mang chất lí thuyết, hệ thống tập minh hoạ, áp dụng khắc sâu nâng cao quan trọng Là giáo viên dạy tốn trường THCS Phước Hòa, phân cộng trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi tốn cần phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải tốn đa dạng, giải tốn cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số chúng Muốn người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú cho học sinh Một tốn có nhiều cách giải, tốn thường nằm dạng tốn khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực nhiều mặt cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Các dạng tốn số học chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Tốn chia hết, phép chia có dư, số ngun tố, số phương, phương trình nghiệm ngun… Đây dạng tốn có SGK lớp chưa đưa phương pháp giải chung Hơn qua theo dõi nhiều năm tơi thấy phương trình nghiệm ngun có nhiều đề thi: Tuyển sinh vào lớp 10 trường chun; Trong đề thi học sinh giỏi huyện, học sinh giỏi tỉnh Song giải tốn khơng khó khăn phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy tơi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng tốn chưa có nhiều phương pháp giải hay Từ thuận lợi, khó khăn u cầu thực tiễn giảng dạy Tơi chọn đề tài: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Trong q trình viết đề tài điều kiện kinh nghiệm khơng tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đóng góp, đạo thầy giáo bạn đồng nghiệp II- NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI: -1– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Nghiên cứu sở lý luận việc hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm ngun Tìm hiểu thực trạng việc hướng dẫn học sinh giải phướng trình nghiệm ngun nhà trường, tiết dạy mơn, qua nắm bắt vốn kiến thức học sinh vấn đề thời gian qua, nhu cầu em cần trang bị kiến thức Tập hứng thú cho học sinh giải tập SGK, tài liệu tham khảo giúp học sinh tự giải tập liên quan, vận dụng dạng tốn học sinh giỏi dự thi vào 10, trường chun, lớp chọn Giải đáp số thắc mắc, sai lầm hay gặp giải tốn có tìm ngiệm ngun phương trình Đề xuất số giải pháp áp dụng tiết lên lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi, tiết ngoại khóa, hướng dẫn học nhà Đồng thời giúp cho GVBM có sở lí luận để phục vụ cơng tác giảng dạy tốt III-PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Phương pháp đọc sách tài liệu: Mượn đọc nghiên cứu kỹ sổ sách, tạp chí báo cáo, tài liệu thuộc lĩnh vực hướng dẫn giải phương trình nghiệm ngun để tham khảo Mặt khác khia thác tư liệu mạng internet, báo chí…Để nắm sở lí luận đề tài Phương pháp trò chuyện: Gặp đồng nghiệp, học sinh thơng qua câu hỏi đối thoại, trao đổi với đồng nghiệp, với học sinh nhằm thu thập thơng tin, tài liệu liên quan đến đề tài Phương pháp tra: Điều tra khảo sát nắm nhu cầu học sinh đường lĩnh hội kiến thức lĩnh vực nghiên cứu Phương pháp phân tích, tổng hợp: Tổng hợp kết rút biện pháp giảng dạy cụ thể Phương pháp quan sát: Quan sát lớp dự thăm lớp tiết mà thân giảng dạy Tinh thần học tập ứng dụng việc giải phương trình nghiệm ngun phương pháp giảng dạy GVBM rút hạn chế hướng khắc phục IV- CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: Năm học 2009-2010 lại năm tơi nhà trường phân cơng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Bản thân đồng nghiệp khác việc bồi dưỡng học sinh giải phương trình nghiệm ngun vấn đề có nhiều trăn trở khó khăn Qua trao đổi học hỏi số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Chơn Bộ, Nguyễn Thành Hưng, Võ Ngọc Phương Bùi Thị Anh Thư…Đồng thời thơng qua buổi chun đề, bồi dưỡng chun mơn, thao giảng ngành tổ chức thân đúc kết số kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Bnả thân hình thành áp dụng đề tài từ lớp học trường THCS Phước Hòa -2– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Học sinh trường THCS Phước Hòa ( Học sinh lựa chọn khối 8,9 từ 10/2009 đến 04/2010) Đội tuyển học sinh giỏi trường THCS Phuớc Hòa( từ 02/10/2009 đến 15/04/2010) Đội tuyển học sinh giỏi trường THCS Phước Hòa( từ 14/10/2010 đến 20/04/2011) Tổng hợp viết đề tài từ 09/2011-11/2011 B- KẾT QUẢ I-MƠ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI: Học sinh khơng biết giải tốn phương trình nghiệm ngun Nhìn chung số em giải nhờtham khảo đáp án, chưa đưa hướng giải chung cho dạng tập Trong thực tế giảng dạy cho học sinh số tốn đòi hỏi phải có kĩ tính tốn suy luận mức độ cao u cầu hồn thành khn khổ thời gian hạn hẹp phần lớn học sinh thường có tâm lí thẳng khơng có hứng thú học tập, bỡi lí em ngại suy nghĩ, tính tốn Vì để giúp học sinh giải tốn xác trình bày giải cách có khoa học đỡ lãng phí tốn thời gian Đồng thời kích thích tập trung cao độ học sinh vào việc giải tốn, ta nên hướng dẫn học sinh phương pháp giải phương trình nghiệm ngun hỗ trợ tích cực cho học sinh cho việc học tốt mơn tốn Để đánh giá khả em dạng tốn có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tơi đề tốn cho em học sinh đội tuyển Tốn trường hai năm học liên tiếp năm học 2009-2010 2010-2011 sau: Bài 1: ( đ ) a) Tìm tất số ngun dương a, b cho: ab = 3(a – b) b) Giải phương trình nghiệm ngun: x2 – y2 = 19 Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm ngun dương phương trình : x + y + z = xyz KẾT QUẢ ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU Năm học 2009-2010 2010-2011 Tổng số HS 10 Dưới điểm SL % 50 60 Điểm - SL % 25 20 Điểm - 10 SL % 12,5 20 Điểm - 10 SL % 12,5 0 Qua việc kiểm tra đánh giá tơi thấy học sinh khơng có biện pháp giải phương trình nghiệm ngun đạt hiệu Lời giải thường dài dòng, khơng xác, đơi ngộ -3– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA nhận Cũng với tốn học sinh trang bị “Phương pháp giải phương trình nghiệm ngun” chắn có hiệu cao II/ NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP: 1/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Phương trình tốn với nghiệm ngun đề tài lý thú Số học Đại số, lơi nhiều người sử dụng kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi vào trường chun, lớp chọn, Trong chương trình từ tốn học sinh nhỏ Trăm trâu trăm cỏ đến chun gia tốn học lớn với tốn Định lý Fecma Được nghiên cứu từ thời Điơphăng kỷ 3, phương trình tốn nghiệm ngun mãi đối tượng nghiên cứu Tốn học thầy học sinh nhà trường phổ thơng Phương trình nghiệm ngun đa dạng phong phú phương trình ẩn, nhiều ẩn Nó phương trình bậc bậc cao Ngồi phương trình bậc hai ẩn, tốn nghiệm ngun thường khơng có quy tắc giải chung cho phương trình Mỗi tốn, với số liệu riêng nó, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư tốn học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Giải phương trình chứa ẩn x, y, z, với nghiệm ngun tìm tất số ngun (x; y; z; ) thoả mãn phương trình Khi giải phương trình nghiệm ngun, phải lợi dụng tính chất tập hợp Z nên ngồi biến đổi tương đương ta dùng đến biến đổi mà giá trị ẩn thoả mãn điều kiện cần ( chưa phải điều kiện đủ) nghiệm Trong trường hợp ta cần kiểm tra lại giá trị cách thử vào phương trình cho Để giải phương trình thường dựa vào cách giải số phương trình số phương pháp giải sử dụng vào tính chất số ngun, số tự nhiên, số phương, Tuỳ theo tốn có cách giải cụ thể khác nhau, học sinh nhiều bỡ ngỡ Với mục đích đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh tư sáng tạo học giải tốn tìm nghiệm ngun phương trình Biết cách định hướng giải tập trình bày ngắn gọn lời giải tốn Qua phát huy trí lực học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển tốn phát triển tư suy luận logic học sinh góp phấn học tập tốt mơn Tốn mơn học khác, đồng thời giúp học sinh tự tin giải tốn thi cử -4– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Đề tài theo thân viết theo hiểu biết dạng tốn nghiệm ngun việc bồi dưỡng học sinh giỏi, thân áp dụng vào việc giảng dạy chun đề trường học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Tốn lớp lớp trường, ơn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp chọn, lớp chun PTTH Thời gian nghiên cứu có hạn góp ý chân thành nhiều giáo viên có chun mơn cao, song nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác sâu hết dạng tốn 2/ NỘI DUNG CHÍNH VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: PHÇN I: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:Dạng ax + by = c (1) víi a, b, c є Z Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để phương trình ax + by = c (trong a,b,c số ngun khác ) có nghiệm ngun (a,b) ước c b Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm ngun phương trình ax + by = c có vơ số nghiệm ngun nghiệm ngun (x, y) cho cơng thức: b x = x0 + t d y = y − a t d Với t ∈ Z, d = (a,b) Cách giải: a Phương pháp chung để giải: Tiến hành qua bước sau: Bước 1: Tìm d = (a,b) Khi ax + by = c ⇔ a1x + b1y = c1 Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = Bước 2: Viết thuật tốn Ơclit cho số |a1| |b1| Giả sử : a1 > b1 Ta có -5– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA a1 = b1 q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 ……………… rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1 Bước 3: Tính a0 + a1 + a2 + + = ak m n x '0 = m Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) phương trình a1x + b1y = 1; cho : y '0 = n ìï x '0 = n ïí Xác định dấu cách thử trực tiếp (x0’, y0’) ïïỵ y ' = m Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ nghiệm riêng phương trình: a1x + b1y = c1 ïìï x = x + b1 t ⇒ nghiệm tổng qt phương trình là: í ïïỵ y = y - a1 t Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm ngun: 5x – 7y = Hướng dẫn: Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = Vậy phương trình có nghiệm ngun Để giải ta tiến hành bước: - Viết thuật tốn Ơclit cho số 7 = 5.1 + ⇒ m =1+ = n 2 = 2.2 + - Tìm nghiệm riêng phương trình: 5x – 7y = (x0’, y0’) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng phương trình 5x – 7y = (x0, y0) = (9, 6) ìïï x = - 7t ìïï x = 7t + ⇒ Nghiệm tổng qt phương trình là: í hay í ïïỵ y = - 5t ïïỵ y = 5t + Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm ngun 6x – 14 y = 12 -6– WWW.ToanCapBa.Net (t ∈ Z ) WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Hướng dẫn: Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = ⇒ phương trình có nghiệm ta tiến hành giải sau: Bước 1: 6x –14y = 12 ⇔ 3x – 7y = Bước 2: Viết thuật tốn Ơclit cho 7: = 3.2 + Bước 3: Tính m = q0 = = n Bước 4: Tìm nghiệm riêng phương trình 3x – 7y = (x0’, y0’) = (-2; -1) Bước 5: Xác định nghiệm riêng phương trình 3x – 7y = (x0; y0) = (-12; -6) ⇒ Nghiệm tổng qt phương trình 6x – 14 y = 12 ïìï x = - 12 - 7t ïì x = 7t + í hay ïí ïïỵ y = - - 3t ïïỵ y = 3t (t ∈ Z ) * Nhận xét: Trên phương pháp chung để giải phương trình nghiệm ngun dạng ax + by = c Tuy nhiên vào tốn cụ thể kiến thức chia hết biết khéo léo sử dụng cho lời giải ngắn gọn b Cách giải thơng thường khác (3 bước) Bước 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện ngun x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x tìm nghiệm ngun Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm ngun: 2x + 5y = Hướng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 ⇔ x = Do x, y ngun ⇒ - 5y 1− y ⇔ x = – 2y + 2 1- y 1− y ngun Đặt =t 2 với (t ∈ Z ) ⇒ y = – 2t ⇒ x = – 2(1- 2t) + t = 5t + ïì x = 5t + Vậy nghiệm tổng qt phương trình là: ïí ïïỵ y = - 2t + (t ∈ Z ) Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm ngun: 6x – 15 y = 25 Hướng dẫn: Ta thấy ( 6; 15 ) = mà 3/25 Vậy khơng tồn x,y ngun cho 6x – 15y = 25 Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 5x + 7y = 112 -7– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Hướng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 ⇒ x = Do x, y ngun ⇒ 112 − 7y - 2y = 22 - y + 5 − 2y ngun hay (2 – 2y) 5 ⇔ 2(1 – y) 5; (2 , 5) = ⇒ (1 – y) hay (y – 1) 5 Đặt y – = 5t Thay y vào x ta có: Người viết: Lê Văn Bính ìï ï 5t + > ïí < => ïï 21 - 7t > ïïỵ (t º Z ) ⇒ y = 5t + 1 ïìï ïí t > - ïï ïỵ t < Lại có x > 0; y > => t = {0;1;2} Nếu t = ⇒ x = 21; y = Nếu t = ⇒ x = 14; y = Nếu t = ⇒ x = 7; y = 11 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN: Dạng a1x1 + a2x2 + …+ anxn= c (2) Với a, c ∈ Z (i = 1,2…n); n ≥ Định lý: Điều kiện cần đủ để phương trình (2) có nghiệm (a 1, a2,…an) \ c Cách giải: Đưa phương trình dạng sau: a Có hệ số ẩn Giả sử a1 = Khi x1 = c – a2x2 – a3x3 – … – anxn ; với x1, x2,…., xn ∈ Z Nghiệm phương trình là: (c – a2x2 – a3x3 – … – anxn , x2,…., xn) với x2,…., xn ngun b Có hai hệ số hai số ngun tố Giả sử ( a1, a2 ) = Khi phương trình (2) ⇔ a1x1 + a2x2 = c – a3x3 – … – anxn Giải phương trình theo ẩn x1, x2 Ví dụ 6: Giải phương trình tập số ngun: 6x + 15y + 10 z = Hướng dẫn: Phương trình 6x + 15y + 10 z = có nghiệm ngun (6 ,15, 10) = 1/3 Cách 1: Ta biến đổi 6x + 15y + 10 z = ⇔ x + 10(y + z) + ( x+ y) = Đặt t = y + z, k = x + y với (t, k ∈ Z) Ta có: x + 10 t + 5k = Vậy nghiệm tổng qt phương trình x = – 10 t – 5k y = -3 + 10 t + 6k ( t, k ∈ Z) -8– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA z = – t – 6k ⇔ (x + z) + 15 y + z = \Cách 2: 6x + 15y + 10 z = Đặt x + z = t ta có 6t +15 y + 4z = ⇔ 15 y + 4z = – 6t Ta có cặp số (-1; 4) nghiệm riêng phương trình 15 y + 4z = nên (-3 + 6t; 12 – 24 t) nghiệm riêng phương trình 15 y + 4z = – 6t Do nghiệm tổng qt là: (k ∈ Z) y = -3 + 6t + 4k z = 12 – 24t – 15 k Lại có t = x + z ⇒ x = t – z ⇒ x = -12 = 25t + 15 k Vậy nghiệm tổng qt phương trình 6x + 15y + 10 z = là: x = -12 = 25t + 15 k với ( t, k ∈ Z) y = -3 + 6t + 4k z = 12 – 24t – 15 k III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG: g (x1, x2,…, xn) (x1, x2,…., xn) = a (3)Với a ∈ Z Cách giải: Đặt g (x1, x2,…., xn) = m ⇒ h(x1, x2,…., xn) = Giải hệ: (với m ước a) m a g (x1, x2,…., xn) = m h(x1, x2,…., xn) = m a tìm x1, x2,…., xn Thử vào (3) ta nghiệm phương trình Chú ý: - Nếu a = ta có g (x1, x2,…., xn) = h(x1, x2,…., xn) = - Nếu a = pα với p ngun tố từ phương trình (3) ta có: g (x1, x2,…., xn) = pα1 h(x1, x2,…., xn) = pα2 Với α1 + α2 = a -9– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Ví dụ 7: Tìm x, y ∈ Z biết x – y + 2xy = Hướng dẫn: Ta có x – y + 2xy = ⇔ x – 2y + xy = 12 ⇔ x – 2y + xy –1 = 11 ⇔ (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11 ⇔ (2x – 1) (2y + 1) = 11 Mà: 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) ìï 2y + = ìï 2y + = - ìï 2y + = 11 ìï 2y + = - 11 Nên ta có: ïí ïí ïí ïí ïïỵ 2x - 11 = 11 ïïỵ 2x - 11 = - 11 ïïỵ 2x - 11 = ïïỵ 2x - 11 = - (x; y) = (6; 0); (x; y) = (-5; -1) (x; y) = (1, 5) (x; y) = ( 0; -6) Ví dụ 8: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: + x + x2 + x3 = 2y Hướng dẫn: Ta có + x + x2 + x3 = 2y ⇔ (1 + x) (1 + x2) = 2y ⇒ + x = m + x2 = 2y – m (m ngun dương) ïìï x = m - < => ⇒í ïỵï x = y- m - ïìï x = 2m - m+ - í ïỵï x = y- m - ⇒ 22m – 2m + + = y – m – ⇒ y – m – 22m + 2m +1 = + Nếu m = ⇒ x = ; y = (thoả mãn) + Nếu m > ⇒ y – m – – 22m – + 2m = mà 22m – 1và 2m số chẵn nên: ⇒ y – m – lẻ ⇒ y – m – = ⇒ y – m – = ⇒ y = m + ⇒ m - 22m – = ⇒ m = 22m – ⇒ m = 2m – ⇒ m = ⇒ y = ; x = Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2) IV PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN ĐƯA VỀ DẠNG: [g1 (x1, x2,…., xn)]2 + [g2 (x1, x2,…., xn)]2 + …+ [gn (x1, x2,…., xn)]2 = Cách giải: Ta thấy vế trái phương trình số hạng khơng âm, tổng chúng nên số hạng phải g1 (x1, x2,…., xn) = Do có: g2 (x1, x2,…., xn) = ………………… gn (x1, x2,…., xn) = Giải hệ ta (x1 , x2 ,…, xn) Ví dụ 9: Tìm nghiệm ngun phương trình: 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = Hướng dẫn: (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái phương trình) Ta có: 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = ⇔ ⇔ y – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + = (y – x + 1)2 + (x – )2 = - 10 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA ⇒ z ≤ 35 ≤ ⇒ z = (v× z≥ t≥ 2) ⇒ (8x – 5)(8y – 5) = 265 Do x ≥ y ≥ z ≥ nªn 8x – ≥ 8y – ≥ 11 ⇒ (8x – 5)(8y – 5) = 265 v« nghiƯm VËy nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ bé (x, y, z, t) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) vµ c¸c ho¸n vÞ Bµi tËp 5: T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa ph¬ng tr×nh: x + y + z + t = xyzt Híng dÉn: Ta gi¶ sư ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t Cã xyzt = x + y + z +t ≤ 4t V× t nguyªn d¬ng ⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ∈{1,2,3,4} NÕu xyz = ⇒ x = y = z = ⇒ + t = t ( lo¹i) NÕu xyz = mµ x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = ⇒ t = NÕu xyz = mµ x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = ⇒ t = 5/2 ( lo¹i ) NÕu xyz = mµ x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = hc x = 1; y=2; z = ⇒ t = ( lo¹i v× t ≥ z) hc t = 5/4 ( lo¹i ) VËy nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ bé ( x; y; z; t) = (1; 1; 2; 4) vµ c¸c ho¸n vÞ cđa chóng Bµi tËp 6: T×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Híng dÉn: +1) Ta cã: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ y2 + 4y + = x4 + x3 + 4x2 + 4x + (2x2 + x ) - (2y + 1)2 = (3x + 1)(x hay (2x2 + x + 1) – (2y + 1)2 = x(x – 2) Ta thÊy: NÕu x > hc x < -1 th× (3x + 1)(x + 1) > NÕu x > hc x < -1 th× x(x – 2) > ⇒ NÕu x > hc x < th× (2x2 + x) < (2y + 1)2 < (2x2 + x + 1) (lo¹i) ⇒ -1≤ x ≤ ⇒ x = {0; 1; -1; 2} XÐt x = 2⇒ y2 + y =30 ⇒ y = hc y = -6 XÐt x = ⇒ y2 + y = (lo¹i) XÐt x = ⇒ y2 + y = ⇒ y(y + 1) = ⇒ y = hc y = -1 XÐt x = -1 ⇒ y2 + y = ⇒ y = hc y= -1 VËy nghƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh lµ: (x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1) - 22 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Bµi tËp 7: T×m x, y lµ sè tù nhiªn tho¶ m·n: x + = 3026 Híng dÉn: y XÐt y = ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025; Mµ x є N ⇒ x = 55 XÐt y > ⇒ 3y 3, x2 chia cho d hc ⇒ x2 + 3y chia cho d hc 1; Mµ 3026 chia cho d (lo¹i) VËy nghiƯm (x; y) = (55; 0) Bµi tËp 8: T×m x, y, z nguyªn tè tho¶ m·n: xy + = z Híng dÉn: Ta cã x, y nguyªn tè vµ xy + = z ⇒ z > Mµ z nguyªn tè ⇒ z lỴ ⇒ xy ch½n ⇒ x ch½n ⇒x=2 XÐt y = ⇒ 22 + = lµ nguyªn tè ⇒ z = (tho¶ m·n) XÐt y > ⇒ y = 2k + (k є N) ⇒ 22k+1 + = z ⇒ 4k + = z Cã chia cho d ⇒ (2.4k + 1) ⇒ z (lo¹i) VËy x = 2, y = 2, z = (tho¶ m·n) Bµi tËp : T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ 4p + lµ sè chÝnh ph¬ng Híng dÉn: §Ỉt 4p + = x2 (x є N) ⇒ x lỴ ®Ỉt x = 2k + (k є N) ⇒ 4p + = (2k + 1)2 ⇔ 4p + = 4k2 + 4k + ⇔ p = k(k + 1) ⇔ k(k + 1) ch½n ⇒ p ch½n, p nguyªn tè ⇒ p = Bµi tËp 10: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: x2 - 4xy + 5y2 = 169 Híng dÉn: Ta cã x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thÊy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 ìï x - 2y = ïí ïï y = 13 ỵ hc ìï x - 2y = 13 ïí ïï y =0 ỵ hc ìï x - 2y = ìï x - 2y = 12 ïí hc ïí ïï y = 12 ïï y =5 ỵ ỵ Gi¶i ta ®ỵc (x; y) = (29; 12);(19; 12); (-19; -12); (22; 5); (-2; 5) ;(2; -5); (-22; -5); ( 26; 13); (-26; -13); (-13; 0); (13; 0) Bµi tËp 11: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: x2 + y2 + z2 = x2 y2 - 23 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Híng dÉn: NÕu x, y ®Ịu lµ sè lỴ ⇒ x , y chia cho ®Ịu d 1; x y chia cho d 1; x2 + y2 chia cho d 2; Mµ x2 + y2 + z2 = x2 y2 => z2 chia cho d (lo¹i) ⇒ x ch½n hc y ch½n * Gi¶ sư x ch½n ⇒ hc y ch½n * Gi¶ sư x ch½n ⇒ x2 , x2y2 ch½n ⇒ x2 ⇒ x2 y2 4⇒ (y2 + z2) ⇒ y vµ z ph¶i ®ång thêi ch½n §Ỉt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta cã: x 12 + y 12 +z 12 = x 12 y 12 LËp ln t¬ng tù ta cã x 22 + y 22 + z 22 = 16 x 22 y 22 x1 y z qu¸ tr×nh nµy cø tiÕp tơc ta thÊy (x 1, y1, z1 ) lµ nghiƯm th× ( k , k , k ) lµ nghiƯm cđa 2 ph¬ng tr×nh víi k nguyªn d¬ng ⇒ x1 = y1 = z1 = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ (0, 0, 0) 2 2 Bµi tËp 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Híng dÉn: Tõ ph¬ng tr×nh: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = ⇔ y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = (*) Coi x lµ tham sè gi¶i ph¬ng tr×nh bËc (*) Èn y ta cã y = -(2x + 1) ± ∆' x Do y nguyªn, x nguyªn ⇒ ∆' x nguyªn Mµ ∆' x = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – ⇒ x2 – = n2 (n є Z) ⇒ (x – n)(x+ n) = ⇒x=±2 ⇒x–n=x+n=±2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nguyªn (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Bµi tËp 13: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: x2 - (y + 5)x + 5y + = Híng dÉn: Coi y lµ tham sè ta cã ph¬ng tr×nh bËc Èn x Gi¶ sư ph¬ng tr×nh bËc cã nghiƯm x1, x2 Ta cã: x1 + x2 = y + x1 x = 5y + x1 x = 5y + ïì ïì < => ïí Theo ®Þnh lý Viet: ïí ïỵï 5x1 + 5x = 5y + 25 ïỵï 5x1 + 5x - x1 x = 23 ⇔ (x1 – 5)(x2 – 5) = 2; Mµ = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 hc x1 + x2 = ⇒ y = hc y = 2; thay vµo ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc c¸c cỈp sè: (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x y z + + = b kh«ng cã nghiƯm tù nhiªn y z x b = hc b = nhng cã v« sè nghiƯm tù nhiªn b = x y z Híng dÉn: Ta thÊy x, y, z є Z + ⇒ , , > Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: y z x x x y z x y z y z ( + + )3 ≥ 27 ( ) = 27 ⇒ + + ≥ y y z x y z x z x §¼ng thøc x¶y x = y = z Bµi tËp 14: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: - 24 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA x y z + + = b kh«ng cã nghiƯm lµ sè tù nhiªn b = hc b = vµ cã y z x v« sè nghiƯm b = ch¼ng h¹n ( x = a, y = a, z = a) víi a lµ sè tù nhiªn bÊt kú VËy ph¬ng tr×nh Bµi tËp15: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: 2x + 3y = 11 Híng dÉn: C¸ch 1: Ta thÊy ph¬ng tr×nh cã cỈp nghiƯm ®Ỉc biƯt lµ x0 = 4, y0 = V× 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = ⇔ 2(x – 4) + 3(y – 1) = ⇒ 2(x – 4) = -3(y – 1) mµ (2, 3) = §Ỉt x – = 3k vµ y – = 2k víi ( k ∈ Z) ìïï x = - 3k VËy nghiƯm tỉng qu¸t cđa ph¬ng tr×nh lµ : ( k ∈ Z) í ïïỵ y = + 2k NhËn xÐt: Theo c¸ch gi¶i nµy ph¶i t×m cỈp nghiƯm nguyªn ®Ỉc biƯt (x0, y0) cđa ph¬ng tr×nh v« ®Þnh ax + by = c NÕu ph¬ng tr×nh cã hƯ sè a, b, c lín th× c¸ch gi¶i khã kh¨n C¸ch 2: Dïng tÝnh chÊt chia hÕt 11 - 3y y −1 Ta cã 2x + 3y = 11 x = =5–y– 2 y- y- Do x, y nguyªn ⇒ nguyªn; §Ỉt = k ⇒ y = 2k +1 ⇒ x = – 3k (k ∈ Z) 2 ìï x = - 3k VËy nghiƯm tỉng qu¸t: ïí ïïỵ y = + 2k ( k ∈ Z) Bµi tËp 16: T×m cỈp sè nguyªn d¬ng (x,y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: 6x2 + 5y2 = 74 Híng dÉn: C¸ch 1: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 6x2 –24 = 50 – 5y2 ⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) ⇒ 6(x2 – 4) 5; Mµ (6, 5) = ⇒ x2 – ⇒ x2 = 5t + (t ∈N) 2 Thay x – = 5t vµo ph¬ng tr×nh ⇒ y = 10 – 6t −4 MỈt kh¸c: x2 > ⇔ t > vµ y2 > t < ⇒ t = hc t = 2 Víi t = ta cã x = 4, y = 10 (lo¹i) Víi t = ta cã x2 = ⇔ x = ± vµ y2 = y = ± Mµ x, y ∈ Z + ⇒ x = 3, y = lµ tho¶ m·n C¸ch 2: Sư dơng tÝnh ch½n lỴ vµ ph¬ng ph¸p chỈn Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 lµ sè ch½n ⇒ y ch½n L¹i cã < 6x2 ⇒ < 5y2 < 74 ⇔ < y2 < 14 ⇒ y2 = ⇒ x2 = CỈp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2) C¸ch 3: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 x2 + Mµ < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = hc x2 = Víi x2 = ⇒ y2 = 10 (lo¹i) Víi x2 = ⇒ y2 = (tho¶ m·n) - 25 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA VËy cỈp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2) Bµi tËp 17: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: x2 + y2 = 2x2y2 Híng dÉn: C¸ch 1: §Ỉt x2 = a, y2 = b Ta cã a + b = 2ab ⇒ a b vµ b a ⇒ a = b ⇒ a = ± b + NÕu a = b ⇒ 2a = 2a2 ⇒ a = a2 ⇒ a = 0, a = ⇒ (a, b) = (0, 0); (1, 1) + NÕu a = - b ⇒ 2b2 = ⇒ a = b = ⇒ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) ⇒ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2; Do x2, y2 ≥ Ta gi¶ sư x2 ≤ y2 ⇒ x2 + y2 ≤ 2y2 ⇒ 2x2 y2 ≤ 2y2 + NÕu y = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm (0; 0) + NÕu y ≠ 0⇒ x2 ≤ ⇒ x2 = hc x2 = ⇒ y2 = (lo¹i) hc y2 = ⇒ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm (x; y) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2 ⇔ 2x2 + 2y2 = x2y2 ⇔ x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2(2y2 – 1) – (2y2 – 1) = ⇔ (2x2 – 1) (2y2 – 1) = Mµ = 1.1 = (-1)(-1) ⇒ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) ⇒ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bµi tËp 18: T×m nghiƯm tù nhiªn cđa ph¬ng tr×nh: x2 -3xy + 2y2+ = Híng dÉn: Ta thÊy(x, y) = (0, 0) kh«ng ph¶i lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Ta coi ph¬ng tr×nh x2 – 3xy + 2y2 + = Èn x ta tÝnh ∆ y = y2 – 24 Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm tù nhiªn th× D y lµ sè chÝnh ph¬ng ⇒ y2 – 24 = k2 ⇒ (y – k)(y + k) = 24 (k∈N) Mµ 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y + k vµ y – k cïng ch½n ìï y + k = ìï y + k = 12 ïí hc ïí y = hc y = ïïỵ y - k = ïïỵ y - k = Thay vµo ta t×m ®ỵc (x, y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bµi tËp 19: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2y2 - 2xy + y + x - 10 = Híng dÉn: C¸ch 1: Ta cã ph¬ng tr×nh ®· cho ⇔ 2x2 – (2y – 1) x + 2y2 + y – 10 = Coi x lµ Èn y lµ tham sè ta cã ph¬ng tr×nh bËc Èn x XÐt ∆ y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 §Ĩ nghiƯm x nguyªn th× D y lµ sè chÝnh ph¬ng §Ỉt k2= -12y2 – 12 y + 81 ⇒ k2 + 3(2y + 1) = 84 k2 ⇒ (2y + 1) = 28 – ≤ 28; Mµ (2y + 1)2 lỴ ⇒ (2y + 1)2 = {1; 9; 25} ⇒ y = {0; 1; -2; 2; -3} Thay y vµo ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc c¸c cỈp sè (x, y) = (2, 0); (0, 2) tho¶ m·n C¸ch 2: §Ỉt x + y = a, xy = b ta cã x, y ∈ Z ⇒ a, b ∈ Z - 26 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Th× 2x – (2y-1) x + 2y + y – 10 = ⇔ 2a – 4b + a – 10 = ⇔ 4a2 – 8b + 2a – 20 = ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 L¹i cã (x+ y)2≥ xy ⇒ a2 ≥ 4b ⇒ 8b + 21 ≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2 + 3a2 ≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2 ≤ 21 Mµ (a+ 1)2 lµ sè chÝnh ph¬ng ⇒ (a + 1)2 ∈ {1; 4; 9; 16} ⇒ a ∈ {0; 1; 2; 3} + Víi a = ⇒ 12 + = 8b + 21 ⇒ 8b = 20 (lo¹i) + Víi a = ⇒ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ⇒ 8b = -14 (lo¹i) + Víi a = ⇒ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ⇒ 8b = ⇒ b = + Víi a = ⇒ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ⇒ 8b = 22 (lo¹i) ìïï xy = VËy ®ỵc a = 2, b = ⇒ í ⇒ (x, y ) = (0, 2); (2, 0) (tho¶ m·n) ïïỵ x + y = 2 2 Bµi tËp 20: T×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm nguyªn d¬ng x, y cho: x2 + 4x - y2 = Híng dÉn: C¸ch 1: Ta cã x2 + 4x – y2 = ⇔ (x + 2)2 – y2 = ⇔ (x + + y)(x + – y) = Mµ x, y nguyªn d¬ng ⇒ (x + + y) > (x + – y) ïì x + + y = ïí x = 1, y = VËy nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ x = 1, y = ïïỵ x + - y = C¸ch 2: Ta cã x2 + x – y2 = ⇔ x2 + x – (y2 + 1) = D 'y = + y2 + ⇒ x = −2 ± ∆ 'y ' §Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm th× D y lµ sè chÝnh ph¬ng ⇒ + y2 + = k2 ⇔ (k – y) (k + y) = ⇒ y = 2; Thay vµo ph¬ng tr×nh t×m ®ỵc x = VËy nghiƯm nguyªn d¬ng cđa ph¬ng tr×nh lµ x = 1; y = Bµi tËp 21: Hai ®éi cê thi ®Êu víi mçi ®Êu thđ cđa ®éi nµy ph¶i ®Êu v¸n víi mçi ®Êu thđ cđa ®éi BiÕt r»ng tỉng sè v¸n cê ®· ®Êu b»ng lÇn tỉng sè ®Êu thđ cđa hai ®éi vµ biÕt r»ng sè ®Êu thđ cđa Ýt nhÊt ®éi lµ sè lỴ hái mçi ®éi cã bao nhiªu ®Êu thđ Híng dÉn: Gäi x, y lÇn lỵt lµ sè ®Êu thđ cđa ®éi vµ ®éi (x, y nguyªn d¬ng ) Theo bµi ta cã xy = (x + y) §©y lµ ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn ta cã thĨ gi¶i b»ng c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Cã xy = 4(x + y) ⇔ xy – 4x – 4y + 16 = 16 ⇔ (x-4) (y - 4) = 16 Mµ 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 L¹i cã Ýt nhÊt ®éi cã sè ®Êu thđ lỴ, nªn ta cã: ïì x - = ïí x = 5; y = 20 hc x = 20; y = ïïỵ y - = 16 - 27 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA C¸ch 2: Ta thÊy x, y b×nh ®¼ng Kh«ng mÊt tÝnh tỉng qu¸t ta gi¶ sư x ≤ y Ta cã x, y nguyªn 4 d¬ng xy = 4(x + y) ⇔ + = x y 4 4 8 l¹i cã ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = {5; 6; 7; 8} y y x x x x Mµ ≤ 1⇒x>4 x Thư trùc tiÕp ta ®ỵc x = 5, y = 20 (tho¶ m·n) VËy ®éi cã ®Êu thđ cßn ®éi cã 20 ®Êu thđ Bµi tËp 22: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyyªn x, y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x+y = x − xy + y x+y ⇔ 7(x+ y) = 3(x2 – xy + y2) = x − xy + y §Ỉt x + y = p , x – y = q ⇒ p, q nguyªn p+q p- q ⇒x= ;y= ; Thay vµo ph¬ng tr×nh cã d¹ng 28p = 3(q2 + q2) ⇒ p > vµ p 2 + §Ỉt p = 3k (k ∈Z ) ⇒ 28k = 3(3k2+ q2) ⇒ k vµ k cã d¹ng 3m (m ∈ Z+) ⇒ 28 m = 27m2 + q ⇒ m( 28 – 27m) = q2 ≥ ⇒ m = hc m = Víi m = ⇒ k = ⇒ q = ⇒ x = y = (lo¹i) Víi m = th× k = 3; p = ⇒ 28 = 27 + q2 ⇒ q = ± Khi p = 9, q = th× x = 5, y = Khi p = 9, q = 1- th× x = 4, y = VËy nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ (x, y) = (4; 5); (5; 4) Híng dÉn: Ta cã Bµi tËp 23: H·y dùng mét tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¹nh lµ a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn vµ cã c¹nh ®o ®ỵc ®¬n vÞ Híng dÉn: Gi¶ sư c¹nh ®o ®ỵc ®¬n vÞ lµ c¹nh hun (a = 7) ⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2 ⇒ b 7; c (v× sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho d 0; 1; 4; 2) Ta l¹i cã < b, c < (lo¹i) ⇒ C¹nh ®o ®ỵc lµ c¹nh gãc vu«ng gi¶ sư b = Ta cã a2 – c2 = 49 ⇔ (a + c)(a – c) = 49 ïì a + c = 49 ïí a = 25 vµ c = 24 VËy tam gi¸c cÇn dùng cã sè ®o c¹nh lµ 7; 25; 24 ïïỵ a - c = Bµi tËp 24: Một trường có 2392 học sinh Trong có số học sinh đạt giải kỳ thi quốc tế, số học sinh đạt giải quốc gia, số đạt giải tỉnh số đạt giải trường (nhưng học sinh đạt giải) Biết số học sinh đạt giải nói chữ số học sinh lại; số học sinh đạt giải quốc - 28 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA tế số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia số học sinh đạt giải tỉnh số học sinh đạt giải tỉnh số học sinh đạt giải trường Hãy cho biết số học sinh đạt giải nói số học sinh lại không đạt giải? Hướng dẫn: Gọi số học sinh đạt giải a, b, c, d; Trong ≤ a, b, c, d ≤ Theo toán ta có: abcd + a + b + c + d = 2392 Vì ≤ a, b, c, d ≤ => a + b + c + d ≤ 36 => abcd > 2300 => a = b = Lúc ta có: 23cd + + + c + d = 2392 2300 + 10c + d + + c + d = 2392 11c + 2d = 87 Mà ≤ 2d ≤ 18 69 ≤ 11c ≤ 87 ≤ c ≤ 21 Nếu c = => 11.6 + 2.d = 87 => d = (không thoả mãn) Nếu c = => 11.7 + 2.d = 87 => d = Vậy số học sinh giỏi quốc tế trường 2; Số học sinh giỏi quốc gia 3; Số học sinh giỏi cấp tỉnh Số học sinh giỏi cấp trường 7; Và số học sinh lại 2375 Bài tập 25: Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất: f(x) nhận giá trò nguyên x số nguyên Hỏi hệ số a, b, c có thiết số nguyên không? Vì sao? Hướng dẫn: Theo đề f(x) = ax2 + bx + c số nguyên với x số nguyên Suy ìï cỴ Z c∈Z ïï f(0) ∈ Z; f(1) ∈ Z f(-1) ∈ Z, ta có: a + b + c ∈ Z íï a + b + c Ỵ Z ïï a − b + c ∈ Z 2a Ỵ Z ïỵ 2a ∈ Z Ta cần chứng minh: a + b + c ∈ Z đủ c∈Z Thật vậy, với x ∈ Z, ta có: f(x) = ax2 – ax + (a + b + c)x + c – cx = ax(x – 1) + (a + b + c)x + c – cx Do x(x – 1) với x ∈ Z nên x(x – 1) = 2k (k ∈ Z) mà 2a ∈ Z nên ax(x – 1) ∈ Z a + b + c ∈ Z x ∈ Z nên (a + b + c)x ∈ Z c∈ Z, x ∈ Z nên c – cx ∈ Z với x ∈ Z Như không thiết hệ số a, b, c số nguyên Bài tập 26: a/ Hãy số nguyên dương khác x y cho xy + x xy + y bình phương số nguyên dương khác b/ Có hay không số nguyên dương khác x y khoảng (998; 1994) cho xy + x xy + y bình phương số nguyên dương khác Hướng dẫn: a/ Với x = 1; y = xy + x = = 32 xy + y = 16 = 42 - 29 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA b/ Giả sư ûcó số nguyên dương khác khoảng (998; 1994) cho xy + x xy + y bình phương số nguyên dương khác Đặt xy + x = a2 xy + y = b2 (a, b nguyên dương, a ≠ b) Giả sử 998 < x < y < 1994 nên b > a Suy xy > x2 => a2 > x2 => a > x Ta có y – x = (xy + y) – (xy + x) = b2 – a2 > => b2 > a2 => b2 ≥ (a + 1)2 b2 – a2 ≥ (a + 1)2 – a2 = 2a + Do y – x ≥ 2a + > 2x + => y > 3x + > 3.998 + = 2965 Vô lí theo giả thiết y < 1994 Vậy không tồn số nguyên dương khác x y khoảng (998; 1994) cho xy + x xy + y bình phương số nguyên dương khác Bài tập 27: Tìm tất số nguyên tố p để tổng ước số p số phương Hướng dẫn: Theo đầu ta có: n2 = + p + p2 + p3 + p4 (n nguyên dương, p nguyên tố) 2 2 4n = + 4p + 4p + 4p + 4p = (2p + p) + 3p + 4p + = (2p2 + p + 1)2 + + 2p – p2 Vì 3p2 + 4p + = 2p2 +(p + 2)2 > nên 4n2 > (2p2 + p)2 Nếu + 2p – p2 < 4n2 < (2p2 + p + 1)2 Vậy (2p2 + p)2 < (2n)2 < (2p2 + p + 1)2 => 2n không số nguyên (loại) Do đó: + 2p – p2 ≥ => (p – 1)2 ≤ => -2 ≤ p – ≤ => -1 ≤ p ≤ Vì p số nguyên tố nên p = p = Thử lại có p = thoả mãn Vậy p = Bài tập 28: Tìm giá trò nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: (y + 2)x + = y2 Hướng dẫn: (y + 2)x2 + = y2 (y + 2)x2 = y2 – +Nếu x = -2 = 3; vô lí y2 - + Nếu x ≠ -2 x = =y–2+ y+2 y+ ∈ Z suy y + ước Với y ∈ Z, để x ∈ Z y+ Từ thay vào tìm cặp số (x, y) (0, -1), (0; 1) Bài tập 29: Chứng minh P(x) đa thức với hệ số nguyên, thêm vào P(0) P(1) số lẻ đa thức P(x) có nghiệm nguyên Hướng dẫn: Giả sử đa thức P(x) có nghiệm số nguyên a, ta có P(x) x – a Do P(x)= (x – a).g(x) (g(x) đa thức có hệ số nguyên) Ta có: P(0) = -a.g(0) số lẻ => a số lẻ Mặt khác P(1) = (1 – a)g(1) số lẻ => – a số lẻ => a chẵn (Mâu thuẫn) Vậy P(x) có nghiệm số nguyên sai Do đa thức P(x) có nghiệm nguyên - 30 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Bài tập 30: Hãy tìm cặp số (x, y) cho y nhỏ thoả mãn: x + 5y2 + 2y – 4xy – 3=0 Hướng dẫn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = (1) x2 – 4xy + 5y2 + 2y– = (2) Vì (x, y) thoả mãn (1) nên phương trình (2) ẩn x phải có nghiệm ∆ ′ =4y2 – 5y2 – 2y + ≥ y2 + 2y – ≤ -3 ≤ y ≤ Với y = -3 (1) x + 12x + 36 = 0, phương trình có nghiệm x = -6 Vậy y nhỏ -3 ứng với cặp số (x, y) = (-6; -3) Bài tập 31: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 17y2 + 34xy + 51(x + y) = 1740 Hướng dẫn: Phương trình cho trở thành: 17(x + y)2 + 17.3(x + y) – 17x2 – 1734 = – x2 Suy (x2 – 6) 17 (*) Đặt x = 17 k + r (k ∈ Z, r ∈ Z; ≤ r ≤ 16) Suy x2 = r2(mod17); r thoả mãn (*) Vậy phương trình cho nghiệm nguyên Bài tập 32: Tìm giá trò nguyên x y đẳng thức: 2x3 + xy = Hướng dẫn: 2x3 + xy = (x, y ∈ Z) x(2x2 + y) = 7; Mà = (–1) (–7) = 1.7 x = −1 x =1 ïìï x = - Ta có trường hợp sau: ; íï ; ; 2x + y = −7 2x + y = ïỵ 2x + y = - ìïï x = í ïïỵ 2x + y = ; x = −1 x = ïìï x = - x=7 ; íï ; ; y = −97 y = −9 y = ïỵ y = - 99 Lưu ý: Bài giải theo cách biểu thò y theo x sau tìm giá trò x => giá trò y Bài tập 33: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: x – x2 + 2x + Hướng dẫn: x4 – x2 + 2x + = (x4 – 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) = (x2 – 1)2 + (x + 1)2 = = (x + 1)2(x – 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2[(x – 1)2 + 1] số phương (x + 1) = (x – 1)2 + tuỳ ý (x + 1)2 ≠ (x – 1)2 + số phương + Nếu (x + 1)2 = x + = x = -1 + Nếu (x + 1)2 ≠ Ta có (x – 1)2 + số phương, nên đặt (x – 1)2 + = y2 (y ∈ N) Nên y2 – (x – 1)2 = (y + |x – 1|)(y - |x – 1|) = Vì y ∈ N, |x – 1| ∈ N nên xảy ra: y + |x – 1| = 1; y - |x – 1| = Vậy |x – 1| = x – = x = Thử lại thấy x = 1, x = -1 x4 – x2 + 2x + số phương - 31 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA c- KẾT LUẬN 1-KHÁI QT CỤC BỘ : a) Kết chung: Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh giỏi khối khối khơng nắm vững cách giải phương trình nghiệm ngun mà vận dụng linh hoạt dạng tốn khác có liên quan, tạo cho em có hứng thú học tốn đặt biệt tư suy luận logic tốn học có tư mơn tốn học tốt Đặc biệt việc áp dụng tìm nhiều cách giải cho tốn từ có khám phá cho việc tìm tòi cách giải tốn Trong q trình áp dụng đề tài thân tơi trang bị mặt phương pháp dạy học, có thêm kĩ dẫn dắt hớng dẫn học sinh phát triển tư học tập, tự chiếm lĩnh kiến thức, em hứng thú học tập hơn, q trình học tập em tích cực, chủ động, sáng tạo, biết suy nghĩ tự lực Nhìn chung qua chun đề em học sinh phần hiểu cách giải tốn có dấu giá trị tuyệt đối trình bày lời giải tốt Các em biết cách vận dụng phương pháp học để làm số dạng tập có liên quan Ngồi em học sinh vận dụng để khảo sát số nghiệm phương trình bậc hai, giải phương trình vơ tỉ b) Kết cụ thể: ĐỀ BÀI : Bài 1:Tìm nghiệm ngun phương trình a, x2 – 4x – y2 = b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 - 32 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Bài 2: Tìm nghiệm ngun phương trình : 5x + 7y = 56 KẾT QUẢ ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG SAU KHI NGHIÊN CỨU: Kiểm tra lại số học sinh sau áp dụng đề tài kết đạt sau: Năm học 2009-2010 2010-2011 Tổng số HS 10 Dưới điểm SL % 12,5 10 Điểm - SL % 25 20 Điểm - 10 SL % 12,5 20 Điểm - 10 SL % 50 50 Kiểm tra 20 học sinh lớp dạng phiếu học tập đạt kết sau: Năm học 2010-2011 Tổng số HS 20 Dưới điểm SL % Điểm - SL % 25 Điểm - 10 SL % 30 Điểm - 10 SL % 40 2-LỢI ÍCH VÀ KHẢ NĂNG VẬN DỤNG: - Giáo viên định hướng cách giải tập phương trình nghiệm ngun - Có tài liệu việc giài phương trình nghiệm ngun đan xen tiết dạy khóa sử dụng buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, giải tốn qua mạng internat giải tốn máy tính cầm tay - Học sinh nắm phương pháp giải, vận dụng hợp lí, sáng tạo giải phương trình nghiệm ngun việc giải tốn 3-ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ: Trong q trình học tập, giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp q trình nghiên cứu tìm hiểu mảng đề tài '' Một số phương pháp giải tốn phương trình nghiệm ngun'' thân rút số điều sau: Đây dạng tốn phức tạp Cần có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết tương đối linh hoạt học sinh hiểu chất vấn đề bước mở rộng hiểu biết Do qua trình giảng dạy mảng kiến thức cho học sinh thân giáo viên cần trang bị cho em tỷ mỷ, rõ ràng đơn vị kiến thức, cần có tập củng cố vận dụng sau đơn vị học Đây dạng tốn khó nên nhiều học sinh ngại hạn chế hiểu biết nó, giảng dạy giáo viên cần ý tạo cho em niềm đam mê hứng thú học tập Trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu cho dù sai cho đễn sáng tạo nhỏ - ln ln - 33 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA động viên, khích lệ, kịp thời Có biện pháp để kích thích khả tự nguyện nghiên cứu tìm tòi em Giáo viên phải thường xun kiểm tra, đánh giá, có biện pháp khắc phục kịp thời sai lầm thiếu sót,nên chia mảng kiến thức thành chun đề cụ thể, dạy sâu chun đề đó, từ tìm logic khác Khi nghiên cưú mảng đề tài thân ln nghĩ động lực giúp cho có thêm hiểu biết bổ sung vào vốn kiến thức hạn chế cá nhân Nhưng niềm hạnh phúc lớn đề tài đồng nghiệp em học sinh đón nhận, đặc biệt hy vọng đề tài giúp em học sinh u thích tự tin gặp tốn liên quan đến dấu trị giá trị tuyệt đối có kinh nghiệm cần thiết thực tế Do nhiều hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên q trình thực đề tài mặt dù thân có nhiều cố gắng việc sưu tầm biên soạn để giảng dạy, chắn nhiều thiếu sót việc biên soạn mong thầy thơng cảm đóng góp ý kiến Rất mong nhận ý kiến phê bình q đồng nghiệp./ Phước Hòa, ngày 10 tháng 11 năm 2011 Người thực Lê Văn Bính NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK tốn 8, tập – Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 SGK tốn 8, tập – Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 Tuyển chọn chun đề tốn học tuổi trẻ - Phạm Dỗn ThoạiNhà xuất giáo dục – Năm 2006 Các chun đề bồi dưỡng HSG THCS – Nguyễn Thị Thanh Thủy-Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 Bài tập nâng cao số chun đề tốn – Bùi Văn Tun - Nhà xuất giáo dục – Năm 2006 Tốn nâng cao đại số – Nguyễn Vĩnh Cận-Nhà xuất đại học sư phạm – Năm 2004 Tuyển chọn 405 tốn – Nguyễn Đức Tấn -Nhà xuất đà nẵng– Năm 2006 - 34 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA Chun đề bồi dưỡng nâng cao đại số – Đặng Đức Trọng -Nhà xuất đại học quốc gia TPHCM – Năm 2006 351 bµi to¸n sè häc chän läc-Ngun §øc TÊn,§Ỉng Anh Tn- Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 10 Tìm hiểu phương trình đại số- Vũ Hồng Lâm, Nguyễn Đễ - Nhà xuất giáo dục- năm 2005 11.Chun đề bồi dưỡng số học- Nguyễn Vũ Thanh – nhà xuất giáo dục – năm 2006 MỤC LỤC A - PhÇn më ®Çu I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: II- NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI: TR:1 TR:1 III-PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: TR:2 IV- CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: TR:2 B- KẾT QUẢ I-MƠ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI: TR:3 II/ NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP: TR:4 - 35 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA 1/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: TR:4 2/ NỘI DUNG CHÍNH VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: TR:5 PHÇN I: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: TR:5 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN: TR:7 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG: TR:8 IV PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN ĐƯA VỀ DẠNG: TR:9 V- PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN CÁC ẨN CĨ VAI TRỊ BÌNH ĐẲNG: TR:10 PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I/ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT: II/ ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH: II/ SẮP THỨ TỰ CÁC ẨN IV/ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC: V/ ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG: VI/ LÙI VÔ HẠN: VII/ XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG: VIII/ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG TR:12 TR:13 TR:14 TR:15 TR:16 TR:16 TR:17 TR:17 TR:19 c- KẾT LUẬN TR:30 TR:31 TR:31 1-KHÁI QT CỤC BỘ : 2-LỢI ÍCH VÀ KHẢ NĂNG VẬN DỤNG: 3-ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ: HỘI ĐỒNG XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : - 36 – WWW.ToanCapBa.Net [...]... Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Khơng có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm ngun nhưng để giải nó người ta thường áp dụng một số phương pháp sau hoặc kết hợp các phương pháp tuỳ theo từng bài cụ thể Sau đây là một số phương pháp thường dùng: I/ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT: Ví dụ 14: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y... TRƯỜNG THCS PHƯỚC HÒA 1/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: TR:4 2/ NỘI DUNG CHÍNH VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: TR:5 PHÇN I: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: TR:5 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN: TR:7 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG: TR:8 IV PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN ĐƯA VỀ DẠNG: TR:9 V- PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN CÁC ẨN CĨ VAI TRỊ BÌNH ĐẲNG: TR:10 PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN... về phương trình tích VIII/ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác đònh giá trò của tham số Ví dụ 36: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) y2 + (4x + 2)y + 3x2+ 4x + 5 = 0 Nếu phương trình có nghiệm. .. cách giải các bài tập về phương trình nghiệm ngun - Có được tài liệu về việc giài phương trình nghiệm ngun đan xen trong các tiết dạy chính khóa và sử dụng trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, giải tốn qua mạng internat và giải tốn trên máy tính cầm tay - Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lí, sáng tạo của giải phương trình nghiệm ngun trong việc giải tốn 3-ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ: Trong q trình. .. = 0 Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì y nguyên => -4x – 2 ± ∆ x ' nguyên, mà x nguyên nên D x ' nguyên ' => ∆ y = x2 – 4 = n2 với n ∈ Z (x – n)(x + n) = 4, ta xác đònh được x = ± 2 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm nguyên là (2; -5), (-2; 3) Ví dụ 37: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (2) Hướng dẫn: Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm nguyên x1, x2 thì theo đònh lý... sinh đã phần nào hiểu được cách giải các bài tốn có dấu giá trị tuyệt đối và trình bày lời giải tốt hơn Các em biết cách vận dụng những phương pháp đã học để làm một số dạng bài tập có liên quan Ngồi ra các em học sinh còn có thể vận dụng để khảo sát số nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình vơ tỉ b) Kết quả cụ thể: ĐỀ BÀI : Bài 1:Tìm nghiệm ngun của phương trình a, x2 – 4x – y2 = 1 b, 2x2... = 1 y z Vậy nghiệm của phương trình (1; 1; 1) Ví dụ 13: Chứng minh rằng phương trình sau khơng có nghiệm tự nhiên 1 1 1 + + 2 = 1 (x,y ≠ 0) 2 xy y x Hướng dẫn: Vì x, y có vai trò bình đẳng Ta giả sử 1≤ x ≤ y Ta có x2 ≤ xy ≤ y2 (giả sử phương trình có nghiệm tự nhiên) ⇒1= 1 1 1 3 + + ≤ 2 ⇒ x2 ≤ 3 2 2 xy y x x ⇒ x = 1( vì x ∈ N* ) ⇒ 1+ 1 1 + 2 = 1 (vơ nghiệm) y y ⇒ Phương trình khơng có nghiệm là số... + 4z13 Vậy nếu (x, y, z) là nghiệm của phương trình đã cho thì ; ; ÷ 2 2 2 ỉx y z ư ; n; n÷ ÷ ç cũng là nghiệm của phương trình đã cho Một cách tổng quát, ta suy ra ç n ÷cũng là ç ÷ è2 2 2 ø nghiệm của phương trình đã cho, với mọi n ∈ N, hay x, y, z chia hết cho 2n với mọi n, Do đó x = y = z = 0 VII/ XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG: Ví dụ 34: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1! + 2! + … + x! = y 2... Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ; y = -1 V- PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN CÁC ẨN CĨ VAI TRỊ BÌNH ĐẲNG Khi làm tốn ta thường gặp một số bài tốn mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau Để giải các bài tốn đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể Ở đây ta nghiên cứu đến 1 phương pháp giải tốn này: Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải Ví dụ 1: Tìm nghiệm. .. 1 = 5 ïỵ Giải các hệ trên => phương trình đã cho có nghiệm là: (2; 3), (3; 2), (-1; -2), (-2; -1) Ví dụ 30: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + z2 – 2xy – 2y + 2z + 2 = 0 Hướng dẫn: Ta biến đổi về dạng: (x – y)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 0 => x – y = 0; y – 1 = 0; z + 1 = 0 => phương trình có nghiệm (1; 1; -1) - 17 – WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Người viết: Lê Văn Bính TRƯỜNG THCS PHƯỚC