phân tích đa thức THCS bồi dưỡng HSG toán
Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số CHUYấN CC PHNG PHP PHN TCH A THC THNH NHN T I CC PHNG PHP C BN Phng phỏp t nhõn t chung Tỡm nhõn t chung l nhng n, a thc cú mt tt c cỏc hng t Phõn tớch mi hng t thnh tớch ca nhõn t chung v mt nhõn t khỏc Vit nhõn t chung ngoi du ngoc, vit cỏc nhõn t cũn li ca mi hng t vo du ngoc (k c du ca chỳng) Vớ d Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 28a2b2 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab 3b + 2a) 2x(y z) + 5y(z y ) = 2(y z) 5y(y z) = (y z)(2 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 x + 1) Phng phỏp dựng hng ng thc Dựng cỏc hng ng thc ỏng nh phõn tớch a thc thnh nhõn t Cõn chỳ y n viờc võn dung hng ng thc Vớ d Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 9x2 = (3x)2 22 = ( 3x 2)(3x + 2) 27a3b6 = 23 (3ab2)3 = (2 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 10x2y + y2 = (5x2 y)2 Phng phỏp nhúm nhiu hng t Kt hp cỏc hng t thớch hp thnh tng nhúm p dung liờn tip cỏc phng phỏp t nhõn t chung hoc dựng hng ng thc Vớ d Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 2x3 3x2 + 2x = ( 2x3 + 2x) (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x 3) x2 2xy + y2 16 = (x y)2 42 = ( x y 4)( x y + 4) Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Phi hp nhiu phng phỏp Chn cỏc phng phỏp theo th t u tiờn t nhõn t chung Dựng hng ng thc Nhúm nhiu hng t Vớ d Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 3xy2 12xy + 12x = 3x(y2 4y + 4) = 3x(y 2)2 3x3y 6x2y 3xy3 6axy2 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 2y y2 2ay a2 + 1) = 3xy[( x2 2x + 1) (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x 1)2 (y + a)2] = 3xy[(x 1) (y + a)][(x 1) + (y + a)] = 3xy( x y a)(x + y + a) II PHNG PHP TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T i vi a thc bc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cỏch (tỏch hng t bõc nht bx): Bc 1: Tỡm tớch ac, ri phõn tớch ac tớch ca hai tha s nguyờn bng mi cỏch a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = = ai.ci = Bc 2: Chn hai tha s cú tng bng b, chng hn chn tớch a.c = ai.ci vi b = + ci Bc 3: Tỏch bx = aix + cix T ú nhúm hai s hng thớch hp phõn tớch tip Vớ d Phõn tớch a thc f(x) = 3x2 + 8x + thnh nhõn t Hng dn Phõn tớch ac = 12 = 3.4 = (3).(4) = 2.6 = (2).(6) = 1.12 = (1).(12) Tớch ca hai tha s cú tng bng b = l tớch a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tỏch 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Li gii 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cỏch (tỏch hng t bõc hai ax2) Lm xut hiờn hiờu hai bỡnh phng : f(x) = (4x2 + 8x + 4) x2 = (2x + 2)2 x2 = (2x + x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tỏch thnh s hng ri nhúm : f(x) = 4x2 x2 + 8x + = (4x2 + 8x) ( x2 4) = 4x(x + 2) (x 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) (9x2 4) = = (x + 2)(3x + 2) c) Cỏch (tỏch hng t t c) Tỏch thnh s hng ri nhúm thnh hai nhúm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 12 = (3x2 12) + (8x + 16) = = (x + 2)(3x + 2) d) Cỏch (tỏch s hng, s hng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) (4x + 8) = 3(x + 2)2 4(x + 2) = (x + 2)(3x 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = = (x + 2)(3x + 2) e) Cỏch (nhm nghiờm): Xem phõn Chỳ y : Nu f(x) = ax2 + bx + c cú dng A2 2AB + c thỡ ta tỏch nh sau : f(x) = A2 2AB + B2 B2 + c = (A B)2 (B2 c) Vớ d Phõn tớch a thc f(x) = 4x2 4x thnh nhõn t Hng dn Ta thy 4x2 4x = (2x)2 2.2x T ú ta cn thờm v bt = xut hin hng ng thc Li gii f(x) = (4x2 4x + 1) = (2x 1)2 22 = (2x 3)(2x + 1) Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Vớ d Phõn tớch a thc f(x) = 9x2 + 12x thnh nhõn t Li gii Cỏch : f(x) = 9x2 3x + 15x = (9x2 3x) + (15x 5) = 3x(3x 1) + 5(3x 1) = (3x 1)(3x + 5) Cỏch : f(x) = (9x2 + 12x + 4) = (3x + 2)2 32 = (3x 1)(3x + 5) i vi a thc bc t tr lờn Trc ht, ta chỳ ý n mt nh lớ quan trng sau : nh lớ : Nu f(x) cú nghiờm x = a thỡ f(a) = Khi ú, f(x) cú mt nhõn t l x a v f(x) cú th vit di dng f(x) = (x a).q(x) Lỳc ú tach cac s hng ca f(x) thnh cac nhúm, mi nhúm u cha nhõn t l x a Cng cn lu ý rng, nghim nguyờn ca a thc, nu cú, phi l mt c ca h s t Thõt võy, gi s a thc an x n + an1 x n1 + an2 x n2 + + a1 x + a0 với an , an1 , , a1 , a0 nguyờn, cú nghiờm nguyờn x = a Th thỡ : an x n + an1 x n1 + an2 x n2 + + a1 x + a0 = ( x a)(bn1 x n1 + bn2 x n2 + + b1 x + b0 ) , ú bn1 , bn2 , , b1 , b0 l cỏc s nguyờn Hng t bõc thp nht v phi l ab 0, hng t bõc thp nht v trỏi l a0 Do ú ab0 = a0, suy a l c ca a0 Vớ d Phõn tớch a thc f(x) = x3 + x2 + thnh nhõn t Li gii Ln lt kim tra vi x = 1, 2, 4, ta thy f(2) = (2) + (2)2 + = a thc f(x) cú mt nghim x = 2, ú nú cha mt nhõn t l x + T ú, ta tach nh sau Cỏch : f(x) = x3 + 2x2 x2 + = (x3 + 2x2) (x2 4) = x2(x + 2) (x 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 x + 2) Cỏch : f(x) = (x3 + 8) + (x2 4) = (x + 2)(x2 2x + 4) + (x 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 x + 2) Cỏch : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 x + 2) Cỏch : f(x) = (x3 x2 + 2x) + (2x2 2x + 4) = x(x2 x + 2) + 2(x2 x + 2) Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số = (x + 2)(x2 x + 2) T nh lớ trờn, ta cú cac h qu sau : Hờ qu Nu f(x) cú tng cỏc hờ s bng thỡ f(x) cú mt nghiờm l x = T ú f(x) cú mt nhõn t l x Chng hn, a thc x3 5x2 + 8x cú + (5) + + (4) = nờn x = l mt nghim ca a thc a thc cú mt nhõn t l x Ta phõn tớch nh sau : f(x) = (x3 x2) (4x2 4x) + (4x 4) = x2(x 1) 4x(x 1) + 4(x 1) = (x 1)( x 2)2 Hờ qu Nu f(x) cú tng cỏc hờ s ca cỏc lu tha bõc chn bng tng cỏc hờ s ca cỏc lu tha bõc l thỡ f(x) cú mt nghiờm x = T ú f(x) cú mt nhõn t l x + Chng hn, a thc x3 5x2 + 3x + cú + = + nờn x = l mt nghim ca a thc a thc cú mt nhõn t l x + Ta phõn tớch nh sau : f(x) = (x3 + x2) (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x 3)2 Hờ qu Nu f(x) cú nghiờm nguyờn x = a v f(1) v f(1) khỏc thỡ f (1) v a1 f (1) u l s nguyờn a+1 Chng minh a thc f(x) cú nghim x = a nờn f(x) cú mt nhõn t l x a Do ú f(x) cú dng : f(x) = (x a).q(x) (1) Thay x = vo (1), ta cú : f(1) = (1 a).q(1) Do f(1) nờn a 1, suy q(1) = f (1) Vỡ cac h s ca f(x) nguyờn nờn cac h a1 s ca q(x) cng nguyờn Do ú, q(1) l s nguyờn Vy Thay x = vo (1) v chng minh tng t ta cú Trang f (1) l s nguyờn a1 f (1) l s nguyờn a+1 Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Vớ d Phõn tớch a thc f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thnh nhõn t Hng dn Cac c ca 18 l 1, 2, 3, 6, 9, 18 f(1) = 18, f(1) = 44, nờn khụng phi l nghim ca f(x) 18 18 18 18 , , , khụng l s nguyờn nờn 3, 6, 9, 18 18 khụng l nghim ca f(x) Ch cũn v Kim tra ta thy l nghim ca f(x) Do ú, ta tach cac hng t nh sau : D thy f(x) = 4x 12x x + 3x + 6x 18 = 4x (x 3) x(x 3) + 6(x 3) = (x 3)(4x2 x + 6) Hờ qu Nu f(x) = an x n + an1 x n1 + an2 x n2 + + a1 x + a0 ( với an , an1 , , a1 , a0 l cỏc s nguyờn) cú nghiờm hu t x = p , ú p, q Z v (p , q)=1, thỡ p l c a 0, q q l c dng ca an Chng minh Ta thy f(x) cú nghim x = p nờn nú cú mt nhõn t l (qx p) Vỡ cac h s ca f(x) q u nguyờn nờn f(x) cú dng: f(x) = (qx p) (b n 1x n + b n x n2 + + b1x + b ) ng nht hai v ta c qbn1 = an , pb0 = ao T ú suy p l c ca a 0, cũn q l c dng ca an (pcm) Vớ d 10 Phõn tớch a thc f(x) = 3x3 7x2 + 17x thnh nhõn t Hng dn Cac c ca l 1, Th trc tip ta thy cac s ny khụng l nghim ca f(x) Nh vy f(x) khụng cú nghim nghuyờn Xột cac s , , ta thy l nghim ca a 3 thc, ú a thc cú mt nhõn t l 3x Ta phõn tớch nh sau : f(x) = (3x3 x2) (6x2 2x) + (15x 5) = (3x 1)(x2 2x + 5) i vi a thc nhiu biờn Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Vớ d 11 Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) Hng dn a) Phõn tớch a thc ny tng t nh phõn tớch a thc f(x) = ax2 + bx + c Ta tach hng t th : 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) a) Nhn xột z x = (y z) (x y) Vỡ vy ta tach hng t th hai ca a thc : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chỳ y : 1) cõu b) ta cú th tỏch y z = (x y) (z x) (hoc z x= (y z) (x y)) 2) a thc cõu b) l mt nhng a thc cú dng a thc c biờt Khi ta thay x = y (y = z hoc z = x) vo a thc thỡ giỏ tr ca a thc bng Vỡ võy, ngoi cỏch phõn tớch bng cỏch tỏch nh trờn, ta cũn cỏch phõn tớch bng cỏch xet giỏ tr riờng (Xem phõn IV) III PHNG PHP THấM V BT CNG MT HNG T Thờm v bt cựng mt hng t lm xut hin hiu hai bỡnh phng Vớ d 12 Phõn tớch a thc x4 + x2 + thnh nhõn t Li gii Cỏch : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) x2 = (x2 + 1)2 x2 = (x2 x + 1)(x2 + x + 1) Cỏch : x4 + x2 + = (x4 x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 x + 1) + (x + 1)(x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x2 + x + 1) Cỏch : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) (x3 1) = x2(x2 + x + 1) + (x 1)(x2 + x + 1) Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số = (x2 x + 1)(x2 + x + 1) Vớ d 13 Phõn tớch a thc x4 + 16 thnh nhõn t Li gii Cỏch : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) 4x2 = (x2 + 2)2 (2x)2 = (x2 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cỏch : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thờm v bt cựng mt hng t lm xut hin nhõn t chung Vớ d 14 Phõn tớch a thc x5 + x thnh nhõn t Li gii Cỏch x5 + x = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x = x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1) Cỏch Thờm v bt x2 : x5 + x = x5 + x2 x2 + x = x2(x3 + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1) Vớ d 15 Phõn tớch a thc x7 + x + thnh nhõn t Li gii x7 + x2 + = x7 x + x2 + x + = x(x6 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 x4 x2 x + 1) Lu y : Cac a thc dng x3m + + x3n + + nh x7 + x2 + 1, x4 + x5 + u cha nhõn t l x2 + x + IV PHNG PHP ễI BIấN t n phu a v dng tam thc bõc hai ri s dung cỏc phng phỏp c bn Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Vớ d 16 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Li gii x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, a thc a cho cú dng : (y 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhõn xet: Nh phng phap i bin ta a a a thc bc i vi x thnh a thc bc i vi y Vớ d 17 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + Li gii Cỏch Gi s x Ta vit a thc di dng : ộ ổ 1ử ự ổ2 1ử ổ ữ ờỗ A = x2 ỗ x + 6x + + = x x + 2ữ + 6ỗ x- ữ + ỳ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 2ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỳ ố ố ứ ố ứ x x ứ x x ỷ t x - 1 = y thỡ x + = y + Do ú : x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 ộ ổ 1ử ự ữ ỳ = (x2 + 3x 1)2 x + 3x = ờx ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỳ ố xứ ỷ Dng phõn tớch ny cng ỳng vi x = Cỏch A = x4 + 6x3 2x2 + 9x2 6x + = x4 + (6x3 2x2) + (9x2 6x + 1) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2 IV PHNG PHP Hấ Sễ BT INH Vớ d 18 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : x4 6x3 + 12x2 14x Trang Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Li gii Th vi x= 1; khụng l nghim ca a thc, a thc khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t Nh vy a thc trờn phõn tớch c thnh nhõn t thỡ phi cỳ dng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 6x3 + 12x2 14x + ng nht cac h s ta c : ùỡù a + c =- ùù ù ac + b + d =12 ùù ad + bc =- 14 ùù ùợ bd = Xột bd= vi b, d Z, b { 1, 3} Vi b = thỡ d = 1, h iu kin trờn tr thnh ùỡù a + c =- ù 2c = 14 (6) = Do ú c = 4, a = ac = ùù ùùợ a + 3c =- 14 Vy x4 6x3 + 12x2 14x + = (x2 2x + 3)(x2 4x + 1) IV PHNG PHP XET GI TRI RIấNG Trong phng phap ny, trc ht ta xac nh dng cac nhõn t cha bin ca a thc, ri gan cho cac bin cac gia tr cu th xac nh cac nhõn t cũn li Vớ d 19 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : P = x2(y z) + y2(z x) + z(x y) Li gii Thay x bi y thỡ P = y2(y z) + y2( z y) = Nh vy P cha tha s (x y) Ta thy nu thay x bi y, thay y bi z, thay z bi x thỡ p khụng i (a thc P cú th hoan v vũng quanh) Do ú nu P a cha tha s (x y) thỡ cng cha tha s (y z), (z x) Vy P cú dng k(x y)(y z)(z x) Ta thy k phi l hng s vỡ P cú bc i vi hp cac bin x, y, z, cũn tớch (x y)(y z)(z x) cng cú bc i vi hp cac bin x, y, z Trang 10 Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Vỡ ng thc x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = k(x y)(y z)(z x) ỳng vi mi x, y, z nờn ta gan cho cac bin x ,y, z cac gia tr riờng, chng hn x = 2, y = 1, z = ta c: 4.1 + 1.(2) + = k.1.1.(2) suy k =1 Vy P = (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x z) V PHNG PHP A V MT Sễ A THC C BIấT a v a thc : a3 + b3 + c3 3abc Vớ d 20 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : a) a3 + b3 + c3 3abc b) (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 Li gii a) a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3a2b 3ab2 + c3 3abc = [(a + b)3 + c3] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) b) t x y = a, y z = b, z x = c thỡ a + b + c Theo cõu a) ta cú : a3 + b3 + c3 3abc = a3 + b3 + c3 = 3abc Vy (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 = 3(x y)(y z)(z x) a v a thc : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Vớ d 21 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 b) 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 Li gii a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = [(a + b) + c]3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) Trang 11 Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) t x + y = a, y + z = b, z + x = c thỡ a + b + c = 2(a + b + c) a thc a cho cú dng : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Theo kt qu cõu a) ta cú : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BI TP Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) (ab 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + ; e) x4 2x3 + 2x c) x3 4x2 + 12x 27 ; Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) x2 2x 4y2 4y ; c) x2(1 x2) 4x2 ; b) x4 + 2x3 4x ; d) (1 + 2x)(1 2x) x(x + 2)(x 2) ; e) x2 + y2 x2y2 + xy x y Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) abc ; c) c(a + 2b)3 b(2a + b)3 Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ; c) (x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ; d) x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ; e) x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1) Trang 12 Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) a(b + c)2(b c) + b(c + a)2(c a) + c(a + b)2(a b) b) a(b c)3 + b(c a)3 + c(a b)2 ; c) a2b2(a b) + b2c2(b c) + c2a2(c a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 2abc a3 b3 c3 ; e) a4(b c) + b4(c a) + c4(a b) Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t : a) (a + b + c)3 (a + b c)3 (b + c a)3 (c + a b)3 ; b) abc (ab + bc + ca) + a + b + c Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t (t bi n bi 16) : a) 6x2 11x + ; d) 49x2 + 28x ; a) x3 2x + ; b) 2x2 + 3x 27 ; c) x2 10x + 24 ; e) 2x2 5xy 3y2 b) x3 + 7x ; c) x3 5x + 8x ; d) x3 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x 16 ; g) x3 x2 + x ; h) x3 + 6x2 x 30 ; i) x3 7x (gii bng nhiu cach) a) 27x3 + 27x +18x + ; b) 2x3 + x2 +5x + ; 10 a) (x2 + x)2 2(x2 + x) 15 ; c) (x2 3)2 + 16 b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 ; 11 a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ; c) 2(x4 + y4 + z4) (x2 + y2 + z2)2 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 12 (a + b + c)3 4(a3 + b3 + c3) 12abc bng cach i bin : t a + b = m v a b = n 13 a) 4x4 32x2 + ; b) x6 + 27 ; c) 3(x4 + x+2+ + 1) (x2 + x + 1)2 ; d) (2x2 4)2 + 14 a) 4x4 + ; b) 4x4 + y4 ; c) x4 + 324 15 a) x5 + x4 + ; b) x5 + x + ; c) x8 + x7 + ; Trang 13 Các Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán phần đại số d) x5 x4 ; e) x7 + x5 + ; 16 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 b6 ; g) x8 + x4 + b) x3 + 3xy + y3 17 Dung phng phap h s bt nh : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + ; c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 18 a) x8 + 14x4 + ; b) x8 + 98x4 + 19 Dung phng phap xột gia tr riờng : M = a(b + c a)2 + b(c + a b)2 + c(a + b c)2 + (a + b c)(b + c a)(c + a b) 20 Chng minh rng ba s a, b, c, tn ti hai s bng nhau, nu : a2(b c) + b2(c a) + c2(a b) 21 Chng minh rng nu a3 + b3 + c3 = 3abc v a, b, c l cac s dng thỡ a = b = c 22 Chng minh rng nu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd v a, b, c, d l cac s dng thỡ a = b = c = d 23 Chng minh rng nu m = a + b + c thỡ : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2 24 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = Chng minh rng ab + cd = 25 Chng minh rng nu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = thỡ : x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 26 Tớnh cac tng sau : a) S1 = + + + + n ; b) S2 = 12 + 22 + 32 + + n2 Trang 14 [...]... + 12x − 27 ; 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 − 2x − 4y2 − 4y ; c) x2(1 − x2) − 4 − 4x2 ; b) x4 + 2x3 − 4x − 4 ; d) (1 + 2x)(1 − 2x) − x(x + 2)(x − 2) ; e) x2 + y2 − x2y2 + xy − x − y 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ; c) c(a + 2b)3 − b(2a + b)3 4 Phân tích các đa thức sau thành... Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) V PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1 Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 − 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau... Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b) b) a(b − c)3 + b(c − a)3 + c(a − b)2 ; c) a2b2(a − b) + b2c2(b − c) + c2a2(c − a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) − 2abc − a3 − b3 − c3 ; e) a4(b − c) + b4(c − a) + c4(a − b) 6 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 − (a +... + a) b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đa cho có dạng : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BÀI TẬP 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (ab − 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; d)... y − z = b, z − x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 − 3abc = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) 2 Đưa về đa thức : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 b) 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = [(a + b) + c]3 − a3 − b3... − c3 ; e) a4(b − c) + b4(c − a) + c4(a − b) 6 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 ; b) abc − (ab + bc + ca) + a + b + c − 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) : 7 a) 6x2 – 11x + 3 ; d) 49x2 + 28x – 5 ; 8 a) x3 – 2x + 3 ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2 b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x