Độ cong (curvature) của đường và mặt cong tham số

Độ cong (curvature) của đường và mặt cong tham số

BÁO CÁO MÔN HỌC MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC Độ cong (curvature) đường mặt cong tham số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Tấn Khôi Nhóm Nội dung trình bày Khái niệm độ cong Độ cong đường cong tham số Độ cong mặt cong tham số Các ứng dụng độ cong Khái niệm độ cong •• Trong hình học, độ cong thể lệch hướng điểm đường cong • Theo Cauchy, tâm đường cong C điểm giao điểm hai pháp tuyến vô gần nhau, bán kính cong R khoảng cách từ điểm đến C Và độ cong K nghịch đảo bán kính cong R K = 1/R Gọi ds độ dài đường cong mà pháp tuyến cách nhau, dlà góc hợp pháp tuyến Ta có định nghĩa khác độ cong: K = d/ds Độ cong đường cong tham số • • Khái niệm đường cong Giả sử X hàm vectơ biến liên tục từ đoạn khoảng I vào n Khi tập ảnh C = { X(t) : t I } gọi đường cong C n • Một số phương pháp tính độ cong • Trong hệ tọa độ Descartes • Trong hệ tọa độ cực • • Đường thẳng • Đường tròn • Đường parabol • Đường elip Độ cong đường cong ghềnh Trong hệ tọa độ Descartes • đồ thị cho dạng hệ phương trình tham số Nếu nghĩa: , từ phần ta có định d góc hợp pháp tuyến, ta coi góc lệch đường tiếp tuyến Từ ta định nghĩa góc tiếp tuyến đường cong Trong hệ tọa độ Descartes Lấy đạo hàm vế theo t ta : Kết hợp kết thu được, ta có: Nếu đồ thị cho hàm số y = f(x) độ cong tính sau: Trong hệ tọa độ cực • Nếu đồ thị cho hàm số • Đường thẳng: hay Áp dụng công thức ta có: Hay công thức: Vậy độ cong đường thẳng độ cong tính sau: có độ cong tính sau: Trong hệ tọa độ cực • Đường tròn: hay có độ cong tính sau: Áp dụng công thức, ta có: Hay công thức: Vậy độ cong đường tròn nghịch đảo bán kính Trong hệ tọa độ cực • Đường parabol có độ cong tính sau: Áp dụng công thức, ta có: Trong hệ tọa độ cực • Đường elip có độ cong tính sau: Áp dụng công thức, ta có: Với tâm sai elip Độ cong đường cong ghềnh • Độ cong đường cong ghềnh (trong không gian chiều) có hệ phương trình tham số hệ tọa độ Descartes theo công thức: tính Độ cong mặt cong tham số •• Khái niệm mặt cong Giả sử U miền liên thông mặt phẳng u, v (tức không tồn hai tập mở rời mà hợp chúng chứa U đồng thời tập chứa điểm U), hợp hữu hạn vô hạn đếm miền đồng phôi với hình tròn đơn vị; X(u, v) ánh xạ liên tục từ U vào cho thu hẹp miền đồng phôi Khi tập ảnh S = {X = (x,y,z) : X = X(u, v) , (u, v) U} gọi mặt cong Độ cong mặt cong tham số • Một số phương pháp tính độ cong • Độ cong bình thường • Độ cong trung bình • Độ cong Gauss • Độ cong Độ cong bình thường •• Giả sử Up đơn vị vectơ tiếp tuyến bề mặt M Độ cong bình thường M theo hướng Up là: K(Up) = S(Up).Up Tại điểm cong S, giả sử M bề mặt, p M, x ánh điểm M với p = x(u0, v0), vp = axu (u0, v0) + bxv (u0, v0), vp Mp Độ cong bình thường theo hướng vp là: E, F, G hệ số ban đầu e, f, g hệ số sau Độ cong - trung bình - Gauss •• Các Max Min độ cong bình thường K1 K2 điểm định bề mặt gọi độ cong • Độ cong trung bình H = (K1 + K2)/2 • Độ cong Gauss (tổng độ cong) K = K1.K2 Một điểm p bề mặt M gọi Điểm Elliptic độ cong Gauss K > Điểm Hyperbolic độ cong Gauss K < Điểm Parabolic độ cong Gauss K = S(p) Điểm phẳng (planar) độ cong Gauss K = S(p) = Điểm rốn (umbilic) K1 = K2 S(p) đạo hàm ánh xạ Gauss điểm p Mối liên hệ độ cong • Giữa độ cong có mối liên hệ đến giá trị Max Min độ cong bình thường, ta viết mối liên hệ phương trình: K2 – 2H.K + K = Và ta xác định giá trị Max, Min độ cong bình thường cách K1 = H + K2 = H Với H độ cong trung bình, K độ cong Gauss Các ứng dụng độ cong XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! [...]... tục từ U vào 3 sao cho thu hẹp của nó trên mỗi miền con là một đồng phôi Khi ấy tập ảnh S = {X = (x,y,z) 3 : X = X(u, v) , (u, v) U} được gọi là mặt cong Độ cong của mặt cong tham số • Một số phương pháp tính độ cong • Độ cong bình thường • Độ cong trung bình • Độ cong Gauss • Độ cong chính Độ cong bình thường •• Giả sử Up là một đơn vị vectơ tiếp tuyến của một bề mặt M 3 Độ cong bình thường của M theo.. .Độ cong của một đường cong ghềnh • Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes theo công thức: được tính Độ cong của mặt cong tham số •• Khái niệm về mặt cong Giả sử U là một miền liên thông trong mặt phẳng u, v (tức là không tồn tại hai tập mở rời nhau mà hợp của chúng chứa U đồng thời mỗi tập đều chứa điểm của U), và là hợp của. .. S(Up).Up Tại điểm cong S, giả sử M 3 là một bề mặt, p M, x là một ánh điểm của M với p = x(u0, v0), và vp = axu (u0, v0) + bxv (u0, v0), vp Mp Độ cong bình thường theo hướng vp là: E, F, G là các hệ số cơ bản ban đầu e, f, g là các hệ số cơ bản sau Độ cong chính - trung bình - Gauss •• Các Max và Min của độ cong bình thường K1 và K2 ở 1 điểm nhất định trên bề mặt được gọi là độ cong chính • Độ cong trung... K2)/2 • Độ cong Gauss (tổng độ cong) K = K1.K2 Một điểm p trên bề mặt M 3 được gọi là 1 Điểm Elliptic nếu độ cong Gauss K > 0 2 Điểm Hyperbolic nếu độ cong Gauss K < 0 3 Điểm Parabolic nếu độ cong Gauss K = 0 và S(p) 0 4 Điểm phẳng (planar) nếu độ cong Gauss K = 0 và S(p) = 0 5 Điểm rốn (umbilic) nếu K1 = K2 S(p) là đạo hàm ánh xạ Gauss tại điểm p Mối liên hệ giữa các độ cong • Giữa các độ cong đều... giữa các độ cong • Giữa các độ cong đều có mối liên hệ đến giá trị Max và Min của độ cong bình thường, do đó ta có thể viết mối liên hệ này bằng phương trình: K2 – 2H.K + K = 0 Và ta có thể xác định giá trị Max, Min của độ cong bình thường bằng cách K1 = H + K2 = H Với H là độ cong trung bình, K là độ cong Gauss Các ứng dụng của độ cong XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!