skkn một số ĐỊNH lý TRONG HÌNH học PHẲNG

CMR: OI = OJ Giải: Gọi K là giao điểm của AJ và BN Áp dụng định lý Meneleus trong tam giác BPN với đường thẳng AJK Bài 4.. Qua các điểm A D, nằm trên một đường tròn, kẻ các đường tiếp tu

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

Năm học: 2012 - 2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

1 Họ và tên: Đậu Thế Tâm

2 Ngày tháng năm sinh: 21 - 3 – 1974

3 Chức vụ: Giáo viên

4 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

Trình độ: Thạc sĩ

Tốt nghiệp: 2003

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

Giảng dạy 18 năm

Chuyên đề trong những năm gần đây:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học phẳng là nội dung quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp quốc giacác bài tập cũng thường sử dụng đến các định lý Meneleus, Ceva, Pascal, ….Chính vì lý do đó màchúng tôi muốn đi sâu vào chuyên đề này

II.TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Cơ sở lý luận

Hình học phẳng là nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy cho lớp 10 Trong giảngdạy, bồi dưỡng học sinh giỏi nhất là HSG dự thi quốc gia thì đề thi về hình học phẳng này hầu nhưkhông thiếu trong các kỳ thi hàng năm Mặt khác, nội đề thi HSGQG, Quốc tế thì những vấn đề trongSGK nâng cao khối 10,11,12 thực tế không đáp ứng nổi, kể cả về kiến thức cả về thời gian thực hiện

Vì vậy nghiên cứu sâu về hình học phẳng là một việc làm cần thiết trong việc chuẩn bị kiến thức kỹnăng cho việc bồi dưỡng HSGQG

III NỘI DUNG

Nhận xét Định lý Menelaus có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Nhiều định lý nổi tiếng

được chứng minh một cách dễ dàng nhờ định lý Menelaus như định lý Ceva, Pascal, Desargues

2 ĐỊNH LÝ CEVA

Định lý: Cho tam giác ABC Các điểm M N P, , lần lượt nằm trên các đường thẳng BC CA AB, , .

A

PF

Csin.Bsin

Bsin

1 2



Bài 1 Cho hình thang ABCD với AB > CD F là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC, E là trung

điểm AB CMR: AC, BD, EF đồng quy.

2

21

A

C B

M

Bài 2 Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm BC, E,F lần lượt là hai điểm trên AB và AC Chứng

minh rằng nếu AD, BF, CE đồng quy thì EF song song với BC.

Nhận xét; Từ bài 1 và bài 2 ta có điều kiện cần và đủ để AD, BE,CF đồng

quy là EF song song với BC

Bài 3: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta lấy các điểm M, N, P tương ứng sao cho các

đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tại O Đường thẳng vẽ qua O song song với AC cắt các đường thẳngMN và NP lần lượt tại I,J CMR: OI = OJ

Giải: Gọi K là giao điểm của AJ và BN

Áp dụng định lý Meneleus trong tam giác BPN với đường thẳng AJK

Bài 4 Cho tam giác ABC và D là một điểm cố định trên tia đối của tia BC Điểm F nằm trên cạnh

AC , E AB DF  Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BF CE, Chứng minh rằng đường thẳng

MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải.

Gọi L I J K, , , lần lượt là trung điểm của AD AB BC AC, , ,

Dễ thấy L I K, , thẳng hàng; I M J, , thẳng hàng;K N J, , thẳng hàng

O A

O B

C

A

D

J

L

N M

I E

Vậy đường thẳng MNluôn đi qua điểm Lcố định (đpcm)

Bài 5 Cho ba điểm A B C theo thứ tự nằm trên các cạnh1, ,1 1 BC CA AB, , của tam giác ABC sao cho

Vậy AA BB CC đồng quy (theo định lý Ceva).2, 2, 2

Bài 6: Đường tròn tâm I nội tiếp  ABC tiếp xúc với BC,AB,AC theo thứ tự ở D,E,F Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD và DF theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng M là trung điểm của EN.

D

F

I A

Giải: Áp dụng định lý Ceva dạng lượng giác cho tam giác AF’E

với F’D’, ED, AL đồng quy tại L ta

có:sin D sin A sin ' 1

sin E sin EF' sin '

Tương tự cho các tam giác CDE’ và BFD’ ta có:

sin .sin D .sin ' 1sin sin D ' sin '

sin sin D' sin '

Nhân các đẳng thức trên lại và chú ý: LEF NE D L' , F'E= MFD', M FD'  N ED ', ta có

sin D sin. A sin. . sin .sin ' .sin D ' sin. ' .sin .sin D' 1sin E sin sin sin D' sin D' sin ' sin ' sin ' sin D '

sin D sin. A sin. 1

sin E sin sin

  Theo định lý Ceva dạng lượng giác thì AL, BM, CN đồng quy

Bài 8: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC Hạ MA1BC, MB1CA, MC1AB Gọi Ax, By, Cz

là các đường thẳng qua A vuông góc B1C1, qua B vuông góc C1A1, qua C vuông góc A1B1

CMR: Ax, By, Cz đồng quy

ABˆM

sinxBˆC

sin

xBˆA

Tương tự với các góc tại A và C

Theo định lý Ceva dạng lượng giác ta có đpcm

Bài này có thể dùng định lý Carnot ở phần sau để chứng minh

BÀI TẬP

1 Cho tam giác ABC Các ta m giác ABX, BCY và CAZ cân và đồng dạng với nhau, chúng ở

ngoài tam giác ABC và thỏa mãn XA = XB; YB = YC, ZC = ZA CMR các đường thẳng AY,

BZ, CX đồng quy

2 Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm BC, E,F lần lượt là hai điểm trên AB và AC Chứng

minh rằng nếu AD, BF, CE đồng quy thì EF song song với BC

x y

3 Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao cho AD cắt

BC tại E, các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K, tia OE cắt AB tại I CMR IA KA

IB KB

4 Cho tam giác ABC không vuông, không cân nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Trên tia OM lấy H sao cho tam giác OAM đồng dạngOHA Trên tia ON, OP tương tự cho các điểm I, K CMR AH, BI, CK đồng quy tại một điểm

5 Từ điểm I thuộc miền trong tam giác ABC, kẻ tia AI cắt BC tại D Qua I kẻ các đường thẳng

MN, PQ, RS lần lượt song song với Bc, AB, AC (M, S trên AB, Q, R trên BC, N, P trên AC)

IS

IN  DC IN IQ 

6 Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm cạnh BC, Cho AB = 12 và AC = 16 Điểm E, F lần

lượt lấy trên hai cạnh AC, AB sao cho AE = 2AF G EF AM  Tinh tỉ số EG

9 Cho tam giác ABCcó M là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác và Rlà một điểmbất kỳ Các đường thẳng AR BR CR, , lần lượt cắt đường tròn tại các điểm A B C', ', ' Gọi

11 Cho hình bình hành ABCDcó các điểm M N, lần lượt nằm trên BC CD, Gọi I J K, , theo thứ

tự là trung điểm của AM AN MN, , Chứng minh rằng BI DJ CK, , đồng quy

12 Qua các điểm A D, nằm trên một đường tròn, kẻ các đường tiếp tuyến với đường tròn cắt nhautại điểm S Trên cung AD lấy các điểm A C, Gọi P AC BD O AB CD  ,   Chứng minhrằng đường thẳng PQ chứa điểm O

13 Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông A B C', ', ' lần lượt làtrung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC CA AB, , tương ứng.Chứng minh rằng các đường thẳng AA BB CC', ', 'đồng quy

14 Trên các cạnh BC CA AB, , của tam giác ABC lấy các điểm A B C sao cho các đường thẳng1, ,1 1

1, 1, 1

AA BB CC đồng quy tại một điểm Chứng minh rằng các đường thẳng AA BB CC đối2, 2, 2xứng với các đường thẳng đó qua các đường phân giác tương ứng cũng đồng quy

15 Gọi Plà điểm bất kì nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, A B C', ', 'lần lượt làchân đường vuông góc hạ từ P xuống BC CA AB, , Chứng minh rằng A B C', ', 'thẳng hàng

16 Trong tam giác ABCvuông tại C kẻ đường cao CK Trong tam giác ACK, kẻ phân giác

CE Gọi D là trung điểm của đoạn AC, F DE CK  Chứng minh BF CE/ /

17 Cho tam giácABC, M là chân đường vuông góc hạ từAxuống đường phân giác trong của góc

X Y Z T là điểm trên đoạn BC Chứng minh rằng (BCXT)  1 Z Y T, , thẳng hàng

19 Cho tam giác ABC Ba cạnh BC CA AB, , lần lượt tiếp xúc với ba đường tròn bàng tiếp củatam giác tại M N P, , Chứng minh rằng AM BN CP, , đồng quy

20 Cho tam giác ABCcó các điểm D E F, , lần lượt thuộc các cạnh BC CA AB, , Các điểm

', ', '

D E F thứ tự là các điểm đối xứng với D E F, , qua trung điểm của các cạnh tương ứng.Chứng minh rằng:

a) D E F, , thẳng hàng D E F', ', 'thẳng hàng

b) AD BE CF, , đồng quy hoặc song song  AD BE CF', ', 'đồng quy hoặc song song

21 Cho ba điểm D E F, , theo thứ tự nằm trên các cạnh BC CA AB, , của tam giácABCsao cho

Định lý: Cho các điểm A,B,C,D,E,F cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự) Gọi

P AB DE,Q BC EF,R CD FA      Khi đó các điểm P,Q,R thẳng hàng.

Chứng minh:

Gọi X EF AB,Y AB CD, Z CD EF.     

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XYZ đối với

Nhân (1),(2) và (3) theo vế, ta được:

Z

R Q

C

F

 

QZ RY PX CY.BX.FZ.AX.EZ.DY 1 QZ RY PX YC.YD ZF.ZE XB.XA 1 5

QX RZ PY CZ.BY.FX.AY.EX.DZ    QX RZ PY YB.YA ZD.ZC XF.ZE     

Thế (4) vào (5), ta được QZ RY PX 1

QX RZ PY  Vậy P,Q,R thẳng hàng (theo định lý Menelaus)

Đường thẳng PQR ở trên được gọi là đường thẳng Pascal ứng với bộ điểm A,B,C,D,E,F

Bằng cách hoán vị các điểm A,B,C,D,E,F ta thu được rất nhiều các đường thẳng Pascal khác nhau,

cụ thể ta có tới 60 đường thẳng Pascal

Chẳng hạn hình vẽ bên minh họa trường hợp các điểm ACEBFD

Ngoài ra khi cho các điểm có thể trùng nhau (khi đó lục giác suy

biến thành tam giác, tứ giác, ngũ giác), ví dụ E F thì cạnh EF trở thành tiếp tuyến của đường tròn tại

E , ta còn thu thêm được rất nhiều các đường thẳng Pascal khác nữa

Hình vẽ dưới đây minh họa trường hợp các điểm ABCDEE, ABCCDD, AABBCC:

Tiếp theo ta đưa ra các bài toán ứng dụng định lý Pascal:

Bài 1: (Định lý Newton) Một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD lần lượt tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CD,DA tại E,F,G,H Khi đó các đường thẳng AC,EG,BD,FH đồng quy.

Giải:

Gọi O EG FH,X EH FG   

Vì D là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại G,H, áp

dụng định lý Pascal cho các điểm E,G,G,F,H,H , ta có:

EG FH O,GG HH D,GF HE X.     

Suy ra O,D,X thẳng hàng

X

O D

A

G

E H

R Q

Y

C D

E

R Q

A B

E

F

Áp dụng định lý Pascal cho các điểm E,E,H,F,F,G, ta có: EE FF B,EH FG X,HF GE O.     

Suy ra B,X,O thẳng hàng.Từ đó ta được B,O,D thẳng hàng

Vậy EG,FH,BD đồng quy tại O

Chứng minh tương tự đối với đường thẳng AC ta được điều phải chứng minh

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn Gọi D,E lần lượt là các điểm chính giữa của các cung AB,AC ; P là điểm tuỳ ý trên cung BC; DP AB Q,PE AC R    .

Chứng minh rằng đường thẳng QR chứa tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi I P Q 1 2P Q2 1 Dễ thấy lục giác CQ P PP Q2 1 2 1nội tiếp nên áp dụng

định lý Pascal cho lục giác PP Q CQ P1 2 1 2ta có

CP Q P A, P Q  P Q I,Q P P C B 

Suy ra A, I, B thẳng hàng hay các đường thẳng PQ Q P AB đồng1 2, 1 2,

quy

Bài 4: (Australia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao đỉnh A, B, C lần lượt

cắt (O) tại A’, B’, C’ D nằm trên (O), DA' BC A",DB' CA B",DC' AB C"      .Chứng minh rằng: A”, B”, C”, trực tâm H thẳng hàng.

Tương tự suy ra A”, B”, C”, H thẳng hàng.

Bài 5: (IMO Shortlist 1991) P thay đổi trong tam giác ABC cố định Gọi P’, P” là hình chiếu vuông

góc của P trên AC, BC, Q’, Q” là hình chiếu vuông góc của C trên AP, BP, gọi X P'Q" P"Q'  Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định.

Giải:

Ta có:

CP'P CP"P CQ'P CQ"P 90   

Nên các điểm C,P',Q",P,Q',P" cùng thuộc một đường tròn

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C,P',Q",P,Q',P" ta có:

CP ' PQ' A,P 'Q" Q'P" X,Q"P P"C B.     

Vậy A,X,B thẳng hàng

Vậy X di chuyển trên đường thẳng AB cố định

Bài 6: (Poland 1997) Ngũ giác ABCDE lồi thỏa mãn: CD DE,BCD DEA 90    0 Điểm F trong đoạn AB sao cho AF AE

BFBC Chứng minh rằng:    FCE ADE,FEC BDC  .

sin GQD

DA GQS

DB GR

DGS

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh

rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA’, BOB’, COC’ thẳng hàng.

Giải:

X

Q"

Q' P"

P' A

P

R

Q P

F

D C B

Gọi A”, B”, C” là trung điểm của OA, OB, OC I, J, K là tâm

các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA’, BOB’, COC’ Khi

đó I là giao điểm của các trung trực của OA và OA’, hay chính

là giao điểm của B”C” và tiếp tuyến của đường tròn (O;OA”) tại

A” Tương tự với J, K

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A",A",B",B",C",C" ta

Gọi D F D E1 1 2 2 P,E D1 1E F Q,FE2 2  1 1F D2 2 R

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm E ,E ,D ,F ,F ,D2 1 1 1 2 2 ta có:

I B"

P

L F2

F1

E2

E1

D2 D1

A

B

C

Áp dụng định lý Desargues suy ra các đường thẳng AP AL,BQ BM,CR CN   đồng quy.

Bài 9: (Định lý Brianchon) Lục giác ABCDEF ngoại tiếp một đường tròn Khi đó AD, BE, CF đồng

quy.

Giải:

Ta sẽ chứng minh định lý này bằng cực và đối cực để thấy rằng Pascal và Brianchon là hai kết quả liênhợp của nhau

Gọi các tiếp điểm trên các cạnh lần lượt là G, H, I, J, K, L

Khi đó GH, HI, IJ, JK, KL, LG lần lượt là đối cực của B, C,

D, E, F, A

Gọi GH JK N,HI KL P,IJ LG=M    

Theo Pascal cho lục giác GHIJKL ta có M, N, P thẳng hàng

Mà M, N, P lần lượt là đối cực của AD, BE, CF nên suy ra

AD, BE, CF đồng quy tại cực của đường thẳng MNP

Bài 10: Cho tam giác ABC, các phân giác và đường cao tại đỉnh B, C là BD, CE, BB’, CC’ Đường

tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC tại N, M Chứng minh rằng MN, DE, B’C’ đồng quy.

Vậy S,E,D thẳng hàng, hay là MN, DE, B’C’ đồng quy tại S

Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại S Một cát

tuyến quay quanh S cắt CA, CB tại M, N, cắt (O) tại P, Q Chứng minh rằng M, N, P, Q là hàng điểm điều hòa.

Giải:

Vẽ tiếp tuyến ME, MD của (O) cắt SA, SB tại K, L

Áp dụng định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp SKML ta có

BE, AD, SM, KL đồng quy

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A,D,E,E,B,C, ta có:

AD EB I,DE BC N ',EE CA M.     

Vậy I, N',M thẳng hàng, hay N N ' , tức là N DE

Do DE là đối cực của M đối với (O) nên M, N, P, Q là hàng

điểm điều hòa

P Q

S

C'

B' N

B

C P

L

K J I

Bài 2: (MOSP 2005)Cho tứ giác nội tiếp ABCD, phân giác góc A cắt phân giác góc B tại E Điểm P,

Q lần lượt nằm trên AD, BC sao cho PQ đi qua E và PQ song song với CD

Chứng minh rằng AP BQ PQ 

Bài 3: Các điểm P, Q trong tam giác ABC sao cho BP CP,BQ CQ,ABP ACQ 180     0

Chứng minh rằng  BAP CAQ

Bài 4: (IMO Shortlist 2007) Cho tam giác ABC cố định, các trung điểm A ,B ,C1 1 1 của BC, CA, ABtương ứng Điểm P thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường thẳng PA ,PB ,PC1 1 1 cắtlại đường tròn tại A’, B’, C’ tương ứng Giả sử các điểm A, B, C, A’, B’, C’ đôi một phân biệt và cácđường thẳng AA’, BB’, CC’ tạo ra một tam giác Chứng minh rằng diện tích của tam giác đó khôngphụ thuộc vào vị trí của P

Bài 5: Hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng đường tròn ngoại tiếp Các cạnh của hai tam giác cắt nhau

tại 6 điểm tạo ra một hình lục giác Chứng minh rằng các đường chéo của hình lục giác đó đồng quy

Bài 6: (IMO 2010) Điểm P nằm trong tam giác ABC với CA CB Các đường AP, BP, CP cắt lạiđường tròn ngoại tiếp tại K, L, M Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại C cắt AB ở S Giả sử

SC SP Chứng minh rằng MK ML

Bài 7: (MEMO 2010) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F

tương ứng K là đối xứng của D qua tâm đường tròn nội tiếp DE cắt FK tại S Chứng minh rằng ASsong song BC

R Q

P

Q2

P2 Q1

4 ĐỊNH LÝ CARNOT:

Định lý 1: Chứng minh rằng các đường vuông góc kẻ từ điểm A ,1 B và1 C đến cạnh BC, CA, AB1

và AB của tam giác ABC đồng qui tại một điểm khi và chỉ khi

(A B AC ) ( B C B A ) ( C A C B ) 0 .

Chứng minh

Gọi M là giao điểm các đường cao lần lượt kẻ từ các điểm A ,1 B và1 C đến đường thẳng1 BC, CA

vàAB Khi điểm B và1 M nằm trên một đường cao đến

CA, ta có

B A B C MA MCTương tự,

Ngược lại, đặt  * cố định Có nghĩa là giao điểm của các đường vuông góc kẻ từ các điểm A và1 B1

lần lượt đến BC và AC là M Kẻ đường thẳng qua M ,vuông góc với đường thẳng lđến đường AB.Nếu '

Từ đó , ta có điều phải chứng minh

Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng a Gọi X, Y, Z theo thứ tự là hình chiếu của A, B, c trên a.

Các đường thẳng   A, ,B Ctheo thứ tự qua X, Y, Z và tương ứng vuông góc với BC, CA, AB Chứngminh rằng   A, ,B Cđồng quy

Vậy, theo định lý Carnot   A, ,B Cđồng quy

Bài 2: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC Hạ MA1BC, MB1CA, MC1AB Gọi Ax, By, Cz

là các đường thẳng qua A vuông góc B1C1, qua B vuông góc C1A1, qua C vuông góc A1B1

CMR: Ax, By, Cz đồng quy

Giải:

AxB1C1= {D}, ByC1A1= {E}, CzA1B1= {F}

M C1

C B