Các định lý trong hình học phẳng

1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Tăng Vũ 1. Đường thẳng Euler. Bài toán 1. Trong m ộ t tam giác thì tr ọ ng tâm, tr ực tâm và tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p cùng n ằ m trên m ột đườ ng th ẳng. (Đườ ng th ẳng này đượ c g ọi là đườ ng th ẳ ng Euler c ủ a tam giác.) Chứng minh. Cho tam giác ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài toán 1.1. Cho tam giác ABC có tr ọ ng tâm G, tr ự c tâm H và tâm ngo ạ i ti ế p O. G ọ i P là điểm đố i x ứ ng c ủ a H qua O. G ọ i G 1 , G 2 , G 3 là tr ọ ng tâm c ủ a các tam giác PBC, PAC và PAB. Ch ứ ng minh r ằ ng G 1 A = G 2 B = G 3 C và G 1 A, G 2 B , G 3 C đồ ng quy. Hướng dẫn: 2 Bài toán 1.2. Cho tam giác ABC n ộ i ti ếp đườ ng tròn (O). (J) là đườ ng tròn bàng ti ế p thu ộ c góc A c ủ a tam giác ABC. (J) ti ế p xúc BC, AB, AC tai. M. N. P. Ch ứ ng minh r ằng OJ là đườ ng th ẳ ng Euler c ủ a tam giác MNP HD: 3 Bài toán 1.3. Cho tam giác ABC ngo ạ i ti ếp đườ ng tròn (I), v ới các đườ ng cao AA’, BB’ và CC’. G ọ i d a , d b , d c là các đườ ng th ẳ ng Euler c ủ a các tam giác AB’C’, BA’C’ và CA’B’. G ọ i d’ a , d’ b , d’ c là các đườ ng th ẳng đố i x ứ ng v ớ i d a , d b , d c qua AI, BI và CI. Ch ứ ng minh d’ a , d’ b , d’ c đôi mộ t song song. HD: Chứng minh song song với đường thẳng Euler của tam giác ABC. Bài toán 1.4 . Cho tam giác ABC có tr ực tâm H. Khi đó đườ ng th ẳ ng Euler c ủ a các tam giác HAB, HAC và HBC đồ ng quy. HD: Đồng quy tại trung điểm của OH. Đến nay người ta vẫn còn tìm ra những tính chất thú vị liên qua đến đường thẳng Euler, và năm 2006 thì kiến trúc sư người Hy Lạm Rostas Vittasko có đưa ra bài toán sau: Bài toán 1.5. Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ếp có các đườ ng chéo c ắ t nhau t ại P. Khi đó đườ ng th ẳ ng Euler c ủa các tam giác PAB, PBC, PCD, PAD đồ ng quy. 2. Đường tròn Euler Bài toán 2. Trong m ộ t tam giác thì 9 điể m g ồ m: trung điể m c ủ a 3 c ạnh, trung điể m c ủa các đoạ n th ẳ ng n ố i t ừ tr ực tâm đến đỉnh, chân các đườ ng cao thì cùng thu ộ c m ột đườ ng tròn. (Ng ườ i ta g ọi là đườ ng tròn 9 điểm hay đườ ng tròn Euler) Chứng minh. 4 Sau đây là một số tính chất của đường tròn Euler, xem như bài tập. Bài toán 2.1. Tâm đườ ng tròn Euler là trung điể m c ủa đọ an th ẳ ng n ố i tr ự c tâm và tâm ngo ạ i ti ế p. Bài toán 2.2. Cho tam giác ABC tr ự c tâm H. Tia Hx c ắt đườ ng tròn Euler t ạ i M và đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p t ại N. Khi đó M là trung điể m c ủ a HN. Bài toán 2.3. Cho tam giác ABC có tr ực tâm H. Khi đó đườ ng tròn Euler c ủ a tam giác ABC c ũng là đườ ng tròn Euler c ủ a các tam giác HAB, HAC và HBC. (T ừ bài toán 2.3 suy ra bài toán 1.4) Sau đây là một định lý rất hay và đẹp của hình học tam giác. Bài toán 2.4. (Định lý Feuerbach) Trong m ột tam giác đườ ng tròn Euler ti ế p xúc v ớ i đườ ng tròn n ộ i ti ếp và các đườ ng tròn bàng ti ế p. Chứng minh định lý Feuerbach dựa trên những công cụ mạnh, phép nghịch đảo, tuy nhiên vẫn có cách làm sơ cấp hơn. Sau đây là các bổ đề dùng để chứng minh định lý Feuerbach. Xem như bài tập. Ta sử dụng các ký hiệu trong bài toán 2. Bài toán 2.4.1.Gi ả s ử A 1 A 3 > A 2 A 3. Khi đó đườ ng th ẳ ng M 1 T ti ế p xúc v ới đườ ng tròn Euler t ạ i M 1 thì t ạ o v ớ i A 2 A 3 m ộ t góc là α 2 - α 3 . 5 Bài toán 2.4.2. G ọ i D 1 là giao điể m c ủ a phân giác trong góc A 1 v ớ i A 2 A 3. G ọ i X 1 P là ti ế p tuy ến đến đườ ng tròn n ộ i ti ế p (I), X 1 P’ là ti ế p tuy ế n c ủa đườ ng tròn bàng ti ế p góc A (P, P’ là các ti ếp điểm). Khi đó PX 1 P’ song song v ớ i M 1 T. Bài toán 2.4.3. G ọi Q là giao điể m c ủ a M 1 P v ới (I), khi đó Q cũng thuộc đườ ng tròn Euler. Bài toán 2.4.4. Hai đườ ng tròn Euler và đườ ng tròn n ộ i ti ế p giao nhau t ạ i Q. Ch ứ ng minh r ằ ng chúng có chung ti ế p tuy ế n. Một số bài toán liên quan đến đường tròn Euler. Bài toán 2.5. (VMO 2009) Trong m ặ t ph ẳng cho hai điể m c ố đị nh A, B (A kh ỏ c B). M ột điểm C di độ ng tr ờ n m ặ t ph ẳ ng sao cho ∠ACB = α = const (0 0 < α < 1800). Đườ ng tròn tâm I n ộ i ti ế p tam giác ABC và ti ế p xúc v ớ i AB, BC, CA l ần lươt tạ i D, E, F. AI, BI c ắ t EF l ần lượ t t ạ i M, N. a) Ch ứ ng minh r ằng: MN cú độ dài kh ụng đổ i. b) Ch ứ ng minh r ằ ng: (DMN) luôn đi qua một điể m c ố định khi C lưu độ ng. Bài toán 2.6. Cho tam giác ABC trung tuy ế n AM, O là tâm ngo ạ i ti ếp. Khi đó đườ ng th ẳ ng qua M vuông góc v ớ i AO ti ế p xúc v ới đườ ng tròn Euler c ủ a tam giác ABC. Bài toán 2.7. Ch ứ ng minh r ằng các đườ ng th ẳ ng d a , d b , d c trong bài toán 1.3 đồ ng quy t ạ i m ột điể m thu ộc đườ ng tròn Euler. Bài toán 2.8. Tam giác ABC có các đườ ng cao l ần lượt là AD, BE và CF đồ ng quy t ạ i tr ự c tâm H. DE c ắ t CF t ạ i M, DF c ắ t BE t ạ i N. G ọi O là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p c ủ a tam giác HBC. Ch ứ ng minh OA ⊥ MN. 3. Đường thẳng Simson Bài toán 3. Cho tam giác ABC. P là m ột điể m trong m ặ t ph ẳ ng tam giác không trùng v ới các đỉ nh c ủ a tam giác. G ọ i P 1 , P 2 , P 3 là hình chi ế u c ủ a P trên các c ạ nh BC, AC và AB. Khi đó P thuộc đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC khi và ch ỉ khi P 1 , P 2 , P 3 6 th ẳ ng hàng. (Đườ ng th ẳng đi qua 3 điể m P 1 , P 2 , P 3 đượ c g ọi là đườ ng th ẳ ng Simson c ủ a tam giác ABC ứ ng v ới điể m P) Chứng minh. Sau đây là một số tính chất liên quan đến đường thẳng Simson Bài toán 3.1. Cho tam giác ABC n ộ i ti ếp đườ ng tròn (O), P là m ột điể m thu ộc đườ ng tròn, l ấ y Q thu ộc (O) sao cho đườ ng th ẳng CQ và CP đố i x ứ ng nhau qua phân giác góc C. Khi đó CQ vuông góc với đườ ng th ẳ ng simson c ủ a tam giác ABC ứ ng v ớ i điể m P. Sau đây là một số hệ quả của bài toán 3.1. Bài toán 3.1.1. N ếu hai điểm đố i x ứ ng nhau qua tâm thì đườ ng th ẳ ng simson ứ ng v ới hai điểm đó vuông góc vớ i nhau. T ổng quát hơn góc gi ữa hai đườ ng th ẳ ng b ấ t kì d ựng trên hai điể m P, Q b ằ ng n ử a s ố đo cung nhỏ PQ. Bài toán 3.1.2. Tam giác t ạ o b ởi 3 đườ ng th ẳ ng simson d ựng trên 3 điể m thì đồ ng d ạ ng v ớ i tam giác t ạ o thành t ừ 3 điểm đó. Bài toán 3.2. Đườ ng th ẳ ng simson ứ ng v ớ i m ột điểm chia đôi đoạ n th ẳ ng n ố i t ừ điểm đó đế n tr ự c tâm c ủ a tam giác . Hơn nữa trung điể m c ủa đoạ n th ẳng đó thu ộ c đườ ng tròn Euler. 7 Bài toán 3.2.1. Đườ ng th ẳ ng simson ứ ng v ới hai điểm đố i x ứ ng nhau qua tâm thì c ắ t nhau t ạ i m ột điể m thu ộc đườ ng tròn Euler. Bài toán 3.3. Cho t ứ giác ABCD, g ọ i d A , d B , d C , d D là đườ ng th ẳ ng simson ứ ng v ớ i các điể m A, B, C, D c ủ a các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Ch ứ ng minh r ằ ng d A , d B , d C , d D đồ ng quy. Một số bài toán liên quan tới đường thẳng simson Bài toán 3.2.(Chuyên Toán PTNK 2007). Cho tam giác ABC n ộ i ti ếp đườ ng tròn (O). M ột điểm M thay đổ i trên cung BC không ch ứ a A. G ọ i P, Q là hình chi ế u c ủ a A trên MB và MC. Ch ứ ng minh r ằng PQ luôn đi qua một điể m c ố đị nh. Bài toán 3.3. (Nguyễn Tăng Vũ) Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổ i trên BC. G ọ i D, E là điểm đố i x ứ ng c ủ a M qua AB và AC. Ch ứ ng minh r ằng trung điể m PQ luôn thu ộ c m ột đườ ng c ố định khi M thay đổ i trên BC. Bài toán 3.4. (IMO 2007) Xét 5 điể m A, B, C, D, E sao cho ABCD là hình bình hành và B, C, D, E là m ộ t t ứ giác n ộ i ti ế p. G ọ i d là m ột đườ ng th ẳ ng qua A. Gi ả s ử d c ắt đoạ n DC ở F và BC ở G. Gi ả s ử EF = EG = EC. Ch ứ ng minh r ằ ng d là phân giác góc ∠DAB. Bài toán 3.5. 4. Đường thẳng Steiner Bài toán 4. Cho tam giác ABC n ộ i ti ếp đườ ng tròn (O), M là m ột điểm thay đổ i trên đườ ng tròn. G ọi D, E , F là điểm đố i x ứ ng c ủ a M qua BC, AC và AB. Ch ứ ng minh r ằ ng D, E, F cùng thu ộ c m ột đườ ng th ẳng và đườ ng th ẳng đó luôn qua trự c tâm c ủ a tam giác ABC (Đườ ng th ẳng này đượ c g ọi là đườ ng th ẳ ng Steiner). Chứng minh Bài toán 4.1 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC n ộ i ti ế p đườ ng tròn (O) và hai đ i ể m P, Q trên (O). Kí hi ệ u P a là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a P qua BC và A’ là giao đ i ể m c ủ a QP a và BC. T ươ ng t ự xác đị nh B’, C’. Ch ứ ng minh r ằ ng A’, B’, C’ th ẳ ng hàng. 8 5. Đường tròn Apollonius 6. Định lý Ptolemy 7. Bất đẳng thức Ptolemy 8. Định lý Ceva, Menelaus và ứng dụng 9. Đường thẳng Newton 10. Định lý con bướm 11. Các bài toán khác . Euler c ủ a các tam giác HAB, HAC và HBC. (T ừ bài toán 2.3 suy ra bài toán 1.4) Sau đây là một định lý rất hay và đẹp của hình học tam giác. Bài toán 2.4. (Định lý Feuerbach) Trong m ột tam. 1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Tăng Vũ 1. Đường thẳng Euler. Bài toán 1. Trong m ộ t tam giác thì tr ọ ng tâm, tr ực tâm và. 5. Đường tròn Apollonius 6. Định lý Ptolemy 7. Bất đẳng thức Ptolemy 8. Định lý Ceva, Menelaus và ứng dụng 9. Đường thẳng Newton 10. Định lý con bướm 11. Các bài toán khác