SKKN giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11

Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Xuân Mỹ Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THU LIỀN Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Có đính kèm Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2012 - 2013 Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 SƠ YẾU LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I/ THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN: 1.Họ tên: Nguyễn Thị Thu Liền 2.Sinh ngày 26 tháng 04 năm 1978 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: xã Nhân Nghĩa - Huyện Cẩm Mỹ - Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: Cơ quan Fax: Nhà riêng E-mail: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Mỹ; II.TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2001 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: - Số năm có kinh nghiệm 12 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học môn học có vai trò vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kỹ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng môn khoa học khác có hiệu Thông qua việc học toán giúp học sinh vận dụng vào môn học khác Chính toán học có vai trò quan trọng trường phổ thông, đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải toán Trong việc học toán việc học môn khác mà học thuộc cách cứng nhắc Không chịu suy nghĩ để kiến thức tiếp thu trở thành kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng trường hợp Là giáo viên THPT, tình hình thấy phải tìm tòi, nắm bắt thông tin, nhằm tự rèn luyện cho thân kỹ giảng dạy tốt Để đáp ứng tốt nhu cầu xã hội phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối sách Đảng nhà nước đề Tôi phân công trực tiếp giảng dạy lớp 11 nhiều năm Vì đa số học sinh nhận thức chậm; tiếp thu kiến thức cách máy móc Do giáo viên cần sâu vào phần trọng tâm; đưa phương pháp thật cụ thể cho học sinh dễ hiểu dễ nhớ Phương trình lượng giác đơn vị kiến thức quan trọng chương trình toán THPT, đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN Tuy nhiên dạng phương trình học lớp 11 có phương pháp giải cụ thể đa số em không hiểu rõ nên giải mắc phải số sai lầm không đáng có Tại lại vậy? Lý là: Khi em tiếp cận với phần lượng giác chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày rơi vào tiết cuối năm; công thức lại nhiều; ví dụ áp dụng lại thời gian hạn hẹp có Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 tiết lúc lượng kiến thức nhiều Nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Do bước sang đầu năm học lớp 11 em lại gặp phần lượng giác có phương trình lượng giác nên em gặp khó khăn trình biến đổi giải phương trình lượng giác Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ định phải nhớ xác giá trị lượng giác cung (góc) đặc biệt Tôi thấy em học sinh cần nắm vững phần giải phương trình lượng giác giá trị lượng giác cung (góc) đặc biệt thể đường tròn lượng giác Vì đa số học sinh yếu nên kiến thức phải cô động dễ nhớ em may giải toán Do theo việc giải phương trình lượng giác có kết hợp với số yếu tố đường tròn lượng giác hay nên hình thành chuyên đề : ‘’ Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11’’ II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI a) Thuận lợi: Trong trình giảng dạy nhìn thấy đa số học sinh muốn nắm vững kiến thức toán học; muốn tìm cho cách học toán cho phù hợp với khả Các em muốn kiến thức mà có phải nhớ lâu dễ vận dụng vào giả toán.… Bên cạnh trao đổi học hỏi lãnh đồng nghiệp để trau dồi, nâng cao chuyên môn Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ để giải toán Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, xác số Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình lượng giác Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 b) Khó khăn: Trường nằm địa hình không thuận lợi quý vị biết Do học sinh vào lớp 10 thi tuyển không xét tuyển nên có nhiều học sinh yếu học lực Khả tiếp thu học sinh lớp chưa đồng nên vấn đề giảng dạy khó khăn, vấn đề làm cho người giáo viên nói chung thân nói riêng phải trăn trở Trong trình giảng dạy môn toán trường THPT nhận đa số học sinh chưa ý thức việc học Phần lớn học sinh lười học, không làm tập nhà, có làm để đối phó với giáo viên mà Đa số học sinh thời gian đọc sách, tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề khó khắc phục học sinh đa phần gia đình công nhân, nông dân có hoàn cảnh khó khăn, sau buổi học em phải phụ giúp gia đình Sự quan tâm ba mẹ việc học hạn chế nhiều mặt Trước làm sáng kiến kinh nghiệm thấy học sinh lớp 11 giải phương trình lượng giác thường mắc phải sai lầm trình biến đổi Đa số học sinh không tìm cho cách nhớ công thức lượng giác; bảng giá trị lượng giác cung ( góc ) đặc biệt mà sử dụng máy tính học thuộc lòng nên giải toán quên; không chủ động để biến đổi Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 III) NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận Có lần đọc “tạp chí tuổi trẻ Bộ Giáo Dục Đào tạo”, lời khẳng định thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán ĐHSP Vinh) sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu phương pháp tìm lời giải có nhiều ưu điểm phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng” Tôi đồng tình với lời khẳng định viết thầy mà điều trăn trở Vai trò người thầy (cô) giáo trực tiếp giảng dạy môn toán chủ yếu định khâu hướng dẫn tìm lời giải toán “Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính” (Trường Đại học Tổng hợp) viết “Có thể nói linh hoạt suy nghĩ điều kiện cần thiết để đạt kết tốt việc học toán”.Bên cạnh việc vận dụng linh hoạt kiến thức thuộc chương trình môn học việc tích luỹ phương pháp kỹ hữu hiệu vấn đề quan tâm GS “Trần Tuấn Điệp” (Trường ĐHBK Hà Nội) Hiện phần lớn em học sinh không chịu đào sâu suy nghĩ, sử dụng kiến thức học cách máy móc vào giải toán Và em biết giải theo toán cụ thể theo phương pháp định; Không chịu phân tích, tổng quát hoá, cách liên hệ đến trường hợp tương tự Hay nói cách đơn giản đề câu hỏi, thắc mắc xoay quanh toán đó, tự giải rút kết luận cần thiết Giải phương trình lượng giác chương trình 11 đề cập đến lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp chặt chẽ chưa phổ biến rộng rải trình giảng dạy Hơn số tác giả trình bày phương trình lượng giác hay đầy đủ học sinh yếu hiểu nhớ hết Do định sáng kiến đề tài mong giúp em nắm bắt từ từ kiến thức cách chắn việc học toán Từ nhằm rèn luyện kỹ phẩm chất tư môn học, tiếp thu tri thức loài người Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Các giá trị lượng giác cung (góc) đặc biệt thể đường tròn lượng giác sau giúp em tái lại phần kiến thức để vận dụng vào giải phương trình Tuy nhiên em dùng máy tính cầm tay để tính cung (góc) Các em quy đổi từ độ sang radian sau: Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Radian     2 5  3 4 sin tan -1 - 3 - 120o 135 o 90o 3 3 2 60o 45 12 150 o o 2 2 - -150 o -135 o - 2 - -120o 30o 180o -1 - cot o 0o 2 cos -30o 3 2o -1 -90 -45o -60o - -1 - Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Phương trình lượng giác bản: 2.1.a Phương trình sin x  a  a  1: Phương trình vô nghiệm   , , 1  a  1: Gọi T  0,  ,  2   sin 90o 120o 135o 2 M’ 12 150 o 60o 45o M 30o 180o 0o o cos - -150 o -135o -120o - 2 - -30o -1 -902o -45o -60o Từ đường tròn lượng giác suy công thức nghiệm phương trình Chẳng hạn sinx = 2 điểm (0; ) trục sin kẻ đường 2 thẳng vuông góc với trục sin ta thấy đường thẳng cắt đường tròn hai điểm M Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 M’ Khi số đo cung AM cung AM’ viết là:    x  450  k 3600  x   k 2  hay  ( k  Z)  x  1350  k 3600 3  x  k 2   Vậy +) Nếu a T chọn  cho sin  = a nghiệm phương trình là: x    k 2 x     k 2 ; k  Z (1) +) Nếu a  T nghiệm phương trình là: x  arcsin a  k 2 x    arcsin a  k 2 ; k  Z (2) Ví dụ1 Giải phương trình sau: Dựa vào công thức nghiệm (1) đường tròn lượng giác Chọn    5  cho sin   Khi  chọn giá trị  ;  6    x   k 2  (k  Z ) a) Phương trình sinx =    x  5  k 2  Làm tương tự câu a)   x  k 2    (k  Z ) b) Phương trình sinx =  x  5  k 2  Vì  T nên ta dùng công thức nghiệm (2)  x  arcsin  k 2  (k  Z ) c) Phương trình sinx =    x    arcsin  k 2  Nhận xét phương trình sau có nghiệm hay không? d) Phương trình sinx =  : vô nghiệm   1 Chú ý 1: Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 i) sin x   x    k 2  k  ¢   ii) sin x  1  x    k 2  k  ¢  iii) sin x   x  k  k  ¢  Chú ý 2:  Phương  x    k 2 trình sinx = sin    (k  Z )  x      k 2  x  a0  k 3600  Phương trình sinx = sin a   (k  Z ) 0  x  180  a  k 360 Tổng quát:  f ( x)  g ( x)  k 2 Phương trình: sin f(x) = sin g(x)    f ( x)    g ( x)  k 2 (k  Z ) Ví dụ2: Giải phương trình sau: Khi mở rộng sin x thành sin f(x) xem f(x) có vai trò x sau biến đổi tìm x nghiệm phương trình Phần đa số em không hiểu nên viết f(x) x nên nghiệm phương trình sai Xem ví dụ a), b) Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy sin f(x) 1, -1 cần ghi họ nghiệm đủ ví dụ a) b)  a) Phương trình: sin (2x – ) =  x 1  k  x   k (k  Z ) 2 b) Phương trình: sin (4x + 500 ) = –  x  500  900  k 3600  x  350  k 900 (k  Z ) Ngoài đưa dạng sin f(x) = sin g(x) sau c) Phương trình: sin( x  350 )   sin( x  350 )  sin 300  x  350  300  k 3600  0  x  35  150  k 360  x  50  k 3600  0  x  115  k 360 Trường THPT Xuân Mỹ 10 k ¢  GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 2.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp: 2.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác: 2.2.1.a Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng at  b  a,b số  a  0 t hàm số lượng giác 2.2.1.b Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác 2.2.1.c Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) 2sin x 1  0; 2) cos2 x   0; 3) 3tan x 1  0; 4) cot x 1  Giải Vấn đề khó khăn dạng phương trình em học sinh chưa quen coi sinx có vai trò ẩn phương trình bậc ẩn Đưa phương trình sau phương trình lượng giác giải 1)   x   k 2   2sin x 1   sin x   sin x  sin   k ¢   x  5  k 2  Tương tự giải phương trình sau: 1 2 2) cos2 x    cos2 x   cos2 x  cos 2 2   2x    k 2  k  ¢   x    k  k  ¢  3 1 3) 3tan x 1   tan x   x  arctan  k  k  Z  3 4) cot x 1   cot x  1 2 2  cot x  cot x  k  k ¢  3 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1) tan x   (1) 2sin x  Trường THPT Xuân Mỹ 2) (2cos x  2)(cos3 x 1)  20 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Giải Trong trường hợp số em học sinh đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa giải Đây giải phương trình bậc hàm số lượng giác sau thay dấu “=” thành dấu “  ”, thay ngoặc vuông thành ngoặc nhọn   x   k    (k  Z) 1) Điều kiện: 2sin x    sin x   x    k  Phương trình (1) trở thành: tan x    tan x   2x    k  x    k (k  Z ) Khi giải đến em lúng túng kết hợp với điều kiện Khi sử dụng đường tròn để chọn nghiệm phương trình dễ hiểu Chúng ta biểu diễn giá trị bị loại ( L) giá trị nhận ( N ) x đường tròn lượng giác sau chọn giá trị nhận (N) sin 2  L N L N  o -5 L cos N N L -2 - Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình (1) là: x  Trường THPT Xuân Mỹ 21   k (k Z) GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Phương trình sau phương trình tích đưa hai phương trình bậc hàm số lượng giác giải sau: 2) (2cos x  2)(cos3x  1)     x    k 2   2cos x     cos x     x    k 2  cos3x    cos3x  1  3 ( k  Z) 2.2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: 2.2.2.a Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at  bt  c  , a, b, c số  a  0 t hàm số lượng giác 2.2.2.b Phương pháp: Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện 1  t  đặt t sin cos) 2.2.2.c Các ví dụ: Giải phương trình sau: 1) 2sin2 x  sin x   phương trình bậc hai sin x 2) 3cos2 x  2cos2x 1  phương trình bậc hai cos2x 3) 2tan2 x  tan x   phương trình bậc hai tan x 4) 3cot 3x  cot 3x   phương trình bậc hai cot 3x Giải Đây phương trình bậc hai sinx em giải cách đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ ) sau đưa phương trình bậc hai theo ẩn phụ Giải phương trình tìm ẩn phụ ( so với điều kiện) đưa giải phương trình Như ví dụ sau: 1) 2sin x  sin x   (1) Đặt t  sin x , điều kiện t  Phương trình (1) trở thành: Trường THPT Xuân Mỹ 22 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 t   nhân  2t  t      t 3 loai  Với t = 1, ta sin x   x    k 2  k ¢  Vậy phương trình ( ) có nghiệm x    k 2  k ¢  Tương tự phương trình (1) ta giải phương trình (2) cách đặt ẩn phụ cos2x 2) 3cos2 x  2cos2 x 1    Đặt t  cos2x , điều kiện t  Phương trình (2) trở thành: t  1  nhân  3t  2t 1    t    nhân  Với t  1 ta cos2x  1  x    k 2  x  Với t    k  k ¢  ta 1 1 cos2x   x   arccos  k 2  x   arccos  k 3  k ¢  Vậy phương trình có nghiệm x   k  k ¢  ; x   21 arccos 13  k  k ¢  Khi giải phương trình có tang cotang ta phải đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác 3) 2tan2 x  tan x   (3) Điều kiện x    k (k Z) Đặt t  tan x Phương trình (3) trở thành: t  1 2t  t     t   Với t  1 ta được: tanx  1  x  Trường THPT Xuân Mỹ 23   k  k ¢  (thoả điều kiện) GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Với t  ta được: 1 tan x   x  arctan  k 3  k ¢  (thoả điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm là: x   k  k ¢  ; x  arctan  k  k ¢  Đây phương trình bậc hai cot3x 4) 3cot 3x  cot 3x   (4) Điều kiện x  k (k Z) Đặt t  cot3x Phương trình (4) trở thành: t   3t  t      t     18 Với t  ta được: cot3x   3x   k  x  Với t  cot3x   3  k  k ¢  ta  2 x  k 3  3x  Vậy phương trình có nghiệm là: x   18 2 k   k  k ¢  2 k  k ¢  ; x    k ¢  Ngoài em giải trực tiếp đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình không cần đặt ẩn phụ Các em làm quen với ví dụ sau Sau phương trình bậc hai sin (x + 300) khuyết hệ số c 5) 2sin2 ( x  300 )  3sin( x  300 )   x  300  k1800  x  300  k1800 sin( x  300 )         x  300  600  k 3600   x  900  k 3600  sin( x  300 )    0  0   x  210  k 360   x  30  240  k 360 Trường THPT Xuân Mỹ 24 ( k  Z) GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Sau phương trình bậc hai sin x khuyết hệ số b 6) cos2x – =0    x    k 2  cos x       x   3  k 2  cos x     ( k  Z) Chúng ta dựa đường tròn để biểu diễn họ nghiệm thành họ nghiệm Các em giải ví dụ 1), 2), 3), 4) theo cách 2.2.3 Phương trình bậc sin x cos x : 2.2.3.a Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng: a sin x  b cos x  c (1) a, b, c¡ a2  b2  2.2.3.b Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2  b2 ta được: a b c sin x  cos x  a  b2 a2  b2 a2  b2 (2)  Nếu c  : Phương trình vô nghiệm 2 a b  Nếu a b c  sin    đặt cos  a2b2 a  b2 a  b2 (hoặc sin   a b )  cos  2 2 a b a b Dùng công thức cộng : sin( a + b) = sina cosb + cosa sinb sin( a - b) = sina cosb - cosa sinb cos( a + b) = cosa cosb - sina sinb Trường THPT Xuân Mỹ cos( a - b) = cosa cosb + sina sinb 25 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 c c (hoặc cos  x     ) 2 2 a b a b Đưa phương trình dạng: sin  x     sau giải phương trình lượng giác Chú ý: 1) Phương trình a sin x  b cos x  c a, b, c¡ a2  b2  có nghiệm c2  a2  b2 2.2.3.c Các ví dụ: Giải phương trình sau: 1) 3sin x  cos x  1; 2) 4sin x  3cos x  5; ; 6) 4) sin x  3cos x  ; 5) sin x  cos x  3) cos x  sin x     cos( x  )  sin( x  )   4 Giải Trước giải phương trình dạng a sin x  b cos x  c em cần phải kiểm tra điều kiện c2  a2  b2 : không thoã phương trình vô nghiệm; thoã phương trình có nghiệm giải phương trình 1) 3sin x  cos x  (1) Chia hai vế phương trình (1) cho a  b2  ta được: 1 sin x  cos x  2 Đặt cos   1  sin   Biểu diễn chúng đường tròn lượng giác 2 để tìm  Trường THPT Xuân Mỹ 26 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 sin  o -5 - Khi     cos -1 nghiệm chung thoã cos   1 sin   2  Phương trình có dạng là: sin( x  )      x    k 2   x    5  k 2  6   x   k 2   ( k  Z)   x    k 2   x   k 2  Vậy phương trình cho có nghiệm là: (k  Z)   x    k 2 2) 4sin x  3cos x  (2) Chia hai vế phương trình cho ta phương trình: sin x  cos x  5  cos sin x  sin  cos x  (2’) ; Với cos   Trường THPT Xuân Mỹ 27 sin   5 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11  Trong trường hợp   arccos (hay   arc sin );    Để làm 5 điều em dùng dấu sin cos để chọn  xem thuộc khoảng dùng đường tròn lượng giác để xác định  sin  o cos (2’)  sin( x   )   x      k 2  x    Vậy nghiệm phương trình (2) là: x       k 2 ( k Z)  k 2 (k Z) (  trên) Tương tự em trình bày lời giải toán theo cách biến đổi tương đương sau 3) cos x  sin x   (3)   cos x  sin x  2     sin cos x  cos sin x  3    2x      sin   x    3    2x   Trường THPT Xuân Mỹ 28     k 2 x  k  3  4  x    k  k 2  k Z GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 4) sin x  3cos x  Vì c2  a  b2  42  12  32 ( vô lý ) Nên phương trình cho vô nghiệm 5) sin x  cos x     sin( x  )   sin( x  )  4      x    arcsin  k 2  x   arcsin  k 2    x  3  arcsin  k 2  x      arcsin  k 2   4 Ví dụ sau đưa phương trình dạng: cos  x     ( k  Z) c a  b2   6) cos( x  )  sin( x  )   4    cos( x  )  sin( x  )   4      cos cos( x  )  sin sin( x  )   6   2   cos   ( x  )   cos  6  2   ( x  )   k 2 6     ( x   )   2  k 2    x   k 2    x  13  k 2  12 Trường THPT Xuân Mỹ k  Z k  Z 29 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 cần thiết; tảng cho việc giải toán phương trình lượng giác không mẫu mực; đồng thời hỗ trợ cho em học sinh có sở để ôn luyện dạng toán phương trình lượng giác khác để thi vào trường Đại học – Cao đẳng… Qua thời gian áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy thấy tâm trạng học sinh trở nên tự tin kiểm tra thi cử Đa số học sinh trải nghiệm qua sáng kiến cảm hứng học toán dâng tràn Bởi chuyên đề đưa tương đối đầy đủ dạng toán em có sở học tập, giúp học sinh luôn củng cố lại kiến thức cũ tiếp cận kiến thức Việc giải phương trình lượng giác không vấn đề nan giải làm cho em trở nên phấn chấn thoải mái nhiều có tiết học toán; cô trò không thấy áp lực Sau thời gian áp dụng sáng kiến kết học tập em khả quan hơn; bên cạnh thúc đẩy động lực học tập môn toán môn học khác Giúp em tự tin học lên lớp chuẩn bị hành trang thi tốt nghiệp đại học Trường THPT Xuân Mỹ 30 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Học toán khó,xong truyền đạt kiến thức cho học sinh lại khó Là giáo viên dạy vùng sâu vùng xa sáng kiến quan trọng Làm cho học sinh yếu có khả tiếp thu kiến thức tái lại kiến thức cũ Nếu sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rải hy vọng học sinh có ý chí vươn lên, ham tìm tòi học hỏi đạt kết khả quan Trên trao đổi với bạn vài kinh nghiệm học toán để đạt kết cao Kinh nghiệm suy nghĩ học toán làm toán việc thường xuyên ôn luyện củng cố lại kiến thức.Vấn đề phong phú, bao gồm nhiều mặt có lẻ nói không hết Mong bạn suy nghĩ cách học mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm phương pháp học tập tốt để đạt nhiều kết Tuy nhiên sáng kiến hạn chế sai xót kính mong quý vị, đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến xây dựng để sáng kiến ngày có hiệu cao.Tôi xin chân thành cám ơn Trường THPT Xuân Mỹ 31 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính – Năm (1957 – 1997 ) - Tuyển tập 30 năm, Tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo Dục GS Trần Tuấn Điệp –Tháng 11 – 1998 - Tạp chí THPT khoa học tự nhiên – Bộ văn hoá thông tin Nguyễn Thái Hoè - Xuất năm 1999 - Toán học tuổi trẻ - Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Vũ Thế Hựu – Xuất năm 2000 – Phương pháp giải toán đại số giải tích 11 – Nhà xuất Đồng Nai Trương Tiếu Hoàng – Xuất năm 2002 – Phương pháp giải toán lượng giác - Nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên – Xuất năm 2007 – Đại Sô Và Giải Tích 11 – Nhà xuất Giáo Dục Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên – Xuất năm 2007 – Bài Tập Đại Sô Và Giải Tích 11 – Nhà xuất Giáo Dục Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên – Xuất năm 2007 – sách giáo viên Đại Sô Và Giải Tích 11 – Nhà xuất Giáo Dục Xuân Mỹ, ngày 20 tháng 04 năm 2013 Người thực Nguyễn Thị Thu Liền Trường THPT Xuân Mỹ 32 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN MỸ TỔ : TOÁN –––––––––– CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––– Xuân Mỹ, ngày 20 tháng năm 2013 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012-2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Họ tên: Nguyễn Thị Thu Liền - Đơn vị Trường THPT Xuân Mỹ - Tổ Toán Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn: Giải toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác: Tính mới: - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu quả: - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng: - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (ký tên) Trường THPT Xuân Mỹ 33 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên) GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác chương trình lớp 11 Trường THPT Xuân Mỹ 34 GV: Nguyễn Thị Thu Liền [...]... đường tròn lượng giác hổ trợ cho việc giải phương trình lượng giác cơ bản giúp các em khắc phục được nhiều khó khăn trong việc giải phương trình lượng giác Qua nhiều năm dạy lớp 11 tôi thấy vấn đề giải phương trình lượng giác quan trọng nhất là hiểu được và giải được phương trình lượng giác cơ bản Từ đó các em làm quen và giải một số phương trình lượng giác khác dễ dàng hơn Đó là các phương trình bậc... số lượng giác, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx sau đây Trường THPT Xuân Mỹ 19 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 2.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp: 2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: 2.2.1.a Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng. .. 29 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 là rất cần thiết; nó là nền tảng cho việc giải các bài toán về phương trình lượng giác không mẫu mực; đồng thời nó còn hỗ trợ cho các em học sinh có cơ sở để ôn luyện các dạng toán phương trình lượng giác khác để thi vào các trường... 2.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 2.2.2.a Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at 2  bt  c  0 , trong đó a, b, c là các hằng số  a  0 và t là một trong các hàm số lượng giác 2.2.2.b Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ... sinb 25 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 c c (hoặc cos  x     ) 2 2 2 2 a b a b Đưa phương trình về dạng: sin  x     sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản Chú ý: 1) Phương trình a sin x  b cos x  c trong đó a, b, c¡ và a2  b2  0 có nghiệm khi c2  a2  b2 2.2.3.c Các ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 3sin x  cos x  1;... dụ 2: Giải các phương trình sau: 1) tan 2 x  3  0 (1) 2sin 2 x  3 Trường THPT Xuân Mỹ 2) (2cos x  2)(cos3 x 1)  0 20 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 Giải Trong trường hợp này một số em học sinh đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa nhưng không biết giải như thế nào Đây cũng là giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác sau... -5 L cos N 6 N L -2 3 - 3 Kết hợp với điều kiện trên ta có nghiệm phương trình (1) là: x  Trường THPT Xuân Mỹ 21   k 3 (k Z) GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 Phương trình sau là phương trình tích chúng ta đưa về hai phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác được giải như sau: 2) (2cos x  2)(cos3x  1)  0    x    k 2 2... Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11  1  3   Phương trình có nghiệm với mọi a Gọi T  0,  ,  1,  3   Nếu a T thì chọn  sao cho tan  = a khi đó nghiệm của phương trình là:  x    k ; k  Z  Nếu a  T thì nghiệm của phương trình là: x  arctan a  k (k  Z ) Một số ví dụ sau cho ta thấy việc dùng đường tròn lượng giác để viết ra nghiệm của phương trình. .. kiện cho ẩn phụ ) sau đó đưa về phương trình bậc hai theo ẩn phụ Giải phương trình tìm ẩn phụ ( so với điều kiện) rồi đưa về giải phương trình cơ bản Như ví dụ 1 sau: 1) 2sin 2 x  sin x  3  0 (1) Đặt t  sin x , điều kiện t  1 Phương trình (1) trở thành: Trường THPT Xuân Mỹ 22 GV: Nguyễn Thị Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 t  1  nhân  2t 2  t  3 ... Thu Liền Tên SKKN: Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 Tổng quát: Phương trình cot f(x) = cot g(x)  f ( x)  g ( x)  k (k  Z ) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: Khi mở rộng cot x thành cot f(x) thì chúng ta xem f(x) có vai trò như x sau đó biến đổi rồi tìm x chính là nghiệm của phương trình Phần này đa số các em không hiểu nên viết f(x) là x nên nghiệm phương trình là sai Xem