Trần vui tuyển tập các bài toán Pisa

Hiểu biết toán được xác định như là năng lực của học sinh để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học

PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT

CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ

PISA

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục

_ /GD Mã số:

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, nâng cao và bảo đảm chất lượng giáo dục là một trong những yêu cầu mà một đát nước cần phải quan tâm Các chương trình đánh giá học sinh quốc tế phần lớn không chỉ đơn thuần là sự xếp hạng mà nó còn nêu ra được những điểm mạnh và điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải thiện chất lượng giáo dục

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế (Programme for International Student Assessment: PISA) của Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for Economic Co-operation and Development: OECD) được thiết lập vào năm 1997,

nó thể hiện một cam kết bới các chính phủ của các quốc gia thành viên OECD để giám sát các kết quả đầu ra của các hệ thống giáo dục theo thành quả học tập của học sinh trong một khuôn khổ quốc tế chung Trước hết, OECD/PISA là một nổ lực hợp tác nhằm tập hợp các tinh hoa khoa học từ các nước tham gia và được chung sức định hướng bởi các chính phủ của mình trên cơ sở các quyền lợi được chia sẻ và định hướng chiến lược Các chuyên gia từ các nước thành viên làm việc trong các nhóm công tác có gắn kết với các mục tiêu chiến lược của OECD/PISA, những chuyên gia này có chuyên môn giỏi và có kỹ thuật tốt trong lĩnh vực đánh giá so sánh quốc tế Thông qua việc tham gia vào các nhóm chuyên gia này, các nước bảo đảm rằng các công cụ đánh giá của OECD/PISA là có giá trị quốc tế và

đã có cân nhắc đến tình hình chương trình và văn hóa của các nước thành viên OECD

Đánh giá OECD/PISA được tổ chức thường xuyên ba năm một lần Mục đích của OECD/PISA là đánh giá ba lĩnh vực: đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học Tùy năm tổ chức, PISA sẽ tập trung vào đánh giá một trong ba lĩnh vực đó PISA 2000 tập trung vào đọc hiểu, PISA 2003 đặt trọng tâm vào hiểu biết toán và PISA 2006 đi sâu hơn vào hiểu biết khoa học

Hiểu biết toán được xác định như là năng lực của học sinh để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng

và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống Đánh giá

toán PISA mong muốn tìm kiếm học sinh 15 tuổi cần có những hiểu biết toán học nào để chuẩn bị cho cuộc sống trưởng thành mà các em sắp sửa bước vào

Cuốn sách này được viết theo cách tổng hợp và nổ lực vận dụng những kết quả nghiên cứu của PISA trong những năm gần đây vào bối cảnh giáo dục toán của Việt Nam

Chúng tôi hi vọng rằng cuốn sách này sẽ cung cấp những kiến thức cơ bản về đánh giá hiểu biết toán theo khuôn khổ của PISA để người học tham khảo và tự mình vận dụng vào đổi mới dạy học một cách phù hợp Các vấn đề được trình bày trong cuốn sách này liên quan đến một lĩnh vực mới đáp ứng cho nhiều đối tượng liên quan đến giáo dục Toán ở bậc trung học Để kịp thời phục vụ cho bạn đọc chúng tôi đã mạnh dạn viết cuốn sách này, nhưng do thời gian biên soạn có hạn, nên chắc chắn cuốn sách sẽ còn nhiều thiếu sót Rất mong được các thầy, cô giáo, các nhà giáo dục, các em học sinh và sinh viên đóng góp ý kiến để nếu được tái bản lần sau, cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn

Huế, ngày 21 tháng 9 năm 2008

Tác giả

MỤC LỤC

Chương 1: Giới thiệu chương trình đánh giá học sinh quốc tế

Chương 2: Hiểu biết toán

Chương 3: Đánh giá hiểu biết toán

Chương 4: Các bài toán thực hành và nhận xét về các khía cạnh toán

Chương 5: Phân tích bốn ý tưởng bao quát trong chương trình toán

Chương 6: Các bài toán với thang mức điểm tham khảo

Chương 7: Những xu hướng dạy học chuẩn bị học sinh cho đánh giá quốc tế

OECD/PISA kết hợp đánh giá các lĩnh vực cụ thể như đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học với các lĩnh vực quan trọng xuyên suốt chương trình, đó cũng

là một ưu tiên giữa các nước OECD với nhau Những lĩnh vực này được phủ thông qua một đánh giá về học tự điều chỉnh và công nghệ thông tin, được bổ sung vào năm 2003 bằng một đánh giá về các kỹ năng giải quyết vấn đề Các kết quả sẽ được kết hợp với các thông tin về hoàn cảnh của học sinh, gia đình và nhà truwongf được thu thập bằng các bảng hỏi OECD/PISA dựa vào: i) các cơ cấu tốt

về bảo đảm chất lượng để chuyển thể, lấy mẫu và thu thập dữ liệu; ii) các đo lường để đạt được sự phong phú của ngôn ngữ và văn hóa trong các công cụ đánh giá, đặc biệt thông qua sự tham gia của các quốc gia trong các quá trình phát triển

và hoàn thiện và trong các hội đồng văn hóa; iii) phương pháp phân tích dữ liệu mới nhất Sự kết hợp những đo lường này tạo nên các công cụ và sản phẩm chất

lượng cao với các mức độ tuyệt vời về độ tin cậy và tính giá trị để nâng cao sự hiểu biết về các hệ thống giáo dục và các đặc trưng của học sinh

PISA đặt nền tảng trên mô hình học tập suốt đời ở đó kiến thức và các kỹ năng mới cần thiết cho việc thích nghi thành công với một thế giới đang thay đổi là không ngừng đạt được trong suốt cuộc sống PISA tập trung vào những việc mà học sinh 15 tuổi sẽ cần trong tương lai và tìm kiếm để đánh giá những gì các em

có thể làm được với những gì đã học được Đánh giá có am hiểu đến mẫu số chung của các chương trình cấp quốc gia Như vậy, PISA đánh giá kiến thức của học sinh, và cũng xem xét khả năng của các em để phản ánh và để áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào các vấn đề thực tế Ví dụ, để hiểu và đánh giá những lời khuyên có tính khoa học về an toàn thực phẩm, một trưởng thành những chỉ cần biết một vài sự kiện cơ bản về thành phần của các chất dinh dưỡng mà còn

có khả năng áp dụng những thông tin đó Thuật ngữ ”hiểu biết” được dùng để tóm gọn khái niệm rộng hơn này về kiến thức và kỹ năng

PISA được thiết kế để thu thập thông tin kịp thời và hiệu quả theo các chu kỳ ba năm Nó thể hiện các dữ liệu về đọc hiểu, hiểu biết toán và khoa học của học sinh, các trường và các quốc gia Nó cung cấp những kiến thức sâu sắc về các yếu tố ảnh hưởng đến sự phat strieenr của các kỹ năng ở nhà và ở trường Nó xem xét những yếu tố này tương tác như thế nào và những thực hiện nào cho phát triển chiến lược

PISA 2003 mở rộng khuôn khổ cho đánh giá hiểu biết toán sâu hơn, cũng như khuôn khổ cho một đánh giá mới về giải quyết vấn đề như là một năng lực xuyên suốt chương trình Trong mỗi lĩnh vực, khuôn khổ đánh giá xác định nội dung học sinh cần đạt được, những quá trình học sinh cần thể hiện và những tình huống mà kiến thức và kỹ năng được áp dụng Cuối cùng, nó minh họa các lĩnh vực này và các khía cạnh của chúng với các nhiệm vụ mẫu

2 NHỮNG KHÍA CẠNH CƠ BẢN CỦA PISA

PISA một đánh giá chuẩn hóa quốc tế được chung sức phát triển bởi các nước tham gia và tổ chức kiểm tra cho các học sinh 15 tuổi ở các trường

Khảo sát được thực hiện ở 43 nước vào lần đánh giá đầu tiên năm 2000, ở 41 nước ở lần đánh giá thứ hai vào năm 2003, ở 57 nước vào lần đánh giá thứ ba vào năm 2007 và đã có 62 nước đăng ký tham gia lần đánh giá thứ tư năm 2009 Các bài kiểm tra được tổ chức một cách tiêu biểu cho khoảng từ 4,500 đến 10,000 học sinh của mỗi nước

2.1 OECD/PISA LÀ GÌ?

PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương trình đánh giá học sinh quốc tế do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tiến hành ba năm một lần Ý tưởng bắt đầu từ năm 1997 nhưng cuộc điều tra đầu tiên được tiến hành vào năm 2000, phải mất 3 năm để xây dựng và thống nhất các tiêu chí và cách thức điều tra Và kể từ đó đến nay đã có ba cuộc điều tra, lần cuối vào năm 2006 Cứ phải sau một năm kể từ ngày điều tra, vào lúc 10 giờ sáng giờ Paris ngày 04 tháng 12, kết quả điều tra sẽ được công bố trên toàn thế giới

Điều tra là để đánh giá trình độ học sinh 15 tuổi của các nước tham gia trong bốn lĩnh vực là toán, khoa học, đọc hiểu và giải quyết vấn đề Lần đầu tiên năm 2000, điều tra đặt trọng tâm vào môn đọc hiểu; lần thứ hai năm 2003 đặt trọng tâm vào hiểu biết toán và lần gần đây nhất năm 2006 là vào hiểu biết khoa học Học sinh, ngoài làm bài kiểm tra, phải trả lời phiếu điều tra về hoàn cảnh gia đình, môi trường và động lực học tập và cách quản lý quỹ thời gian…

Điều tra PISA đối với các học sinh ở độ tuổi 15 là để đánh giá khả năng ứng dụng kiến thức và kỹ năng học được vào các tình huống thực tiễn của cuộc sống PISA không phải và không hề là một cuộc sát hạch khả năng học thuộc lòng lượng kiến thức trong sách vở Tổng thư ký của OECD, Angel Gurria, phát biểu rằng: “PISA

là một công cụ hỗ trợ các chính phủ đưa ra các lựa chọn chính sách giáo dục Và trong thời đại toàn cầu hóa kinh tế với mức độ cạnh tranh ngày càng gay gắt như ngày nay, một nền giáo dục có chất lượng là tài sản có giá nhất cho cả xã hội và từng cá nhân trong xã hội đó.”

Và cũng không phải và không hề ngẫu nhiên khi hội đồng PISA chọn đọc hiểu, hiểu biết toán, hiểu biết khoa học và giiar quyết vấn đề làm các môn điều tra Theo như lý giải của hội đồng PISA, những kiến thức và kỹ năng ấy là tối cần thiết cho một học sinh bước vào cuộc sống trưởng thành Và đó cũng là những kỹ

năng và kiến thức nền tảng không thể thiếu cho quá trình học tập suốt đời Ông Tổng thư ký của OECD, nói thêm rằng “điều tra PISA không chỉ để xếp hạng, điều quan trọng là nó chỉ ra điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của

các quốc gia, đồng thời chỉ ra hướng đi cải cách hệ thống giáo dục ấy”

2.2 TÓM TẮT CÁC KHÍA CẠNH CƠ BẢN

Những điều cơ bản

 Một đánh giá chuẩn hóa quốc tế được chung sức biên soạn bởi những nước tham gia và tổ chức kiểm tra cho những học sinh 15 tuổi trong các chương trình giáo dục

 Một khảo sát trong 43 nước vào lần đánh giá đầu tiên năm 2000, ở 41 nước ở lần đánh giá thứ hai vào năm 2003, ở 57 nước vào lần đánh giá thứ

ba vào năm 2007 và đã có 62 nước đăng ký tham gia lần đánh giá thứ tư năm 2009

 Các bài kiểm tra được tổ chức một cách đặc thù cho khoảng từ 4.500 đến 10.000 học sinh trong một nước

Nội dung

 OECD/PISA 2003 gồm các lĩnh vực của đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học mà không nặng về việc thành thạo chương trình ở trường, nhưng lại chú trọng vào các kiến thức quan trọng và những kỹ năng cần thiết cho cuộc sống trưởng thành Kỳ kiểm tra các khả năng xuyên suốt chương trình tiếp tục là một phần chính của OECD/PISA thông qua việc đánh giá về một lĩnh vực mới là giải quyết vấn đề

 Chú trọng vào việc thành thạo các quá trình, việc hiểu các khái niệm và khả năng xử lý các tình huống khác nhau trong mỗi lĩnh vực

Các phương pháp

 Các bài kiểm tra bằng giấy bút được sử dụng, với những đánh giá kéo dài tổng cộng hai giờ cho mỗi học sinh

 Các câu hỏi của bài kiểm tra là một sự hỗn hợp các câu hỏi nhiều lựa chọn

và các câu hỏi đòi hỏi học sinh xây dựng các câu trả lời của mình Các câu

hỏi được tổ chức theo các nhóm dựa trên một sự chuyển tải từ một tình huống thực tế

 Tổng cộng khoảng chừng bảy giờ của các câu hỏi kiểm tra được tổ chức, với những học sinh khác nhau nhận các tổ hợp các câu hỏi kiểm tra khác nhau

 Các học sinh trả lời một bản hỏi về bản thân trong 30 phút, cung cấp thông tin về bản thân và gia đình các em Các hiệu trưởng tả lời một bản hỏi 20 phút về nhà trường của mình

Quy trình đánh giá

 Đánh giá tiến hành ba năm một lần: 2000, 2003 và 2006

 Mỗi trong các quy trình này sẽ quan tâm sâu đến một lĩnh vực chính, và sẽ dành hai phần ba thời gian kiểm tra cho lĩnh vực đó; những lĩnh vực khác cung cấp một hồ sơ tóm tắt về các kỹ năng Những lĩnh vực chính là đọc hiểu năm 2000, hiểu biết toán năm 2003 và hiểu biết khoa học năm 2006

 Những chỉ số xu hướng chỉ những kết quả thay đổi theo thời gian

 Một nền tảng tri thức cơ bản về phân tích chính sách và nghiên cứu

Mục đích đầu tiên của đánh giá OECD/PISA là để xác định phạm vi mà những người trẻ tuổi đã đạt được những kiến thức và các kỹ năng rộng hơn trong đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học mà các em sẽ cần đến trong cuộc sống trưởng thành Đánh giá về các khả năng xuyên suốt chương trình đã được tạo thành một phần chính của PISA 2003 thông qua đánh giá về giải quyết vấn đề Những lý do chính cho tiếp cận được định hướng một cách rộng rãi như thế này là như sau:

 Mặc dù việc tiếp thu được các kiến thức cụ thể là quan trọng trong việc học ở trường, việc áp dụng của các kiến thức đó trong cuộc sống trưởng

thành phụ thuộc một cách thực sự đến việc tiếp thu các khái niệm và kỹ

năng rộng hơn Trong toán học, việc có khả năng suy luận một cách định

lượng và trình bày các mối quan hệ hay tính phụ thuộc là có khuynh hướng chọn lựa nhiều hơn là khả năng trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa quen thuộc khi chúng ta cần triển khai các kỹ năng toán học trong

cuộc sống thường ngày Trong việc đọc, khả năng để phát triển các lý giải

về bài viết và phản ánh về nội dung và chất lượng của bài viết là những kỹ

năng trọng tâm Trong khoa học, có những kiến thức cụ thể, như là tên các

cây và các động vật, là ít có giá trị hơn việc hiểu các chủ đề rộng hơn như

sự tiêu thụ năng lượng, sự đa dạng sinh học và sức khỏe con người trong việc nghĩ về các vấn đề đang được tranh luận trong cộng đồng người lớn

Trong giải quyết vấn đề, việc nhận ra một vấn đề, thiết lập bản chất chính

xác của nó, dùng kiến thức này để lên một phương án để giải nó, điều chỉnh lời giải để phù hợp hơn với bài toán gốc và giao tiếp lời giải với những người khác được xem như là các kỹ năng cơ bản cho việc học tương lai

 Do tổ chức ở tầm quốc tế, nên nếu chú trọng đến nội dung trong chương trình sẽ thu hẹp sự quan tâm vào những yếu tố chương trình chung cho tất

cả hoặc hầu hết các quốc gia Điều đó sẽ tạo nên nhiều cuộc thương lượng

và kết quả trong một đánh giá mà giá trị là quá hạn chế để các chính phủ mong muốn học về các thế mạnh và đổi mới trong hệ thống giáo dục của các quốc gia khác

 Những kỹ năng tổng quát, chung là cốt yếu cho học sinh phát triển Chúng bao gồm giao tiếp, thích ứng, linh hoạt, giải quyết vấn đề và sử dụng công nghệ thông tin Những kỹ năng này được phát triển xuyên suốt chương trình và một đánh giá những kỹ năng tổng quát đó đòi hỏi một quan tâm xuyên suốt chương trình

Học sinh không thể học ở trường học mọi thứ mà các em sẽ cần biết trong đời sống trưởng thành Những gì các em phải gặt hái được là những điều kiện tiên quyết cho việc học thành công trong tương lai Học sinh phải có khả năng tổ chức và điều chỉnh việc học của chính mình, học độc lập hay theo nhóm, và để vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập Điều này đòi hỏi các em

phải cảnh giác về các quá trình tư duy và các phương pháp học tập của mình Hơn nữa, việc học xa hơn sẽ xảy ra nhiều hơn trong những tình huống có nhiều người cùng làm việc vơi snhau và phụ thuộc vào nhau Để đánh giá các khía cạnh này, một công cụ tìm kiếm thông tin về việc học tự điều chỉnh được đưa vào như là một thành phần tự chọn của đánh giá PISA 2000 và là một phần chính của PISA 2003

PISA không chỉ đơn thuần là đánh giá xuyên quốc gia về các kỹ năng đọc, toán và khoa học của học sinh 15 tuổi Nó là là một chương trình phát triển lâu dài dẫn đến sự phát triển một cơ cấu thông tin để giám sát các xu hướng về kiến thức và kỹ năng ở nhiều quốc gia cũng như ở những nhóm nhỏ khác nhau

ở mỗi quốc gia

Thời gian tổng cộng cho các bài kiểm tra PISA là 120 phút cho mỗi học sinh, nhưng thông tin thu được là có giá trị gần bảy giờ của các đề kiểm tra Bộ tổng thể các câu hỏi được phân thành nhiều tập đề kiểm tra có liên kết với nhau Mỗi tập đề sẽ được kiểm tra bởi một số đủ các học sinh cho những ước lượng phù hợp để tạo nên các mức độ thành quả ở tất cả các câu hỏi của học sinh trong mỗi nước và trong mỗi nhóm nhỏ trong một nước (như nam, nữ, học sinh với hoàn cảnh văn hóa kinh tế khác nhau) Học sinh cũng dùng 30 phút để trả lời một bản hỏi về hoàn cảnh

Đánh giá PISA đưa ra ba loại kết quả chính:

 các chỉ số cơ bản cung cấp một hiện trạng cơ bản về kiến thức và kỹ

năng của học sinh;

 các chỉ số tình huống chỉ các kỹ năng như vậy liên quan đến các biến

số nhân khẩu học, xã hội, kinh tế và giáo dục;

 các chỉ số về các xu hướng nổi trội lên từ bản chất không ngừng của

việc thu thập dữ liệu và điều đó chỉ ra các thay đổi trong các mức độ đầu ra và các phân bố, và trong mối quan hệ giữa các biến số và kết quả cơ bản về mức độ học sinh và mức độ nhà trường

Mặc dù các chỉ số là phương tiện thỏa đáng để thu hút chú ý đến các vấn đề quan trọng, nhưng chúng thường không có khả năng cung cấp các câu trả lời cho các

câu hỏi chiến lược Vì thế PISA cũng đã phát triển một kế hoạch phân tích định hướng chiến lược sẽ đi xa hơn việc báo cáo các chỉ số

3 TỔNG QUAN VỀ CÁI GÌ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ TRONG MỖI LĨNH VỰC

Hình A thể hiện một định nghĩa về bốn lĩnh vực được đánh giá trong PISA Tất cả các định nghĩa đều chú trọng vào kiến thức và các kỹ năng thiết thực cho phép con người tham gia tích cực vào xã hội Sự tham gia như vậy đòi hỏi nhiều hơn là chỉ có khả năng tiến hành các nhiệm vụ được đặt ra từ bên ngoài như một người chủ chẳng hạn Điều cũng có nghĩa là con người đang được trang bị để tham gia vào các quá trình đưa ra quyết định Trong những nhiệm vụ phức tạp hơn trong PISA, học sinh sẽ được yêu cầu phản ánh và đánh giá tình huống chứ không phải chỉ trả lời các câu hỏi mà chỉ có các câu trả lời “đúng”

Hình A Định nghĩa của các lĩnh vực

► Hiểu biết toán

Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh

► Đọc hiểu

Đọc hiểu là năng lực của một cá nhân để hiểu, sử dụng và phản ánh về các bài viết, để đạt được các mục đích của một người, để phát triển kiến thức tiềm năng của một người và để tham gia vào xã hội

► Hiểu biết Khoa học

Hiểu biết khoa học là năng lực để sử dụng kiến thức khoa học, để xác định các câu hỏi và rut sra những kết luận dựa trên chứng cứ để hiểu và giúp đưa

ra những quyết định về thế giới tự nhiên và những thay đổi được thực hiện thông qua hoạt động của con người

► Các Kỹ năng Giải quyết Vấn đề

Các ký năng giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân để sử dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên

suốt các môn học ở đó còn đường tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức thì và ở đó các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụng được không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đoc

Hiểu biết toán được gắn liền với khả năng của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và giải thích các lời giải cho các vấn đề toán trong nhiều trường hợp khác nhau Hiểu biết toán được đánh giá liên quan đến:

 Nội dung toán học, như được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao

quát” (đại lượng, không gian và hình, thay đổi các quan hệ và tính không chắc chắc) Và chỉ quan hệ thứ yếu với các “mạch nội dung chương chương” (như số, đại số, hình học, thống kê)

 Quá trình toán học được xác định bởi các năng lực toán học chung

Những năng lực này bao gồm: việc dùng ngôn ngữ toán, mô hình hóa và các kỹ năng giải quyết vấn đề Tuy nhiên, những kỹ năng đó không bị tách

ra khỏi các câu hỏi kiểm tra khác, bởi vì người ta đã thừa nhận rằng rằng một loạt các năng lực sẽ được cần đến để thể hiện bất kỳ một nhiệm vụ toán học nào Hơn nữa các câu hỏi được tổ chức thành “các cụm năng lực” xác định loại kỹ năng tư duy cần đến

 Bối cảnh trong đó toán học được sử dụng, dựa trên khoảng cách của

chúng đến học sinh Khuôn khổ PISA xác định năm bối cảnh: cá nhân,

giáo dục / nghề nghiệp, công cộng và khoa học

Ở phần này chúng tôi chỉ trình bày những nét chung về hiểu biết toán học Phần chi tiết của hiểu biết toán học sẽ được trình bày ở chương 2 Các lĩnh vực đọc hiểu, khoa học và giải quyết vấn đề không được trình bày chi tiết trong cuốn sách này

Chương 2

HIỂU BIẾT TOÁN

Mục đích của đánh giá OECD/PISA là để thiết lập các chỉ số của lĩnh vực mà các

hệ thống giáo dục ở các nước tham gia chuẩn bị cho các học sinh 15 tuổi đóng các vai trò có tính xây dựng như là các công dân của xã hội Những đánh giá này không bị hạn chế vào những nội dung chương trình mà học sinh đã học, mà lại chú trọng vào việc xác định những gì mà các em có thể sử dụng những điều đã học trong những tình huống gần gũi với cuộc sống thường ngày của mình

1 ĐỊNH NGHĨA VỀ LĨNH VỰC

Lĩnh vực hiểu biết toán theo OECD/PISA được hiểu là những khả năng của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và giải thích các vấn đề toán học trong nhiều tình huống khác nhau

Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học Trong các bối cảnh thực tế, các công dân thường đối mặt với các tình huống khi đi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị… ở

đó việc áp dụng suy luận định lượng và không gian hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải một bài toán Những việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các loại bài toán xuất hiện một ccahs tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học Tuy nhiên, những bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn, ở đó các hướng giải quyết là không rõ ràng lắm, và học sinh phải đưa ra quyết định là kiến thức toán nào sẽ phù hợp, và nó có thể được áp dụng một cách hữu ích như thế nào

Hiểu biết toán theo OECD/PISA gắn liền với phạm vi mà các em học sinh 15 tuổi

có thể được xem xét như là các công dân biết phản ánh, hiểu biết và là những khách hàng thông minh Các công dân ở mỗi nước phải đương đầu với vô số nhiệm vụ, liên quan đến số, không gian, xác suất hay những khái niệm toán học khác Ví dụ, các sản phẩm nghe nhìn (báo, tạp chí, truyền hình và internet) được

chứa đầy thông tin dưới dạng bảng, sơ đồ và đồ thị về những vấn đề như thời tiết, kinh tế, y học và thể thao… Các công dân tiếp nhận một cách dồn dập với những thông tin về các vấn đề như “sự nóng lên toàn cầu và hiệu ứng nhà kính”, “phát triển dân số, “tràn dầu và biển”, “sự biến mất của nông thôn” Cuối cùng là các công dân cần để đọc các biểu mẫu, để hiểu ra được các bảng giờ tàu, máy bay và

xe buýt, để thực hiện thành công các giao dịch ngân hàng liên quan đến tiền bạc,

để xác định giá cả tốt nhất ở các nơi mua sắm…

Hiểu biết toán theo OECD/PISA tập trung vào khả năng của những học sinh

15 tuổi (lứa tuổi mà nhiều học sinh đang hoàn thành việc học toán phổ cập chính thức) sử dụng kiến thức toán và hiểu biết của các em để làm cho những vấn đề này có ý nghĩa và tiến hành các nhiệm vụ hệ quả của chúng

Định nghĩa về hiểu biết toán của OECD/PISA là:

Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng

và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của

cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh

Một số chú thích có thể giúp chúng ta sáng tỏ hơn về định nghĩa của phạm vi

Hiểu biết toán…

Thuật ngữ “hiểu biết toán” được chọn để nhấn mạnh kiến thức toán được đặt vào

việc sử dụng có tính vận hành trong vô vàn tình huống khác nhau theo các cách thay đổi, phản ánh và sâu sắc Dĩ nhiên để những việc sử dụng như vậy là có thể phát triển được, nhiều kiến thức và kỹ năng toán học nền tảng được cần đến, và những kỹ năng như vậy tạo thành một phần của định nghĩa của chúng ta về hiểu biết toán Hiểu biết theo nghĩa ngôn ngữ học bao hàm nhưng không được thu hẹp

về một vốn từ vựng phong phú và một kiến thức thực lực về các quy tắc ngữ pháp, ngữ âm, chính tả… Để giao tiếp, con người kết hợp những yếu tố này theo những cách sáng tạo khi đáp ứng mỗi tình huống thực tế mà họ phải đối mặt Cũng như vậy, hiểu biết toán không thể quy gọn về mà phải bao hàm các kiến thức về các thuật ngữ toán học, sự kiện và các quy trình, cũng như các kỹ năng trong việc thể hiện những phép toán nào đó và tiến hành các phương pháp Hiểu biết toán gắn

liền với việc kết hợp sáng tạo các thành phần này trong khi đáp ứng các đòi hỏi đặt ra bởi tình huống bên ngoài

… cuộc sống…

Thuật ngữ “cuộc sống” có nghĩa là môi trường tự nhiên, xã hội và văn hóa mà cá

nhân đó sống trong đó Như Freudenthal (1983) đã khẳng định: “Các khái niệm, các cấu trúc và các ý tưởng toán học của chúng ta được khám phá như là các công

cụ để tổ chức các hiện tượng trong thế giới vật chất, xã hội và tinh thần.”

… để sử dụng và gắn kết với…

Thuật ngữ “để sử dụng và gắn kết với” bao gồm việc dùng toán học và giải quyết

các bài toán, và cũng hàm ý một sự liên quan có tính cá nhân rộng hơn thông qua giao tiếp, liên quan đến, đánh giá và ngay cả đam mê toán học Như thế, định nghĩa về hiểu biết toán bao gồm việc sử dụng có tính vận hành toán học theo một nghĩa hẹp cũng như sự chuẩn bị cho việc học xa hơn, và những yếu tố giải trí và thẩm mỹ

… cuộc sống của cá nhân đó…

Câu “cuộc sống của cá nhân đó”bao gồm hiểu biết toán là khả năng để đặt, thiết lập, giải quyết, và giải thích các vấn đề bằng cách dùng toán học theo nhiều tình huống và bối cảnh khác nhau Bối cảnh thay đổi từ những cái có tính toán học thuần túy đến những bối cảnh mà mới thoạt đầu ta không thấy có cấu trúc toán học nào hiện diện hay rõ ràng, người đặt và người giải quyết vấn đề phải giới thiệu cấu trúc toán học một cách thành công Cũng quan trọng để nhấn mạnh rằng định nghĩa này không chỉ quan tâm đến việc biết toán ở một mức tối thiểu nào đó;

mà còn là việc làm và sử dụng toán trong các tình huống từ đời sống thường ngày đến những tình huống không quen thuộc, từ đơn giản đến phức tạp

Các thái độ và cảm xúc liên quan đến toán học như tự tin, tò mò, các cảm giác về

sở thích và phù hợp, mong ước để làm và hiểu các sự việc, không phải là các thành phần của định nghĩa về hiểu biết toán nhưng dẫu sao chúng vẫn là những đóng góp cho định nghĩa Về nguyên tắc là có thể đạt được hiểu biết toán mà không có những thái độ và cảm xúc như vậy Tuy nhiên, trong thực tế, không có

vẻ như là hiểu biết như thế sẽ được tận dụng và đưa vào thực hành bởi những ai không có tí gì về tự tin, tò mò, các cảm giác thích thú và phù hợp, mong ước để

nhận sự quan trọng của các thái độ và cảm xúc này như là những tương quan của hiểu biết toán Chúng không phải là một bộ phận của đánh giá hiểu biết toán, nhưng sẽ được đề cập trong những thành phần khác của OECD/PISA

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHO KHUÔN KHỔ TOÁN PISA

Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA là nhất quán với lý thuyết có tính tích hợp

và mở rộng về cấu trúc và sử dụng ngôn ngữ như đã được phản ánh trong những

nghiên cứu về hiểu biết văn hóa xã hội gần đây Trong cuốn Mở đầu cho một

Chương trình Hiểu biết (Preamble to a Literacy Program) (1998) của James Gee,

thuật ngữ “hiểu biết” chỉ việc sử dụng ngôn ngữ của loài người Khả năng để đọc, viết, nghe và nói một ngôn ngữ là công cụ quan trọng nhất mà thông qua nó hoạt động xã hội của loài người được dàn xếp Thực ra, mỗi ngôn ngữ của nhân loại và việc sử dụng ngôn ngữ có một thiết kế rắc rối gắn chặt với các cách phức tạp theo nhiều chức năng Để một người là hiểu biết trong một ngôn ngữ suy ra rằng người

đó biết nhiều nguồn thiết kế của ngồn ngữ và có thể sử dụng các nguồn đó cho nhiều chức năng xã hội khác nhau Một cách tương tự, việc xem toán học như là một ngôn ngữ kéo theo học sinh phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan đến bài làm toán (các thuật ngữ, các sự kiện, các dấu hiệu và các ký hiệu, các quy trình và kỹ năng trong việc thể hiện các phép toán nào đó trong những lĩnh vực hẹp của toán học cụ thể, và cấu trúc của những ý tưởng đó trong mỗi lĩnh vực hẹp), và các em cũng phải học để sử dụng các ý tưởng như vậy để giải quyết các vấn đề không quen thuộc trong nhiều tình huống được xác định theo các chức năng xã hội Chú ý rằng, việc thiết kế các yếu tố toán học bao gồm việc biết các thuật ngữ, các quy tắc và khái niệm cơ bản thường được dạy trong trường học, và cũng liên quan đến việc biết cấu trúc của các em hay làm thế nào để dùng những khía cạnh đó để giải quyết vấn đề Những khái niệm trường học này liên quan đến vai trò bên trong của “thiết kế các khía cạnh” và “các chức năng” hỗ trợ cho cơ cấu OECD/PISA có thể được minh họa bởi ví dụ sau đây

Ví dụ Toán 1: Đèn đường

Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên Người ta nên đặt nó ở đâu?

Vấn đề mang tính xã hội này có thể được giải quyết bằng phương án chung được

sử dụng bởi các nhà toán học sau đây, mà cơ sở toán học sẽ xem như là toán học

hóa

Toán học hóa có thể được đặc trưng qua năm khía cạnh sau đây:

1 Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế;

Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên

2 Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;

Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng từ một cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó

3 Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề, tổng quát hóa và hình thức hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thể vấn đề thức tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống);

Vấn đề được chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Giải quyết bài toán; và

Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn

5 Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế

Liên hệ kết quả này với công viên thực tế Phản ánh về lời giải và nhận ra,

ví dụ, nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên Nhận ra rằng vị trí, và kích thước của các cây trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tính hữu ích của lời giải toán học

Những quá trình theo một nghĩa rộng đặc trưng hóa việc các nhà toán học thường làm toán như thế nào, con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và phản ánh nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực tế Thực ra, học để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho tất cả học sinh

Ngày nay và trong tương lai có thể nhìn thấy trước được, mọi quốc gia đều cần đến những công dân có hiểu biết một cách toán học để đối mặt với một xã hội đang thay đổi nhanh và phức tạp Thông tin xâm nhập được đang phát triển một cách cực kỳ nhanh, và các công dân cần phải có khả năng để đương đầu với thông tin này Những tranh cãi mang tính xã hội liên quan đến thông tin có tính số lượng

để ủng hộ cho những tuyên bố Một ví dụ về nhu cầu của hiểu biết toán học là yêu cầu thường xuyên đối với những cá nhân đưa ra các phán xét và đánh giá tính chính xác của các kết luận và khẳng định trong các khảo sát và nghiên cứu Có khả năng để đánh giá tính đúng đắn của những tuyên bố từ các cuộc tranh luận như vậy là một khía cạnh phê phán của một công dân có trách nhiệm

Những bước của quá trình toán học hóa được thảo luận trong cơ cấu này là những thành phần cơ bản của việc dùng toán trong những tình huống phức tạp như vậy Thất bại khi dùng các khái niệm toán học có thể dẫn đến các quyết định cá nhân nhầm lẫn, một sự dễ tin vào khoa học giả tạo, và đưa ra quyết định thiếu hiểu biết trong cuộc sống dân chủ và chuyên nghiệp

Một công dân hiểu biết một cách toán học nhận ra rằng sự thay đổi nhanh chóng như thế nào đang xảy ra và nhu cầu kéo theo là mở ra việc học lâu dài Thích ứng với những thay đổi này theo cách thực tế, linh hoạt và sáng tạo là một điều kiện cần thiết cho một công dân thành công Các kỹ năng học ở nhà trường có lẽ sẽ không đủ để phục vụ cho những nhu cầu của các công dân trong phần lớn cuộc sống trưởng thành của mình

Những đòi hỏi về một công dân có năng lực và phản ánh cũng ảnh hưởng đến lực lượng lao động Người ta không còn mong đợi các người làm việc tiến hành những động tác lập đi lập lại trong suốt cuộc đời của họ Thay vào đó, họ tham gia một cách tích cực vào việc thúc đẩy đầu ra từ nhiều máy móc công nghệ cao, đối

mặt với các “trận lụt” thông tin, và tham gia giải quyết vấn đề theo nhóm Xu

hướng là càng ngày sẽ càng có nhiều nghề nghiệp đòi hỏi khả năng hiểu, giao tiếp,

sử dụng và giải thích các khái niệm và quy trình dựa trên tư duy toán học Những bước của quá trình toán học hóa là những tòa nhà của loại tư duy toán học này Cuối cùng, những công dân có hiểu biết toán cũng phát triển một đánh giá cao về toán như là một ngành học cơ hoạt, luôn thay đổi và phù hợp mà có thể phục vụ các nhu cầu của họ

Vấn đề có tính điều hành được đối mặt bởi OECD/PISA là làm thế nào để đánh giá những học sinh 15 tuổi có hiểu biết toán hay không theo nghĩa khả năng của

các em để toán học hóa Thật không may, trong một đánh giá bị hạn chế bởi thời

gian, việc toán học hóa là khó thực hiện, bởi vì với hầu hết các tình huống thực tế phức tạp thì quá trình đầy đủ từ việc đưa ra bài toán từ thực tế và ngược lại thường liên quan đến sự hợp tác và tìm kiếm các nguồn tư liệu phù hợp, và mất khá nhiều thời gian

Để minh họa việc toán học hóa trong một bài tập giải quyết vấn đề mở rộng, ta xét

ví dụ “Hội chợ” sau đây được thực hiện bởi các em học sinh lớp 8 (Romberg, 1994):

Ví dụ Toán 2: Bảng trò chơi ở Hội chợ

Ở một hội chợ, các người chơi ném các đồng xu vào một bảng được kẻ những ô vuông Nếu một đồng xu dính vào biên, nó bị loại Nếu lăn ra khỏi bảng, nó sẽ được ném lại Nhưng nếu đồng xu nằm lọt vào trong ô vuông, người chơi thắng được đồng xu lại và thêm một phàn thưởng Xác suất để thắng ở trò chơi này là bao nhiêu?

Rõ ràng là bài tập này được đặt trong tình huống thực tế Trước hết, học sinh bắt đầu nhận ra rằng xác suất để thắng phụ thuộc vào kích cỡ tương ứng của các ô vuông và đồng xu (xác định các biến số quan trọng) Kế đến, chuyển dich vấn đề thực tế thành bài toán, học sinh sẽ nhận thấy rằng cso thể tốt hơn là chỉ cần xét mối quan hệ giữa một hình vuông và một hình tròn nhỏ hơn (cắt gọt bớt thực tế) Rồi các em quyết định xây dựng một ví dụ cụ thể (sử dụng phương pháp giải quyết vấn đề “nếu bạn không thể giải được vấn đề đã cho, hãy giải một bài toán

mà bạn có thể”) Chú ý rằng tất cả những việc làm sau đây được tiến hành cho ví

dụ cụ thể này, không phải cho cái bảng chơi và phần thưởng Trong ví dụ này, ta xét bán kính của đồng xu là 3 cm và cạnh của hình vuông là 10 cm Các em đã nhận ra là để thắng, tâm của đồng xu phải cách mỗi cạnh ít nhất 3 cm; nếu không thì cạnh của hình vuông sẽ cắt đồng xu Không gian mẫu là hình vuông cạnh 10

cm, và không gian sự cố thắng là một hình vuông cạnh 4 cm Các mối quan hệ được chỉ ra trong sơ đồ dưới đây

Xác suất thắng thu được từ tỉ số diện tích của hình vuông không biến cố và không

gian mẫu (trong ví dụ p = 16/100) Từ đó học sinh xem xét những đồng xu có kích

cỡ khác, và tổng quát hóa bài toán bằng cách diễn đạt lời giả của mình theo ngôn ngữ đại số Cuối cùng học sinh mở rộng những kết quả của mình cho nhiều tình huống thực hành; các em làm các bảng và thử lại một cách thực nghiệm (làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo tình huống thực tế)

Chú ý rằng mỗi trong năm khía cạnh của toán học hóa đều được thể hiện rõ trong lời giả này Mặc dầu bài toán là phức tạp, tất cả học sinh 15 tuổi nên hiểu được những yếu tố toán học cần thiết để giải bài toán này Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng trong lớp học này học sinh đã cùng nhau làm việc với bài toán này trong ba ngày Một cách lý tưởng, là để đánh giá liệu các học sinh 15 tuổi có thể dùng kiến thức toán tích lũy được để giải các bài toán mà các em gặp phải trong cuộc sống của mình hay không, người ta nên thu thập các thông tin về khả năng của các em trong việc toán học hóa các tình huông sphuwcs tạp như vậy Rõ ràng điều đó là không thực tiễn Thay vào đó, OECD/PISA đã lựa chọn để chuẩn bị các câu hỏi để đánh giá các phần khác nhau của quá trình này Phần sau đây mô tả phương án được chọn để xây dựng các câu hỏi kiểm tra một cách cân đối sao cho một bộ các câu

hỏi này sẽ phủ cả năm khía cạnh của toán học hóa Mục đích là dùng các câu trả

lời cho các câu hỏi này để xác định vị trí của các học sinh theo mức độ thành thạo trong cơ cấu của OECD/PISA về hiểu biết toán

3 TỔ CHỨC CỦA LĨNH VỰC

Khuôn khổ toán học PISA đưa ra lý do và mô tả về một đánh giá lĩnh vực mà các

em học sinh 15 tuổi có thể xử lý toán học theo một cách có cơ sở khi các mặt với các vấn đề thực tế, hay theo một nghĩa rộng hơn, là một đánh giá về học sinh 15 tuổi hiểu biết một cách toán học như thế nào Để mô tả phạm vi được đánh giá rõ ràng hơn, chúng ta cần phân biêt ba thành phần sau:

 các bối cảnh hay các tình huống mà những vấn đề được xác định từ đó,

 nội dung toán học phải được sử dụng để giải quyết các vấn đề, được tổ

chức bằng những ý tưởng bao quát,

 và quan trọng nhất là: các năng lực được kích hoạt để nối kết với cuộc

sống thực tế, ở đó các vấn đề được sản sinh ra, và với toán học các vấn đề được giải quyết

Những thành phần này được trình bày theo dạng trực quan ở sơ đồ dưới đây

Hình 1.2 Các thành phần của miền nhận thức toán học

Phạm vi hiểu biết toán học của một con người chỉ được nhìn thấy thông qua cách người đó sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề Các vấn

đề (và các lời giải của chúng) có thể xảy ra trong nhiều “bối cảnh hay tình huống” tùy vào kinh nghiệm của một cá nhân Các vấn đề trong OECD/PISA được rút ra

từ đời sống thực tế theo hai cách

 Thứ nhất, các vấn đề tồn tại trong một số bối cảnh rộng phù hợp với cuộc sống của học sinh Các bối cảnh lập nên một phần của thế giới hiện thực

và được chỉ ra bởi một hình chữ nhật lớn nằm phía trái bên trên của hình

 Kế đến, trong bối cảnh đó, các vấn đề có một tình huống cụ thể hơn Nó được biểu thị bằng một hình chữ nhật bên trong hình chữ nhật các bối cảnh

Trong các ví dụ ở trên, các bối cảnh là cộng đồng ở địa phương,

và các tình huống là đèn điện ở trong một công viên (ví dụ 1), và bảng chơi ở hội chợ (ví dụ 2)

Thành phần thứ hai của thế giới hiện thực có thể xem khi nghĩ về hiểu biết toán là nội dung toán học mà một người nào đó có thể sử dụng để giải quyết một vấn đề

Nội dung toán học có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các dạng vấn

đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày, và chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người

Với những mục đích của đánh giá PISA, những nội dung đó được goi là “các ý

tưởng bao quát”: số lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và sự không chắc chắn Điều đó là một cái gì khác với một tiếp cận về nội dung quen

thuộc với quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường Tuy nhiên các ý tưởng bao quát bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà học sinh dự kiến phải được học Các ý tưởng bao quát được trình bày trong hình chữ nhật lớn ở phía phải bên trên của sơ đồ Từ các ý tưởng bao quát người ta rút ra nội dung cần dùng để giải quyết vấn đề Nội dung được biểu thị bởi hình chữ nhật nhỏ trong hình chữ nhật các ý tưởng bao quát

Các mũi tên đi từ “tình huống” và “nội dung” đến vấn đề chỉ ra cách làm thế nào thế giới hiện thực (bao gồm toán học) tạo nên một vấn đề

Bài toán công viên (ví dụ 1) gắn liền với kiến thức hình học có liên quan đến các ý tưởng không gian và hình, còn vấn đề hội chợ (ví dụ 2) gắn liền với việc xử lý sự không chắn chắn và áp dụng kiến thức của xác suất

Những quá trình toán học mà học sinh áp dụng khi các em nổ lực giải quyết các

vấn đề dùng được hiểu là các năng lực toán học Ba cụm năng lực gói gọn các quá

trình nhận thức khác nhau cần để giải quyết nhiều dạng vấn đề Những cụm này phản ánh cách các quá trình toán học tiểu biểu được huy động khi giải quyết các vấn đề nảy sinh khi học sinh tương tác với thế giới của mình và các cụm này sẽ được mô tả chi tiết ở các phần sau

Như vậy, thành phần quá trình của khuôn khổ này được trình bày trước hết ở hình chữ nhật lớn, thể hiện các năng lực toán học chung, còn hình chữ nhật nhỏ chỉ ba cụm năng lực Những năng lực cụ thể cần thiết để giải quyết một vấn đề liên quan đến bản chất của vấn đề, và các năng lực được huy động sẽ được phản ánh trong lời giải được tìm thấy Sự tương tác này được thể hiện bằng mũi tên từ cac scumj năng lực đến vấn đề và lời giải của nó

Mũi tên còn lại đi từ các cụm năng lực đến định dạng bài toán Các năng lực được huy động trong giải quyết một vấn đề được liên hệ với dạng của bài toán và những đòi hỏi chính xác của nó

Chúng ta nên chú ý rằng ba thành phần vừa được trình bày về bản chất là khác nhau Trong khi các bối cảnh và tình huống xác định lĩnh vực của các vấn đề thực

tế, các ý tưởng bao quát phản ánh cách chúng ta xem xét thế giới bằng “lăng kính toán học”, các năng lực là hạt nhân của hiểu biết toán Chỉ khi các năng lực xác định được huy động bởi học sinh thì các em mới có thể tự mình giải quyết các vấn

đề đã đặt ra Đánh giá hiểu biết toán của học sinh bao gồm việc đánh giá lĩnh vực

gì mà học sinh có được các năng lực toán để có thể áp dụng một cách hiệu quả trong các bối cảnh có vấn đề

Trong những phần sau đây, ba thành phần này được mô tả chi tiết hơn

3.1 Các bối cảnh và các tình huống

Một khía cạnh quan trọng của hiểu biết toán học là sự gắn kết với toán học: dùng

và làm toán trong nhiều bối cảnh khác nhau Người ta nhận ra rằng trong việc đương đầu với các vấn đề dẫn đến một đối xử toán học, việc lựa chọn các phương pháp và biểu diễn toán học thường phụ thuộc vào các bối cảnh mà các vấn đề được thể hiện

Các bối cảnh là một phần của thế giới của học sinh trong các nhiệm vụ được xay

ra Nó được đặt ở một khoảng cách nhất định với các học sinh Với OECD/PISA,

bối cảnh gần nhất là cuộc sống cá nhân của học sinh đó; kế đến là cuộc sống nhà

trường, cuộc sống nghề nghiệp và thời gian rảng rỗi, tuân thủ theo cộng đồng và

xã hội địa phương khi tham gia vào cuộc sống thường ngày Xa rời nhất là các bối cảnh khoa học Bốn loại bối cảnh sẽ được xác định và sử dụng cho các vấn đề được giải quyết: cá nhân, giáo dục / nghề nghiệp, công chúng và khoa học

Tình huống của một câu hỏi là sự thể hiện cụ thể trong một bối cảnh Nó bao gồm tất cả những yếu tố chi tiết được sử dụng để thiết lập vấn đề

Hãy xét ví dụ sau

Ví dụ Toán 3: TÀI KHOẢN TIẾT KIỆM

1000 zed được ký gửi ở một tài khoản tiết kiệm ở ngân hàng Có hai lựa chọn: một có thể nhận lãi suất 4% hằng năm hay nhận ngay một phần thưởng 10 zed của ngân hàng và lãi suất 3% hằng năm Lựa chọn nào là tốt hơn sau một năm? Sau hai năm?

Bối cảnh của câu hỏi này là “tài chính và ngân hàng”, đó là một bối cảnh từ xã hội

và cộng đồng địa phương mà OECD/PISA phân loại là “công chúng” Tình huống của câu hỏi liên quan đến tiền tệ (đồng zed) và lãi suất cho một tài khoản tiết kiệm

Chú ý rằng loại vấn đề này có thể là một phần của kinh nghiệm hay thực hành

thực sự của người tham gia vào cuộc sống thực tế Nó đưa ra một tình huống đích

thực để sử dụng toán học, do việc áp dụng toán học trong tình huống này có thể

được dẫn dắt trực tiếp đến việc giải quyết vấn đề Điều này có thể tương phản với các bài toán thường thấy ở các sách toán ở trường học, ở đó mục đích chính là thực hành toán học có liên quan hơn là sử dụng toán học để giải quyết một vấn đề

thực tế Tính đích thực này trong việc sử dụng toán là một khía cạnh quan trọng

của việc thiết kế và phân tích các câu hỏi của OECD/PISA, nó liên quan chặt chẽ với định nghĩa hiểu biết toán

Chúng ta cũng nên chú ý rằng cũng có những yếu tố hư cấu của vấn đề - đòng tiền zed là không có thật Yếu tố hư cấu này được giới thiệu để bảo đảm học sinh từ các quốc gia nhất định không phải chịu những bất lợi không công bằng

Bối cảnh và tình huống của một vấn đề có thể được xem xét theo khoảng cách giữa vấn đề và toán học có liên quan Nếu một nhiệm vụ chỉ liên quan đến các đối tượng toán học, các ký hiệu và cấu trúc, và không đả động gì đến các yếu tố bên ngoài thế giới toán học, tình huống của nhiệm vụ được xem như là nội tại toán học và nhiệm vụ đó sẽ được phân loại là tình huống “khoa học” Những loại tình huống như vậy sẽ được đưa vào OECD/PISA một cách hạn chế, ở đó sự liên kết mật thiết giữa vấn đề và toán học cơ bản được thể hiện tường minh trong tình

hằng ngày của học sinh không được phát biểu một cách tường minh dưới dạng toán học Các vấn đề đó chỉ các đối tượng thực tế Những tình huống nhiệm vụ được gọi là “bên ngoài toán học”, và học sinh phải chuyển thể các tình huống vấn

đề này thành một dạng toán học Nói chung, OECD/PISA chú trọng vào các nhiệm vụ có thể được gắn liền với một vài bối cảnh thực tế và thu được một tình huống đích thực để sử dụng toán có ảnh hưởng đến lời giải cách giải thích của nó Chú ý rằng điều này sẽ không ngăn chặn việc bao gồm các nhiệm vụ có tình huống giả định, cũng các tình huống có một số yếu tố thực tế Ví dụ 4 chỉ ra một vấn đề với tình huống giả định “bên ngoài toán học”

Ví dụ Toán 4: HỆ THỐNG TIỀN TỆ

Liệu có thể thiết lập một hệ thống tiền tệ mà chỉ dựa trên các loại tiền thấp nhất là 3 và 5? Một cách cụ thể hơn, các số tiền nào có thể đạt được dựa trên cơ sở đó? Liệu hệ thống như vậy sẽ được ưa chuộng?

Vấn đề này đưa đến chất lượng của nó là không cơ bản vì tính gần gũi với thế giới thực, nhưng nó lại bắt nguồn từ sự thích thú toán học và kêu gọi các năng lực liên quan đến hiểu biết toán Việc sử dụng toán học để giải thích các tình huông sgiar định và khám phá các hệ thống hay bối cảnh chính yếu, ngay cả khi chúng dường như không thể xảy ra trong hiện thực là một trong những khía cạnh mạnh nhất của

nó Một vấn đề như vậy được phân loại thuộc về tình huống “khoa học”

Tóm lại, OECD/PISA đặt cái giá trị nhất của nó vào các nhiệm vụ có thể được gắn kết với nhiều bối cảnh thực tế, và có một tình huống ở đó việc dùng toán để giải quyết vấn đề là đích thực Các vấn đề với tình huống bên ngoài toán học mà ảnh hưởng đến lời giải và cách lý giải của nó được chọn lựa như là một cỗ máy để đánh giá hiểu biết toán, bởi vì những vấn đề này hầu hết giống với những gì mà chúng ta gặp phải trong cuộc sống hằng ngày

3.2 Nội dung toán – Bốn “ý tưởng bao quát”

Các khái niệm, cấu trúc và ý tưởng toán học được khám phá như là các công cụ để

tổ chức các hiện tượng của thế giới tự nhiên, xã hội và trí tuệ Ở trường học, chương trình toán được tổ chức một cách lô-gic xoay quanh các mạch nội dung (như: số học, đại số, hình học) và các chủ đề chi tiết phản ánh các ngành học đã được thiết lập vững chắc về tư duy toán học, và chương trình đó khuyến khích sự

phát triển một chương trình dạy có cấu trúc Tuy nhiên, trong thế giới hiện thực, các hiện tượng dẫn đến việc xử lý toán học thường là không được tổ chức một cách quá lô-gic Rất hiếm có các vấn đề nảy sinh theo các cách và tình huống mà việc hiểu và giải chúng co stheer đạt được mà chỉ cần một mạch kiến thức duy nhất Vấn đề “hội chợ” mô tả ở Ví dụ 2 đưa ra một ví dụ về một vấn đề dẫn đến nhiều lĩnh vực toán học

Do mục đích của OECD/PISA là đánh giá năng lực của học sinh trong giải quyết các vấn đề thực tế, phương án của chúng ta là đi xác định miền nội dung sẽ được đánh giá bằng cách dùng một tiếp cận có tính hiện tượng để mô tả các khái niệm, cấu trúc hay ý tưởng toán học Điều này có nghĩa là việc mô tả nội dung trong mối quan hệ với các hiện tượng và các loại vấn đề được tạo nên Tiếp cận này bảo đảm một trọng tâm vào đánh giá nhất quán với định nghĩa phạm vi, chứ không phủ được các mảng nội dung mà có thể bao gồm những gì tiêu biểu trong các đánh giá toán khác và trong chương trình toán quốc gia

Một cơ cấu có tính hiện tượng về nội dung toán là không mới hai tác phẩm nổi

tiếng: Trên vai của những người khổng lồ: Những tiếp cận mới về hiểu biết toán (Steen, 1990) và Toán học: Khoa học của các quy luật (Devlin, 1994) đã trình bày

toán học theo cách như vậy Tuy nhiên, có nhiều cách để gán nhãn cho tiếp cận và đặt tên cho các phạm trù có tính hiện tượng khác nhau được sử dụng Những đề xuất về tên gọi cho tiếp cận này bao gồm “các ý tưởng sâu sắc”, “các ý tưởng lớn” hay “các ý tưởng cơ bản”; “các khái niệm bao quát”, “các ý tưởng bao quát”, “các khái niệm cơ bản” hay “các miền chính yếu”; hay “có vấn đề” Trong khuôn khổ của OECD/PISA 2003, tên gọi “các ý tưởng bao quát” được sử dụng

Có thể có nhiều ý tưởng toán học bao quát Chỉ riêng những tác phẩm đã đề cập ở trên đã chỉ đến quy luật, thứ nguyên, số lượng, không chắc chắn, hình, thay đổi, đếm, suy luận và giao tiếp, chuyển động và thay đổi, vị trí, đối xứng và cân đối Cái nào sẽ được sử dụng trong khuôn khổ đánh giá toán của OECD/PISA? Do mục đích trọng tâm của phạm vi hiểu biết toán, điều quan trọng là phải chọn lựa các lĩnh vực vấn đề có cội nguồn từ những phát triển mang tính lịch sử của toán học, nó bao gồm nhiều vấn đề cơ bản và sâu sắc của toán học, và cũng thể hiện hay bao gồm các mạch chương trình toán theo một cách chấp nhận được

Trong nhiều thế kỷ, toán học nổi bật như là một khoa học về số, cùng với hình học không gian tương đối Giai đoạn những năm 500 TCN ở Mesopotamia, Ả Rập và Trung Quốc người ta thấy nguồn gốc về khái niệm số Các phép toán về số và đại lượng , bao gồm các đại lượng thu được từ những đo đạc hình học đã được phát triển Từ năm 500 TCN đến năm 300 SCN là giai đoạn của toán học Hy lạp, nó chú trọng chủ yếu vào việc nghiên cứu hình học như một lý thuyết tiên đề Những người Hy Lạp đã đảm nhận trách nhiệm xác định lại toán học như là một khoa học hợp nhất về số và hình Thay đổi chính kế tiếp xảy ra từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, nó đã thiết lập nên đại số như là một ngành của toán học Điều đó đã mở ra việc nghiên cứu về các mối quan hệ Với những phát minh độc lập về phép tính vi tích phân (nghiên cứu về thay đổi, sự phát triển và giới hạn) bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ 17, toán học đã trở thành một nghiên cứu được tích hợp về số, hình, thay đổi và các mối quan hệ

Hai thế kỷ 19 và 20 người ta thấy các bùng nổ của tri thức toán học, những hiện tượng và vấn đề có thể được tiếp cận bằng công cụ toán học Những điều đó bao gồm tính ngẫu nhiên và tính không xác định Những phát triển này làm cho việc trả lời câu hỏi “Toán học là gì?” ngày càng khó trả lời Vào thời điểm của thế kỷ mới, nhiều người thấy toán học như là một khoa học của các quy luật (theo nghĩa tổng quát) Như vậy, một lựa chọn về các ý tưởng bao quát có thể được thực hiện

sao cho nó phản ánh những phát triển này: các quy luật về đại lượng, các quy luật

về không gian và hình, các quy luật về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các

khái niệm trung tâm và chính yếu cho bất kỳ mô tả nào về toán học, và chúng tạo nên “trái tim” của bất kỳ một chương trình nào ở trung học, cao đẳng hay đại học Nhưng hiểu biết toán có hàm ý rộng hơn Việc xử lý sự không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và toán học là chính yếu Với lý do này, các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê sản sinh ra ý tưởng bao quát thứ tư: tính không chắc chắn

Như vậy, danh sách các ý tưởng bao quát sau đây được sử dụng trong OECD/PISA nhằm đáp ứng những đòi hỏi về phát triển có tính lích sử, phủ được phạm vi và phản ánh các mạch kiến thức toán chính của chương trình ở nhà trường

 đại lượng;

 không gian và hình;

 thay đổi và các mối quan hệ;

 tính không chắc chắn

Với bốn ý tưởng này, nội dung toán học được tổ chức thành một số các lĩnh vực

đủ để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình, nhưng đồng thời một số đủ nhỏ để tránh một sự phân chia quá chi tiết mà có thể đi ngược lại trọng tâm vào các vấn đề dựa trên các bối cảnh thực

Khái niệm cơ bản về một ý tưởng bao quát là một tập bao gồm những hiện tượng

và khái niệm có ý nghĩa và có thể được gắn kết trong và xuyên suốt một số lớn các bối cảnh khác nhau Về bản chất, mỗi ý tưởng bao quát có thể được thừa nhận như là một khái niệm chung gắn liền với một số lĩnh vực nội dung được khái quát hóa Điều đó dẫn đến việc chúng ta không thể phân chia rạch ròi các ý tưởng bao quát với nhau Hơn nữa, mỗi ý tưởng đại diện cho một quan điểm nào đó mà có thể được hiểu là hạt nhân hay trọng tâm, và vùng mờ nhạt bên ngoài cho phép giao với các ý tưởng bao quát khác Về nguyên tắc, bất kỳ ý tưởng bao quát nào cũng giao với các ý tưởng bao quát khác

Bốn ý tưởng bao quát được tóm tắt trong phần sau và được thảo luận đầy đủ hơn sau này

ĐẠI LƯỢNG

Ý tưởng bao quát này tập trung vào nhu cầu đại lượng hóa để tổ chức cuộc sống Những khía cạnh quan trọng bao gồm một hiểu biết về kích cỡ tương ứng, việc nhận ra một quy luật về số, và việc sử dụng các số để trình bày các đại lượng và các thuộc tính số của các đối tượng trong thế giới thực tiễn (đếm và đo đạc) Hơn

nữa, đại lượng liên quan đến quá trình và hiểu về số được trình bày cho chúng ta

theo nhiều cách

Một khía cạnh quan trọng của việc quan tâm đến đại lượng là tư duy định lượng Các thành phần chính của tư duy định lượng là ý nghĩa số, biểu diễn các số theo nhiều cách khác nhau, hiểu ý nghĩa của các phép toán, có một cảm giác về tầm quan trọng của số, các tính toán tế nhị một cách toán học, các tính nhẩm và ước lượng

KHÔNG GIAN VÀ HÌNH

Các quy luật được thâm nhập ở mọi nơi: trong ngôn ngữ nói, âm nhạc, video, giao thông, xây dựng nhà cửa và nghệ thuật Các hình được xem như là các quy luật: nhà cửa, nhà cơ quan, cầu cống, sao biển, bông tuyết, kế hoạch thành phố, giao lộ, tinh thể và bóng hình Các quy luật hình học có thể phục vụ như là những mô hình đơn giản tương đối của các loại hiện tượng, và việc nghiên cứu là có thể và là mong muốn ở mọi trình độ (Grunbaum, 1985)

Việc nghiên cứu về hình và các phép dựng đòi hỏi xem xét các cái giống nhau và khác nhau khi phân tích các thành phần của dạng và nhận ra các hình trong những biểu diễn khác nhau và trong các không gian khác chiều Viecj nghiên cứu các hình có nối kết chặt chẽ với khái niệm về “nắm bắt không gian” Điều đó có nghĩa

là học để biết, để khám phá và làm chủ, để sống, thở và di chuyển với hiểu biết nhiều hơn về không gian chúng ta đang sống (Freudenthal, 1973)

Để đạt được điều đó đòi hỏi phải hiểu các tính chất của các đối tượng và các vị trí tương đối của chúng Chúng ta phải cảnh giác về việc chúng ta thấy các vật như thế nào và tại sao chúng ta thấy chúng như chúng ta đang thấy Chúng ta phải học

để điều khiển không gian, các phép dựng hình và các hình Điều đó có nghĩa là việc hiểu mối quan hệ giữa các hình và các hình ảnh hay các biểu diễn ảo, chẳng hạn như giữa một thành phố thực và các ảnh hay các bản đồ của cùng một thành phố Nó bao gồm việc hiểu các đối tượng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn như thế nào trong không gian hai chiều, các bóng được thành lập như thế nào và phải được lý giải, theo quan điểm nào và nó vận hành ra sao

THAY ĐỔI VÀ CÁC MỐI QUAN HỆ

Mỗi hiện tượng tự nhiên là một sự biểu hiện của thay đổi, và thế giới chung quanh chúng ta thể hiện vô số các mối quan hệ thường xuyên và tạm thời giữa các hiện tượng Ví dụ là các tổ chức sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình của các mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết

và các chỉ số chứng khoán Một số trong các quá trình thay đổi này liên quan đến

và có thể được mô tả hay được mô hình hóa bởi những hàm số trực tiếp: tuyến tính, mũ, tuần hoàn hay logistic, có thể là rời rạc hay liên tục Nhưng nhiều mối quan hệ lại rơi vào những phạm trù khác nhau, và việc phân tích dữ liệu thường là chính yếu để xác định loại quan hệ mà nó đại diện Các mối quan hệ toán học

thường lấy hình của các phương trình hay bất phương trình, nhưng các quan hệ có bản chất chung hơn (như: tương đương, chia được, bao hàm, để đề cập nhưng ít) cũng có thể xuất hiện

Tư duy hàm, đó là tư duy theo nghĩa của và về các mối quan hệ là một trong những mục đích có tính nguyên tắc cơ bản của dạy toán (MAA, 1923) Các mối quan hệ có thể cho ta nhiều biểu diễn khác nhau, bao gồm ký hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình Các biểu diễn khác nhau có thể phục vụ cho những mục đích khác nhau và có những tính chất khác nhau Do đó sự chuyển dịch giữa các biểu diễn khác nhau thường là chìa khóa quan trọng trong việc xử lý các bối cảnh hay các nhiệm vụ

TÍNH KHÔNG CHẮC CHẮN

“Xã hội thông tin” hiện nay cung cấp một sự phong phú về thông tin, thường được trình bày chính xác, khoa học và với một mức độ chắc chắn Tuy nhiên, trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường gặp những kết quả bầu cử không chắc chắn, những cái cầu bị sập, suy thoái của thị trường chứng khoán, dự báo thời tiết không đáng tin cậy, dự đoán sai về phát triển dân số, những mô hình kinh tế không hiệu quả, và những biểu hiện khác của tính không chắc chắn trong thế giưois của chúng ta

Tính không chắc chắn được dự định để đè xuất hai chủ đề liên quan: dữ liệu và cơ

hội Những hiện tượng này tương ứng với các chủ đề toán trong xác suất và thống

kê Những kiến nghị gần đây liên quan đến chương trình toán nhà trường đều được nhất trí cao về việc thóng kê và xác suất nên chiếm một vị trí nổi bật hơn trong chương trình hơn là trường hợp trong quá khứ Hội đồng Tìm hiểu Dạy Toán

ở Trường học, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM, 2000) Những khái niệm và hoạt động toán quan trọng trong lĩnh vực này là thu thập dữ liệu, phân tích dữ liệu và trình bày / trực quan hóa, xác suất và đưa ra kết luận Bây giờ chúng ta trở lại khía cạnh quan trọng nhất của khuôn khổ toán học: Một thảo luận về các năng lực mà học sinh có được để nổ lực giải quyết các vấn đề Những điều này được thảo luận dưới một tiêu đề rộng là các quá trình toán học

3.3 CÁC QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC

Toán học hóa

OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”

Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình,

“các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Nưng mục đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một

số trường hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678)

Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa Những bước này được chỉ ra ở Hình 1.3

Hình 1.3 Quy trình toán học hóa (1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp; (3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế;

(4) Giải quyết bài toán; và

(5) Làm cho lời giả toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

Như sơ đồ ở Hình 1.3 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

 biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

 hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

 tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

 nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán, (de Lange, 1987, tr 43)

Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học Học sinh sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy, thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết Các em sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988) Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:

 dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

 dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

 hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; kết hợp và tích hợp các mô hình;

 lập luận;

 tổng quát hóa

Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quá trình, Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là:

 hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

 phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

 giao tiếp quá trình đó và lời giải;

 phê phán mô hình và các hạn chế của nó

Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1.3 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời gaiir thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc

Các năng lực

Phần trên tập trung vào các khái niệm và quy trình chính liên quan đến toán học hóa Một cá nhân phải tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối cảnh, các tình huống bên trong hay bên ngoài toán học, và những ý tưởng bao quát cần có được một số các năng lực toán học Mỗi năng lực này có thể đạt được

ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau, theo cả hai kỹ năng cụ thể và mức độ thành thạo đòi hỏi Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông Những thiết lập tương tự có thể được tìm thấy trong những công trình của những người khác (như được đề cập đến trong Neubrand và những người khác, 2001) Một số thuật ngữ được sử dụng, tuy nhiên cách dùng khác nhau với những tác giả khác nhau

1 Tư duy và suy luận Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng

toán (“Có hay không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm ?”); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho

2 Lập luận Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì

và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận

về giải quyết vấn đè bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra,

và tại sao?); tạo nên và trình bày các lập luận toán

3 Giao tiếp Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về

những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết,

hiểu được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy

4 Mô hình hóa Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh

được mô hinh hóa; chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa

5 Đặt vấn đề và giải Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác

điinhj những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”,

“ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách

6 Biểu diễn Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải

thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh và mục đích

7 Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán Điều

này liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức, và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh

đề và biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính

8 Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ Điều này liên quan đến việc biết

về và có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó

PISA không có ý định phát triển các câu hỏi kiểm tra để đánh giá các năng lực trên một cách riêng lẻ Có phần giao nhau đáng quan tâm giữa chúng với nhau, và khi sử dụng toán, người ta thường huy động đồng thời nhiều năng lực, như thế bất

kỳ một nổ lực xâm nhập vào một năng lực riêng lẻ có vẻ như đó là các nhiệm vụ