chuyên đề tổ hợp×bài giảng chuyên đề tổ hợp×chuyên đề tổ hợp luyện thi đại học×chuyên đề tổ hợp đầy đủ×chuyên đề tổ hợp thi hsg×chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11× chuyên đề tổ hợp×bài giảng chuyên đề tổ hợp×chuyên đề tổ hợp luyện thi đại học×chuyên đề tổ hợp đầy đủ×chuyên đề tổ hợp thi hsg×chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11× chuyên đề tổ hợp×bài giảng chuyên đề tổ hợp×chuyên đề tổ hợp luyện thi đại học×chuyên đề tổ hợp đầy đủ×chuyên đề tổ hợp thi hsg×chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11×
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP VÀ CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC VẤN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN CHỈNH HỢP DẠNG : Tập hợp không chứa chữ số Bài : Cho tập hợp A = {1 ; ; ; ; ; ; } a) Có số gồm có chữ số đôi khác lấy từ tập A ? b) Từ tập A lập số chẵn có chữ số đôi khác ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 : a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ a4 ≠ a5 Năm chữ số lấy từ tập A , đôi khác xếp theo thứ tự định nên số n cần tìm A7 7! A75 = = 2520 số (7 − 5)! b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 a Số n chẵn nên a6 ∈ { , , } ⇒ a6 có ba cách chọn Chọn chữ số lại từ tập có – a6 = phần tử A6 Ghép chữ số với chữ số a6 số n cần tìm Vậy : Theo qui tắc nhân ta số số cần tìm : A6 = 2160 số Bài : Cho tập hợp A = { ; ; ; ; ; ; ; ; } Từ tập A lập số có chữ số đôi khác cho có chữ số lẻ chữ số chẵn ? Lời giải : Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 a Chọn ba chữ số chẵn có A43 cách Chọn ba chữ số lẻ có A5 cách Vậy có : A43 A5 = 1440 số cần tìm Bài : Cho tập hợp A = {1 ; ; ; ; ; ; ; ; } a) Từ tập A lập số lẻ gồm có chữ số đôi khác : b) Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác cho chữ số đầu lẻ , chữ số cuối chẵn ? c) Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác cho chữ số đầu chữ số cuối chẵn ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 a Số n lẻ nên a6 ∈ { , , , , } ⇒ a6 có năm cách chọn Chọn chữ số lại tập có phần tử A8 Vậy có : A8 = 33600 số cần tìm b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 a Số n có a6 chẵn ⇒ a6 ∈ { ; ; ; } a1 lẻ ⇒ a1 ∈ { ; ; ; ; 9} a6 có cách chọn a1 có cách chọn Chọn chữ số lại tập có phần tử A7 Vậy có : A7 = 16800 số cần tìm c) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 Số n có a1 a5 chẵn ⇒ a1 , a5 ∈ { ; ; ; } a1 có cách chọn a5 có cách chọn Chọn chữ số lại tập phần tử : A7 Vậy có : 4.3 A7 Bài : Cho tập hợp A = {1 ; ; ; ; ; } a) Từ tập A lập số gồm có chữ số khác không bắt đầu 345 ? b) Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần ? c) Từ tập A lập số chẵn gồm chữ số đôi khác cho chữ số thứ có mặt lần ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 Số có chữ số : A6 = 720 số Số chữ số bắt đầu 345a a A3 = số Vậy số số cần tìm : 720 – = 714 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a Chữ số có mặt lần nên có vị trí cho chữ số Khi chọn vị trí cho chữ số ta xem chữ số số n nhận chữ số , nên ta cần chọn ba chữ số số cách chọn A5 Vậy có : A5 = 240 số cần tìm c) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a Số n chẵn ⇒ a4 ∈ { ; ; } TH1 : a4 = ⇒ số cách chọn ba chữ số lại : A5 = 60 TH2 : a4 ≠ ⇒ a4 có hai cách chọn Có ba vị trí cho chữ số Có A42 cách chọn hai chữ số lại ⇒ Có 2.3 A4 = 72 số Vậy : Có tất : 60 + 72 = 132 số cần tìm Bài : Cho tập hợp A = {1 ; ; ; ; ;6 ; ; }.Từ tập A lập số lẻ gồm chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần ? Lời giải : Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 TH1 : a5 = : chọn chữ số lại có : A7 cách TH2 : a5 ≠ : a5 có ba cách có vị trí cho chữ số 3 có A6 cách chọn ba chữ số lại ⇒ Có 3.4 A6 số Vậy : Có tất : A7 + 3.4 A6 = 2280 số cần tìm Dạng 2: Tập hợp ban đầu có chứa chữ số Bài : Cho tập hợp A = {0 , , , , , , }.Từ tập A lập : a) Bao nhiêu số có chữ số đôi khác cho số chẵn ? b) Bao nhiêu số có chữ số đôi khác cho số lẻ ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 , a1, a2 , a3 , a4 ∈ A , a5 ∈ {0 ; ; ; }, a1≠ - Trường hợp : a5 = : Số cách chọn chữ số lại A6 ⇒ Số số có dạng a1 a a3 a A6 - Trường hợp : a5 ≠ : a5 có cách chọn a1≠ a1 ≠ a5 ; a1 có cách chọn Các số lại có cách chọn A5 ⇒ Số số có dạng 3.5 A5 Vậy : Số số cần tìm : A6 + 3.5 A5 = 1260 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 , a1, a2 , a3 , a4 ∈ A , a5 ∈ {1 ; }, a1≠ a5 có cách chọn a1≠ a1 ≠ a5 ; a1 có cách chọn Các số lại có cách chọn A5 Vậy : Số số cần tìm : 2.5 A5 = 600 số Bài : Cho tập hợp A = {0 , , , , , } Từ tập A lập a) Bao nhiêu số có chữ số đôi khác chia hết cho ? b) Bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a1 , a2 , a3 ∈ A , a4 ∈ {0 ; }, a1≠ - Trường hợp : a4 = : Số chữ số lại có số cách chọn A5 cách ⇒ Số số có dạng A5 số - Trường hợp : a4 = : a1≠ a1≠ a4 ; a1 có cách chọn Số số lại có số cách chọn A42 cách ⇒ Số số có dạng A4 Vậy : Số số cần tìm A5 + A42 = 108 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a1 , a2 , a3 ∈ A , a4 ∈ {0 ; 2; ; }, a1≠ - Trường hợp : a4 = : Số cách chọn chữ số lại A5 cách - ⇒ Số số có dạng A5 Trường hợp : a4 ≠ : a4 có cách chọn a1≠ a1≠ a4 ; a1 có cách chọn Số số lại có số cách chọn A42 cách ⇒ Số số có dạng 3.4 A4 số Vậy : Số số cần tìm : A5 + 3.4 A42 = 204 số Bài : Cho tập hợp A = {0 , , , , , , , }.Từ tập A lập số có : a) Năm chữ số đôi khác chia hết cho ? b) Sáu chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 ∈ A , a5 ∈ {0;2;4;6} ; a1≠ - Trường hợp : a5 = : Số chữ số lại có số cách chọn A7 ⇒ Số số có dạng A7 - Trường hợp : a5 ≠ : a5 có cách chọn a1 ≠ a1 ≠ a5 ; a1 có cách chọn Số số lại có số cách chọn A6 ⇒ Số số có dạng 3.6 A6 Vậy : Số số cần tìm A7 + 3.6 A6 = 3000 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a5 a 5 - Trường hợp : a1 = : Chọn chữ số lại có A7 ⇒ Có A7 số - Trường hợp : a1 ≠ : a1 có cách chọn (a1 ≠ ; a1 ≠ 0) Có vị trí cho chữ số Chọn chữ số lại có A6 cách ⇒ Số số có dạng 6.2 A6 số Vậy : Số số cần tìm : A7 + 6.5 A6 = 13320 số Bài 4: Cho tập hợp A = {0 , , , , , , , }.Từ tập A lập số : a) Có chữ số khác lớn 50000 ? b) Có chữ số khác số chẵn ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 Số n > 50000 nên a1 ∈ {5 ; 7; ; } a1 có cách chọn Chọn chữ số lại có A7 ⇒ Có A7 = 3360 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 Số n chẵn nên a5 ∈ { ; ; ; } - Trường hợp : a5 = : Chọn chữ số lại có A7 cách - ⇒ Có A7 số Trường hợp : a5 ≠ : a5 có cách chọn a1 ≠ ; a1 ≠ a5 ; a1 có cách chọn Chọn chữ số lại có A6 cách ⇒ Có 3.6 A6 số 4 Vậy : Có tất : A7 + 3.6 A6 = 3000 số Bài :Cho tập hợp A = {0 , , , , , 5, , }.Từ tập A lập số : a) Có chữ số khác chữ số có mặt lần ? b) Có chữ số cho số lẻ , chữ số đứng vị trí thứ chia hết cho ? Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a a a5 - 4 Trường hợp : a1 = : Chọn chữ số lại có A7 cách ⇒ Có A7 số Trường hợp : a1 ≠ : a1 có cách chọn (a1 ≠ ; a1 ≠ 0) Có vị trí cho chữ số Chọn chữ số lại có A6 cách ⇒ Có 6.7 A6 số Vậy : Có tất : A7 + 6.4 A6 = 3720 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a5 a Số n có Lâmnh chất : + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; ; ; } + a3 chia hết cho ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} - Trường hợp : a3 = : a6 có cách a1 có cách Chọn chữ số lại có A5 cách - ⇒ Có 4.6 A5 số Trường hợp : a3 = a6 có cách chọn a1 có cách (a1 ≠ ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6) Chọn chữ số lại có A5 cách ⇒ Có 4.5 A5 số 3 Vậy : 4.6 A5 + 4.5 A5 = 2640 số Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2001 – 2002) Có số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi khác ? Lời giải : A = { ; ; ; ; ; ; ; ; ; } Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a Số n chẵn ⇒ a4 ∈ {0 ; ; ; ; } 3 - Trường hợp : a4 = : Chọn chữ số lại có số cách chọn A9 ⇒ có A9 số - Trường hợp : a4 ≠ : a4 có cách chọn a1 có cách chọn (a1 ≠ ; a1 ≠ a4) Chọn chữ số lại có số cách chọn A8 ⇒ Có 4.8 A8 số Vậy : Có tất : A9 + 4.8 A8 = 2296 số Bài : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2005 – 2006 sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế ) Có số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác đôi ? Lời giải : A = { ; ; ; ; ; ; ; ; ; } Gọi số cần tìm n = a1 a a Số n chẵn ⇒ a3 ∈ {0 ; ; ; ; } 2 - Trường hợp : a3 = : Chọn chữ số lại có số cách chọn A9 ⇒ Có A9 số - Trường hợp : a3 ≠ : a3 có cách chọn a1 có cách chọn (a1 ≠ ; a1 ≠ a3 ) a2 có cách chọn ⇒ Có 4.8.8 số Vậy : Có tất : A9 + 4.8.8 = 328 số VẤN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN TỔ HỢP DẠNG : Bài toán chọn người Bài : Trong ban chấp hành đoàn gồm người , cần chọn người vào ban thường vụ Nếu phân biệt chức vụ người ban thường vụ có cách chọn Lời giải : Số cách chọn người vào ban thường vụ ban chấp hành đoàn gồm người : C = 35 cách Bài : Một thi có 15 người tham dự , giả thiết người có điểm Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết ? Lời giải : Các kết : C15 = 1365 Bài : Một tổ có em nam em nữ Người ta cần chọn em tổ tham dự thi học sinh lịch trường Yêu cầu em chọn phải có em nữ Hỏi có cách chọn ? Lời giải : - Trường hợp : Chọn nam , nữ : C8 C = 140 cách - Trường hợp : Chọn nam , nữ : C8 C = 56 cách Vậy : Có tất : C8 C + C8 C = 140 + 56 = 196 cách Bài : Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong em chọn , yêu cầu em nữ Hỏi có cách chọn ? Lời giải : - Trường hợp : Chọn nam : C - Trường hợp : Chọn nam , nữ : C C Vậy : Có tất : C + C C = 126 cách Bài : Một lớp học có 10 học sinh nam 15 học sinh nữ a) Có cách chọn từ đội gồm 12 người ? b) Chọn từ đội văn nghệ gồm có 13 người cho có 10 nữ phải có nam nữ ? Lời giải : 12 a) Số cách chọn C 25 = 5.200.300 cách 10 b) - Trường hợp : Chọn 10 nữ , nam : C15 C10 - 11 Trường hợp : Chọn 11 nữ , nam : C15 C10 - 12 Trường hợp : Chọn 12 nữ , nam : C15 C10 10 11 12 Vậy : Có tất : C15 C10 + C15 C10 + C15 C10 = 426335 cách Bài : Một lớp học có học sinh nam 12 học sinh nữ a) Chọn từ học sinh cho có đủ nam nữ Hỏi có cách chọn ? b) Chọn từ 10 học sinh cho có hai học sinh nam Hỏi có cách chọn ? Lời giải : a) Chọn học sinh 20 học sinh : C 20 Chọn học sinh nam : C8 Chọn học sinh nữ : C126 6 Vậy : Có tất : C 20 - C8 - C126 = 37808 cách 10 b) - Chọn 10 học sinh : C 20 - Chọn 10 học sinh nữ : C1210 - Chọn học sinh nữ , học sinh nam : C12 C8 10 Vậy : Có tất : C 20 - C1210 - C12 C8 = 182.930 cách Bài : Một lớp học có nam nữ có Bình a) Chọn từ ban đại diện có người Hỏi có cách chọn Bình có mặt ban đại diện ? b) Chọn từ tổ lao động gồm người có tổ trưởng , lại thành viên Hỏi có cách chọn Bình tham gia ? Lời giải : a) Do Bình có mặt ban đại diện nên cần chọn thêm người lớp có 14 người ⇒ Có C146 = 3003 cách b) Do Bình tham gia nên học sinh tổ lao động cần chọn tập hợp có 14 người Chọn tổ trưởng có C141 cách Chọn thành viên có C13 cách Vậy : Có tất C141 C13 = 24024 cách Bài : Một lớp học có 12 nam 16 nữ có anh Lâm a) Chọn từ đội văn nghệ gồm có 10 người đủ nam nữ Hỏi có cách chọn b) Chọn từ tổ trực nhật có 13 người , có tổ trưởng Hỏi có cách chọn anh Lâm có mặt tổ thành viên ? Lời giải : 10 a) Chọn 10 người 28 người có C 28 cách Chọn 10 người nam có C1210 cách 10 Chọn 10 người nữ có C16 cách 10 10 Vậy : Có tất : C 28 - C1210 - C16 = 13.115.036 cách b) Do anh Lâm có mặt tổ nên cần chọn thêm 12 người Chọn tổ trưởng có C 27 cách 11 Chọn 11 thành viên có C 26 cách 11 Vậy : Có tất : C 27 C 26 = 208.606.320 cách Bài : Một trường trung học có thầy dạy toán , thầy dạy vật lý thầy dạy hoá học Chọn từ đội có thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ môn ? Lời giải : 1 Chọn thầy dạy lí , thầy dạy hoá thầy dạy toán : C C C8 cách 1 Chọn thầy dạy lí , thầy dạy hoá thầy dạy toán : C C C8 cách Chọn thầy dạy lí , thầy dạy hoá thầy dạy toán : C C C8 cách 1 2 1 Vậy : Có tất : C C C8 + C C C8 + C C C8 = 780 cách Bài 10 : Một lớp học có 20 học sinh có anh Nam a) Chọn từ tổ trực nhật có người , có tổ trưởng lại thành viên Hỏi có cách chọn anh Nam có mặt tổ b) Chọn từ đội văn nghệ có 10 người , có đội trưởng , thư ký thành viên Hỏi có cách chọn anh Nam thiết phải có mặt đội ? Lời giải : a) - Anh Nam tổ trưởng , chọn thành viên lại có C19 cách - Anh Nam thành viên , chọn tổ trưởng có C19 cách Chọn thành viên lại có C18 cách Vậy : Có tất : C19 + C19 C18 = 403.104 cách b)– Anh Nam đội trưởng Chọn thư ký có C19 cách Chọn thành viên lại có C18 cách - Anh Nam thư ký Chọn đội trưởng có C19 cách Chọn thành viên lại có C18 cách - Anh Nam thành viên Chọn đội trưởng C19 cách Chọn thư ký có C18 cách Chọn thành viên lại có C17 8 1 Vậy : Có tất : C19 C18 + C19 C18 + C19 C18 C17 = 1.668.618 cách Dạng : Bài toán chọn vật Bài : Một hộp đựng viên bi xanh viên bi vàng a) Có cách lấy viên bi ? b) Có cách lấy viên bi cho có viên bi xanh viên bi vàng ? Lời giải : a) Số cách lấy viên bi C12 = 924 cách b) Số cách chọn viên bi xanh C Số cách chọn viên bi vàng C Vậy : Có tất : C C = 350 cách Bài : Một hộp đựng viên bi xanh , viên bi đỏ viên bi vàng a) Có cách lấy viên bi , có viên bi xanh có nhiều hai viên bi vàng phải có đủ ba màu b) Có cách lấy viên bi có đủ ba màu ? Lời giải : 2 a) Chọn viên bi xanh , viên bi vàng , viên bi đỏ : C C C Chọn viên bi xanh , viên bi vàng , viên bi đỏ : C C C 2 2 Vậy : Có tất : C C C + C C C = 1700 cách b) Số cách lấy viên bi : C15 cách 5 Số cách lấy viên bi có màu : xanh đỏ : C C + C C + C C Số cách lấy viên bi có hai màu : xanh vàng : C C 4 Số cách lấy viên bi có hai màu : đỏ vàng : C C + C C 5 4 Vậy : Có tất : C15 - ( C C + C C + C C + C C + C C + C C ) = 4939 cách Bài : Có tem thư bì thư Chọn tem để dán vào ba bì thư , bì thư dán tem hỏi có cách dán ? Lời giải : + Chọn tem có C cách + Chọn bì thư có C cách Một tem dán vào bì thư ba bì thư lấy nên có tất : 3 3! C C = 1200 cách Bài : Trong lô hàng có 10 quạt bàn quạt trần a) Có cách lấy quạt có quạt bàn b) Có cách lấy quạt có quạt bàn Lời giải : a) Chọn quạt bàn 10 quạt bàn C10 Chọn quạt lại quạt trần C Vậy : Có tất C10 C = 1200 cách 2 b) Có C10 C cách chọn có quạt bàn quạt trần Có C10 C cách chọn có quạt bàn quạt trần Có C10 C cách chọn có quạt bàn quạt trần 2 Vậy : Có tất C10 C + C10 C + C10 C = 1260 cách Bài : Có bi xanh , bi đỏ , bi vàng Có cách chọn từ viên bi : a) Có bi xanh b) Số bi xanh số bi đỏ Lời giải : 2 a) Chọn bi xanh bi xanh C8 , bi lại chọn bi đỏ bi vàng C8 2 Vậy : Có tất C8 C8 = 784 cách 2 b) Có C8 C cách chọn có bi xanh bi đỏ 1 Có C8 C C cách chọn có bi xanh , bi đỏ bi vàng 2 1 Vậy : Có tất C8 C + C8 C C = 400 cách Bài : Cho bi xanh , bi trắng bi vàng Có cách lấy viên bi có hai màu ? Lời giải : + viên (xanh trắng) 3 Có C C + C C + C C + C C = 84 cách (hay C ) + viên (xanh vàng) 3 Có C C + C C + C C = 28 (hay C8 ) + viên (trắng vàng) 3 Có C C + C C = cách (hay C ) Vậy : Có tất 84 + 28 + = 119 cách Bài : Có hộp đựng viên bi đỏ , viên bi trắng , viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy không đủ ba màu Lời giải : Có C cách chọn viên bi có bi vàng Có C cách chọn viên có đỏ trắng Có C cách chọn viên bi có đỏ vàng Có C8 cách chọn viên có bi trắng vàng 4 4 Vậy có tất : C + C + C + C8 = 115 cách Bài : Một người muốn chọn hoa từ ba bó hoa để cắm vào bình hoa Bó thứ có 10 hồng , bó thứ hai có thược dược bó thứ ba có cúc a) Hỏi người có cách chọn b) Nếu người muốn chọn hồng , thược dược cúc người có cách chọn ? Bài : Từ hồng vàng , hồng trắng hồng đỏ (Các hồng xem đôi khác ) người ta muốn chọn bó hoa gồm hồng a) Có cách chọn bó hoa có hồng đỏ ? b) Có cách chọn bó hoa có hồng vàng hồng đỏ ? Bài 10 Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem đôi khác ), ta chọn bó gồm a Có cách chọn bó hoa có hồng đỏ ? b Có cách chọn bó hoa có hồng vàng hồng đỏ ? Bài 11 ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s có 14 nam nữ Hỏi có cách lập đội gồm h/s đó: a Số nam nữ b Có nữ Bài 12 (ĐHYHN - 2000): Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách? Bài 13 (ĐHĐN - 2000): Một tổ có h/s nam h/s nữ xếp thành hàng dọc a Có cách xếp khác ? b Có cách xếp cho h/s giới đứng cạnh ? Bài 14 (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam 15 h/s nữ Có h/s chọn để lập tốp ca Hỏi có cách lập khác : a Nếu phải có nữ ? b Nếu chọn tuý ý ? Bài 15 (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: a Có nam người b Có nam 1nữ người Bài 16 (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm nhiệm vụ địa điểm B, người lại trực đồn Hỏi có cách phân công? Bài 17 (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho trong3 người có cán lớp? 10 Bài 18 (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 người có nữ nam a Có cách chia đội văn nghệ thành nhóm có số người nhóm có số nữ ? b Có cách chọn người mà có không nam ? Bài 19 (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 h/s thành hàng dọc cho h/s nam phải đứng liền ? a Có cách xếp khác ? b Có cách xếp cho h/s giới đứng cạnh ? Bài 20 (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có cách xếp h/s A, B, C, D, E vào ghế dài cho: a Bạn C ngồi ? b Hai bạn A, E ngồi đầu ghế ? Bài 21 (ĐHHuế – 99- 2000): Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ mầu ? Bài 22 (HVQY – 99- 2000): Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giống vào dãy ô trống a Hỏi có cách xếp khác nhau? b Hỏi có cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh nhau? Bài 23 (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam nữ Hỏi có cách chọn mõi trường hợp sau: a Có h/s nhóm ? b Có h/s nhóm có nam nữ ? Bài 24 (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu: a Các h/s ngồi tuỳ ý ? b Các h/s nam ngồi bàn h/s nữ ngồi bàn ? Bài 25 (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đoàn tầu có toa chở khách: toa I, toa II, toa III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tầu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a Có cách xếp cho hành khách lên toa tầuđó ? b.Có cách xếp cho hành khách lên tầu để có toa có hành khách Bài 26 (ĐHSPHN –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm h/s số 50 h/s dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm cặp anh em sinh đôi Hỏi có cách chọn ? Bài 27 (ĐHSPV –G- 99 - 00):Một tổ sinh viên có 20 em có em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách chọn ? Bài 28 (ĐHKT- 98 - 99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư làm tổ trưởng, công nhân làm tổ phó công nhân làm tổ viên Hỏi có cách thành lập tổ công tác Bài 29 Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, thí sinh cần thực việc: - Chọn trường thi có tất 33 trường 11 - Chọn khối thi, trường có khối thi A, B, C, D Hỏi có cách lập hồ sơ ? Bài 30 Có đường nối thành phố X Y, có đường nối thành phố Y Z Muốn từ X đến Z phải qua Y a) Hỏi có cách chọn đường từ X đến Z ? b) Có cách chọn đường từ X đến Z lại X đường khác nhau? Bài 31 Việt Nam, học sinh tốt nghiệp THPT có quyền dự thi vào trường đại học( có 35 trường ) trường cao đẳng ( có 25 trường) trường trung học chuyên nghiệp ( có21 trường ) Hỏi học sinh tốt nghiệp THPT có cách chọn trường thi ? Bài 32 Mỗi người sử dụng hệ thống máy Lâmnh có mật dài từ đến ký tự, ký tự chữ hoa hay chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi người có mật khẩu? Biết có 26 chữ in hoa, 10 chữ số Bài 33 Xếp sách toán, sách Lý, sách Hoá sách Sinh vào kệ sách theo môn Tất sách khác Hỏi có cách xếp? Bài 34 Có cách chọn cầu thủ khác 10 cầu thủ đội bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, trận đấu có thứ tự ? Bài 35 (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách văn học, sách âm nhạc sách hội họa Ông muốn lấy đem tặng em học sinh A, B, C, D, E, F em c) Giả sử thầy giáo muốn tặng cho em học sinh sách thuộc thể loại văn học âm nhạc Hỏi tất có cách chọn sách để tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, loại văn học, âm nhạc, hội hoạ lại Hỏi tất có cách chọn? Bài 36 Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam 15 nữ Có cách lập ban cán lớp gồm: a học sinh b học sinh gồm nam nữ c học sinh có nam Bài 37 (ĐH, CĐ 2005): Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ ? Bài 38 (Đề thi CĐ 2005 – Khối D) Một bó hồng gồm 10 hồng bạch 10 hồng nhung Bạn Hoa muốn chọn để cắm bình, phải có hồng bạch hồng nhung Hỏi có cách chọn? Bài 39 (ĐH 2004 – KB) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không ? 12 VẤN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN HOÁN VỊ Bài : Từ tập hợp A = {1 , , , , , , , } Từ tập A lập số : a) Có chữ số khác ? b) Có chữ số khác cho số chẵn ? Giải : a) Số số có chữ số khác lấy từ tập A có phần tử 8! = 40320 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a8 Số n chẵn nên a8 ∈ { , 4, 6, 8} - a8 có cách chọn - Chọn chữ số lại tập có phần tử : P7 = 7! Vậy : Có tất : 4.7! số cần tìm Bài : Cho tập hợp A = { , , , , , , , } Từ tập A lập số : a) Có chữ số khác cho số lẻ không chia hết cho ? b) Có chữ số khác cho chữ số đứng đầu lẻ chữ số đứng cuối chẵn ? Giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a8 Số n lẻ không chia hết cho a8 = { , , } + a8 có cách chọn + Chọn chữ số lại tập có phần tử có P7 = 7! Cách Vậy có tất 3.7! = 15120 số b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a8 Chữ số đứng đầu lẻ : a1 = { 1, 3, 5, 7} a1 có cách chọn Chữ số đứng cuối chẵn : a8 = {2, 4, 6, 8} a8 có cách chọn Chọn chữ số lại P6 = 6! Vậy có tất : 4.6!.4 = 11520 số Bài : Cho tập hợp A = { , 2, ,4 , , , } Từ tập A lập số a) Có chữ số khác cho chữ số đứng đầu đứng cuối lẻ ? b) Có chữ số khác cho số chẵn chữ số đứng chia hết cho ? Giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a Số n có a1 a7 lẻ a1, a7 = {1, 3, 5, 7} + a1 có cách chọn + a7 có cách chọn + Chọn chữ số lại có P5 = 5! cách Vậy có tất : 4.3.5! = 1440 số cần tìm b) Gọi số cần tìm : n = a1 a a Số n chẵn a7 = {2, 4, 6} a4 chia hết cho a4 = {3 , 6} - Trường hợp : a4 = a7 có cách chọn Chọn chữ số lại có 5! cách có 2.5! cách - Trường hợp : a4 = a7 có cách chọn Chọn chữ số lại có 5! cách 13 có 3.5! Vậy có tất 2.5! + 3.5! = 600 số cần tìm Bài : Cho tập hợp A = { , , , , , , , }.Từ tập hợp A lập số : a) Có chữ số khác cho số chẵn chữ số đứng đầu chia hết cho ? b) Có chữ số khác cho chữ số đứng thứ chia hết cho , chữ số đứng đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ ? Giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a8 Số n chẵn a8 = {2, 4, 6, 8} a1 chia hết cho a1 = {4, 8} - Trường hợp : a1 = a8 có cách chọn Chọn chữ số lại có 6! cách có 3.6! số - Trường hợp : a1 = a8 có cách chọn Chọn chữ số lại có 6! cách có 3.6! số Vậy có tất : 3.6! + 3.6! = 4320 số cần tìm Bài : Cho tập hợp A = { , , , , , , } Từ tập A lập số : a) Có chữ số khác cho chữ số đứng cạnh ? b) Có chữ số khác cho số không bắt đầu 123 ? Giải : a) Gọi số cần tìm : n = a1 a a Khi hai chữ số 1, đứng cạnh 12 21 có hai kiểu đứng cạnh cho hai chữ số , + Có vị trí cho chữ số 12 + Chọn chữ số lại có 5! cách Vậy có tất : 2.6.5! = 1440 số cần tìm b) - Tìm số có chữ số có 7! số - Tìm số có chữ số bắt đầu 123 có 4! số Vậy có tất : 7! – 4! = 5016 số VẤN ĐỀ : LÂMNH HỆ SỐ CỦA MỘT LUỸ THỪA TRONG MỘT (HOẶC NHIỀU) KHAI TRIỂN CỦA NHỊ THỨC NIUTƠN Bài : Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x + 1)n 1024 , tìm hệ số a số hạng ax12 khai triển Lời giải : n Ta có : x + = C n0 x n + C n1 x ( n −1) + + C nn −1 x + C nn Cho x = , ta tổng hệ số : C n0 + C n1 + C n2 + + C nn = n Theo giả thiết , ta có : 2n = 1024 ⇔ n = 10 10 Do : x + = C100 x 20 + C101 x 18 + + C106 x 12 + + C109 x 12 + C1010 ( ) ( ) Vậy hệ số a phải tìm : a = C10 = 210 Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2000 – 2001) 14 12 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn ( + x ) x k n−k k Lời giải : Tk +1 = C n a b , k = , , , , …, n Với n = 12 , a = , b = x ta có : x Tk +1 = C12k ( )12− k ( x ) k x −12 + k = C x Điều kiện cần đủ để số hạng khai triển không chứa ẩn x − 12 + k = ⇔ k = 12 ! T9 = C128 = = 495 số hạng thứ khai triển không chứa x 8!4! Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2005 – 2006) Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Niutơn (1 + x) n , n ∈ N* , biết tổng tất hệ số khai triển 1024 n n n Lời giải : Ta có : (1 + x) = C n + C n x + + C n x k 12 n k n Tổng tất hệ số khai triển : T = ∑ C n = k =0 T = 1024 ⇔ n = 10 Hệ số x5 khai triển : C10 = 252 Bài 4: (Đề kiểm tra học kỳ II năm học : 2005 – 2006 sở GD TT - Huế) Tìm hệ số x4 khai triển biểu thức : (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 Lời giải : n n n k k Ta có : ( x + 1) = (1 + x ) = ∑ C n x k =0 Hệ số x khai triển biểu thức cho : C 44 + C 54 + C 64 = 21 Bài : 1) Tìm hệ số x3 khai triển : (x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 2) Tìm hệ số x9 khai triển : (x + 1)9 + (x + 1)10 + …+ (x + 1)14 Lời giải : n n n k k Ta có : ( x + 1) = (1 + x ) = ∑ C n x k =0 Hệ số x3 khai triển biểu thức cho : C 33 + C 43 + C 53 = 15 Hệ số x9 khai triển biểu thức cho : C 99 + C109 + C119 + C129 + C139 + C149 = 3003 Bài : 16 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn ( + x ) x Lời giải : 15 Tk +1 = C nk a n − k b k , k = , , , , …, n Với n = 16 , a = , b = x ta có : x Tk +1 = C16k ( )16− k (3 x ) k x −16 + k + k k = C16 316− k x Điều kiện cần đủ để số hạng khai triển không chứa ẩn x − 16 + k = ⇔ k = 12 12 T13 = C16 = 147420 số hạng thứ 13 khai triển không chứa x Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu Tơn: 1 ( + x )12 x (x + (TNTH - 00 – 01) 21 ) x3 Bài Trong khai triển nhị thức: (x + )12 x (x x + x Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79 − 28 25 n ) tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng: ( ĐHSPHN – 2000 – 2001 ) Bài Tìm hạng tử đứng khai triển: ( + x ) 10 x ( x - xy)15 ( x 12 − ) x (a3 + ab)31 Bài 10 Cho biết hệ số thứ khai triển (x − )n Tìm số hạng tử đứng khai triển Bài 11 Trong khai triển Trong khai triển x ( − )12 , tìm hệ số số hạng chứa x x (x3 + xy)15 , tìm hệ số x 25 y10 ( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 ) Tìm hệ số số hạng chứa x31 khai triển f ( x) = ( x + 40 ) x2 ( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 ) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức NiuTơn ( + x5 )n , x 16 biết Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) ( n số nguyên dương, x > ) ( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 ) Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n Tìm n để a3n −3 = 26n ( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 ) k k VẤN ĐỀ : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA An , C n Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2002 – 2003) Giải hệ phương trình cho hệ thức sau : C xy+1 : C xy +1 : C xy −1 = : : Lời giải : y y +1 y −1 Hệ thức C x +1 : C x : C x = : : với x y số nguyên dương mà ≤ y + ≤ x cho hệ phương trình sau : C xy+1 C xy +1 = y y −1 C x +1 = C x Giải hệ : ( x + 1)! x! x +1 y!( x + − y )! = 5( y + 1)!( x − y − 1)! 6(x - y)(x + - y) = 5( y + 1) x = ⇔ ⇔ ( x + 1)! x! y = x +1 = = y!( x + − y )! 2( y − 1)!( x − y + 1)! y Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2003 – 2004) Giải bất phương trình (Với hai ẩn n , k ∈ N) Pn +5 ≤ 60 Ank++32 (n − k )! Lời giải : Pn +5 k ≤ n ≤ 60 Ank++32 ⇔ (n − k )! (n + 5)(n + 4)(n − k + 1) ≤ 60 Xét với n ≥ : Khẳng định bất phương trình vô nghiệm Xét với n ∈ {0 , , , } tìm nghiệm (n ; k) bất phương trình : ( ; ) , (1 ; 0) , (1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2004 – 2005) Giải bất phương trình , ẩn n thuộc tập số tự nhiên : C nn+−21 + C nn+ > An2 Lời giải : Điều kiện : n ≥ Bất phương trình cho tương đương với 17 (n + 3)! n! An ⇔ > n!3! (n − 2)! ⇔ n – 9n + 26n + > ⇔ n(n2 – 9n + 26) + > , với n ≥ Vậy : n ∈ N , n ≥ Bài : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2006 – 2007 lần 1) k Giải phương trình : C n + C n = 3C n +1 (trong C n số tổ hợp chập k n phần tử) Lời giải : Điều kiện : n ∈ N , n ≥ Phương trình cho tương đương với : n! n! (n + 1)! + = 4!(n − 4)! 5!(n − 5)! 6!(n − 5)! 1 n +1 ⇔ + = n-4 10 n +1 n +1 ⇔ = 5(n - 4) 10 ⇔n=6 Vậy : n = Bài : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2006 – 2007 sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế) Giải bất phương trình (ẩn n ∈ N*) : C n5+5 32 < (n + 4)! 5!(n + 1)! Lời giải : C n5+5 32 (n + 5)! 32 < ⇔ < (n + 4)! 5!(n + 1)! 5!n!(n + 4)! 5!(n + 1)! 32 ⇔n+5< ⇔ (n + 1)(n + 5) < 32 ⇔ n + 6n − 27 < 0(n ∈ N * ⇒ n + > 0) n +1 ⇔ -9 < n < C nn+3 > Suy : n = n = MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài : Cho tập hợp A = { ; ; ; ; 5; ; 7; ; }.Từ tập A lập số chẵn có sáu chữ số đôi khác cho chữ số đứng đầu chẵn chữ số có mặt lần ? Bài : Từ bốn chữ số , , , ta lập số tự nhiên có bốn chữ số mà số gồm chữ số khác Hãy viết tất số tự nhiên 2 k k Bài : Giải phương trình 3C n + 2C n = An (trong An số chỉnh hợp chập k n phần tử , C n tổ hợp chập k n phần tử) Pn n −2 k Bài : Chứng minh 8C n + An = (trong An số chỉnh hợp chập k n phần tử , (n − 2)! k C n số tổ hợp chập k n phần tử Pn số hoán vị n phần tử) Bài : Tìm số hạng không chứa x khai triển : 18 (x x + 11 ) ;x ≠ x Bài : Tìm số hạng không chứa x khai triển : ( x3 x + x ) n biết C nn− + C nn −1 + C nn = 92 Bài : Giải phương trình : x +5 x+4 x+4 x +3 a C14 − C14 = C14 − C14 , ∀x∈N* b Ax + C x = 14 x c 4C − 4C x −1 − Ax −1 = x −2 x −1 x Bài : Giải phương trình : C + 2C + C = 35 , ∀x∈N* x −2 x −1 { Bài : Tìm số tự nhiên x , y thỏa hệ phương trình : C xy −2 =3 C xy −1 C xy =C xy −1 Bài 10 Giải phương trình, bất phương trình sau: C xo + C xx −1 + C xx − = 79 C xx++83 = Ax3+6 C1x + C x2 + C x3 = C1x − C x2+1 = (TNTHPT - 98 - 99) C 1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x (ĐHNN - 99- 00) 7x Ax3 + Ax2 ≤ 21x Cnn−−13 < An4+1 14 P3 A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 x Ax3 + C xx − = 14 x 10 6C1x + (ĐHQGHN - 98- 99) ( ĐHHH – 1999 ) An4+1