CHIẾN lược KHÁI QUÁT hóa các mẫu HÌNH PHI TUYẾN của học SINH lớp 8 và lớp 11 PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o TRẦN THỊ MAI THANH CHIẾN LƯỢC KHÁI QUÁT HÓA CÁC MẪU HÌNH PHI TUYẾN CỦA HỌC SINH LỚP VÀ LỚP 11 PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.TRẦN KIÊM MINH Thừa Thiên Huế, năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Họ tên tác giả Trần Thị Mai Thanh LỜI CẢM ƠN Trong trình làm luận văn, nhận nhiều quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy cô, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến: TS Trần Kiêm Minh, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế, người Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư Phạm Huế thời gian qua tận tình giảng dạy, cung cấp cho kiến thức quý báu, giúp có sở để tiến hành việc nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Phổ Thông Thực Hành Sư Phạm - Đại Học An Giang thầy cô tổ Toán em học sinh nhiệt tình giúp đỡ để hoàn thành luận văn kế hoạch Xin cảm ơn gia đình yêu quý tạo điều kiện tốt cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, xin chúc quý Thầy, Cô bạn dồi sức khỏe, hạnh phúc thành công công việc MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa .i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ LỜI GIỚI THIỆU Có thể nói toán học có mặt ngõ ngách khoa học đời sống Sự phát triển toán học cao cấp giúp cho khả tư người cao hơn, vận dụng vào việc nghiên cứu khoa học môn khoa học khác Có thể nói toán học chìa khoá mở cửa môn khoa học Ngày nay, toán học chỗ dựa vững chắc, bệ phóng cho môn khoa học kỹ thuật, đặc biệt công nghệ thông tin, vật lý Trong toán học, đại số chiếm phần lớn thời lượng cấp học Nội dung phần đại số chương trình toán học phổ thông nước ta trước chủ yếu tập trung vào hoạt động biến đổi, tức trang bị nhiều kĩ tính toán biến đổi biểu thức đại số hình thức Trong trọng đến hoạt động giúp học sinh hiểu ý nghĩa ý tưởng đại số biến, biểu thức, phương trình… Chương trình sách giáo khoa chủ yếu tập trung vào kĩ giải tập cho học sinh mà không trọng vào việc giúp học sinh hiểu nghĩa khái niệm đại số Các nghiên cứu giáo dục toán cho thấy có nhiều cách để tiếp cận đại số thúc đẩy học sinh hiểu ý nghĩa khái niệm đại số biến, biểu thức, phương trình…, hỗ trợ tốt ngắt quãng nhận thức học sinh chuyển từ số học sang đại số Những cách tiếp cận đại số tiếp cận qua khái quát hóa mẫu hình (Bednarz, Kieran, & Lee (1996, [4]); Mason et al (2005, [18]); Radford (2008, [22]); Radford (2010, [23]); Rivera & Becker (2010, [27]); Jurdak & Mouhayar (2013, [13])), tiếp cận đại số qua giải vấn đề (Bednarz (1996, [5])), tiếp cận hàm với hỗ trợ công nghệ (Hied (1988, [12]); Yerushalmy & Gilead (1999, [29]); Lagrange (2014, [17]))… Trong đó, tiếp cận đại số qua khái quát hóa mẫu hình hướng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm phát triển Theo cách tiếp cận này, đại số xem khái quát hóa số học, tập trung vào ký hiệu đối tượng ẩn, biến, biểu thức, phương trình… Với quan niệm tư đại số vậy, toán khái quát hóa mẫu hình đóng vai trò quan trọng bước chuyển từ Số học sang Đại số bước đầu hình thành tư đại số cho học sinh Nhiều nghiên cứu khía cạnh khái quát hóa mẫu hình phát triển tư đại số thực Ở Việt Nam, tác giả Lê Thị Quỳnh Dư (2014, [1])) bước đầu tìm hiểu chiến lược khái quát hóa mẫu hình phi tuyến học sinh lớp 10 Có nghiên cứu tiến hành đối tượng so sánh cấp học Vì thế, nghiên cứu này, so sánh chiến lược chất chiến lược khái quát hóa mẫu hình phi tuyến học sinh hai cấp độ khác (lớp lớp 11) Chương đề cập đến bước chuyển từ số học đến đại số, khái quát hóa mẫu hình tư đại số, mẫu hình tuyến tính phi tuyến, tổng quan nghiên cứu liên quan đến khái quát hóa mẫu hình vấn đề khái quát hóa mẫu hình chương trình đại số Trung học sở Trung học phổ thông Trong chương 2, trình bày sở lí thuyết kiểu nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình (trực tiếp, gần, xa), độ phức tạp nhiệm vụ khái quát hóa mẫu hình (đơn giản, phức tạp), chiến lược khái quát hóa mẫu hình thường gặp , phân biệt chất cấu trúc chiến lược khái quát hóa mẫu hình , tư đại số nhìn từ quan niệm lịch sử-văn hóa dạy học L Radford câu hỏi nghiên cứu Chương giới thiệu ba tình thực nghiệm phân tích tiên nghiệm ba tình Chương phần phân tích kết thực nghiệm thu ba tình Trong chương trả lời kết luận cho câu hỏi nghiên cứu, đóng góp nghiên cứu hướng phát triển đề tài Chương ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bước chuyển từ số học đến đại số Toán học số có nguồn gốc thuộc toán học người Hindu, người Arab người Babylon Họ không quan tâm đến việc đưa chứng minh nên toán học số truyền lại cho đơn dạng tập hợp quy tắc tính toán không liên quan với Việc học số học trường tiểu học tập hợp gồm lời giải toán đa dạng quy tắc tính toán Số học thể nỗ lực sớm trí tuệ người trừu tượng Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn phát triển nhân loại, toán học số đưa thêm vào đối tượng mới, kí hiệu chữ để biểu diễn số Việc đưa thêm vào kí hiệu khởi đầu đại số Các nghiên cứu cho thấy tồn ngắt quãng nhận thức học sinh bước chuyển từ số học sang đại số (Filloy & Rojano (1989, [10]); Bednarz & Janvier (1996, [5]) …) Nhiều học sinh gặp khó khăn chuyển từ tư số học Tiểu học sang tư đại số đầu cấp Trung học sở Khi chuyển từ số học sang đại số, học sinh tiếp xúc với đối tượng biến, biểu thức, phương trình… Những đối tượng gây nên chướng ngại, khó khăn nhận thức học sinh Chẳng hạn, nhiều nghiên cứu (Filloy & Rojano (1989, [10]); Bednarz & Janvier (1996, [5])…) số học, học sinh dễ dàng giải phương trình dạng Ax + B = C “phương pháp ngược” (lấy C trừ B chia cho A) Tuy nhiên, chuyển qua phương trình dạng Ax + B = Cx + D, nhiều học sinh lúng túng không giải Lúc này, “phương pháp ngược” không hiệu Học sinh phải dựa vào ý tưởng đại số thực sự, phải thao tác ẩn (biến) Để thao tác ẩn hay đại lượng không xác định nói chung, đòi hỏi phải có tư phân tích Tức là, phải xem đại lượng không xác định đại lượng biết, thể chúng số cụ thể (Radford, 2014, [24])) Cách tư (ở số chưa biết xử lý số biết) làm nên khác biệt Số học Đại số Một hệ khác biệt số học đại số công thức đại số đối tượng suy diễn để hình thành nên Việc hình thành công thức (chẳng hạn qua toán khái quát hóa mẫu hình) dựa vào phép thử đoán biểu tư đại số Tương tự, việc sử dụng đơn ký hiệu đặc trưng cho tư đại số Chẳng hạn, nhiều học sinh giải phương trình 2x + = 10 + x phương pháp thử - sai Rõ ràng, cách giải thử sai không chứa đựng ý tưởng hay tư đại số Dựa nghiên cứu trước (Filloy and Rojano (1989, [10]) ; Kieran (1993, [16])), Radford (2014, [24], tr 260) cho điều kiện sau đặc trưng cho tư đại số: • Tính không xác định: toán có liên quan đến số chưa biết (ẩn, biến, tham số…) • Ký hiệu: số không xác định toán phải gán tên biểu tượng • Tính phân tích: đại lượng không xác định toán phải xử lý thể chúng đại lượng biết Có nghĩa đại lượng chưa biết bắt chúng thao tác chúng cộng, trừ, nhân, chia… Đó nghĩa tính phân tích Chẳng hạn, phương trình 2x + = 10 + x, thay thử thay đại lượng chưa biết x số biết xem phương trình có thỏa không, ta đại lượng chưa biết x, trừ x từ 2x hai vế, sau trừ hai vế để x = Rõ ràng cách thức tìm x = đoán hay thử-sai mà x suy luận Đây điểm để phân biệt tư số học (thử-sai) với tư đại số (tính phân tích) Một vài phương pháp đề xuất nhà nghiên cứu để tạo điều kiện cho chuyển tiếp học sinh từ tư số học đến tư đại số Các nhà nghiên cứu quan đến nhiều cách tiếp cận đại số như: tiếp cận đại số qua khái quát hóa mẫu hình (Lee (1996, [4]); Mason et al., (2005, [18]), tiếp cận đại số qua giải vấn đề (Bednarz (1996, [5])); tiếp cận hàm đại số với hỗ trợ công nghệ (Yerushalmy, 2000; Yerushalmy & Gilead (1999, [29]) 1.2 Khái quát hóa mẫu hình tư đại số “Khái quát hóa điều quan trọng mà làm đại số học sinh nên bắt đầu sớm” (Lee (1996, [4])), khái quát hóa mẫu hình cung cấp cho học sinh tảng tư đại số mô tả “một gốc rễ đường vào đại số” (Radford (2008, [22])) Theo Vygotsky (1986, [30]), khả để khái quát hóa, bị biến đổi sống giới mà cụ thể a, b, c Tất thứ khác với tất thứ khác, kiến thức liên tục giảm đến không ngừng Như thấy “Hoạt động quan trọng trí tuệ khái quát hóa” (Radford (2008, [22]))và “thực tất đại số khái quát hóa mẫu hình” (Lee (1996, [4], tr 103)) Theo Radford (2008, [22]), điều cốt lõi tư đại số làm việc ký hiệu hình thức mà ý tưởng khái quát hóa từ trường hợp cụ thể Các ký hiệu biểu thức không làm nên tư đại số mà khả khái quát hóa từ kết trường hợp cụ thể Các nghiên cứu giáo dục toán cho thấy có nhiều cách để tiếp cận đại số tiếp cận qua khái quát hóa mẫu hình (Bednarz, N., Kieran, C., & Lee, L (1996, [4]); Mason et al (2005, [18]); Radford, (2008, [22]); Radford (2010, [23]); Rivera & Becker (2010, [27]); Jurdak & Mouhayar (2013,[19]), tiếp cận qua giải vấn đề (Bednarz (1996, [5]), tiếp cận hàm với hỗ trợ công nghệ (Hied (1988, [12]); Yerushalmy & Gilead (1999, [29]); Lagrange (2014, [17]))… Trong đó, tiếp cận đại số qua khái quát hóa mẫu hình hướng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm phát triển Theo cách tiếp cận này, đại số xem khái quát hóa số học, tập trung vào ký hiệu đối tượng ẩn, biến, biểu thức, phương trình… Với quan niệm tư đại số vậy, toán khái quát hóa mẫu hình đóng vai trò quan trọng bước chuyển từ Số học sang Đại số bước đầu hình thành tư đại số cho học sinh Nhiều nghiên cứu khía cạnh khái quát hóa mẫu hình phát triển tư đại số thực Chẳng hạn, nhóm nghiên cứu tác giả Radford Canada (Radford (2008, [22]), (2010, 10 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Trường: Phổ Thông Thực Hành Sư Phạm PHIẾU HỌC TẬP Họ tên:……………………………… Lớp:……………… Thiết kế chỗ ngồi Một công ty tổ chức kiện muốn thiết kế lắp đặt chỗ ngồi cho khán giả theo kiểu sau: Với n số thứ tự hình dãy mẫu hình Câu hỏi 1: Có ô vuông xếp trường hợp n = 5? Hãy vẽ hình minh họa ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… P91 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu hỏi 2: Có ô vuông xếp bước nhiêu dãy hình có số ô vuông 1300 ? 10 ? Hãy cho biết bước bao Giải thích sao? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu hỏi 3: Hãy rút công thức để tính số ô vuông trường hợp hình n bất kì? Hãy giải thích trình suy luận để có công thức ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… P92 P93 P94 P95 P96 P97 P98 P99 P100 P101 P102 P103 P104 P105