595 bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm phạm trọng thư

Trang 3

-_ Lời nĩi đầu

Nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 cĩ tài liệu tốn GIẢI TÍCH tham

khảo để tự ơn tập, tự kiểm tra kiến thức của mình, chúng tơi biên soạn cuốn sách

595 BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 tự luận và trắc nghiệm

Cuốn sách được chia làm bốn chương

Chương I : UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT VA VE DO THI CUA

HAM SO

Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HAM SO MU VA HAM SO LOGARIT

Chương IV : SỐ PHỨC

Nội dung của mỗi chương được biên soạn theo bố cục A KIEN THUC CAN NHG

BÀI TẬP CĂN BAN

B

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM D HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Dù đã rất nhiều cố gắng nhưng cũng khơng thể tránh khỏi thiếu sĩt, rất

mong quý độc giả gĩp ý để những lần tái bản sau được hồn chỉnh Tác giả chân

thành cắm ơn

Trang 5

Chuong I >

UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT

VA VE BO THI CUA HAM SO

A KIEN THUC CAN NHO

1 TINH DON DIEU CUA HAM SO

Hàm số đơn điệu Cho hàm số f xác dinh trén I, với I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

+ f đồng biến trên Ï nếu với Vx,, x; 6l, x,<x¿ =f(x,)<f(x;)

+ f nghịch biến trên I nếu với VXị, x; EI, x, <x, > f(x,) > f(x,)

“Điều kiện cân để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng I Khi đĩ: + Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f(x)>0, Vxel + Nếu hàm số f nghịch biến trên I thi f(x) <0,Vx eI

(Điêu kigu dé dé ham số don digu

a) Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f(x) >0, Vx e Ivà f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của Ï thì

hàm số f đồng biến trên I

« Nếu f{x) <0, Vx € Iva f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm cia I thi

hàm số f nghịch biến trên I

« Nếu f(x) =0, Vx e Ithì hàm số f khơng đổi trên I

b) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a; b) và cĩ đạo hàm trên (a; b)

« Nếu f(x) >0 (hoặc ff{x) <0) , Vx e (a; b) thì hàm số f đồng biến

(hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a; b)

« Nếu f(x) =0, Vx e (a; b) thì hàm số f khơng đổi trên nửa khoảng [a; b)

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Điểm cực trị Cho hàm số f xác định trên tập hợp D (DC R),x„ cD

+ xạ là điểm cực đại của hàm số f nếu tổn tại một khoả ng (a; b)

sao cho xạ e (a; b) c D và f(x) < f(xạ), Vx e(a; b)\ {xạ}

+ x; là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tơn tại một khoả ng (a; b) Sao cho xụ e (a; b) C D và f(x) > f(x ), Vx €(a;b)\ {xy}

“Điều kiện câu để hàm số đạt exe trị

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xạvà hàm số f cĩ đạo hàm tại điểm xạ thì f(xạ)=0

Trang 6

“Điều kiện đủ để luàm số đạt cực trị

a) Giả sử hàm số f liên tục trên khống (a; b) chứa điểm xạ và cĩ đạo hàm trên

+ Nếu f(x)<0, Vx c(: Xo) va f(x) > 0,Vx e (xụ; b) thì f đạt cực tiểu tại xạ + Nếu f(x)>0, Vxe(a; xạ) và f(x) <0, Vx (xạ; b) thi f đạt cực đại tại Xo: b) Giả sử f cĩ đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm Kgs

f(x.) =0 va f(xy) # 0 Khi đĩ:

+ Nếu f{xạ) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xụ + Nếu f(xạ) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xụ

3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miêWD (D c R) Ta nĩi :

a) Số M được gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu hai điều sau f(x)<M,VxeD dx, €D:f(x,)=M Kí hiệu :M = max f(x) hay M = maxy thỏa mãn b) Sốm được gọi = GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu hai điều sau f(x)>m, VxeD dx, €D: f(x,)=m

Kí hiệu :m = ba f(x) hay m= miny

4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM số Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C) thỏa mãn |

Dấu hiệu Kết luận

sang ae x =x là tiệm cận đứng của (C)

hoặc lim[f(x)—(ax+b)]=0(az0) | của (C)

Cách tìm tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a # 0) là tiệm cận xiên của (C) khi và chỉ khi

s=' lim”) vàp= Hm[fd=ax]

hoic a= tin 2 yab= lim[f(x)-ax]

Trang 7

5 DIEM UON CUA ĐỒ THỊ

Cho ham f cĩ đạo hàm cấp hai trén mot khoang chifa diém x) Néu £"(x,)=0

va f(x) đổi dấu khi x qua điểm xụ thì I(x : f(x„)) là điểm uốn của đồ thị

6 DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƠNG DỤNG + Đồ thị hàm số bậc ba y = axỶ + bx? + cx + đ(a #0)

†

7

„ y'>0,VxeD hoặc y'>0,VxeD

„ Hâm số luơn đồng biến ,

+ Đồ thị hàm số trùng phương y = ax‘ +

„ Hàm số cĩ hai cực tiểu và một cực đại

„ Để thị hàm số cĩ hai điểm uốn

„ Hàm số cĩ hai cực đại và một cực tiểu „ Đồ thị hàm số cĩ hai điểm uốn

Trang 9

7 SU GIAO NHAU VA SU TIEP XUC CUA HAL DUONG CONG

Cho hai đường cong (C,): y = f(x), (C,): y = g(x)

+ Hoanh dé giao diém cia (C,) va (C,) la nghiém ciia f(x) = g(x) (*)

Số nghiệm phân biệt của (*) bằng số giao điểm của hai đường cong

« (C,),(C;) gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M(x,; y,) nếu chúng cĩ tiếp

tuyến chung tại điểm M Khi đĩ, M gọi là tiếp điểm

f(x) = g(x)

F(x) = 8'(x)

ˆNghiệm của hệ phương trình trên gọi là hồnh độ tiếp điểm

« Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của (P): y =ax” + bx + c(a #0) &>ax? +bx +c= px + q<>ax? +(b— p)x+c— q =0 cĩ nghiệm kép

« (C,) va (C;) tiếp xúc với nhanc>{ cĩnghiệm

B BAI TAP CAN BAN

Trang 10

+ Vay: Ham sé déng bién tén khoang (2: + «|

Hàm số nghịch biến trên khoảng (= 3}

Bài 3 Xét chiều biến thiên của hàm số y = a

Giải - Tập xác định: D = R\{~I}

(«+1 y’ =0 2x? +4x-6=0x=!1 hodc x =-3 + Bang bién thién:

y’ + 0 - -o 4

+ Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng (~T&; —3)t2(1; +.)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (—3; — l)t2(-—1; ])

Bài 4 Tìm m để hàm số y = ; x aa + 2x + 2008 luơn luơn đồng biến

Giải

Để hàm số luơn luơn đồng biến trên R © y' >0, Vx c R

(NT aco - Vậy: |m|<282

Bài 5 Xét chiều biến thiên của hàm số y = sin? x + cosx (0< x <7)

» Đạo hàm: y”“= 2sinxcosx — sinx = sinx(2cosx — Ì)

Trang 11

y + =

« Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng fo; *) “<

h \

Giai a) Xét hàm số f(x) = tanx - x trên nửa khoảng |» 4

Thấy f(x) liên tục trên ịu 3)

va f(x)= L —1=tan’x >0, Vx e| 0; 4

1 5

Do dé: f(x) déng biến trên nửa khoảng |9 )

Suy ra : f(x) > f(0) =0, Vx € É 4 hay tanx > x, Vx € (a ;)

3

b) Xét hàm số g(x) = tanx —x a trên nửa khoảng lo 3]

Thấy g(x) liên tục trên lo 5

và g'x)= ` ~1—x? =tan?x Co§”x —x? >0, Vxe| 0; =

( áp dụng kết quả câu a) )

Do đĩ: g(x) đồng biến trên nửa khoảng le :

Suy ra: g(x)>g(0)=0, Vxe (6 4

5 :

hay «tanx ox >0, vne( 0 3}

Trang 13

Bài 9 Tìm m để hàm số a) y=xÌ~2x? +mx+2008 cĩ cực trị

Giải a) Tập xác định: D=R ‹ Đạo hàm: y'=3x? -4x+m

b) Tập xác định: D = R\{—1} x?+2x+2m+1 g() œ&+1 (x41)?

khác —I ƒA'=-2m >0 \g(—I)=1-2+2m+1z0

Bài 10 Cho hàm số y =f) =2 x + me” +(m? ~4)x số đạt cực tiểu tại x =l + 2 Tìm m để hàm

„Đạo hàm: f{x) =x? +2mx + m? —4

Hàm số đạt cực tiểu tại x =1=› f(1)=0 <= m? +2m-3=0

; _ _¬ JŒ)=0 ie one scot F int

Trang 14

„ Bảng biến thiên:

v o —~,

Bài 12 Tìm cực trị của hàm số y = ¥xInx

Giải

Wx x ae

Nếu x>e ?©Inx>-2—=y'>0 0<x<e?” ©Inx<-2=>y'<0 + Bảng biến thiên -

Bài 13 Cho hàm số y = 2x” —9x” + 12x —4 Tìm cực trị của hàm số và viết

Trang 15

®

Điểm cực đại M,(1; 1), điểm cực tiểu M, (2; 0)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:

Cách 2

Goi M,(x,; y,), M, (x3 y,) 1a hai diém cue trị, ta cĩ: bs =-m tổ

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M,,M; là y=—x + 2

2 _

Bài 14 Cho hàm số y = — Tìm cực trị của hàm số và viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiển của đỏ thị

- Tập xác định: Ð = R\{2}

- Đạo hàm: NHI y'=0<>x¡ =—l hoặc x; =5 (x-2) Cách1 Bảng biến thiên:

y’ + 0 = = 0 +

y 5N Ny, : —

« Điểm cực đại M,(—I; 1), điểm cực tiểu M;(5; 13)

« Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: _X-Xu YT th = “tuy teed,

Xứ, — Xụ, Xu, Sa 5+l 13-1

Cách 2

Gọi M;,(x;; y,), ¡=1, 2 là các điểm cực đại và cực tiểu

Ta cĩc y, ST = hay tọa độ của M, thỏa mãn y = 2x + 3

v(x,

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M,, M; là y=2x +3

Trang 17

5 [azn orn ata nant ya 22k cdi xs), |

Giải

y =0=[ TT” p « Bảng biến thiên:

+ Dựa vào bảng biến thiên thấy:miny = 8 khi x =2

Bài 18 Tìm GTLN của hàm số f(x) = | +3x?—72x + 90 trên [—5; 5]

Giải

+ Bang bién thién:

+ Dựa vào bảng biến thiên thấy:

maxf(x) = max {le ~5)| |g(| |g(5)|} = 400 khix =—5

Giải + y =—2sin® x + 3(1—2sin? x) —6sinx = —2sin’ x 6sin? x —6sinx +3 (1)

(1) viết lại: y =—2u° —6u? ~6u+3

Trang 18

+ Dua vao bang bién thién thay:

maxy =5 khi sinx =—l CS x =—E + k2m,k€Z

miny = — Ì khi sinx =1 cs x =2 + k2m, k €Z

Bai 20 Tim GTLN va GTNN ca ham sé y = SIX

+ 2c0sx +1 (4)

¢ Tap xdc dinh: D=R [ao sinx + cosx +3 = isin tle #0, Vx ) (*) & (y — 1)sinx + (y —2)cosx =l—3y (**)

Để phương trình (**) cĩ nghiệm x e R © (y —l y +(y 2)? >(I -3y)!

ey? -2y+l+y? —4y+4>1-6y+9y? 2 4-T7y? 20

2 2

.® =<y<-=

M7 ˆ_ v7

Vậy: HAXYE== miny=—-: 4y ` = V7

Trang 19

—X fix? ph, s{1-?] x

- Vì limy = lim =~l =y =~I là tiệm cận ngang

Giải

Vệ =x=-l là tiệm cận đứng Hàm số đã cho cĩ thể viết lại : y =—x +2 —

Bài 23 Tìm tiệm cận xiên của dé thi ham s6 :y =x? +x+5

Giai

Trang 20

Bài 24 Tìm m để dé thj ham sO y = 2% ***™ thơng cĩ tiệm cận đứng

Để đồ thị khơng cĩ tiệm cận đứng khi và chỉ khi 3m? + m + m = 0

Bai 25 Tìm m để đơ thị hàm số y =—x + m+1— u x+ can xién di qua diém A(2; 0)

Giai

“vital - se ¡J02Y=-xtm+lR tiệm cận xiên của đồ thị

«Tiệm cận xiên đi qua A(2; 0) khi và chỉ khi 0 =—2+m + © m =l

§5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TỊNH TIẾN

HỆ TOA DO

Bai 26 Cho ham s6 y = x* —3x? + 2x —4 c6 dé thi (C)

a) Tìm điểm uốn I của dé thi (C)

b) Viết cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectd OI

và viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY Từ đĩ suy ra điểm I là tâm đối xứng của (C)

Giải

a) Tập xác định :D = R

‹y'=3x” -6x+2;y"=6x—6,y"=0 ©x =l y" đổi dấu khi x qua điểm x, =1

«Vậy I(1; - 4) là điểm uốn của đồ thị (C)

b) Cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là x=X+l1

i =Y-4

Y-4=(X4+1)? -3(X41)? +2(X41)-4

Y =(X4+1)[(X+1)? -3(X 41) +2] =(X 4+1)(X? —X)=X*-X Ham sé Y = X?—X 1a hams6 1é Do d6 dé thi (C) nhận gốc tọa độ I

; phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là

Trang 21

Bai 27.Cho ham s6 y =x — thị (C)

x+

a) Tim toa độ giao điểm [I của hai tiệm cận của đơ thị (C)

b) Viết cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ Ol và viết phương trình của (C) đối với hệ trục tọa độ IXY Từ đĩ suy ra

điểm I là tâm đối xứng của (C)

Giải

a) Tiệm cận đứng x =-I, tiệm cận xiên y = x ( tương tự Bài 22)

Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là I(—l; —1)

b) Cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ Orla

x=X-I y=Y-l

- Phương trình của (C) đối với hệ toa do IXY 1a

Y-1=X-1- hay Yel X-1+1 X

„ Hàm sY=X- > là hàm số lẻ

Bài 28 Cho hàm số y = xŸ - 3mx? +(m + 3)x — 1 cĩ đồ thị (C) Tìm m để điểm uốn của (C) nằm trên parabol (P): y =x’

+ Dao ham: y' = 3x? —6mx +m+3, y”=6x —6m

Ta thấy y" đổi dấu khi x qua điểm xụ =m

Trang 22

Ta thấy y" đổi dấu khi x qua điểm x„ =—m

Suy ra: I(—m; 2m -m? -2m + 1) là điểm uốn của dé thị (C)

Bài 30 Chứng minh đồ thị (C): y =-Š” 7 cĩ 3 điểm uốn thẳng hàng

, oP = 2x41 0 K-10? +4x41) eee (2 +13

-y"=0¢5x =I hodc x =-2- 3 hoae x =-2+ V3

.y" đổi dấu khi x qua diém 1, -2+J3

=A( D, B|-s-vã SB) cf-20ss a là các điểm uốn

của đồ thị (C) và Aã-|-œ+8: - 2#) ae -[ a A) 2)

yy 23443) — 4

2

= A,B, C thang hang

§6 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC

Bài 31 Khảo sát sự biếu thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =—x” +3x +2

Giải

Ta thấy y" đổi dấu khi x qua điểm 0, nên I(0; 2) là điểm uốn của dé thi

Giới hạn: limy =+œ, limy =—œ

« Bảng biến thiên: l

X _œ -1 1 +0

y = 0 + 0 =

Trang 23

Điểm đặc biệt: A(—2; 4) B(2; 0)

Giải

« Đạo hàm: y' =3x”, y"=6x

Ta thấy y” đổi dấu khi x qua điểm 0, nên I(0; - 1) là điểm uốn của đồ thị

Trang 26

Đồ thị

Bài 36 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = aL Giai Hàm số đã cho viết lại: y=x + + x + Tap xác định: D = R\{0}

; ae

lim(y - x) = lim— =0 > y =x là tiệm cận xiên

See wate x

Giới han: limy =— va limy = +00

Trang 27

Giải

x

Vì y'~ s = >0, Vx € D=> Ham sé da cho déng bién trén D

x

Vì limy =—ø và lim at er) y = +œ = x = 0 là tiệm cận đứng

lim(y —x)= im( +) =0 =>y =x la tiệm cận xiên

Trang 28

§8 MOT SO BAI TOAN THUONG GAP VE DO THI

VẤN ĐỀ 1 TÌM DIEM CO DINH CUA HO BO THỊ

Cho họ đường cong (C„„): y = f(x,m), m là tham số

e Tìm điểncố Äinhmàmoi đằhh| (Œ).1Âu ải qa

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình y = f(x, m) ra dạng

Am+B=0(I) hoặc Am” +Bm+C=0 (2) A=0 <0 - Giải hệ —„ nếu gặp dạng (1) hoặc 4B=0 nếu gặp dạng (2) " =0 C=0 - Suy ra : Điểm cố định cần tìm s TìmcácđiỂmmàmoØồthị(Œm) déukhéngti qua ik * Phuong phap gidi ese?

B-4AC<0

Bài 38 Cho hàm số y = mx? +(1—3m)x? + 2(m—1)x +1 c6 đồ thị (C„)

qua ba điểm cố định

Giải

x(x?~3x+2)=0 x=l

y= y=0 y=

Bài 39 Cho hàm số y= C1 + X—H +0) (*)cĩ đổ thị (C,)

Tìm những điểm cố định trên đường thẳng A :x=I mà (C.„)

của hàm số đã cho khơng bao giờ đi qua Vm = 0

Trang 29

Giải

Các điểm cố định M(I; y) A mà đồ thị (C„) khơng bao gid di qua Vm # 0 là những cặp (I; y) sao cho phương trình sau vơ nghiệm theo m #0

ee -m*+m=y(1+m) (6 aghie-n)

% =(y-4" -4(y-1)<0

Vậy: Vm #0, đồ thị (C„„) của hàm số (*) khơng bao giờ đi qua các

điểm M(I; y) ( với y € (2; 10) ) trên đường thẳng A: x =1

y”-l2y+20<0

VẤN ĐỀ 2 BIỆN LUẬN SO GIAO DIEM CUA HAI DUONG CONG

Cho hai họ dung cong (C,,): y=f(x, m) va (Lm): y=g(x, m) Goi M(x; y)

y = f(x, m)

y = g(x, m)

+ Phương trình hồnh độ giao điểm của (Ca) và (Lạ) : f(x, m) = g(x, m) (*)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C„„) và (L„)

f(x, m) = g(x, m)

f(x, m) = g'(x, m)

+ Me(€„)í)(L„)© tọa độ (x; y) của M là nghiệm của hệ

+ (Œ,„) tiếp xúc với (L„) © cĩ nghiệm 2

Bài 40 Cho hàm số y = ¬ cĩ đơ thị (C) Tìm m để đường thắng xe

(đ): y=—x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

: ¬ , x tx

2-m+m-1#0 2-m+m-I#0 (thỏa) "“Ìm>4+22

Bài 41 Cho hàm số y = x” +3xŸ + I cĩ đồ thị (C)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(-3; 1) và cĩ hệ số gĩc k

b) Tìm k để (4) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Giải

a)(đ):y=y¿ = k(xXT—x„) © y—l= k(x +3) © y = kx +3k +l

Trang 30

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) với (d): x`+3x? +l=kx+3k+l © x?(x+3)- k(x+3)=0 > (x +3)(x? -k) =0

Vậy: 0< k #9 thì (d) c&t (C) tai 3 diém phân biệt

Bài 42 Cho hàm số y = ae —— cĩ đồ thị (H), đường thẳng (đ): y =—x +m

Tìm m để (d) cắt! (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB cĩ độ dài ngắn nhất

Giải

©x?+(4-m)x+l—2m =0(*) (x#-2)

khác —2 A=(4—m)Ỷ -4(1=2m) >0 „_ JA = m” +12 >0, Vm

=2(x; —x„)Ÿ =2[(g + xạ)” ~4xụ x„]=2| m~4)” =4(1—2m) | =2(m? +12)>24

x? +(m+2)x—m

Bài 43 Cho hàm số y =

Ín # -3} cĩ đồ thị (C), đường

thang (d): y =—x —4 Tim m để (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A

Trang 31

| x, = Le Đà =-—— m+7 4 ss

x— Tìm a để (P) tiếp xúc với (C)

Giải

—_ =###a

X-

— =x? +a (1) x- een `

——= (2 (x~=l) Benge!

BAL 45 Chohamsd y =f(x) =~ 7-4 x-m Lt aa nic )

Chứng minh : Vm # —I,(C„„) tiếp xúc với một đường thẳng cố định Giải Tìm điểm cố định của (C„): A(—l; -2) (xem lại Vấn đề I)

(x —m)

2B tl 2 veal (-Il-my '

- Vay: (C,,) tiép xtic vi duOng thang y =k(x —x,)+y, =X—I lai A Chú ý : Phương pháp này áp dụng đối với bài tốn " chứng minh (C,,)

luơn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định"

VẤN ĐỀ 3 TIẾP TUYẾN VỚI Đ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị (C), điểm M(xạ; yạ)

Trang 32

Dạng2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cĩ hệ số

Phương pháp « Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng (đ): y = kx+b

+ Gidi hé => b => phuong trinh tiếp tuyến cần tìm

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y =ax + b (a # 0) cho trước

Phương pháp

+ Phuong trình tiếp tuyến cĩ dạng (d): y =ax +b(b # b)

+ Gidi hé => b—> phương trình tiếp tuyến cần tìm

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuơng gĩc

với đường thẳng y = ax + bí ( a # 0) cho trước Phương pháp « Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng (d): y = -1x+Ð a

ô (d) tip xỳc (C)â> 4 cĩ nghiệm

a

+ Gidi hé > b => phuong trinh tiép tuyén can tìm

Dang 5: Viét phudng trinh tiép tuyén của (C), biết tiếp tuyến đi qua M Phương pháp « Phương trình tiếp tuyến (d) đi qua Mạ; yạ) là y = k(x — Xụ) + Yọ

Trang 33

Bài 47 Cho hàm số y = “aes cĩ đỗ thị (C) Viết phương trình tiếp

Giải Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng (d): y=—x+b

X- ˆ

Thế x =0 vào (1) ta được: b = —4, thế x = 2 vào (1) ta được: b =4

Vậy: Cĩ hai tiếp tuyến y =—x~—4, y=—x +4

Bài 48 Cho hàm sé y =~ 2 cĩ đỗ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ,

của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y =—3x

Giải Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng (d): y = -3x + b (b #0)

sĩi x+I Am

: s =-3x+b (1) x+ xin, cỗ

———=- (2)'y

Vậy: Cĩ hai tiếp tuyến y =-3x +3, y =-3x — 13

Trang 34

Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng (đ): y =—x +b

1

Xx (d) tiếp xúc (C) & i , cĩ nghiệm (x 4) =(-x+b)’ x

Ầ© t cĩ nghiệm

TY (2) <> x? wl sees W5 2 2 Thếx= `” vào (1) ta được: b= 2/2 vào (1) ta được: b=~2/2 Cĩ hai tiếp tuyến y =—x+ 2A2, y=—x—2A2

Bài 50 Cho hàm số y =3x —4x” cĩ đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này đi qua điểm M(I; 3)

Giai Phương trình đường thẳng (d ) đi qua diém M(1; 3) cé hé số gĩc k là

‘ 3x-4x? =k(x-1)+3 (1) 20

Với x =0 thì k =3, với x => thi k =-24

Vậy: Cĩ hai tiếp tuyén y = 3x, y =—24x +27

VẤN ĐỀ 4 BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Bài tốn

1) Khảo sát và vẽ đồ.thị của (C): y=f(x)

Trang 35

Bài 51

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = —x” + 3x +2 b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình

-x`+3x+2-m=0 ;

Giải

(*) là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= m cùng phương trục Ox, nên số giao điểm của (C) và đường thẳng d là nghiệm của

phương trình đã cho Nhìn đồ thị

+ Nếu m >4 haym<0: I nghiệm

+ Nếu m=4 hay m=0: 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép

+ Nếu 0<m<4: 3 nghiệm

c) Phương trình trên viết lại: -x” +3x+2=n+2 (**)

Phương trình (**) là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng

d: y= n+2 cùng phương trục Ox, nên số giao điểm của (C) và đường thẳng d là

nghiệm của phương trình đã cho

Nhìn đồ thị

+ Nếu Hee ha 1 nghiệm

+ Nếu È He =e È E; 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép

+ Nếu 0<n+2<4 hay -2<n<2: 3nghiệm

Bài 52 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = at

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m, số nghiệm của

Trang 36

b) + (*) <> 2x(x-1)+x4+1=m(x-1) >" =-2x+m x=

(d): y=~—2x +m, đáp số là y =-~2x +7 và y =-2x — l + Nhìn đồ thị - Nếu m<-l haym >7: 2 nghiệm đơn ‹ Nếum=-l: cĩ l nghiệm kép x=0 - Nếu m=7: cĩ l nghiệm kép x=2 - Nếu-l<m<7: vơ nghiệm

Bài 53 Biện luận theo ms6 nghiém cia ¥4—x? =mx+2-m (*)

(C):y=v4—x?,(đ):y =mx +2~m =m(x~])+2

Trang 37

Nhìn đồ thị

Nếu0<m< Ti 2 nghiệm 103 ‹- Nếum=0: 1 nghiệm kép 2

‹ Nếum %: 1 nghiém kép

VẤN ĐỀ 5 TẬP HỤP CỦA MỘT ĐIỂM

x=g(m) (1) y=h(m) (2) « Khử m giữa (L) và (2) được phương trình F(x, y) = 0 cĩ dé thi (C),

„ Giới hạn tập hợp ( nếu cĩ) từ các diéu kiện của tham số m để cĩ M „ Kết luận: Tập hợp của M là tất cả hoặc một phần của (C): F(x, y) =0

thỏa điều kiện giới hạn

« Ta tính tọa độ của điểm M phụ thuộc theo tham số m: Trường hợp đặc biệt : + Nếu M |*=â ( hằng SỐ ) tì M thuộc đường thẳng (d): x =a y =h(m)

+NếuM|XEE()

_- trì M thuộc đường thẳng (d): y=b

Bài 54 Cho hàm số y=xT—3+ J cĩ đồ thị (C), đường thẳng (d): y =m x

Trong trường hợp (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M va N Hay

Trang 38

2 2

Suy ra I nằm trên đường thing y =2x-3 -Gidihan: + m<-5>2x,-3<-5=>x,<-l

Bài 55 Cho hàm số y = x` ~ 3mx” + (m + 1)x + 1 cĩ đồ thị (C„) Tìm tập hợp điểm uốn I của (C,,) ( ẨÄXMTXụ 34m (vị

(C„) cĩ điểm vn fm ¬

= (Xem lại §5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TINH TIEN HE TOA BO ) Khử m giữa (1) và (2) ta cĩ: y=~2x” +x? +x+l

Vậy : Tập hợp điểm uốn I của (C„„ ) là đường y =~2xỶ + x? +x +1

Bai 56 Cho (C,,): y-=x° —6x? —2m(m + 2)x +28 Tìm tập hợp điểm uốn I của (C„)

Giải x, =2 , y¡ =-4m” -8m + I2 ( Xem lại §5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ ) Ta cĩ: y, =16—4(m +1) $16

Vậy: Tập hợp điểm uốn I của (C.„) là phân của đường thẳng (d): x =2

ứng với các điểm cĩ tung độ y < 16

Trang 39

c CAU HOI TRAC NGHIEM

1) Khoảng nghịch biến của hàm số y =3" —x? —3x +3 la

2) Khoảng nghịch biến của hàm số y - —3x? -š là 3, 3, A (-23;~ V3 )U@; V3) B (0;- US i+™) C (V3,+0)- D (-V3;0)U(V3; +0): 3) Khodng dong bién ciia ham s6 y = 2x —x? 1A

4) Ham sé y = x* —3x? + mx +1 ludn déng bién trén R khi A m>3 B m<3 C.m<3 D.m>3 5) Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến trên R ? A y=x? +3x? +3x +2008 B y=x* +x? +2008

6) Cho ham sé f(x) “= f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây? nx,

A (0;1) B (1;e) C (0;e) D (e;+ 0)

7) Cho ham số f(x) = = Trong các mệnh để sau, tìm mệnh để đúng x

D f(x) déng bién trén (—00; 2) U(2; + 0) 8) Trong cdc ham sé sau, ham nao dong bién trén (1; 3)?

C y =2x?-x* D y=x?-4x4+5

9) Cho hàm số f(x) = xỶ - 3x +2 Trong các mệnh để sau, tìm mệnh để sai

A f(x) giảm trên khoảng (—]; 1) B f(x) giảm trên khoảng § t2] C f(x) tăng trên khoảng (1; 3) D f(x) giảm trên khoảng (5: 3}

Trang 40

10) Hàm số y = xInx luơn đồng biến trên khoảng

A (107!; +0) B.(e l:+o) C (e; +0) D (l;+œ)

e~

12) Hàm số y = 2x —9x? +12x + 5 cĩ số điểm cực trị bằng

13) Ham sé y =x* +x? +106 số điểm cực trị bằng

- XÌ-4X+8 22 14) Hàm số y =——————— cĩsố điểm cực trị bằng

15) Hàm số y = x” - 2|x|+ 2 cĩ số điểm cực trị bằng

2 j 16) Cho hàm số y mẻ cĩ hai điểm cực trị x,, x; Tích x;.x; ? x+

17) Giá trị m để hàm số y = xÌ - x? + mx — 5 cĩ cực trị là

¬ ý _ X°+mx+2m-l

š : x

19) Giá trị m dé ham sé y =—x? —2x? + mx dat cue tiéu tai x =—1 1a

20) Cho ham sé y = Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2 ?

Một học sinh giải như _—

_ X?+2mx +m? -l

— (&w+m}

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bước I B Bước 2 C Bước 3 D Giải đúng